【2015东北三校二模】东北三省三校2015届高三第二次高考模拟考试 数学(文) Word版含答案
东北三省三校2015届高三数学一模理
东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷、选择题（本大题共12小题，每小题5 分,目要求白勺•）x 2 x 1 x x21、已知集合, 1A •x0 x1x0 x 1B •迈i2、复数1 J2i ( ) 2V2 iA •B • 1 i3、占八、1,12到抛物线y ax准线的距离为共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题2x 0，则Ixc.2，则a的值为（112a n1C • 4或124或12S9，则当S n最大时，nA• 6B. 7 C • 10 D • 95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1, 则输入的t值不能是下面的（）A• 2012 B• 2013 C2014D20156、下列命题中正确命题的个数是（)2①对于命题p: x R ,使得x x 1 0 ,贝y p: x R，均有4、设S n是公差不为零的等差数列的前n项和，且a10若S5()x2x 1 0②p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件③命题“若X y，则sin X sin y”的逆否命题为真命题④“ m 1 ”是“直线11: mx2m 1 y 1 0与直线〔2 ： 3x my 3 0垂直”的充要条件B• 2个C• 3个D. 4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1,若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几结束fc=*+l1何体的体积为（）1D .31 4，则这个球的表面积为 __________ .15、 某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修， 共有 _____________ 种 不同选课方案（用数字作答）. 16、 已知函数y sin X2cosX （ 0）的图象关于直线X=1对称，则C . 10D . 12 8、设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 则双曲线离心率的取值范围是（ 1^.2 A . ，焦点F 到一条渐近线的距离为 d ，若 C . 1'3D .远 9、不等式组 点，则 y 4表示的点集记为 的概率为（ ，不等式组y 表示的点集记为 ，在 中任取9 A . 32 7 B . 327_ 1610、设二项式 （ ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a 〔 a ?b | b 2a nb n2n 1 111、已知数列 a n 满足m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）已知函数 围为（ ） 12、 1.厂 2 In，若函数FxkX有且只有两个零点，则k 的取值范A . 0,1 0gC .21二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）13、向量a ,b 满足2a b，则向量a 与b 的夹角为14、三棱柱C 1心各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,C 120o , C C 2逅,1B .3C .频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 市民的平均年龄; 20人参加宣传活动，从这 20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于 30岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望.sin 2三、解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、 17、 （本小题满分12分）已知C 的面积为2，且满足0证明过程或演算步骤.uuu uuur uuur C 4，设 和）uuuC 的夹角为 求的取值范围;求函数2sin 24,3 cos 2的取值范围.18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的 随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图 2. 500名市民中,軸*0 05(1 (25.M)) I 20 0 200|30 加 1 __0. 3501 (35.40)30M W140.45) 10 0t 100 (t it 1001 000500名在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取煙犁井再亞方091go«<nmM(MM19、（本小题满分12分）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA 丄底面ABCD , E 、F 分 别为AB 、PC 的中点.求证：EF //平面PAD ;圆上，且 F 2与X 轴垂直.求椭圆的方程;作直线与椭圆交于另外一点 ，求 面积的最大值.若PA=2，试问在线段EF 上是否存在点Q ,使得二面角 Q-AP-D 的余弦值为的位置；若不存在，请说明理由.2 2x _ y_ i2 .2 120、（本小题满分12分）已知椭圆a b（ ab 0）的左、右焦点为F2占5在椭-1 ?若存在，确定点2若fX 有两个极值点x 1，x2 （ x 1x2），求证：1 a 2;1f x 2f x求证：2请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.21 y —t 面直角坐标系，直线I 的参数方程是2 （t 为参数）.求曲线C 的直角坐标方程与直线I 的普通方程; 设点 m,°，若直线I 与曲线C 交于24、（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲 设函数 f x l 2x 1 l x 2 .21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数x xlnx ax 2 若曲线y1处的切线过点0, 2 ，求实数a 的值;22、（本小题满分10分）选修4-1: 几何证明选讲 如图，在 c 中，C 90 o,以为直径的圆交圆于点.求证：D 是圆 的切线；求证：DC D C D.23、（本小题满分10分）选修 4-4： 坐标系与参数方程 ^交 '-于，点D 是C 边的中点，连接D2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为X 轴的正半轴，建立平两点，且1，求实数m 的值.已知曲线C 的极坐标方程是东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案 选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B12.C4填空题：13. 900 14. 64 15. 84 16.5三•解答题：17•解：（I ）设△ ABC 中角A B , C 的对边分别为a b, c ,可得tan 1，所以：4 2 .6分2 nf ( ) 2sin•、一 3cos 21 cos n 2.3cos2n)42r~sin 2 -.3cos2 1 2si n2n 1(1 sin 2 ). 3 cos 23.8分[—,—) 2 — [-,2 )- •. 2 < 2si n 2n 1< 34 2 3 6 33.18.解：（1）由表知：①，②分别填35, 0.300 .补全频率分布直方图如下：2分扛频率 组距解不等式f x 0 若X 0R，使得X2m4m，求实数m 的取值范围.年龄（岁）50rd *2025303540450908070605040302000 0000 00.01则由已知: bcsin2 20 bccos 4即当5 n n 12 时f( ) max3•当4 时f ( )min212分所以：函数f（）的取值范围是[2,3]5一(45 0.05 55 0.2 65 0.35 75 0.3 85 0.1) 33.5平均年龄估值为：2 \1(2)由表知：抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，X 的可能取值为0,1,2 P(X 0) C 2 15C 22021 38P(X 1) C ；C 115 X 的分布列为21 38 115 382 2015 3822 38P(X 2) C ； c 20238 期望E(X) 021 1 38 15 38 2 2 38 (人) 19.证明：(i )取PD 中点M , 连接MF , MA,在厶CPD 中，F 为 PC 的中点, MF//1 DC 2 ，正方形ABCD 中E 为AB 中点,AE//1 DC2AE//MF 故：EFMA 为平行四边形 EF //AM又EF平面 PAD AM 平面 PADEF // 平面 PAD(n )如图：以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 ：1 1 1P(0,0, 2), B(0,1,0),C(1,1,0),E(0, ,0), F( , ,1)2 2 2由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)假设存在Q 满足条件:uu u EQuuu uuu EF ,EF1 1(2,0,1),Q(2,2,)2ycos m, nuuuuuu rAP (0,0, 2), AQ),设平面I T m (1,,0)m nPAQ的法向量为(x, y,z)由已知:yc分2分4z I10分2x故椭圆方程为 8由已知:k即：2k 2 1\42 2k, 2O到直线AB 的距离：1k 22k 2 12k 2 11,2 U 2,42 ——2——2,0 U 0,22k 1此时 S AOB (0,2 2]解得:2 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
2015年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)
