《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》导学案(新部编)3
《3.1.2 空间向量的数乘运算》教学案3
《3.1.2 空间向量的数乘运算》教学案3［教学目标］：１.知识与技能：正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算率；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用。
２.过程与方法：经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法。
３.情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流等教学环节的设置，不断体验“成功“，激发学的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；⒉通过类比思想和方法的应用，让学生感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.[教学重点]：共线向量概念、基本定理及推论．[教学难点]：共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定[教学方法]：启发引导式+讲练结合本节学习的关键是启发学生理解共线向量的定义，理解定义之后便可引导学生推导共线向量基本定理及推论，然后通过习题加深学生对于空间共线向量的认识.［教学过程］：一．复习上一节课,我们借助＂类比思想＂把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.(1) 加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则(2) 运算率加法交换率及结合率注意:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
二：创设问题情境，引入新知．我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算率.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．三．新课讲解．１.空间向量数乘运算的定义倍长度的大小：是零向量时，＝ 当方向相反；与时，＜ 当方向相同；与时，＞方向：当结果仍然是一个向量注：的乘积，即与空间向量 实数||)3(000)2()1(λλλλλλλλλλ２.数乘运算的运算律显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律思考： λ与之间的关系？所在直线之间的关系？进而引出共线向量定义。
人教A版数学选修21 3.1.2《空间向量的数乘运算》优秀教学设计(4页)
《空间向量的数乘运算》教学设计浙江省象山县第三中学俞建阳［教学内容解析］空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.本节课是空间向量教学的第二节课，在本章的教学中有着十分重要的承接作用，一方面，是将向量工具在空间背景下的进一步拓展和推广，另一方面，本节课仍是从向量角度即形的角度进行教学，却为后续的空间向量基本定理与之后从数的角度来学习空间向量打下了基础.［学生学情分析］1.知识储备学生在必修四中就已经学习了平面向量及其运算，空间向量的学习是为引导学生实现对向量本质的认识，从而实现从平面到空间的突破.2．心理储备学生在学习了空间向量与其加减法后，与之前相比，对向量的认识有了很大的提升，也会使得学生产生能否进一步将平面向量的其他的运算在空间向量中类比推广的困惑，正是这种心理上的困惑和需求，这节课的学习将更能让学生对数学知识的发展与联系有足够的认识，以及对知识的探求有更大的欲望.［教学目标设置］1、知识与技能目标:学生能正确掌握空间向量的数乘运算；能根据向量关系确定三点共线；能根据向量关系确定三向量共面或四点共面.2、方法与过程目标:学生能通过自主探究,合作交流，体会类比等数学思想方法,提升类比、分析以及研究问题的能力.3、情感态度与价值观: 学生在自主探究、合作交流的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，提高对数学学习的兴趣与信心.并能进一步体会向量中所蕴含的哲学原理：两点论与重点论辩证统一、事物是普遍联系的、事物是变化发展的、透过现象认识本质.［教学重点］共面向量的定义与在四点共面问题证明中的应用.［教学难点］共线向量到共面向量的类比构架.［教学策略分析］课堂设计以点的数目为隐藏主线，以问题链的方式，通过问题引导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，使得学生在平面向量及其运算基础上，自主探究空间向量的数乘运算的生成过程及应用，从而能更加深入的理解向量的本质与在空间中的适用性，实现了在探索中发现数学本质，体会数学建构的乐趣.［教学过程］一、开门见山，直入课题师：在前一节课上，我们通过类比，发现空间向量的本质与平面向量的本质没有区别，都是有大小有方向的有向线段.并且平面向量的加减法也适用于空间向量.那么今天，我们就一起来进一步探究一下平面向量的数乘运算是否也能类比推广到空间中呢？二、回顾旧知，类比迁移问题1：什么是平面向量的数乘运算.一个任意实数λ与一个向量的乘积，结果λ仍旧是一个向量.设计意图：温故知新，为新定义寻找知识的生成点.师生活动：教师提出问题，学生回答．问题2：与λ的模长和方向分别有什么关系.λ=，方向任意反向；同向；,0,0,0=<>λλλ.两向量平行.设计意图：温故知新，为新定义寻找知识的生成点.师生活动：教师提出问题，学生回答．2.探究空间向量的数乘运算问题3：在空间向量中存在上述关系么？如何用向量的本质解释.设计意图：从根本概念上认识空间向量，进一步得到空间向量的数乘运算师生活动：学生口述理由，教师补充整理.问题4.1：若设a b λ=，那么在空间中与各自所对应的有向线段所在的直线的位置关系又是怎样的呢？问题4.2：若在空间中a b 与各自所对应的有向线段所在的直线既不平行也不重合，a b 与会平行么？设计意图：明确当我们说a b 与共线时，表示两者的两条有向线段既可能是同一条直线，也可能是平行直线；当我们说b a //时，也具有同样的意义.并整理得到直线方向向量的概念.师生活动：学生探讨概括得出共线向量的定义，教师整理.问题5：如何在空间中刻画一条直线？设计意图： 通过确定一点＋直线方向，深化方向向量的概念，并进一步衔接共线向量师生活动：学生口答，教师整理补充生：两点确定一条直线师：在上一章节解析几何的学习中我们用两定点来刻画一条直线，也用一点+方向来刻画一条直线，而这个方向我们用的是倾斜角和斜率.现在在空间中倾斜角和斜率也可以用么？生：不能了，难以确定.师：那有什么可以帮助我们刻画直线方向呢？生：直线的方向向量.问题5.1.若直线l 是空间中过点A 的一条直线，l 的方向向量是,若P 是l 上的一个动点，判断与的位置关系.设计意图:从数乘角度进一步深化共线向量与方向向量师生活动：学生思考、讨论，师生交流.问题5.2. 若在空间中又取一点B ，如何用向量的办法判定点B 在不在直线AP 上呢？ 问题5.3.若在空间中任取一点O ，则= .设计意图:整理出空间中直线的向量表达式师生活动：学生思考、讨论，师生交流.问题6.1：若B 不在直线AP 上，此时OP uuu r 与AB 共面么？设计意图：自然过渡到共面向量的探讨.师生活动：学生思考、讨论，师生交流.问题6.2：空间中任意三个向量OP uuu r ,OA u u u r ,OB uuu r 也一定共面么？设计意图：运用类比的方法讨论，总结共面向量的定义.师生活动：学生探讨概括得出共面向量的定义，教师整理.问题6.3：若在空间中又取一点C ，且AB u u u r ,AC u u u r 不共线,如何用向量的方法判定点C 在不在平面APB 上呢？设计意图：运用类比的方法讨论，总结三向量共面或四点共面中平面向量基本定理的应用. 