定轴转动定律 转动惯量
一半径为R，质量为m均质圆盘 均质圆盘， 例4-6 一半径为 ，质量为 均质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。 水平桌面上 。 设盘与桌面间摩擦因数为 µ ， 令圆盘最 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转， 初以角速度ω0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm= ρ red θ dr， e是盘的厚 ， 是盘的厚 度 ， 质元所受到的阻力矩 为 rµdmg 。 圆盘所受阻力矩为
§4-2 定轴转动定律 转动惯量
一、力矩
r 点的力矩： 点的力矩 F 对O点的力矩：
r M
r r r M = r ×F
大小： 大小： 说明 1、只有垂直转轴的外力分量才产生 、 沿转轴方向的力矩M 沿转轴方向的力矩 z ，而平行于转 轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被 轴承上支承力的力矩所抵消。 轴承上支承力的力矩所抵消。
二、定轴转动定律
对刚体中任一质量元 ∆ m i
r r 受外力 Fi 和内力 F内 i
r r r Fi + F内i = ∆mi ai
应用牛顿第二定律， 应用牛顿第二定律，可得
采用自然坐标系， 采用自然坐标系，上式切向分量式为
Fi sin ϕi + F内i sin θi = ∆mi ait = ∆mi ri β
Fi ri sin ϕi + F内i ri sin θi = ∆mi ri β
2
对刚体内各个质点的相应式子， 对刚体内各个质点的相应式子，相加得
Fi ri sin ϕi + ∑ F内i ri sin θ i = ∑ (∆mi ri 2 )β ∑
i i i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零， 对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
I Z = I X + IY
均质圆环， 例4-4 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。 对通过直径的转轴的转动惯量。 解： (1) 圆环： 圆环： dm
(2) 圆盘： 圆盘：
O r
dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？
？
求均质细棒( 的转动惯量： 例4-3 求均质细棒 m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心 与棒垂直， 转轴通过中心C与棒垂直 与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端 与棒垂直。 转轴通过棒的一端O与棒垂直 与棒垂直。 解：(1) dm C dx x
ϕ
r F
r r
M = rF sin ϕ
2、 M z 、
= rF2 sin φ = F2 d
d = r sin ϕ 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂 力臂。 用线的距离，称为力臂 3、在转轴方向确定后，力对转 、在转轴方向确定后， 轴的力矩方向可用正负号表示。 轴的力矩方向可用正负号表示。 刚体所受的关于定轴的合力矩： 刚体所受的关于定轴的合力矩：
∑FБайду номын сангаас
i
内i
ri sin θ i = 0
Fi ri sin ϕi = ∑ (∆mi ri 2 )β ∑
i i
称为刚体对转轴的转动惯量。 称为刚体对转轴的转动惯量。
dω M z = Iβ = I dt
刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时， 刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比， 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。 惯量成反比。 与平动定律比较： 与平动定律比较：
(2) O
dm dx x
可见，转动惯量因转轴位置不同而变， 可见，转动惯量因转轴位置不同而变，故必须指 明是关于某轴的转动惯量。 明是关于某轴的转动惯量。
平行轴定理（ 平行轴定理（parallel axis theorem） ） 刚体对任一转轴的转动惯量 I 等于对通过质心 的平行转轴的转动惯量 IC 加上刚体质量 m 乘以两平 的平方。 行转轴间距离 d 的平方。
3 R t= ω0 4 µg
作业：4.11、4.13、 作业：4.11、4.13、4.14
通过任一转轴A的转动惯量： 通过任一转轴 的转动惯量： 的转动惯量 （取C为坐标原点） 为坐标原点） 为坐标原点
d A C
dm dx x
= mxC = 0
正交轴定理 薄板状刚体对板面内相互垂直的两个定轴 薄板状刚体对板面内相互垂直的两个定轴 X、Y 的 转动惯量之和， 转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交点且垂直于 的转动惯量， 板面的定轴 Z 的转动惯量，即：
dv F = ma = m dt
三、转动惯量
定义： 定义： 刚体为质量连续体时： 刚体为质量连续体时： 单位( 单位 SI )： ：