2015年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为（）A．8B．7C．4D．32．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜03．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=﹣2i，则|z1|=（）A．1B．C．2D．44．（5分）已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为（）①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n；②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．A．0B．1C．2D．35．（5分）已知向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，||=2，点A的坐标为（3，﹣4）．则点B坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（5，﹣8）D．（﹣8，5）6．（5分）函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=πC．x=D．x=7．（5分）阅读程序框图，若输出结果S=，则整数m的值为（）A．7B．8C．9D．108．（5分）设F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|+|=2，则∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱外接球的表面积为（）A．16πB．9πC．4πD．π10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．1B．0C．2D．﹣211．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．12．（5分）若函数y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣l]B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为．14．（5分）设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ（单位为：元），经统计得ξ～N（520，14400），从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有辆．（附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξμ+3σ）=0.9974）15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若=+，则||的取值范围是．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）．（I）证明：{a n+2}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=log2（a n+2），T n为数列{}的前n项和，若T n＜a 对正整数a都成立，求a的取值范围．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人（20岁至40岁）和中年人（40岁至60岁）两个阶段，那么其中是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有是青年人．（I）现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计（Ⅱ）由列表中的数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（Ⅲ）从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．附：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB1上，AB=4，AA1=5，平面A1MC⊥平面ACC1A1．（1）求证：M是棱BB1的中点；（2）求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，P是C上一点，斜率为﹣l的直线l 交C于不同两点A，B（l不过P点），且△PAB重心的纵坐标为﹣．（I）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求k1+k2的值；（Ⅱ）求+的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（Ⅰ）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）当a=﹣时，求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题（请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD 是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知点P的直角坐标是（x，y）．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是（ρ，θ），点Q的极坐标是（ρ，θ+θ0），其中θ0是常数．设点Q的平面直角坐标是（m，n）．（I）用x，y，θ0表示m，n；（Ⅱ）若m，n满足mn=1，且θ0=，求点P的直角坐标（x，y）满足的方程．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求证：（Ⅰ）++≤（Ⅱ）++≥．2015年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为（）A．8B．7C．4D．3【解答】解：集合M={x|x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}={x|﹣1＜x＜3，x∈Z}={0，1，2}，所以集合M的真子集个数为：23﹣1=7个．故选：B．2．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0【解答】解：根据否命题的定义，x＞1的否定是：x≤1；x＞0的否定是：x≤0，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是：“若x≤1，则x≤0”．故选：A．3．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=﹣2i，则|z1|=（）A．1B．C．2D．4【解答】解：根据复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，可得|z1|=|z2|，再根据z1z2=﹣2i，可得|z1|•|z2|=|z1•z2|=|2i|=2，∴|z1|=，故选：B．4．（5分）已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为（）①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n；②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，在b上一点作a'∥a，则m⊥a'，b所在的平面，同理，n垂直a'b所在的平面所以m∥n；故①正确；对于②，若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线或者相交；故②错误；对于③，若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线或者相交；故③错误；所以正确的命题只有①；故选：B．5．（5分）已知向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，||=2，点A的坐标为（3，﹣4）．则点B坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（5，﹣8）D．（﹣8，5）【解答】解：由题意可得||==，∴•=||•||•cosπ=•2•（﹣1）=﹣10．设点B的坐标为（a，b），则=（a﹣3，b+4），由•=1×（a﹣3）+（﹣2）（b+4）=﹣10，求得a﹣2b=1 ①．再根据向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，可得（a﹣3，b+4）=k（1，﹣2），k＜0，即b=2﹣2a ②．结合①②求得a=1，b=0，故点B的坐标为（1，0），故选：A．6．（5分）函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=πC．x=D．x=【解答】解：f（x）=sinx+sin（﹣x）=sinx+cosx+sinx=sin（x+），∴x=是函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴，故选：D．7．（5分）阅读程序框图，若输出结果S=，则整数m的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1满足条件n≤m，S=，n=2满足条件n≤m，S=+，n=3…满足条件n≤m，S=++…++=（1﹣）+（）+…+（）+（）=1﹣=，n=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框内的条件应该为：n≤9．故选：C．8．（5分）设F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|+|=2，则∠F1PF2=（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由椭圆+y2=1，得a=2，b=1，c=，，则，即=12，由|+|=2，得，∴，即，∴∠F1PF2=．故选：D．9．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱外接球的表面积为（）A．16πB．9πC．4πD．π【解答】解：由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（2﹣r）2+（）2，∴r=，∴三棱锥外接球的表面积为4π×=9π，故选：B．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．1B．0C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），∴f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[﹣（x+3）+1]=f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2）=﹣f[（x+1）+1]=﹣f[﹣（x+1）+1]=﹣f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（4）=f（0）=0，∵当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，∴f（3）=0，f（4）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（3）=0，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，故选：B．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为d==，∵以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，∴2=a，∴2（c4﹣a2b2）=3a2c2，∴2c4﹣2a2（c2﹣a2）=3a2c2，∴2e4﹣5e2+2=0，∵e＞1，∴e=．故选：D．12．（5分）若函数y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣l]B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：解：∵y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，∴y′=cos2x﹣asinx＞0，∴1﹣2sinx2﹣asinx＞0，即﹣2x2﹣ax+1＞0，x∈（0，1]，∴a＜﹣2x+，令g（x）=﹣2x+，则g′（x）=﹣2﹣＜0，∴g（x）在（0，1]递减，∴a＜g（1）=﹣1，故答案为：a＜﹣1．