师生活动：学生思考、讨论，师生交流.问题7：类比空间中确定一条直线，试探究如何在空间中确定一个平面.设计意图：深化对类比方法的应用与思考.师生活动：学生思考、讨论，师生交流.三、定义应用，巩固提高1.非零向量21,e e 不共线，使21e e k +与21e k e +共线的k = .设计意图：通过练习学习加深对定义的理解，认识到根据向量共线定义可以解决简单的求参数问题.师生活动：先通过学生思考，让学生回答解题的步骤，然后完成解题过程.2.在“（）”中填上适当的数，使M 与C B A ,,三点共面1).++=OB OA OM 2（）OC 2)MA MB MD ++=u u u r u u u r u u u u r （）CD设计意图：通过练习进一步学习加深对共面向量的理解师生活动：先通过学生思考，让学生回答解题的步骤，然后完成解题过程.3.如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OD OC OB OA ,,,，在四条射线上分别取点H G F E ,,,，并且使 k OD OH OC OG OB OF OA OE ====，求证H G F E ,,, 四点共面.设计意图：通过练习进一步学习加深对共面向量的理解师生活动：先通过学生思考，让学生回答解题的步骤，然后完成解题过程.四、归纳总结，提炼提升1、空间向量的数乘运算.2、共线向量的定义与应用.3、共面向量的定义与应用.4、类比法的应用与实践经验.5、哲学思想的提炼总结.设计意图：通过学生总结、教师补充与提炼，深化内容，这既是对整节课堂教学的回顾，又能对教学效果及时反馈评价.五、实践作业，深化巩固1、看书并完成课后练习.2、思考：1).共线，时，共点；当与时当AB AP R n B P n AB n AP ∈==,1,;2).共面，时，共点；当时当AC AB AP R y x C B P y x AC y AB x AP ,,,,,1,∈=++=;试类比1）、2）两结论将3）补充完整3）当,AD z AC y AB x AP ++= ；,,,时当R z y x ∈ .设计意图:通过作业给学生再次实践的机会，也可以让教师根据作业情况对学生新的知识的落实作出判断.思考题给学生以新的挑战，从而引出空间向量基本定理的内容.。
《3.1.2 空间向量的数乘运算》教学案1
《3.1.2 空间向量的数乘运算》教学案1 教学目标1.知识与技能了解空间向量基本定理及其推论，理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示；2.过程与方法通过分析、推导让学生理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出示。
3.情感、态度与价值观通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
教学重点共线、共面定理及其应用教学难点共线、共面定理及其应用教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程：活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量？空间向量的分类？空间向量的加减运算？问题2：说说平面向量的数乘运算：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.问题4：关于向量的数乘有哪些运算律呢？(1)λ(μa)= (λμ)a(2) (λ+μ)a＝λa+μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb问题5：什么叫平行向量？共线向量？今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的数乘以及共线的运算率并进行一些简单的应用．点题：今天我们学习“空间向量的数乘运算”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、空间向量1、数乘： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0.2、数乘运算律：(1) 分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；(2)结合律：λ(μa)= (λμ)a3、共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
空间向量及其加减与数乘运算导学案3
3.1.1～3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算教学目标：（1）学生通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。
（2）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思想方法，并体验数学在结构上的和谐性。
预习探究案 1.在 ，我们把 ，叫做空间向量. ____________叫做向量的长度或模. 2.与平面向量一样，空间向量也用表示，此表示法为空间向量的 .如右图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作 ， 也可记作 .其模长记为__________或 . 3. 叫做零向量，记为 ,零向量的方向是 .当有向线段的起点A 与终点B 时，0AB = 4. 的向量称为单位向量.5.与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为-a .6. 的向量称为相等的向量.因此，在空间， 的有向线段表示或 .7.类似于平面向量，定义空间向量的加减运算如OB = = ,AB = = .推广: . 8.交换律： ;结合律： .9.实数λ与a的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为：(1)长度是 .(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . 10.空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.分配律： . 结合律： .11、对于空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b 的充要条件是 。
称它为共线向量定理。
12、如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是 。
称为共面向量定理。
13、已知点Ｍ在平面ＡＢＣ内，并且对于空间任一一点Ｏ，1133OM xOA OB OC =++例1. 1. 花简: AB CD BC ++= . AP MN NP +-= .EF OF OE +-= .2 已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++；③12AB AD CC '++； ④ 1()3AB AD AA '++3 若 ，求x.变式：在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ，△BCD 的重心为G ，① z y x ++=求x 、y 、z.② 求证： .=++++-n n A A A A A A A A 1433221 2AD BD xAC ''-=1()3AG AB AC AD =++例2： 设12e e 、是平面上不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线，求k 的值。
数乘运算Microsoft Word 文档
3.1.2空间向量的数乘运算导学案使用说明：1、先仔细阅读教材86—89页，有针对性的二次阅读教材。
2、限时25分钟，规范完成预习，探究案部分。
3、A层掌握好导学案，并完成好课后题，B层完成好导学案和课后题，C层完成好学案。
