等差数列前项和

2.若 p+q=r+s(p、q、r、sN*), 则 ap+aq=ar+as . 特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap . 3.等差中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 A, 使 a、A、b 成等差 差数列, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项. A= a+b . 2 4.顺次 n 项和性质 若 {an} 是公差为 d 的等差数列, 则 k=1 ak, k=n+1 ak, ak 也成等 k=2n+1 2d. 差数列, 且公差为 n
3.已知 {an} 是等差数列. (1)前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且 各项和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n; (3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为 33, 求数列的中间项和项数. 解: (1)设数列的项数为 n, 依题意得: a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, 且有: Sn=286, a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3. ∴4(a1+an)=21+67=88. ∴a1+an=22. ∴由 n(a1+an)=2Sn=2286 得: n=26. 故所求数列的项数为 26. (2)∵Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 成等差数列, ∴S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
四、Sn的最值问题
an≥0, 1.若 a1>0, d<0 时, 满足 an+1≤0.
an≤0, 2.若 a1<0, d>0 时, 满足 an+1≥0.
二 次 函 数
注: 三个数成等差数列, 可设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
n 2n 3n
5.已知 {an} 是公差为 d 的等差数列
S奇 n+1 (1)若 n 为奇数, 则 Sn=na中 且 S奇-S偶= a中, S = n-1 . 偶 (2)若 n 为偶数, 则 S偶- S奇= nd . 2
6.若 {an}, {bn} 均为等差数列, 则 {man}, {mankbn} 也为等差 数列, 其中 m, k 均为常数. 7.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 {bn} 的 S2n-1 an 前 2n-1 项和为 T2n-1, 则 =b . T2n-1 n
Sn 7n+2 5.等差数列 {an}, {bn} 中, 前 n 项和分别为 Sn, Sn, 且 S = n+4 , n a5 求 . b5 解: ∵{an}, {bn} 是等差数列, ∴它们的前 n 项和是关于 n 的二次函数, 且常数项为 0, ∴可设 Sn=kn(7n+2), Sn =kn(n+4), ∴a5=S5-S4=65k, b5=S5-S4 =13k. a5 65k ∴ b = 13k =5. 5 a1+a9 a1+a9 9 S a5 2 2 79+2 = 65 =5. 9 或 b = b +b = b +b = S = 9+4 13 1 9 9 1 9 9 5 2 2
11.已知数列 {an} 是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, a3=7, S4=24. (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)设 p, q 是正整数, 且 pq, 证明: 1 Sp+q< 2 (S2p+S2q). (1)解: 设等差数列 {an} 的公差为 d, 依题意得: a1+2d=7 且 4a1+6d=24. 解得: a1=3, d=2. ∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1. 故数列 {an} 的通项公式为 an=2n+1. (2)证: 由 (1) 知 an=2n+1, ∴Sn=n2+2n. ∵2Sp+q-(S2p+S2q)=2[(p+q)2+2(p+q)]-(4p2+4p)-(4q2+4q) =-2(p-q)2. 又 pq, ∴2Sp+q-(S2p+S2q)<0. 故 Sp+q< 1 (S2p+S2q). 2
∴S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54. S奇+S偶=Sn, Sn=77, (3)依题意 S奇-S偶=a中, a中=11, 解得: a中=11, n=7. Sn=na中. Sn=na中.