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为16．【解答】解：∵（x﹣2）4=x4﹣8x3+24x2﹣32x+16∴（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为24﹣8=16．故答案为：16．14．（5分）设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ（单位为：元），经统计得ξ～N（520，14400），从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有6826辆．（附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξμ+3σ）=0.9974）【解答】解：ξ～N（520，14400），则μ=520，σ=120，所以P（400，640）=P（520﹣120，520+120）=0.6826，所以每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有l0000×0.6826=6826．故答案为：6826．15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为3．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案为：3．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若=+，则||的取值范围是[2﹣2，2+2] ．【解答】解：如图所示，设MN中点为G（x，y），由PG=GN，得G点轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=6，又PQ=2PG，所以﹣≤PG≤+，所以2﹣2≤PQ≤2+2故答案为：[2﹣2，2+2]．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）．（I）证明：{a n+2}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=log2（a n+2），T n为数列{}的前n项和，若T n＜a 对正整数a都成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题设S n=2a n﹣2n（n∈N*），S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n﹣1），n≥2，两式相减得a n=2a n﹣1+2，即a n+2=2（a n﹣1+2），又a1+2=4，所以{a n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，a n+2=4•2n﹣1，即a n=2n+1﹣2（n≥2）又a1=2，所以a n=2n+1﹣2（n∈N*）；（Ⅱ）解：因为b n=log2（a n+2）=log22n+1=n +1，即有==﹣，故T n=﹣+﹣+…+﹣=﹣＜，依题意得：a≥．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人（20岁至40岁）和中年人（40岁至60岁）两个阶段，那么其中是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有是青年人．（I）现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．青年人合计中年人经常使用微信不经常使用微信合计（Ⅱ）由列表中的数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（Ⅲ）从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．附：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：下面2×2列联表：青年人中年人合计经常使用微信8040120不经常使用微信55560合计13545180…（4分）（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：K2=≈13.33＞10.828所以有99%的把握认为经常使用微信与年龄有关．…（8分）（III）从该市微信用户中任取一人，取到经常使用微信的中年人的概率为=由题意，X～B（3，），所以：E（X）=3×=．…（12分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB1上，AB=4，AA1=5，平面A1MC⊥平面ACC1A1．（1）求证：M是棱BB1的中点；（2）求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AC中点O，连OB．在平面ACC1A1上过O作AC垂线交A1C1于N．∵平面ACC1A1⊥平面ABC．∴ON⊥平面ABC，如图：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系由已知：A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），A1（2，0，5），B1（0，2，5），C1（﹣2，0，5），M（0，2，m），…（3分）设=（x，y，z）为平面A1MC法向量，，取x=5，z=﹣4，y=2m﹣5，即：=（5，2m﹣5，﹣4），又=（0，1，0）为平面ACC1A1法向量依题意：，解得m=∴M为棱BB1的中点…（8分）（2）由（1）知：=（5，2m﹣5，﹣4）为平面A1MC法向量又=（0，0，1）为平面ABC法向量∴cos＜＞==﹣，∴平面A1MC与平面ABC所成锐二面角余弦值为．…（12分）20．（12分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，P是C上一点，斜率为﹣l的直线l 交C于不同两点A，B（l不过P点），且△PAB重心的纵坐标为﹣．（I）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求k1+k2的值；（Ⅱ）求+的最大值．【解答】解：（I）设直线l的方程为：y=﹣x+b，将它代入C：y2=4x得：x2﹣2（b+2）x+b2=0，令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=2（b+2），x1x2=b2，y1+y2=﹣（x1+x2）+2b=﹣4，…（3分）因为△PAB重心的纵坐标为﹣，所以y1+y2+y P=﹣2，所以，y P=2，x P=1．所以k1+k2=+===0所以：k1+k2=0．…（6分）（Ⅱ）+=+==，…（8分）由△=16（b+1）＞0得b＞﹣1，又l不过P点，则b≠3．令t=b+3，则t＞2且t≠6．则+===≤=当t=，即t=2，b=2﹣3时，+的最大值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（Ⅰ）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）当a=﹣时，求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：，依题意得：，解得：；（Ⅱ）证明：当时，，∴．∴对x∈（1，+∞）成立，即：f′（x）在（1，+∞）上为增函数，又f′（1）=0，故f′（x）＞0对x∈（1，+∞）成立，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）解：由f（x）≥g（x），得：（x≥1），设（x≥1），∴h′（x）=（x+1）e x﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[e x﹣1﹣a（x﹣1）﹣1]（x≥1），设k（x）=e x﹣1﹣a（x﹣1）﹣1（x≥1），∴k′（x）=e x﹣1﹣a．①当a≤1时：k′（x）≥0对x∈[1，+∞）成立，又k（1）=0，故k（x）≥0，即：h′（x）≥0．又h（1）=0，故h（x）≥0；②当a＞1时：由k′（x）=0，得x=1+lna＞1，当x∈（1，1+lna）时：k′（x）＜0，又k（1）=0，故：k（x）＜0，即：h′（x）＜0，又h（1）=0，故h（x）＜0这与已知不符．综上所述：实数a的取值范围为（﹣∞，1]．四、选做题（请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD 是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．【解答】（Ⅰ）证明：由C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，得△ACE∽△BCA，∴，∴CE•AB=AE•AC；…（5分）（Ⅱ）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACF=∠BCD，∵AC为圆的切线，∴∠CAE=∠CBD，∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD，即∠AFD=∠ADF，∴AF=AD∴△ACF∽△BCD，∴=，∴CF=DF．…（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知点P的直角坐标是（x，y）．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是（ρ，θ），点Q的极坐标是（ρ，θ+θ0），其中θ0是常数．设点Q的平面直角坐标是（m，n）．（I）用x，y，θ0表示m，n；（Ⅱ）若m，n满足mn=1，且θ0=，求点P的直角坐标（x，y）满足的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，和，即：，所以：，（Ⅱ）由题意知：，所以：，．整理得：．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求证：（Ⅰ）++≤（Ⅱ）++≥．【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（++）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3，∴++≤．（Ⅱ）由柯西不等式得：[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]（++）≥（•+•+•）2=9∴++≥．。
东北三省四市教研联合体2015届高考数学二模试卷理(含解析)(精)
