《误差理论及数据处理》复习精华+测试

《误差理论及数据处理》复习精华

第一章 绪论

1、 研究误差的意义：

① 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以减小或消除误差；

② 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到

更接近于真值的数据；

③ 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经

济条件下得到理想的结果。

2、误差的定义及表示方法： 真值

测量值 绝对误差 - = 相对误差= % 100 ´ 真值 绝对误差 引用误差= % 100 ´ 量程

示值误差 注：由于绝对误差可能为正值或负值，因此相对误差也可能为正值或负值。

3、误差来源：测量装置误差、测量环境误差、测量方法误差、测量人员误差。

4、误差分类：系统误差、随机误差、粗大误差。

5、精度可分为：准确度、精密度、精确度。

第二章 误差的基本性质与处理

1、随机误差的4个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。

2、算术平均值 n l x i

å = ，残余误差 x l v i

i - = 算术平均值的校核（考试潜规则，题目不要求也需要校核） ：

方法①：当 å = x n l i 时，则 å =0 i v ；当 å > x n l i 时，则 å >0 i v ；

当 å < x n l i 时，则 å < 0

i v . 方法②：当 n 为偶数时， A n v i 2 £ å ; 当 n 为奇数时， A n v i 2

1 - £ å . （其中 A 为算术平均值x 末位数的一个单位）

3．标准差公式： 1 2

- = å n v i s （这是贝塞尔公式，单次测量标准差的估计值，我

们计算标准差时一般就用它） 。 测量列算术平均值的标准差 n

x s s =

4．测量的极限误差：

（一）单次测量的极限误差 s d t x ± = lim （测量次数足够多且测量误差为正态 分布）

若已知测量的标准差s ，选定置信系数t ，则可由上式求得单次测量的极限误差。 查正态分布表 )

( 2 t P F = 当t=3时，置信概率P=99.73%，当t=2.58时，P=99%.

（二）算术平均值的极限误差

当测量次数较多时， x t x s d ± = lim （正态分布）

当测量次数较小时， x a

t x s d ± = lim ，式中 a t 为置信系数，它由给定置信 概率P=1­a 和自由度 1 - = n u 来确定，

需查t 分布表，a 为超出极限误差的概率， 通常a 取0.01，0.02或0.05； x s 为算术平均值的标准差，上面有。

5．不等精度测量：权、加权算术平均值、单位权化、加权算术平均值的标准差 （由于不等精度测量考试一般不考，故略之）

6．粗大误差

①罗曼诺夫斯基准则（又称t 检验准则）：先剔除可疑值 j x ，然后求算术平均 值x 和标准差 2 1 1 2 - =

å - = n v n i i s ，查t 分布检验系数 ) , ( a n K ，若 s K x x j > - ，则 j x 的

确含有粗大误差。 ②格罗布斯准则：将 i x 按从小到大排列 ) ( ) 2 ( ) 1 ( n x x x

£ ¼ £ £ ， a. 若认为 ) 1 ( x 可疑，则 s ) 1 ( ) 1 ( x x g - = ，b.若认为 ) (n x 可疑，则 s

x

x g n n - = ) ( ) ( 当 ) , ( 0 ) ( a n g g i ³ 时，即判别 ) (i x 含粗大误差，应剔除之。

③狄克松准则：将 i x 按从小到大排列 ) ( ) 2 ( ) 1 ( n x x x

£ ¼ £ £ ， 若最大值 ) (n x 含粗大误差，则

)

1 ( ) ( )

1 ( ) ( 10 x x x x r n n n - - = - )

2 ( ) ( )

1 ( ) ( 11 x x x x r n n n - - = - )

2 ( ) ( )

2 ( ) ( 21 x x x x r n n n - - = - )

3 ( ) ( )

2 ( ) ( 22 x x x x r n n n - - = - 若最小值 ) 1 ( x 含粗大误差，则 ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 10 n x x x x r - - = ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 11 - - - = n x x x x r ) 1 ( ) 1 ( )

3 ( ) 1 ( 21 - - - = n x x x x r )

2 ( ) 1 ( )

3 ( ) 1 ( 22 - - - = n x x x x r

若 ), , (

0 a n r r ij > 则认为含有粗大误差，由书上例题可见，a 一般取0.05,即P=95%. 注：当 7 £ n 时，用 10 r ； 10 8 £ £ n 时，用 11 r ； 13 11 £ £ n 时，用 21 r ； 14 ³ n 时，用 22

r . 第三章 误差的合成与分配

1、设 ) , , , ( 2 1 n x x x f y L = ，若已知各个直接测量值的系统误差为 n x x x D D D , , , 2 1 L ，

则函数系统误差 n n

x x f x x f x x f y D ¶ ¶ + + D ¶ ¶ + D ¶ ¶ = D L 2 2 1 1 . 2、令 i i a x f = ¶ ¶ ，则极限误差 i i x a y 2 lim 2 lim d d å ± = .

以上两个均属误差的合成，下面是误差的分配：

3、按等作用原则分配误差：等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相

等，即

n D D D y

n s = = = = L 2 1 ，式中 i D 为函数的部分误差。

由此可得 i

y i y i a n x f n 1 / 1 s s s = ¶ ¶ = 或用极限误差表示 i i i a n x f n 1 / 1 d d d = ¶ ¶ =

，式中d 为函数的总极限误差， i d 为各单项误差的极限误差，n 为函数 f 中变量的个数。

第四章 （没学）

第五章 线性参数的最小二乘法处理

1、按照处理的具体方法不同，可将最小二乘法分为经典最小二乘法（即代数法） 和矩阵最小二乘法。最小二乘法原理指出，测量结果的最可信赖值应在残余误差

平方和为最小的条件下求得。在等精度中 å = 2 i v 最小，在不等精度中为加权残

余误差平方和最小，即 å = 2 i i v p 最小。我这里只总结等精度的。

2、以t=2（即含两个未知参数）的为例

（书上写的乱七八糟的，看懂也累死了，⊙﹏⊙b 汗～）

设函数L 与两个变量 y x , 成线性关系，即 by ax L + = （其中 b a 、 为待定系数，即 待求的两个未知参数）。

实验测得一系列数据 i i i l y x , , ，当然是很多组了，至少是t 组（本例中t=2）

，