几个非局部非线性可积方程的解及其性质
《关于形变的SUC、BUC方程族以及多分量可积系统的研究》范文
《关于形变的SUC、BUC方程族以及多分量可积系统的研究》篇一关于形变的SUC、BUC方程族及多分量可积系统的研究一、引言在物理学和数学的研究中，形变的SUC、BUC方程族及多分量可积系统是一类非常重要的研究对象。
这些系统具有丰富的物理背景和数学结构，是理解非线性现象、描述复杂系统行为的关键工具。
本文将探讨形变的SUC、BUC方程族的基本性质，以及多分量可积系统的研究进展。
二、形变的SUC方程族形变的SUC（S U-deformed Cascade）方程族是一类具有特殊性质的偏微分方程。
这类方程在非线性科学、量子力学、流体力学等领域有着广泛的应用。
SUC方程族的特点在于其形变特性，即在不同参数下，方程可以呈现出不同的形态和性质。
在研究形变的SUC方程族时，我们首先需要了解其基本形式和性质。
通过分析方程的解的结构和演化规律，我们可以了解其解的稳定性、周期性等特性。
此外，我们还需要探讨形变参数对解的影响，以及在不同参数下方程的相图和动力学行为。
三、BUC方程族BUC（B-type Unified Cascade）方程族是另一类重要的非线性偏微分方程。
与SUC方程族相比，BUC方程族具有不同的形式和性质。
BUC方程族在描述复杂系统中的非线性现象时，具有较高的精度和适用性。
研究BUC方程族时，我们需要关注其解的性质和演化规律。
此外，我们还需要探讨BUC方程族与其他非线性偏微分方程的关系，以及在不同领域的应用。
四、多分量可积系统多分量可积系统是一类具有多个分量的非线性系统。
这类系统在描述多粒子系统、多场耦合系统等复杂系统的行为时具有重要作用。
多分量可积系统的研究涉及到多个分量的相互作用和演化规律，以及系统的可积性质和对称性等。
在研究多分量可积系统时，我们需要关注其基本性质和演化规律。
通过分析系统的对称性、守恒律等性质，我们可以了解系统的动力学行为和稳定性。
此外，我们还需要探讨多分量可积系统与其他非线性系统的关系，以及在物理、数学等领域的应用。
西南交大数值分析非线性方程组的五种解法
西南交⼤数值分析⾮线性⽅程组的五种解法⽬录摘要 (2)1 绪论 (3)2 五种解法 (3)2.1 ⼆分法 (3)2.1.1 ⼆分法简介 (3)2.1.2⼆分法的MATLAB程序 (3)2.2 不动点迭代法（简单迭代法） (4)2.2.1 不动点迭代法简介 (4)2.2.2 不动点迭代法的MATLAB程序 (5)2.3 ⽜顿法 (5)2.3.1 ⽜顿法简介 (5)2.3.2 ⽜顿法的MATLAB程序 (5)2.4 简易⽜顿法 (6)2.4.1 简易⽜顿法简介 (6)2.4.2 简易⽜顿法的MATLAB程序 (6)2.5 割线法 (6)2.5.1 割线法简介 (6)2.5.2 割线法的MATLAB程序 (7)3 例⼦计算及⽐较分析 (7)4 结论 (11)参考⽂献 (12)摘要本论⽂介绍了⼆分法、不动点迭代法、⽜顿法、简易⽜顿法、割线法五种算法原理，然后进⾏了MATLAB编程，得到能求解⾮线性⽅程的根的程序。
本⽂分别⽤这五种⽅法的MATLAB程序对五个例⼦进⾏了计算，得到各种⽅法所需的迭代次数，迭代精度，迭代时间等，从⽽分析⽐较五种⽅法的优缺点。
关键词：⾮线性⽅程⼆分法简单迭代法⽜顿法简易⽜顿法割线法1 绪论在科学⼯作中经常出现这类问题，即求解⾮线性⽅程或⾮线性⽅程组—求x 使得f(x)=0或求X=(x1,x2,?,x n)T使得F(x)=0。
本论⽂采⽤5种⽅法即⼆分法、不动点迭代法（简单迭代法）、⽜顿法、简易⽜顿法、割线法，通过对原理的理解进⾏了MATLAB 编程，然后对⼏个例⼦进⾏各种解法计算，进⾏⽐较分析，从⽽发现各种算法的优势与不⾜，增加对各种算法的理解。
作者所使⽤的计算机配置如表1-1所⽰。
表1-1 计算平台简介2 五种解法2.1 ⼆分法2.1.1 ⼆分法简介若f是区间[a,b]的连续函数，且f (a) f (b) < 0，则f在[a,b]内必有⼀个零点。
因为f (a) f (b) < 0，所以函数f在区间[a,b]上改变符号，因此它在这个区间内⾄少存在⼀个零点。