东北三省四市教研联合体2015届高考数学二模试卷（理科）项是符合题目要求的1. （5 分）已知集合 A={x| - K x w 1},2. （5分）设复数z=1+i （i 是虚数单位） A. 1+iB . 1 - i，则上 +z 2=（）zC. - 1 - iD. - 1+i2 2 24. （5分）已知△ ABC 中，内角A, B , C 的对边分别为 a , b , c ,若a =b+c - be , bc=4,则厶ABC的面积为（）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选項中，只有 A. [ - 1, 0] B . [ - 1, 2]C. [0 , 1]D.（-8,1] U [2 , +s ）3. （5分） 已知|目|=1 , | b |=逅，且◎丄（◎ - b ）,贝U 向量扫与向量b 的夹角为（）A. B .4B={x|x 2 -2x < 0}，贝U AA B=（）A.B . 1 2A.:5C.二1, 3, 4} , b € {1 , 2}，则函数 fC.2D. 2（x ） = （ a 2 - 2） x+b 为增函数D.106. （5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为J 则判断框中填写B . n v 6 C. n W6 D. n W85. （5 分）已知 a € { - 2, 0,的概率是（）的内容可以是（）7. ( 5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面&( 5分)已知直线y=2 -(x - 1 )与抛物线 C ：y 2=4x 交于A, B 两点，点(-1, m ),若 打？「=0, 则 m=() A.-9. ( 5分)对定义在［0 , 1］上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )成为M 函数：①对任意的 x € ［0 , 1］恒有 f (x ) >0;②当 x i >0, X 2>0, X 1+X 2WI 时，总有 f (X i +X 2)>f ( x i ) +f (X 2)成立，则下列函数不是M 函数的是()2x22A. f ( x ) =x B . f (x ) =2 - 1 C . f (x ) =ln (x +1) D. f ( x ) =x +1K - 4y+4<010 . ( 5分)在平面直角坐标系中，若P (X , y )满足-2x+y- 10<0，则当xy 取得最大值时，- 2y+2^0点P 的坐标为()A. (4, 2) B . (2, 2) C. (2, 6) D. ( ', 5)22 211. ( 5分)已知双曲线一-二==1 (a > 0, b > 0)与函数y=p 1的图象交于点P ,若函数y=:. a 2 IT的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F ( - 1 , 0),则双曲线的离心率是()A. ：「B .C.匚「D.；22 2 212. ( 5分)若对？ x , y € ［0 , +s),不等式 4ax We X+y -2+e 「y -2+2 恒成立，则实数 是()C. 2 二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分。
2015哈三中二模 黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第二次模拟考试数学(理)试卷 扫描版含答案
2015年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学（理工）答案 一、选择题 二、 1-5 BADBC 6-10CCDDA 11-12 AB二、填空题（13） 39 （14）72 （15）332（16）32 17. （Ⅰ）由c B a B a 3cos 3sin =+，得分2sin 3cos sin 3sin sin C B A B A =+ ),sin(3cos sin 3sin sin B A B A B A +=+分4sin cos 3sin sin B A B A = 分63,3tan π==A A （Ⅱ）分87cos 22222 b A bc c b a =-+=分107212cos 222 -=-+=ab c b a C 分1233tan ,7233sin -==C C18．（Ⅰ）由题知，25.0=a ，设该群中某成员抢到钱数不小于3元为事件A ，则 35.01.025.0)(=+=A P . ………………………………4分 （Ⅱ）(2) 由直方图知，抢到钱数在2元以下的共15人，其中1元以下的有3人. 所以X 可能取值为0，1，2，3，455220)0(315312===C C X P ，455198)1(31521213===C C C X P ， 45536)2(31511223===C C C X P 4551)3(31533===C C X P ，……………8分 列为 所以X 的分布…………10分 所以X 的期望为534551345536245519814552200)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………………12分19.（Ⅰ）连结C B 1，交1BC 于点M ,则M 为1BC 中点,又D 为AC 中点,故MD ∥1AB ,又因为11BDC AB 平面⊄,1BDC MD 平面⊂,所以1AB ∥面1BDC . ------------------------4分（Ⅱ）以1C 为原点,如图建立空间直角坐标系. 设a AA =1,则)2,0,0(),0,,2(1B a A ,)0,0,2(),0,,1(1A a D ,)2,,2(1-=a A B ,)0,0,1(=DA ,)2,,1(1-=a D B ,)2,0,2(11-=B A ,设平面D AB 1的法向量为),,(z y x m =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01DA m A B m ,得),2,0(a m =, ----------5分同理得平面D B A 11的法向量为),1,(a a n =, ------6分cos 45cos =︒2=a . - ------------------8分)0,2,2(1--=AC ,)2,2,0(=m ,设直线1AC 与平面D AB 1所成角为θ,则21cos sin =θ,︒=30θ. ------------12分 20.126)1(22=+y x ----------4分024)3(1262),(),()2(22222211=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=my y m y xmy x y x N y x M θθcos 364sin =⋅ON OM ,90οθ=当02121=+y y x x ,0434232)1(,04)(2)1(22221212=++-+-+=++-+m mm m m y y m y y m 315±=m ----------7分 当,90οθ≠θθcos 364sin =⋅ON OM ，364sin ||||=θON OM21362sin ||||21y y ON OM S -===θ,384)(21221=-+y y y y 38324)34(222=+++m m m 0,3=±=m m ,综上所述，0,3=±=m m ，315±=m - ---------12分 21.（Ⅰ）当29=a 时,22)1(125)(++-='x x x x x f ,………………………………2分单调区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0和()+∞,2为增函数；⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21上为减函数…………………4分（Ⅱ）由22)1(1)2()(++-+='x x x a x x f ,要使)(x f 在),0(+∞上为增函数 只需1)2(2+-+x a x 在),0(+∞恒大于等于0,得xx x a 122++≤恒成立,由421122≥++=++xx x x x ，得实数a 的取值范围为]4,(-∞；……………8分先考察当4=a 时方程32)(2+-=x x x f 的解的个数 由14ln )(++=x x x f 在),0(+∞上为增函数,且21141ln )1(=++=f , 而322+-x x 也当1=x 时得2,且函数322+-=x x y 在)1,0(上递减,所以方程14ln ++x x 322+-=x x 在]1,0(上有且只有一个解1=x ……………9分下面证明方程14ln ++x x 322+-=x x 在),1(+∞上无解易证1ln -<x x 在),1(+∞上恒成立 只需证明-+-322x x 114->+x x 在),1(+∞上恒成立即可, 记24()341F x x x x =-+-+,得()21432)(++-='x x x F , 再记()2142)(++=x x x G ,得()0182)(3>+-='x x G 在),1(+∞上恒成立所以)(x G 在),1(+∞上增,而3)1(=G ,所以)(x F '在),1(+∞上恒正,所以)(x F 在),1(+∞上增,而0)1(=F ,所以-+-322x x 114->+x x 在),1(+∞上成立 综上：当4=a 时,方程1ln ++x ax 322+-=x x 只有一个解……………10分 而当4<a 时,14ln 1ln ++<++x x x a x , 且由上知≤++14ln x x 322+-x x ，所以4<a 时方程无解……………12分22. （Ⅰ）由DBC ACD ∠=∠，得DBC ∆∽分3 DCE ∆DCDB DE DC =,分52 DB DE DC ⋅= （Ⅱ）设M AC OD =⋂222r CM OM =+;分8222 CD CM MD =+分103,12)1(122 ==-+-r r r23. （Ⅰ）由已知[]2,2,1:2-∈-=x x y M ；分2: t y x N =+联立方程有一个解，可得11t +<≤+或54t =-分5（Ⅱ）当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ， 当012x =-，所以所求的最小距离为823分10 24. （Ⅰ）2-=a ，原不等式分1122 +≤-⇔x x31221221≤⇔+≤-⇔+≤-≥x x x x x x 时分3311221221≥⇔+≤-⇔+≤-≤x x x x x x 时综上原不等式的解集为分53,31 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡（Ⅱ）323)(+≤++⇔+≤x x a x x x f 分723233232ax a a x x x a x -≤≤--⇔≤+⇔+≤++ 15223123-≤≤-⇔≥-≤--a aa 且分10注明：数学勘误文理第6题，改为文理第19题及答题卡中，立体图形中左下角的改为。
2015年东北三省三校(哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题