为质元dm到转轴的距离 到转轴的距离） （ r 为质元 到转轴的距离） 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度 转动惯量 取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、 取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质 量分布以及转轴的位置。 量分布以及转轴的位置。
刚体的回转半径
rG ：
2 2
I = ∑ mi ri = mrG
i
I rG = m
物体： 例4-5 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩擦 ， 定滑轮： 、 ， 阻力矩为M 轻绳不能伸长，无相对滑动。 阻力矩为 r。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的 加速度和绳的张力。 加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩， 的摩擦阻力矩，
ω
dθ r dr R e
Mr =
∫ r µ d mg
= µ g ∫ r ρ re d θ d r
Mr =
∫ r µ d mg = µ g ∫ r ρ re d θ d r 2 = µgρ e ∫ dθ ∫ r dr = µgρeπR 3
2π R 2 0 0
3
2 M r = µ mgR m=ρeπR2 3 2 1 2 dω 由定轴转动定律： 由定轴转动定律： − µ mgR = I β = mR 3 2 dt t 0 2 1 − µg ∫ dt = R ∫ dω 0 3 2 ω0
r
问题中包括平动和转动。 问题中包括平动和转动。
FT1 − m1g = m1a m2 g − FT 2 = m2a FT 2r − FT1r − M r = Iβ
轮不打滑： 轮不打滑： 联立方程， 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a，β 。 ， 此装置称阿特伍德机 此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g 阿特伍德机 可用于测量重力加速度
刚体定轴转动定律
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
4.2刚体定轴转动定律(20)
M f k2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2
0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
Mi
M
i
mi ri 2
i
i
i
M i ( miri2 )α
i
i
定义转动惯量： J
m j rj2
2
J r dm
j
刚体定轴转动的转动定律： M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度 与其所受合外力矩成正比，与刚体对该定轴的转动惯 量成反比.
(2)对质量面分布的刚体： dm dS
：质量面密度；
(3)对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度；
例题4.2.4 质量为m，长度为 l 的均匀细杆，试求
细杆对如下定轴的转动惯量。
（1）转轴 oz过中心并与杆垂直；
（2）转轴 oz过杆的端点并与杆垂直。
解 分析 建如图所示坐标系，质量连续分布，写微
(1)
T2 m2 g m2a
对定滑轮应用定轴转动定律得：
RT1 RT2 J
且有：
T1 T1 ,T2 T2
(2)
a R
滑轮对其中心轴的转动惯量：J 1 MR2(3)
2
于是得：
a m1 m2 g
m1
刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达式
刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达式
刚体绕定轴转动定律：
Mz=Jβ，其中Mz表示对于某定轴的合外力矩，J表示刚体绕给定轴的转动惯量，β表示角加速度。
刚体定轴转动定律是指刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。
角动量定理的表达式：
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
角动量L=转动惯量J*角速度ω
所以角动量守恒表达为J1ω1=J2ω2。
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
最全的转动惯量的计算
这时滑轮转动的角速度
v
R
4mgh 2m M
R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：设静摩擦力f的方向如 图所示，则由质心运动方程
F f maC
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
变化的规律。
已知：M0 J M1= –a |t=0=
求：（t）=？
0
解： 1）以刚体为研究对象；
5.3 定轴转动的转动惯量
• 质量离散分布的刚体 J miri2
• 质量连续分布的刚体 J r 2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
刚体定轴转动定律公式