学习目标：（1）掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线向量的意义。
（2）理解共线向量的定理和共面向量的定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题。
（3）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思想方法，并体验数学在结构上的和谐性。
学习重点：空间向量的数乘运算，共线问题，共面问题。
学习难点：空间向量三点共线与四点共面问题。
预习案一．新知预习1.定义:实数λ与空间向量a的乘积任然是一个称为向量的数乘运算。
2.向量a与λa的关系3.空间向量的数乘运算律设,λμ是实数，则有：①分配率：λ（a+b）=②结合律：3.共线向量与共面向量探究案探究一 空间向量的数乘运算1,、空间向量的数乘运算是线性运算的一种，其实质是空间向量的加减运算。
2、利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则，平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量。
例1：如图所示，已知正方体''''ABCD A B C D -,点E 是上底面''''A B C D 的中心,求下列各式中x ，y ，z 的值。
(1)''BD xAD yAB zAA =++（2）'AE xAD yAD zAA =++探究二 空间向量共线定理的理解应用1、判定共线:判定两向量a ，b （b ≠0）是否共线，即判断是否存在实数λ，使a =λb 。
2、求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用“若a ∥b ，则a=λb(R λ∈)”.3、判定或证明三点（如P,A,B ）是否共线; (1)考察是否存在实数λ，使PA PB λ=;(2)考察对空间任意一点O ，是否有OP OA t AB =+；(3)考察对空间任意一点O ，是否有(1)OP xOA yOB x y =++= 例2、设12,e e 是空间两个不共线的向量，若121212,54,2,AB e ke BC e e DC e e =+=+=--且A,B,D 三点共线，则实数k=探究三 空间向量共面定理的理解应用1. 利用向量法证明点共面，线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化。
高中数学《空间向量的数乘运算》导学案
3.1.2空间向量的数乘运算1．空间向量的数乘运算(1)定义：□01实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向□02相同λ＝0λa＝0，其方向是任意的λa的模是a的模的□04|λ|倍λ<0方向□03相反(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①分配律：λ(a＋b)＝□05λa＋λb.②结合律：λ(μa)＝□06(λμ)a.2．共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量(2)共面向量1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()(3)如果OP→＝OA→＋t AB→，则P，A，B共线．()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.(2)已知b＝－5a(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________．(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，若AE→＝x AA1→＋y(AB→＋AD→)，则x＝______，y＝______.(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12( BD→＋BC→)等于________．答案(1)－57(2)10相反(3)114(4)AG→解析(4)AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12×(2BG→)＝AB→＋BG→＝AG→.探究1空间向量的数乘运算例1已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)OQ→＝PQ→＋y PC→＋z PA→；(2)PA→＝x PO→＋y PQ→＋PD→.[解] (1)如图，∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PC→－12PA→，∴y＝z＝－12.(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴PA→＋PC→＝2PO→，PC→＋PD→＝2PQ→，∴PA→＝2PO→－PC→，PC→＝2PQ→－PD→，∴PA→＝2PO→－2PQ→＋PD→，∴x＝2，y＝－2.拓展提升利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．【跟踪训练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC 的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝x AB→＋y AD→＋z AA1→，试求实数x，y ，z 的值．解 (1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)连接AE ，则EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.探究2 共线向量例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 连接EF ，EB ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， ∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →. ∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→) ＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， ∴EF →＝25EB →，∴E ，F ，B 三点共线．[条件探究] 将例2的条件改为“O为A1C上一点，且A1O→＝23A1C→，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线．证明连接AO，AC1，A1C1.∵A1O→＝23A1C →，∴AO→＝AA1→＋A1O→＝AA1→＋23A1C→＝AA1→＋23(A1A→＋AC→)＝13AA1→＋23AC→.∵AC→＝2AM→，AA1→＝AC1→＋C1A1→＝AC1→－AC→＝AC1→－2AM→，∴AO→＝13(AC1→－2AM→)＋43AM→＝13AC1→＋23AM→.∵1 3＋23＝1，∴C1，O，M三点共线．拓展提升1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA→＝λPB→成立．(2)对空间任一点O，有OP→＝OA→＋t AB→(t∈R)．(3)对空间任一点O ，有OP →＝x OA →＋y OB →(x ＋y ＝1)．【跟踪训练2】 已知向量e 1，e 2不共线，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－3e 1＋8e 2，判断a 与b 是否共线．解 设a ＝λb ，即3e 1＋4e 2＝λ(－3e 1＋8e 2)， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝3，8λ＝4无解．