2014-2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三下学期第一次联合模拟考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． １．已知集合2{0,},{30,},A b B x x x x Z ==-<∈若,AB ≠∅则b 等于（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 1或2=（ ）Ａ．i Ｂ．i -Ｃ．)i Ｄ．1i +３． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“cos2cos2A B <”的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．向量a,b满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ）Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．23 ６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ） A ．3 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．2（第６题图）正视图侧视图俯视图７．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上 任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）Ａ． []1,4 Ｂ． []1,3 Ｃ． []2,1- Ｄ． []1,1-８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｏ为球心，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A ．９． 已知数列{}n a 满足*312ln ln ln ln 32()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅⋅=∈-，则 10a =（ ）Ａ．26e Ｂ． 29e Ｃ．32e Ｄ．35e10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于１，则输入的t 值不能是下面的（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．(),2-∞ Ｂ．(],2-∞ Ｃ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ Ｄ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 12．函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为（ ）Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．若等差数列{}n a 中，满足46201020128a a a a +++=，则2015S =_________．14．若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．15．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦 点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点为1P ，则11PA PB -=____． 16．若函数()f x 满足: （ⅰ）函数()f x 的定义域是R ； （ⅱ）对任意12,x x ∈R 有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=；（ⅲ）3(1)2f =. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 是偶函数；③对任意12,n n ∈N ，若12n n <，则12()()f n f n <；④ 对任意x R ∈，有()1f x ≥-.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →→<⋅≤设→AB 和→AC 的夹角为θ． （Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的值域．18．（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况（3/g m μ）DCBAFE（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证: //CF 平面AED ；(Ⅱ)若AE =ABCDEF 的体积V .20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 过点(1,2)P 分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交1C 于,A B 两点(点,A B 异于点P ),若120k k +=，且直线AB 与圆2:C 221(2)2x y -+=相切，求△PAB 的面积. 21．（本题满分12分）已知实数a 为常数，函数2ln )(ax x x x f +=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线过点Ａ)2,0(-，求a 值； （Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点1212,()x x x x <．①求证：021<<-a ；②求证： 1()0f x <，21)(2->x f ． 请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
2015东北四市二模 东北三省四市教研联合体2015届高三第二次模拟考试理科综合试题及答案
2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）参考答案化学答案一、选择题7 8 9 10 11 12 13D C B A D C A二、非选择题26. （15分）（1）第四周期第VIII 族（2分）（2）TiO2++2H 2O H2TiO3+2H+或者TiO2++2H2O TiO（OH）2+2H+（2分）①防止Fe2+氧化为Fe3+ (1分)②消耗溶液中H+，促使TiO2+的水解平衡正向移动（1分）（3）蒸发浓缩、冷却结晶（2分）（4）TiCl4+（2+x）H2O（过量）TiO2·xH2O ↓+4HCl（2分）；加入大量的水并加热，能促进水解趋于完全。
（1分）（5）2Cl--2e- = Cl2↑（2分）；2TiCl42TiCl3+ Cl2↑（1分）TiCl4TiCl2+ Cl2↑（1分）（写TiCl2+TiCl4 = 2TiCl3 1分）27.（14分）（1）0.15mol/(L·min) (2分)（2）①ABC (2分)②υ(C)> υ(B)> υ(A) (2分)③4L (2分)（3）2CH4(g)+O2(g)=2CH3OH(g) ΔH=(a+2b)kJ/mol (2分)（4）①2CH3OH+3O2+4OH-=2CO32-+6H2O (2分)②c (K+)>c(CO32-)>c(HCO3-)>c(OH-)>c(H+) (2分)28. (14分)（1）HCOOH 浓硫酸△CO↑ + H2O（2分）（2）验纯(1分) II（1分）（3）继续通入氢气（或答隔绝空气）（1分）（4）9（2分）（5）12（2分）（6）长时间集中加热使局部温度达到还原生成铁所需要的温度（2分，合理答案参考给分）3Fe2O3 + CO △2Fe3O4 + CO2 （1分）Fe2O3 + CO△2FeO + CO2（1分）Fe2O3 + 3CO △2Fe + 3CO2（1分）36. （15分）（1）合成塔（1分）A（2分）（2）C+H2O CO+H2 (2分)（3）防止催化剂中毒（2分）CO32-+CO2+H2O=2HCO3-（2分）（4）在电磁场的作用下，氮氮三键更容易断裂，减少了合成氨反应所需的能量（1分）降低能耗，使反应更容易进行（其他合理答案均给分）（1分）（5）3（2分）2NH3-6e-=N2+6H+（2分）37. （15分）（1）O （1分）N （1分）（2）极性（1分）分子间可以形成氢键（2分）（3）SP2、SP3（各1分，共2分）（2分）（4）8 （2分）列式：（2分）结果：（2分）38. （15分）（1）消去反应（2分）；碳碳双键、羧基（各1分，共2分）（2）（2分）（3）（2分）（4）CH2(OH)CH(OH)CH3CH3COCOOH CH3CH(OH)COOH （3分，合理答案参考给分）（5）11 （2分）；（2分，其它合理答案也可）2015年三省四市第二次模拟考试参考答案及评分标准物理答案二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
2015东北三校二模 东北三省三校2015届高三第二次高考模拟考试 理科综合(扫描版含答案)
2015 哈师大附中三校二模物理试题参考答案14.D 15.B 16.B 17.B 18.D 19.BD 20.AC 21.ACD 其中17题条件不严密，选B 或选D 均给分。
22. (1) 42.20 （2分） (2) 2.988 （2分）23. (1) 2.0Ω（2分） （读做2Ω给分） (5) 4.49 （2分） 20.2 （2分）（6）图略（2分） 0.097kg （0.090—0.110均给分）（3分）24解：（1）设物块甲到C 点时的速度为v 1，由运动规律得：v 12=2a 1s （2分） 解得：v 1=2.0m/s（1分） 物块甲到C 点所用的时间t 1=v 1a 1=0.2s （2分）所以两物块相遇的位置在C 点右侧，x =v 1（t －t 1）=1.6m （2分） （2）设物块乙运动的加速度为a 2，由牛顿第二定律得 qE =ma 2（2分） a 2=145100.1100.2100.2--⨯⨯⨯⨯=m qE m/s 2=4.0m/s 2（1分）由运动规律得s 2－x =v 0t －12 a 2t 2（2分）解得：v 0=4.4m/s （1分）25 解：(1)米袋在AB 上加速时的加速度20/5s m mmga ==μ （1分）米袋的速度达到0v =5m ／s 时， 滑行的距离m a v s 5.220200== （1分）因此米加速一段后与传送带一起匀速运动到达B 点，到达C 点时速度v 0=5m ／s在AB 上加速运动时间为01a v t =s t 11= (1分) 在AB 上匀速运动的时间为02v s s t AB -= s t 1.02= （1分）所以 s t t t 1.121=+= （1分）(2) 设米袋在CD 上运动的加速度大小为a ，由牛顿第二定律得ma mg mg =-θμθcos sin （2分） 代人数据得a=2m ／s 2它能上滑的最大高度为h ，则有 av h 2s i n 20=θ （1分）m h 75.3= （1分）（3）米袋在AB 上运动时，则传送带对米袋做功为2021mv fs =J mv 1252120= （1分） 传送带克服小箱对它的摩擦力做功J fs 2502= （1分） 两者之差就是克服摩擦产生的热量20121mv Q =J Q 1251=（1分） 可见，在米袋在AB 上加速运动过程中，小箱获得的动能与产生热量相等。
2015年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)