非线性方程求解
A
D
L
U
24
数值分析
m1 m x B x gJ Jacobi法的迭代公式为 J
其中 BJ D 1 L U , g J D 1b
seidel法的迭代公式为
xm1 BS xm gS
其中 BS D L1U , gS D L1b
数值分析
第二讲
非线性方程及方程 组的解法
1
数值分析
求方程 f x 0 的根的数值解法：
⒈ 根的存在； ⒉ 隔离（划分，选取区间） ⒊ 精确化 近似解的收敛性、收敛速度
四个主要方法：
①对分法；②弦截法；③切线法；④迭代法
2
数值分析
1 对分法（二分法）
• 基本思想
步骤：设 f x 在 I 0 a0 , b0 上连续，f a0 f b0 0 ， 是给
其中 x0 ——初始近似， xn —— n 次近似，g x ——迭代 函数， ——映射不动点。
14
数值分析
定理4.3（局部收敛定理） 设 是 x g x 的根， g x 在 的某邻域内有连续的一阶导 数，且 g 1 ，则当 x0 充分接近 时，由 xn1 g xn 得到的 序列 xn 收敛于 。
15
数值分析
• 非线性方程求解的MALAB实现
[x,fval,exitflag,output]=fzero(’f’,x0,options)
x0是迭代初值或有根区间；f为方程左端的函数，f 在a,b处的值应异号；options为控制算法的参数向 量，可省略。 x是问题的解；fval为函数f在x处的函数值，可省略； exitflag用来描述程序运行的情况，若大于0，则表 示迭代收敛于x ；output为算法的迭代次数。
非线性代数方程组的解法
δ 1 = δ 0 + Δδ 1
11
(K1 )−1
=
Δδ 1 F1 − F0
= δ1 −δ0 ψ 1 −ψ 0
Δδ 2 = (K1)−1(R − F1)
………
(K i )−1 =
Δδ i Δψ i
=
δ ψ
i i
− δ i−1 −ψ i−1
(2.13)
显然 K i 就是相应于 Δδ i = δ i − δ i−1 与 Δψ i =ψ i −ψ i−1 的割线劲度。但实际上对于多维情
是对称矩阵。所以式（2.21）是对称秩 1 算法。 (2) 秩 2 算法
一个 N × N 阶的秩 2 矩阵，总可以表示为
[ ] 1T B2T
⎤ ⎥ ⎦
=
A1 B1T
+
A2 B2T
(2.22)
式中A1、A2、B1和B2均为N×1 维向量。将上式代入（2.14），再代入（2.15）得 A1B1T Δψi + A2 B2T Δψi = Δδi − (K i−1 )−1 Δψi
ψ(δi ) ≡ K (δi )δi − R ≠ 0
ψ(δ) 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
对于一个单变量问题的非线性方程，直接迭代法的计算过程如图 2.1 和图 2.2 所示，它
们分别给出 F~δ为凸和凹曲线时的迭代过程。可以看出 K(δ)就是过曲线上点(δ, F(δ)与原点
的割线斜率。对于单变量问题，这一迭代过程是收敛的，但对多自由度情况，由于未知量通
似解。若
ψi−1 = ψ(δi−1) ≡ F (δi−1) − R ≠ 0
希望能找到一个更好的、方程（2.4）的近似解为
δ = δi = δi−1 + Δδi
非线性方程求解
32间2581缩- 小+ 到1. 容[1.许误差范围之间, 然后取中点为根x*的近似值. 具体做法
e有 5例2(定逐3若5为其若若若ik651,i则i=一64理步2区)45x求 得极个14搜 间 :中 区 区 区k-方设迭限x根 索[--a*[程x代为i,法a间间间-(a*1k-区 x结x是0,i=的,b=或*.0bi果间方:e-,主[[[1111-因..x]aaa,如(]程2要a的在=b为,,iii…下xb---根中xi=)111[称=):g(据,,,a表点1(bbb为ix.0是示x)=的iii隔 i,满---下各b1111根根足列]]]步0,,区的的的在]2f定的(x间x,理i迭*)3,f中中中的(:代隔b,[某i…误-根a1点点点一)1差区=,邻0….间b,则xxx域(1axiiig)],满 满 满*b(是x)=上)的x的足足足im.区任[(am何fff间>2(((一1,xxa)b阶个iii[-2))1a]ff)i((f-bb1(,xiib--11…ii)))-<1=<]…000的,,,则则则中axa[点ii*=a=i-=.a1x,iib-x,1ii,b-.1bi]=i=bx[i-a1i.i.,bi]