∴不存在λ，使a ＝λb ，即a 与b 不共线． 探究3 共面向量例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．[证明] 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ， 所以OE →＝k OA →，OF →＝k OB →，OG →＝k OC →，OH →＝k OD →. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，因此EG →＝OG →－OE →＝k OC →－k OA →＝k AC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面． 拓展提升证明向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c，则向量a，b，c共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．(2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面①MP→＝x MA→＋y MB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋x MA→＋y MB→；③对空间任一点O，OP→＝x OA→＋y OB→＋z OC→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→，或PB→∥AM→)．【跟踪训练3】(1)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.答案2 15解析∵点P与A，B，C三点共面，∴1 5＋23＋λ＝1，解得λ＝215.(2)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.①判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内．解①∵OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)＝BM→＋CM→，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴向量MA→，MB→，MC→共面．②由①知向量MA→，MB→，MC→共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．1.四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有OP→＝x OA→＋y OB→＋z OC→，且x＋y＋z＝1.2.OP→＝OA→＋x AB→＋y AC→称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.3.证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB→＝λBC→(或AB→＝λAC→)即可，也可用“对空间任意一点O，有OC→＝t OA→＋(1－t)OB→”来证明A，B，C三点共线.4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝x MA→＋y MB→，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.1．给出下列命题：①a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a ＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；④有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB→＋CA→＝2a，则C∈l.其中正确的命题是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③答案C解析由向量相等与起点无关易知①正确；由向量的数乘运算满足分配律及向量的加减运算满足交换律和结合律易知②正确；③中轨迹形成的几何体是平行六面体，不一定是正方体，③错误；由AB→＋CA→＝CA→＋AB→＝CB→＝2a知CB→与l直线平行，又B在l上，所以C∈l，故④正确．故选C.2．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D答案A解析由已知可得AB→＝a＋2b，BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b，所以BD→＝2AB→，即BD→，AB→是共线向量，所以A，B，D三点共线．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝x OA →＋12OB →＋16OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13 答案 D解析 ∵OM →＝x OA →＋12OB →＋16OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋12＋16＝1，x ＝13.4．在平行六面体ABCD －EFGH 中，若AG →＝x AB →－2y BC →＋3z DH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56 D ．1 答案 C解析 由于AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，对照已知式子可得x ＝1，－2y ＝1,3z ＝1，故x ＝1，y ＝－12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝56.5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有( ) ①平面内的任意两个向量都共线；②若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )； ③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； ④空间中的任意三个向量都共面． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 A解析 ①显然不正确．②不正确，由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb .③正确，a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/a ＝b .④不正确，由共面向量的充要条件知可以化成p ＝x a ＋y b 的三个向量共面． 2．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝m OA →＋n OB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈直线ABB ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对答案 A解析 因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋n OB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝n AB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .3．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线 D ．m ，n ，p 共面 答案 D解析 由于(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋12n ，又m 与n 不共线，所以m ，n ，p 共面．4. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c . 5．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，且平面ABC 中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC → 答案 C解析 连接AP ，∵A ，B ，C ，P 四点共面，∴可设AP →＝x AB →＋y AC →，即OP →＝OA →＋x AB →＋y AC →，由题图可知x ＝3，y ＝－2.6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A →，D 1C →，A 1C 1→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 如图所示，因为D 1C →－D 1A →＝AC →，而AC →＝A 1C 1→， 所以D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→，即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→.而D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面． 二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________.答案 －13i ＋2j ＋7k解析 4a －3b ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12i －j ＋k －3(5i －2j －k )＝2i －4j ＋4k －15i ＋6j ＋3k ＝－13i ＋2j ＋7k .8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.三、解答题9．在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．解∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴GE→＝1BE→.3又1AC→＝12(DC→－DA→)＝12DC→－12DA→＝DE→－DF→＝FE→，2∴AG→＋1BE→－12AC→＝AG→＋GE→－FE→＝AF→(如图所示)．3B级：能力提升练如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD 的中点，证明：PB∥平面ACM(用向量法)．证明∵M是PD的中点，∴PM→＝MD→.又∵PB→＝PM→＋MA→＋AB→＝PM→＋MA→＋AC→＋CB→＝PM→＋MA→＋AC→＋DA→＝PM→＋MA→＋AC→＋MA→－MD→.∴PB→＝2MA→＋AC→.∴PB→，MA→，AC→共面．又∵PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM.。
高二数学选修2《空间向量的数乘运算》导学案
第三章 空间向量与立体几何3.1.2 空间向量的数乘运算一、学习目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立体几何问题.【重点、难点】重点：空间向量的数乘运算及运算律；难点：用向量解决立体几何问题.二、学习过程【复习回顾】(1)平面向量有加减运算，空间向量也有；平面向量有数乘运算，那空间向量有吗？它们相同吗？(2)向量经加法以后仍然是向量，经减法运算以后也是向量，那经数乘运算以后呢?【探究新知】1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个 ，称为向量的数乘运算．(2)向量a 与λa 的关系.λ的范围 方向关系 模的关系λ>0 方向λa 的模是a 的模的 倍λ＝0 λa ＝0，其方向是任意的 λ<0 方向 (3)空间向量的数乘运算律设λ、μ是实数，则有①分配律：λ(a ＋b )＝ ; ②结合律：λ(μa )＝ .2．共线向量与共面向量共线(平行)向量 共面向量定义 表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于 的向量叫做共面向量充要 条件 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb 若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb推论 如果l 为经过点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋ta①，其中a 叫做直线l 的方向向量如图所示． 若在l 上取AB →＝a ，则①式可化为OP →＝OA →＋tAB →如图，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)，使AP →＝xAB →＋yAC →，或对空间任意一点O 来说，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.【典型例题】例1． 已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.例2．如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.利用向量法求证四边形EFGH 是梯形．例3. 如图所示，P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连结MN ，NQ ，QR ，RM .应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．例4.已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是对角线AC ，A 1D 的三等分点，且满足AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →.记AB →＝a, AD →＝b ，AA1→＝c ，试用a ，b ，c 来表示向量MN →.【变式拓展】1. 在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )．A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 2. 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．试问：A 、B 、D 是否共线，请说明理由．3. 已知平行四边形ABCD (如图)，从平面AC 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →，求证：(1)四点E 、F 、G 、H 共面； (2)平面EG ∥平面AC .三、总结反思1．向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a ，b 共线时，表示a ，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a ∥b 时，也具有同样的意义．(2)“共线”这个概念具有自反性a ∥a ，也具有对称性，即若a ∥b ，则b ∥a .(3)如果应用上述结论判断a ，b 所在的直线平行，还需说明a (或b )上有一点不在b (或a )上．AB ＝λBC →或AB ＝μAC →即可．也可用“对空间任意一点O ，有OB →＝tOA →＋(1－t )OC →”来证明三点共线．2．向量共面的充要条件的理解MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．四、随堂检测1．设空间四点O ，A ，B ，P 满足,OP mOA nOB =+其中m+n=1，则（ ）A ．点P 一定在直线AB 上B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D. AB 与AP →与AP →的方向一定相同2．如图所示,平行六面体A 1B 1C 1D 1- ABCD ，M 分AC 成的比为12，N 分A 1D →成的比为12，N 分A 1D →成的比为2，设AB ＝ a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a 、b 、c 表示MN .3. 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .。