2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}2．（5分）复数=（）A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6 B．7 C．10 D．95．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012 B．2016 C．2014 D．20156．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．8 C．10 D．128．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞） C．（1，3]D．[，+∞）9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）A．2n﹣1+3 B．2（2n﹣1+1） C．2n+1D．111．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1） B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为．15．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2频率分布表Ⅰ（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={x|0≤x＜1}，故选：B．2．（5分）复数=（）A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i【解答】解：==i，故选：C．3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或【解答】解：抛物线y=ax2化为：x2=，它的准线方程为：y=﹣，点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得|1+|=2，解得a=或﹣．故选：C．4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6 B．7 C．10 D．9【解答】解：由题意可得S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，∴2（a7+a8）=0，∴a7+a8=0，又a1＞0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n最大时，n=7故选：B5．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012 B．2016 C．2014 D．2015【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin+sin+…sin的值，因为sin的取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，由2012=335*6+2，所以输入的t值是2012时，S=sin+sin=＞12014=335*6+4，所以输入的t值是2014时，S=sin+sin+sin+sin=＜12015=335*6+5，所以输入的t值是2015时，S=sin+sin+sin+sin+sin=0＜12016=335*6+6，所以输入的t值是2016时，S=sin+sin+sin+sin+sin+sin2π=0＜1故选：A．6．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，因此不正确；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当m=0时，直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直；m≠0时，若两条直线垂直，则=﹣1，解得m=﹣1，可知：“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为：2．故选：B．7．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB⊥面ABC，VE⊥AB，CD⊥AB，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积V=×AB•CD•VE==10，故选：C8．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞） C．（1，3]D．[，+∞）【解答】解：设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d==b，|FB|=，因为|FB|≥d，所以≥b，所以c2≥2c2﹣2a2，所以2a2≥c2，所以1＜e≤．故选：A．9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为4×4=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|=，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则P∈B的概率为；故选A．10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）A．2n﹣1+3 B．2（2n﹣1+1） C．2n+1D．1【解答】解：由于二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n、b n，则a n =2n，b n =2﹣n，所以===2n+1故选：C．11．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：数列a n=n3﹣n2+3+m，令f（x）=x3﹣x2+3+m，（x≥1）．f′（x）=x2﹣x，由f′（x）＞0，解得x＞，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时函数f（x）单调递减．∴对于f（n）来说，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．f（3）﹣f（2）=9﹣﹣（﹣5）＞0，∴f（2）最小，∴×8﹣5+3+m=1，解得m=．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1） B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）【解答】解：由题意，x≥0，f（x）=为双曲线4y2﹣x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±x；当k=1时，由y=﹣ln（1﹣x），可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程为y=x，此时函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有1个零点，∴若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．【解答】解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）•（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为64π．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，由余弦定理可得AB=6，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，得球半径R==4，故此球的表面积为4πR2=64π．故答案为：64π．15．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有84种不同选课方案（用数字作答）．【解答】解：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为=6种，四个学生选这两种课共有24=16中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有14=84种．故答案为：84．16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=．【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=[sin（πx+φ）﹣cos（πx+φ）]，令sinα=，cosα=，则y=[sin（πx+φ）cosα﹣cos（πx+φ）sinα]=sin（πx+φ﹣α），∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcs inθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[，），∴sin（2θ﹣）∈[，1]，∴1+2sin（2θ﹣）∈[2，3]，∴f（θ）的取值范围为：[2，3]18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2频率分布表Ⅰ（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：=0.30．补全频率分布直方图，如右图所示．平均年龄估值为：（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：EX==．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴MF，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AE MF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=λ，∵=（，0，1），∴Q（，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，﹣λ，0），∴==，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为；（2）当AB斜率不存在时：，当AB斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）=8，即：，|AB|=•，O到直线AB的距离：d=，==，∴S△AOB∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，，∴此时综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB 面积取最大值为．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：）依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【解答】证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，求得﹣＜a＜．。
2015东北四市二模 东北三省四市教研联合体2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题及答案