二、二分法
由用迭代 二过程分法求方程f(x收)敛=于0x的*. 实根x*的近似值的基本思想: 逐步将含有x* 的区间二分, 通过判断函数值的符号, 逐步对半缩小有根区间,直到区 逐步搜索法的主要根据是下列定理:
具体做法为: [a,b]=[a0,b0] [a1,b1] [a2,b2] …… [ai-1,bi-1] [ai,bi] ……
354)内38的根2+,要求1精1..确2到5 小数点后-第二位,用四1.位3小12数5计算. -
1.375
+
一类非局部Fisher-KPP方程解的局部存在性
t
∫ u(·，t) = G(·，t) * u0 + ( uα(·，s) ( 1 － k* fβ(·，s) ) ) * G(·，t － s) ds，
（ 3）
0
其中 G( x，t) =
e－Βιβλιοθήκη x2 4tN 是热核．
( 4πt) 2
～
接下来将证明存在 T0 ∈ ( 0，T) 使得 f∈XT0，u： = Φ( f) ∈ XT0． 在（ 2） 的两端乘以 u p－2u，结合 Young 不等式，可以得到
1
这里的 M = k ‖u0 ‖L1( ＲN) ∩L∞ ( ＲN) ，当 α ＞ 1 的时候，k = max{2，2α－1 } ，当 α = 1 的时候，k = 2． 任给 f ∈
XT，定义 Φ： = f ∈ XT → u ∈ XT，则 u 为初值问题
{u = Δu + uα( 1 － k* fβ) ，x ∈ ＲN，t ∈ ( 0，T) ， t
本文研究如下 Fisher-KPP 方程：
u = Δu + uα( 1 － k* uβ) ，xＲN，t（ 0，T） ，
（ 1）
t
∫ 其中 α ≥ 1，β ≥ 1 为常数，k( x) ≥ 0 为核函数，满足 k( x) ∈ L1( ＲN) ， k( x) dx = 1， ＲN ∫ k* uβ( x) = k( x) uβ( x － y) dy． ＲN
摘 要： 本文运用 Banach 不动点定理研究了一类 ＲN 上的非局部 Fisher-KPP 方程在给定初值条件下解的局 部存在性，唯一性和非负性． 关键词： 非局部 Fisher-KPP 方程； 局部存在性； Banach 不动点定理； 唯一性； 非负性 中图分类号： O175. 1 文献标识码： A 文章编号： 1005-8036（ 2019） 02-0093-04
第九章 非线性方程的数值解
1 引例：贷款的利率 现实生活中，许多人会向银行贷款，比如为了买房 或者买车，然后，在若干年内分期还款。这必须按一 定的贷款利率付给银行利息。假如，某人向银行贷款 25万，30年内每月按1435元还款。那么，这例贷款的 年利率是多少？ 有人可能会这样计算 年利率=(30×12×0.1435-25)/30/25=3.55% 但这是错误的，因为你并不是等到30年后一次还款。
f ( k 1) (a) 0
(k ) f (a) 0 称为 a 为 k 重根，对于高次代数方程， 但
至于超越方程， 其根的个数与其次数相同(包括重数)， 其解可能是一个或几个甚至无穷多，也可能无解。 常见的求解问题有如下两重要求： 一种是要求定出在给定范围内的某个解，而解的 粗略位置事先从问题的物理背景或应用(作图等)其他
clear,e=1e-6;format long; x1=1 x0=x1+2*2;%使while成立 while(abs(x0-x1)>e) x0=x1,x1=x0-(x0^2-3*x0+exp(x0)-2)/(2*x0-3+exp(x0)) end
得 x1 = 1.44623868596643
数学模型与数学建模方法
f ( xk ) xk 1 xk f '( xk ) (6)
数学模型与数学建模方法
Slide 14
第九章 非线性方程的数值解