3.1.2 空间向量的数乘运算(1)(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.2空间向量的数乘运算（1）一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、知识与技能：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法2、过程与方法：理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．3、情感、态度与价值观：理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
三、教学重点：空间向量数乘运算及运算律．四、教学难点：运用共线向量定理和共面向量定理及其推论证明空间向量的共线和共面的问题五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究复习引入（1）. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，新课讲授（1）.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a //b．（2）．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.理解：1）上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
《3.1.2 空间向量的数乘运算（1）》导学案3 学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简： ⑴ 5（32a b -r r ）+4（23b a -r r
）；
⑵ ()()
63a b c a b c -+--+-r r r r r r .
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量,a b r r ， 若b r 是非零向量，则a r 与b r
平行的充要条件是
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量,a b r r （0b ≠r r ）， //a b r r
的充要条件是存在唯一实数λ，使得
推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是
试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r
()
3CD a b =-u u u r r r
，求证: A,B,C 三点共线.
反思：充分理解两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中的0b ≠r r
，注意零向量与任何向量共线.
※ 典型例题
例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r
，且x +y ＝1，试判断
A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r
，那么t ＝
例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C
上，且CG:GA '
=2:1,设CD u u u r =a r ，',CB b CC c ==u u u u r u u u r r r ，试用向量,,a b c r r r 表示向量',,,CA CA CM CG u u u r u u u r u u u u r u u u r .
变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式：
⑴ 'AA CB -u u u r u u u r ; ⑵ '''
''AB B C C D ++u u u u r u u u u r u u u u r
⑶ '
111222AD AB A A +-u u u r u u u r u u u r
变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得：
22OP OA AB AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
⑴32OQ OA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ⑵
⑶32OR OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r 23OS OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r
. ⑷
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
练1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量a r 与非零向量b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r
共线；
B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；
C. 任意两个共线向量相等；
D. 若向量a r 与b r
共线，则a b λ=r r .
2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++r r r r r r ，0a ≠r r ，若//a b r
r ，求实数.x
三、总结提升 ※ 学习小结
1.空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）
A.a r 与非零向量b r 共线,b r 与c r 共线，则a r 与c r
共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量a r 与b r
共线，则a b λ=r r
2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若'
'BB xAD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ,
则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP u u u r OA u u u r + OB u u u r
.
4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++=u u u r u u u
r u u u r
AO u u u r
5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r r u u u r r r
，则与'B M u u u u r
相等的向量是（ ）
A. 1122a b c -++r r r ；
B. 1122a b c ++r r r ；
C. 1122a b c -+r r r ；
D. 1122a b c --+r r r .。