201５年哈尔滨市高三二模测试数学（理科）参考答案与评分标准一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；(5)B ；（6）C ；（7）D ；（8）B ；（9）D ；（10）D ；（11) A ；（12）D ．二.填空题（13）[0,]6π；（14）52-；(15) (,1][3,)-∞+∞；（16）433R a- . 三.解答题（17）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ， ……………2分解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ，……………4分 于是可求得212+-=n a n ，……………6分（Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，……………7分 故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ， ……………8分 )211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n ……………10分 又因为211123+-+-n n 23<，……………11分 所以43->n T ，……………12分（18）解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . FM ∴∥AE ……………1分∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，……………2分∴AF ∥EM ，……………3分∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………5分(Ⅱ)60DAB ∠=，DE DC ∴⊥如图所示，建立坐标系，则 P (0,0,1),C (0,1,0),E (32,0,0), A (32，12-，0)，31(,,0)22B ∴31,,122AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0AB =. 设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅=，0n AP ⋅=，∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)2n =.……………7分 ∵(0,1,1)PC =-，……………8分 ∴设向量n PC θ与所成角为，∴3422cos 14724n PCn PC θ-⋅===-⨯，……………10分 ∴PC 平面P AB 所成角的正弦值为4214..……………12分 （19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，..……………2分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8），..……………3分 M F E B A CD P FE BAC D y zx P乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7），..……………4分 因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定. ..……………6分 (Ⅱ)X 可能取0,1,2211(0)525P X ==⨯=，31211(1)52522P X ==⨯+⨯=，313(2)5210P X ==⨯=， 所以X 分布列为： X0 1 2 P 15 12 310 ..……………8分 数学期望1011)(=X E ..……………9分 Y 可能取0,1,2313(0)5525P Y ==⨯=，342114(1)555525P Y ==⨯+⨯=，248(2)5525P Y ==⨯=， 所以Y 分布列为：Y0 1 2 P 325 1425 825 ..……………11分数学期望56)(=Y E ..……………12分 （20）解：(Ⅰ)1b =，..……………1分 3=2c e a =， 3,2==∴c a ，..……………3分 ∴椭圆C 方程为2214x y +=。
东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2014年高三第二次模拟 数学文试卷 Word版含答案
东北三省三校2014年高三第二次联合模拟考试（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{5,6,7}U A B ===，则()()U U C A C B ＝ A. {4，8}B. {2，4，6，8}C. {1，3，5，7}D. {1，2，3，5，6，7}2. 已知复数12z =-+，则||z z +＝A. 12-B. 12-+ C.12+ D.12 3. 已知数列{}n a 满足1220,1n n a a a ++==，则数列{}n a 的前10项和10S 为 A.104(21)3- B.104(21)3+ C.104(21)3-- D.104(21)3-+ 4. 已知1sin cos 3αα+=，则2sin ()4πα-=A.118B.1718C.89D.95. 已知：3:,:11p x k q x ≥<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. [1,)+∞D. (,1]-∞-6. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若1c o s ,s i n 3s i n 3A C B==，且ABC S ∆=则b =A. 1B.C.D. 37. 已知△ABC 中，||10,16,BC AB AC D =⋅=- 为边BC 的中点，则||AD等于A. 6B. 5C. 4D. 38. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 平均数B. 标准差C. 众数D. 中位数9. 已知某算法的流程图如图所示，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为A. （13，14）B. （12，13）C. （14，13）D. （13，12）10. 将函数()2sin(2)4h x x π=+的图象向右平移4π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的图象与函数()h x 的图象A. 关于直线0x =对称B. 关于直线1x =对称C. 关于点（1，0）对称D. 关于点（0，1）对称11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点1(,0)F c -、2(,0)F c (0)c >，过2F 的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点。
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哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2015年高三第二次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M={1,2}，N={2|log (21)2x x -≤}，则M NA ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2} 2．i 为虚数单位，复数20122015z ii =+在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．向量a =(2，-9)，向量b =(-3，3)，则与a-b 与同向的单位向量为 A ．(513，1213-) B ．(513-，1213) C ．(1213，513-) D ．( 1213-，513) 4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是A ．若l ⊥m ，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l ∥m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，m //α，则//l m 5．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设1311321,log 2,log 32a b c ⎛⎫===⎪⎝⎭，则 A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>c>a D ．c>a>b7．阅读如图所示的程序框图，则输出的A 的值是 A ．15 B ．21 C ．28 D ．368．已知双曲线22221x y a b -=(a>0，b>0的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线1x ya b+=，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 CD9．将函数21()sin 22x f x x =+的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再将所得图象向右平移3π得到函数g(x )，则函数g(x )的解析式为 A ．()cos 2xg x = B ．()sin 2g x x =-C ．()sin(2)3g x x π=-D ．()sin()26x g x π=+10．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为 A ．94πB ．9πC ．4πD ．π11．∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sinB=513，cosB=12ac，则a+c= ABC． D．12．已知4||()x f x x e =+，则满足不等式12(ln )(ln )(2)f t f f t-≤的实数t 的集合为A ．[e -1，e]B ．[e -2，e 2]C ：[0，e 2]D ．[e -2，e]第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．若21cos ()46πα+=，则sin 2α= ． 14．有一底面半径为l ，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 .15．已知实数x ，y 满足不等式组1200x x y kx y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若目标函数2z x y =-仅在点(1，k)处取得最小值，则实数k 的取值范围是 ．16．已知点A(12-，12)在抛物线C ：y 2=2p x (p>0)的准线上，点M 、N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若OM ON =3，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分l2分)已知数列{ a n }的前n 项和为S n ，且*112,2,n n a a S n N +==+∈．． (I)求数列{ a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =n n a ，求数列{b n }的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90％的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上．若将员工年龄分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，使用微信的人中75％是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中手是青年人．(I)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表； 2×(II)由列联表中所得数据，是否有99．9％的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?(Ⅲ)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A “选出的2人均是青年人”的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19，(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面∆ABC 为等边三角形，AB=4，AA 1=5，点M 是BB 1中点．(I)求证：平面A l MC ⊥平面AA 1C 1C ；(Ⅱ)求点A 到平面A 1MC 的距离．20．(本小题满分12分)椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-1，0)、F 2(1，0)，椭圆C 的上顶点与F 2的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)点M 在直线戈x =2上，直线MA 、MB 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2=2，求证：点M 为定点．21．(本小题满分12分)函数()ln f x x =，2()g x x x m =--(I)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(II)若2()()(2)x f x g x x x e +<--在x ∈(0，3)恒成立，求实数m 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答。