4.在等差数列 {an} 中, 已知 a1=20, 前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15. (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时, Sn 有最大值, 并求它的 最大值. 5 (1)Sn=- 6 (n2-25n); (2)当且仅当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值, 最大值为130. Sn 7n+2 5.等差数列 {an}, {bn} 中, 前 n 项和分别为 Sn, Sn, 且 S = n+4 , n a5 求 . b5
8.已知等差数列 {an} 的首项是 2, 前 10 项之和是 15, 记An=a2 +a4+a8+…+a2n (nN*), 求 An 及 An 的最大值. 解: 求 An 的最大值有以下解法: 法2: 若存在 nN* 使得 An≥An+1 且 An≥An-1, 则 An 的值最大. ∵ An = 1 (19n+2-2n+1), 9 An≥An+1 19n+2-2n+1≥19(n+1)+2-2n+2 ∴ An≥An-1 19n+2-2n+1≥19(n-1)+2-2n 解得: 9.5≤2n≤19(nN*)n=4. 故取 n=4 时, An 的值最大, 其最大值为: {An}max= 1 (194+2-24+1)= 46 . 9 9
证: (2) (1)的逆命题为: 两个数列 {an} 和 {bn} 满足: a1+2a2+…+nan bn= 1+2+…+n , 若 {an} 为等差数列, 则数列 {bn} 也是等差数列. 证明如下: ∵{an} 是等差数列, ∴可设 an=an+b(a, b 为常数). ∴nan=an2+bn. ∴a1+2a2+…+nan=a(12+22+…+n2)+b(1+2+…+n). 1 an(n+1)(2n+1)+ 1 bn(n+1) a1+2a2+…+nan 6 2 ∵bn= 1+2+…+n = 1 n(n+1) 2 1 a(2n+1)+b. =3 ∴ bn+1-bn= 2 a, 为常数. 3 故数列 {bn} 也是等差数列.
∵b1=-29, 公差 d=2, ∴T15=15(-29)+1572=-225.
故所求前 n 项和的最小值为 -225.
7.数列 {an} 的前 n 项和为 Sn=npan(nN*), 且 a1a2, (1)求常 数 p 的值; (2)证明数列 {an} 是等差数列. (1)解: 当 n=1 时, a1=pa1, 若 p=1, 则当 n=2 时有 a1+a2=2pa2=2a2. ∴a1=a2 与 a1a2 矛盾. ∴p1. ∴a1=0.
典型例题
1 1 1.已知 a , 1 , c 成等差数列, 求证: b+c , c+a , a+b 成等差数列. b b a c 2.等差数列的前 n 项和为 Sn, 若 Sm=Sk(m≠k), 求 Sm+k.
3.已知 {an} 是等差数列. (1)前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且 各项和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n; (3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为#43;2a2+…+nan 10.两个数列 {an} 和 {bn} 满足 bn= 1+2+…+n , 求证: (1)若 {bn} 为等差数列, 则数列 {an} 也是等差数列; (2) (1)的逆命题也 成立. 证: (1)由已知得 a1+2a2+…+nan= 1 n(n+1)bn. ① 2 ∴a1+2a2+…+nan+(n+1)an+1= 1 (n+1)(n+2)bn+1. ② 2 将 ② 式减 ① 式化简得: an+1= 1 (n+2)bn+1- 1 nbn. 2 2 ∵{bn} 为等差数列, ∴bn-1=2bn-bn+1, bn+1-bn 为常数. ∴an= 1 (n+1)bn- 1 (n-1)bn-1= 1 (n+1)bn- 1 (n-1)(2bn-bn+1). 2 2 2 2 ∴an+1-an= 1 (n+2)bn+1- 1 nbn- 1 (n+1)bn+ 1 (n-1)(2bn-bn+1) 2 2 2 2 = 3 (bn+1-bn) 为常数. 2 故数列 {an} 也是等差数列.
8.已知等差数列 {an} 的首项是 2, 前 10 项之和是 15, 记An=a2 +a4+a8+…+a2n (nN*), 求 An 及 An 的最大值. 解: 设等差数列 {an} 的公差是 d, 由已知: a1=2 且 10a1+45d=15. 1 解得: a1=2d=- 9 . ∴An=a2+a4+a8+…+a2n=na1+d[1+3+7+…+(2n-1)] =na1+d(2+22+23+…+2n-n) 1 ( 2n2-2 -n) = 1 (19n+2-2n+1). =2n- 9 2-1 9 求 An 的最大值有以下解法: 法1: 由 a1>0, d<0, 则有 a1>a2>…>ak≥0>ak+1>…. 由 ak=2- 1(k-1)≥0 得 k≤19. 由 k=2n≤19(nN*) 得 n≤4. 9 即在数列 {a2n} 中, a21>a22>a23>a24 >0>a25>…. ∴当 n=4 时, An 的值最大, 其最大值为: {An}max= 1 (194+2-24+1)= 46 . 9 9