二次型及其矩阵表示

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一个二次型XTAX也可看成n维向量a的一个函数,即
f(a)=XTAX.
其中X=(x1,x2,...,xn)T是a在Rn的一组基下的坐标 向量. 所以二次型XTAX是向量a的n个坐标的二次齐 次函数. 因此二次型作为n维向量a的函数, 它的矩阵 是与一组基相联系的.
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2 a21 x2 x1 a22 x2
i<j,
(6.2)
则2aijxixj=aijxixj+ajixixj(i<j), 于是(6.1)式可以写成
a1n x1 xn a2 n x2 xn
2 ann xn
an1 xn x1 an 2 xn x2 aij xi x j .
6.1 二次型及其矩阵表示
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二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨 论的有心二次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式 . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过 基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合 项的标准方程 a'x'2+c'y'2=f (2) 在二次曲面的研究中也有类似的问题.
2 ann xn
当系数属于数域F时, 称为wenku.baidu.com域F上的一个n元 二次型.本章讨论实数域上的n元二次型, 简称二次型.
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由于xixj=xjxi, 具有对称性, 若令 aji=aij, 对称形式
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2
, xn ) aij xi x j X T AX (6.5)
i 1 j 1
n
n
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把A称为二次型的矩阵, 对于任意一个二次型 (6.1), 总可以通过(6.2)使其写成对称形式(6.3), 并对应 矩阵A. 由(6.2)知, A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称 方阵, 且 f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX, 则必有A=B. 故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的. 所以, 研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质.
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例
写出二次型
2 2 2 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
如果a在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下的坐 标向量分别为
X=(x1,x2,...,xn)T和Y=(y1,y2,...,yn)T,
又 于是 (h1,h2,...,hn)=(e1,e2,...,en)C, X=CY. f(a)=XTAX=YT(CTAC)Y 即二次型f(a)在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}
如此则有二次型
下所对应的矩阵分别为 一个二次型.
A 和 CTAC
其中CTAC仍是对称阵, YT(CTAC)Y是y1,y2,...,yn的
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对于一般的二次型f(x1,x2,...,xn), 将其化为y1,y2,...,yn
的纯平方项之代数和(简称平方和), 是研究二次型的一
个基本问题.
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定义
n元变量x1,x2,...,xn的二次多项式
f ( x1 , x2 ,
2 11 1
, xn ) 2a1n x1 xn 2a2 n x2 xn (6.1)
a x 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 a22 x2 2a23 x2 x3
i 1 j 1 n n
(6.3)
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记
a11 a21 A an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
(6.4)
X=(x1,x2,...,xn)T. 二次型(6.3)可以用矩阵乘积形式 简单表示为
f ( x1 , x2 ,
解决这个问题的基本方法是作一个非退化的线性 变换 X=CY, XTAX=YT(CTAC)Y (其中C为可逆阵, 这个变换也可看成向量a在基变换下 的坐标变换), 使得
成为y1,y2,...,yn的平方和.
这个基本问题, 从矩阵的角度来说, 就是对于一个 实对称矩阵, 寻找一个可逆矩阵C, 使得CTAC成为对角 形.
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
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例
设
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 x12 x1 x2 2 x1 x3
2 2 4 x2 x4 x3 5 x4
则它的矩阵为
2 1 2 A 1 0
1 1 0 2 0 0 2 0 1 0 2 0 5
T
n x R 显然A是对称矩阵，
1 T X AX ( X BX X T BT X ) 2
T
X T BT X ( X T BT X )T X T BX
1 X T AX ( X T BX X T BX ) X T BX 2
T X 这表明对称矩阵A是二次型 BX 的矩阵。
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定义 对于两个矩阵A和B, 如果存在可逆阵C, 使得CTAC=B, 就称A合同于B, 记作AB.
由定义容易证明, 矩阵之间的合同关系也 具有反身性, 对称性和传递性. 由于合同关系有 对称性, 所以A合同于B, 也说成A与B是合同的, 或A,B是合同矩阵.
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1 5 2 x1 求二次型 f x1 , x2 , x3 9 4 10 x2 的矩阵A， 6 2 4 x 3 并求f 的秩。
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1 设B为n阶方阵, 求证f X BX 的矩阵是A ( B BT ) 2