刚体定轴转动定律公式刚体定轴转动定律是描述刚体绕定轴做转动运动的数学公式。
本文将详细介绍刚体定轴转动定律的公式及相关参考内容。
1.刚体定轴转动定律公式1.1角位移公式刚体绕定轴做转动运动时，它的每一个质点都有一个角位移，角位移是一个标量，用Δθ表示。
角位移与刚体绕定轴转动的弧长有关，它们之间的关系可以用以下公式表示：Δθ = Δl / r其中，Δl表示弧长的长度，r表示刚体绕定轴的半径。
1.2角速度公式角速度是描述刚体绕定轴的旋转速度的物理量，用ω表示，角速度是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
角速度与角位移之间的关系可以用以下公式表示：ω = Δθ / Δt其中，Δt表示时间间隔。
1.3角加速度公式角加速度是描述刚体绕定轴转动加速度的物理量，用α表示，角加速度是一个矢量，它的方向也垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
角加速度与角速度之间的关系可以用以下公式表示：α = Δω / Δt其中，Δt表示时间间隔。
1.4力矩公式力矩是描述外力对刚体绕定轴转动影响的物理量，用M表示，力矩是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
力矩与角加速度之间的关系可以用以下公式表示：M = I α其中，I表示刚体绕定轴的转动惯量，α表示角加速度。
2.参考内容2.1转动惯量的定义转动惯量是描述刚体绕定轴转动惯性的物理量，用I表示，它反映了刚体对于绕定轴转动的惯性大小。
转动惯量的计算方法取决于刚体的形状和密度分布。
常见的刚体的转动惯量计算公式：(1)矩形薄板绕转轴的转动惯量Izz = 1/12m(a²+b²)其中，m表示薄板的质量，a和b表示薄板的长和宽。
(2)圆环绕轴的转动惯量Izz = mr²其中，m表示圆环的质量，r表示圆环的半径。
2.2角动量的定义角动量是描述刚体绕定轴转动动量的物理量，用L表示，它反映了刚体绕定轴转动的惯性大小和角速度大小。
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
第03章 刚体定轴转动01-转动定律
作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M
08 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为 r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）
dm：质量元
dmdl ：线密度 dmdS ：面密度
dmdV ：体密度
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
刚体定轴转动的动能定理
W12M d1 2J2 21 2J12
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能 的增量.
注意
1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能
原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质
点组，它服从质点组的功能转换关系.
2. 刚体的定轴转动的动能应用 Ek
m1(2m2
1 2
m)g
m1
m2
1 2
m
,
FT 2
m2
(2m1
1 2
m)
g
m1
m2
1 2
m
决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点 并与棒垂直的两轴的转动惯量.
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
M
1.力矩
动 点平P面刚, 且的体在交绕转点O动z，轴平力旋面F 转内作,,用Or 为在轴刚为与体由上转点
O 到力的作用点 P 的位矢.
O
M zr*
dP
F
F对转轴z的力矩 M Fsrin Fd
3-2转动定律的应用;定轴转动功能关系
1
2 .
RF J 1 RT J 2 TF
N
N
mg T ma a R
F
Mg
T
Mg
F
m
转动定律的应用
力学 第三章 刚体的转动 例3-3(P117) 一轻绳跨过定滑轮悬有质量分别 为m1、m2 的物体( m1<m2 ), 滑轮视为匀质 圆盘, 半径为 r, 质量为 M,所受摩擦阻力矩为 Mr。绳与滑轮间无相对滑动.求: 物体的加速 T 1 T2 度和绳的张力. x T1 T2 解: T1 m1g m1a
说明 系统: 一个刚体, A内 0
ds rd
M J d dt d dt
d A Md J
J d
d
A
2 1
J d
定轴转动中的功能关系
力学 第三章 刚体的转动
例3-6(p123) . 一根质量为m, 长为 l的均匀细杆OA， 能在 竖直平面内绕过一端的光滑水平固定轴O旋转, 设杆自水 平位置静止释放.求:当杆转过角度 时的角速度. O A 解: 用动能定理:
C×
hc hi Ep=0
质点系功能原理对刚体仍成立：
A外 A非保内 ( Ek 2 E p 2 ) ( Ek1 E p1 )
若A外+ A非保内=0， 则Ek +Ep =常量 在重力场中，刚体的机械能守恒 表示为：
E p mi ghi mi hi mg mghc m
转动定律的应用
题 步
骤
T1 m1a m2 g T2 m2a T2 R T1R J a r 1 J MR 2 2
(4)Hale Waihona Puke 解T2 m2 gx