例6： 求如下方程的正根（要求精度e=10-6） x2-3x+ex=2 解 令 f(x)=x2-3x+ex-2，f(0)=-1<0， f(2)>0，f´(x)>0， 即 f(x) 单调上升， 根在[0, 2]内， 先用图解法找初值。 fplot('x^2-3*x+exp(x)-2',[0,2]);grid on;
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程的解
f (x)
二分法 的实现
f (x0) > 0
a
x0
b x
a
x0
f (x)
f (a) < 0 f (b) > 0
b x x0 : (a,b)中点
f (x0) < 0
a = a, b = x0 1 1
a = x0, b = b 1 1
(a,b) ⇒(a1,b ) ⇒L⇒(an,bn) ⇒L 区间每次缩小一半，n足 1
2
解方程 f(x)=0第 第 一步——确定 一步 确定 根的大致范围 二分法 的原理
•作f(x)图形,观察 作 图形, 图形 观察f(x)与x轴的交点 与 轴的交点 •根的隔离:二分法 根的隔离: 根的隔离
若对 a < b , 有 f (a) ⋅ f (b) < 0 , 则 (a, b) 内 f (x) 于 在 至 有 个 点 即 f (x) = 0 至 有 个 。 少 一 零 ， 少 一 根
够大时，可确定根的范围
不足
收敛速度较慢
3
迭代法 举例
f (x) = x2 + x −14 = 0 ⇒ x = ϕ(x)
f (3) = −2, f (4) = 6 存在根 x∈(3,4)
x = ϕ1 (x) = 14 − x2 , 迭代公式：xk +1 = 14 − xk2 x = ϕ2 (x) = 14/( x +1) ，迭代公式：xk +1 = 14 /( xk +1)
0
{xk}收敛于 * 收敛于x 收敛于
取决于曲线ϕ(x) 的斜率
{xk}不收敛于 * 不收敛于x
6
迭代法的收敛性 迭代法的收敛性
设 y = ϕ(x) 在a ≤ x ≤ b 连续 且a ≤ y ≤ b ，若 在L < 1使 ， 存
计算固体计算力学-第二章非线性方程组的解法解答
计算固体计算力学
Newton法得到的序列{an}具有二阶收敛速度。 粗略的说，用Newton法迭代一次大约有效数位 增加一倍，例如， a0准确到一位，则迭代3次就 可以得到准确8位的近似解。这意味着Newton 法收敛很快，这是它的主要优点。
Newton法自校正的。也就是说，an+1仅依赖于 Ψ(an)及an，前面迭代产生的舍入误差不会一步步 传下去。
am+1=am+Δam 在以上各式中，下标m表示增量步的步数， 而λm=1的解对应于Ψ(a)=P(a)-R=0的解。
34
计算固体计算力学
在一个自变量的情况下，求解非线性方程 组的过程如下图所示。如果Δλm足够小，则认 为所得解即为方程组的合理的近似解。
但是，在计算的每一步，都会引起某些偏 差，结果使解答漂移，而且随着求解步数的 增多，这种偏差不断积累，以致 最后的解将偏离真解较远。
31
计算固体计算力学
2.4 增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
Kn
1
an
,
K
n1
an1 an
a n 1
an
,
K n1 K n K n
n 0,1, 2,
其中，ΔKn是Kn的一个低秩修正矩阵，常 用的是秩1或秩2的矩阵，以减小计算量。
ΔKn的选取查阅相关的资料。
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几个非局部非线性可积方程的解及其性质非局部微分方程通常是指一类同时含有对未知函数的积分和微分的方程。
最近,Ablowitz和Musslimani提出了一个新的非线性Schr¨odinger方
程:iq<sub>t</sub>（x,t）=q<sub>xx</sub>（x,t）±2q<sup>2</sup>（x,t）q<sup>*</sup>（-x,t）。
他们将这个方程称为空间反演的非局部非线性Schr¨odinger方程。
