[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷279.doc

[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷279

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 若函数y=f(x)有f'(x0)=1/2，则当△x→0时，该函数在x=x0点外的微分dy是( )．（A）与△x等价的无穷小

（B）与△x同阶的无穷小

（C）比△x低阶的无穷小

（D）比△高阶的无穷小

2 设，则存在函数u=u(x)，使( )．

（A）I1=I2+x

（B）I1=I2-x

（C）I2=-I1

（D）I2=I1

3 =( )．

（A）1

（B）0

（C）a

（D）不存在

4 设，其中f为连续的奇函数，D是由y=-xI3，x=1，y=1所围成的平面闭域，则k等于( )．

（A）0

（B）2/3

（C）-(2/3)

（D）2

5 已知f(x)=，设F(x)=∫1x f(t)dt(0≤x≤2)，则F(x)为

( )．

6 设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f'(1)=( )．

（A）-1

（B）0．1

（C）1

（D）0．5

7 A是n阶矩阵，且A3=0，则( )．

（A）A不可逆，E-A也不可逆

（B）A可逆，E+A也可逆

（C）A2-A+E与A2+A+E均可逆

（D）A不可逆，且A2必为0

8 已知A=(a ij)，B=(b ij)m×n且有关系b ij=a ij+a ij b ik(i，j=1，2，…，n)．则下列关系式正确的是( )．

（A）A(B+E)=B

（B）(B+E)A=B

（C）B(A-E)=A

（D）(E-A)B=A

二、填空题

9 设常数=__________．

10 设z=xyf(y/x)，f(u)可导，则xz x'+yz y'=__________．

11 微分方程y''+y=-2x的通解为__________．

12 =__________．

13 在曲线y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y≥0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为__________．

14 设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，其中A=，层为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B：__________．

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15

16 证明：当0＜a＜b＜π时，bs inb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

17 假设(*)在[a，+∞)上连续，f''(x)在(a，+∞)内存在且大于零，记

F(x)=，证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．

18 设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

19 已知抛物线y=px2+qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S． (Ⅰ)问p和q何值时，S达到最大值?

(Ⅱ)求出此最大值．

20 设y+f(x+y)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求d2y/dx2．

21 设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分

22 设A为n阶实对称矩阵，f(A)=n，A ij是A=(a ij)n×m中元素a ij(i，j=1，2，…，n)

的代数余子式，二次型f(x1，x2，…，x n)= (Ⅰ)记X=(x1，x2，…，x n)T，把f(x1，x2，…，x n)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1； (Ⅱ)二次型g(X)=X T AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

23 设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1=1，λ22，λ3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为，求A nβ．