并用28铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22．(本小题满分10分)选修4一l ：几何证明选讲如图，已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点A ，CD 是∠ACB 的平分线，交AE 于点F ，交AB 于点D ． (I)求证：CE AB=AE AC ；(Ⅱ)若AD ：DB=1：2，求证：CF=DF ．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ+0θ)，其中0θ是常数．设点Q 的平面直角坐标是(m ，n)． (I)用x ，y ，0θ表示m ，n ； (Ⅱ)若m ，n 满足mn=1，且0θ=4π，求点P 的直角坐标(x ，y )满足的方程．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知a ，b ，c>0，a+b+c=1． 求证：≤ (II)11133131312a b c ++≥+++.2015年高三第二次联合模拟考试文科数学答案一．选择题二．填空题 13．23 14．23 15．()2,+∞ 16．225 三.解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1n =时211242a S a =+== ……2分 当2n ≥时111222n n n n n n a S a a a S ++-=+⎫⇒=⎬=+⎭， ……4分数列{}n a 满足12n n a a +=（*n N ∈），且12,a =2n n a ∴=（*n N ∈）． ……6分（Ⅱ）2n n n b n a n =⋅=⋅1231122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ……8分两式相减，得12311222222n n n n T n -+-=+++++-⋅12(12)212n n n T n +--=-⋅-12(1)2(*)n n T n n N +=+-⋅∈． ……12分18．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）由已知可得，该公司员工中使用微信的共：2000.9180⨯=人 经常使用微信的有18060120-=人，其中青年人：2120803⨯=人 所以可列下面22⨯列联表：（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：()22180805554013.3331206013545K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯……7分由于13.33310.8>,所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”. ……8分（Ⅲ）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有8064120⨯=人，中年人有2人 设4名青年人编号分别1,2,3,4，2名中年人编号分别为5,6， 则“从这6人中任选2人”的基本事件为： （1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共15个 ……10分 其中事件A“选出的2人均是青年人”的基本事件为：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）（2,4）（3,4）共6个 ……11分 故2()5P A =． ……12分19. （本小题满分12分） （Ⅰ）证明：记1AC 与C A 1的交点为E .连结ME .直三棱柱111C B A ABC -,点M 是1BB 中点,∴28911====MC MC MA MA . 因为点E 是1AC 、C A 1的中点，所以1AC ME ⊥且C A ME 1⊥， ……4分从而ME ⊥平面11AAC C .因为ME ⊂平面1A M C ，所以平面1A M C ⊥平面11AAC C . ……6分（Ⅱ）解：过点Ａ作1AH AC ⊥于点H ， 由（Ⅰ）知平面1A MC ⊥平面11AAC C ，平面1A MC 平面111AAC C AC =， 而AH ⊥平面11AAC C∴AH即为点A到平面1A M C的距离． ……9分在1A AC ∆中，190A AC ∠=︒，15,4,A A AC ==1AC ∴41AH ==即点A到平面1A M C的距离为41……12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知：22222222321211a b a x y a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩ ……4分 （Ⅱ）若直线AB 斜率不存在，:1AB x =．不妨设(1,(1,22A B ，(2,)M m则12212m k m -==--，22212m k m ==+-，122k k +=22,1m m ∴== ……6分若直线AB 斜率存在设为k设直线AB 方程为：(1)y k x =-，1122(,),(,),(2,)A x y B x y M m222222(1)(12)42(1)012y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122242(1),1212k k x x x x k k -+==++， ……7分121212(1)(1),,22k x m k x mk k x x ----==--12k k + 121212122(3)()4()2()4kx x k m x x k m x x x x -++++=-++ (8)分22442(1)k m mk +=+2=， 所以1m = ……10分所以定点(M ……12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()ln F x x x x m =-++，定义域()0,+∞(21)(1)()x x F x x+-'=-()001;()01;()01F x x F x x F x x '''>⇔<<<⇔>=⇔=()(1)F x F m ==极大，没有极小值. ……4分（Ⅱ）2()()(2)xf xg x x x e +<--在(0,3)x ∈恒成立；整理为：(2)ln xm x e x x >-+-在(0,3)x ∈恒成立；设()(2)ln xh x x e x x =-+-， 则1()(1)()xh x x e x'=--， ……6分1x >时，10x ->，且1,1x e e x ><，10x e x∴->，()0h x '∴>； ……7分 01x <<时，10x -<，设211,0,x xu e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)递增，0x →时1,0u x→+∞∴<，1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010x u e x =-=，0(0,)x x ∴∈时，0u <；0(,1)x x ∈时，0u > 0(0,)x x ∴∈时，()0h x '>；0(,1)x x ∈时，()0h x '<函数()h x 在0(0,)x 递增，0(,1)x 递减，(1,3)递增 ……9分000000000012()(2)ln (2)212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=-- 002(0,1),2x x ∈∴-<-，00002()12121h x x x x =--<--<- 3(3)ln330h e =+->,(0,3)x ∴∈时，(h x h <， ……11分(3)m h ∴≥,即3(ln33,)m e ∈+-+∞． ……12分22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）证明：由ACE ∆∽BCA ∆， 得,CE AE CE AB AE AC AC AB =⋅=⋅ ……5分 （Ⅱ）证明： CD 平分ACB ∠， ACF BCD ∴∠=∠AC 为圆的切线，CAE CBD ∴∠=∠ACF CAE BCD CBD ∴∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠ACF ∆∽BCD ∆ 12CF AF AD CD BD BD ∴===，CF DF ∴= ……10分23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x 和⎩⎨⎧+=+=).sin(),cos(00θθρθθρn m即⎩⎨⎧+=-=,sin cos cos sin ,sin sin cos cos 0000θθρθθρθθρθθρn m所以⎩⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos 0000θθθθy x n y x m ……5分（Ⅱ）由题意知,,m x y n x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以()()22222x y x y -+=. 整理得12222=-y x . ……10分24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）证法一：(2()()()()()3a b a b c a b c a b b c c a +=+++≤++++++++=≤ (5)分证法二：由柯西不等式得:2222222(111]3≤++++=,≤（2）证法一：4(31)4,3143331a a a a ++≥=+∴≥-+ 同理得4433,333131b cb c ≥-≥-++，以上三式相加得，1114()93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++，11133131312a b c ∴++≥+++． ……10分 证法二：由柯西不等式得:2111[(31)(31)(31)]()3131319a b c a b c ++++++++++≥= 11133131312a b c ∴++≥+++．。