自该方程提出后,关于它的诸多研究工作陆续涌现,包括该方程各种类型精确解的构造与分析、该方程与Landau-Lifshitz型方程的规范等价。
本论文中所研究的非局部非线性方程也是这种类型的微分方程。
本论文研究了几个非局部非线性可积方程的精确解及其性质和几个非局部非线性可积方程的Cauchy问题。
主要内容如下:第一章,简要论述了一些研究可积系统的方法。
逆散射变换方法是一个非常重要的方法。
该方法是求解一类非线性可积偏微分方程Cauchy问题的一个里程碑式的工作。
Darboux变换方法也是构造非线性可积系统精确解的重要方法。
概述了最近关于非局部非线性Schr¨odinger方程的一系列研究进展。
论述了本文的主要结果和创新点。
第二章,研究的是一个时空反演的非局部修正Korteweg-de Vries方程的Darboux变换、精确解及其性质。
修正Korteweg-de Vries方程可以从Euler方程导出,并且在流体力学、等离子物理以及其他物理领域中有诸多应用。
在过去的几十年中,有许多关于修正Korteweg-de Vries方程的研究工作,例如用Darboux变换、Hirota双线性等方法给出了该方程的各种类型的精确解,
包括N-孤子解、complexiton解、multiple-pole解,以及用逆散射方法研究该方程的Cauchy问题等等。
受到Ablowitz和Musslimani关于非局部非线性Schr¨odinger方程工作的启示,我们提出了一个时空反演的非局部修正Korteweg-de Vries方程。
该方程是Lax可积的。
我们构造了该方程的n次Darboux变换。
我们通过Darboux变换得到了这个新方程的精确解,包括孤子解、complexiton解、扭结解、怪波解、孤子之间的相互作用、孤子与扭结的相互作用等等。
通过分析,我们揭示了这些解具有不同于经典修正Korteweg-de Vries 方程解的新性质。
第三章,研究的是时空反演非局部修正Korteweg-de Vries方程的Cauchy 问题。
我们构造了该方程的逆散射变换,在无反射势条件下,给出了该方程Cauchy问题的精确解表达式。
我们得到了1-孤子解、2-孤子解以及呼吸子解,并指出了这些解具有不同于经典修正Korteweg-de Vries方程解的性质。
我们详细分析了非局部修正Korteweg-de Vries方程逆散射问题与经典修正Korteweg-de Vries方程逆散射问题的不同之处。
第四章,研究了非局部离散非线性Schr¨odinger方程的稳态解与非局部非线性Schr¨odinger方程的Cauchy问题。
逆散射方法在求解非线性可积方程Cauchy问题时,对于初值条件的要求相当高。
对于一般的初值条件,用逆散射方法也难以求解。
我们研究了空间反演的非局部非线性Schr¨odinger方程一般初值条件的Cauchy问题。
我们考虑了该方程的两种离散格式:可积离散格式与不可积离散格式。
基于
离散Fourier变换与修正Neumann迭代,给出了不可积离散格式的稳态解,并阐明所得到的稳态解是线性不稳定的。
还分析了可积离散格式稳态解的线性稳定性,指出了这些稳态解也是线性不稳定的。
这一结果与经典离散非线性Schr¨odinger方程是不同的。
我们应用6阶自适应步长Runge-Kutta方法研究了非局部非线性Schr¨odinger方程的Cauchy问题,指出了数值解的爆破时间与初值条件中参数之间的关系。
第五章,研究了一个时空反演的非局部耦合无色散方程的Darboux变换、精确解及其性质。
无色散方程有重要的物理应用。
关于耦合无色散方程也有许多研究工作,包括一些精确解的构造与分析、规范等价的研究等等。
我们推导出了时空反演的非局部耦合无色散方程,构造了该方程的n次Darboux变换,给出了一些精确解的表达式。
从零种子解出发,通过1次和2次Darboux变换构造了精确解,包括“decaying soliton”、“growing soliton”与3-孤子解等。
同时,从非零种子解出发,通过1次Darboux变换构造了精确2-孤子解,研究了这些解的渐近行为和性质。