2019-2020学年人教A版选修2-2 导数的计算课时作业 (1)

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2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.2.2导数的运算法则 Word版含解析

1．2.2 导数的运算法则填一填1.导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ) 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ) 两个函数的积的导数 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的商的导数⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 2.复合函数复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成_x的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) 复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积判一判1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .(√) 2．函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．(×) 3．y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成．(√) 4．已知f (x )＝x cos x ，则f ′(x )＝cos x ＋x sin x ．(×)5．已知f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝1ex .(×)6．若函数y ＝f (x )的导数f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.(×) 7．y ＝e 2x 的导数是y ′＝2·e 2x .(√) 8．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )．(×)想一想1.(1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则； (2)求导前可以先对解析式进行适当的变形，以便于求导； (3)准确使用公式；(4)注意区分参数与变量．2．如何判断一个函数是不是复合函数？除了六大类基本初等函数之外的其他函数基本都是复合函数，基本初等函数包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数．3．复合函数求导，先内后外和先外后内有区别吗？复合函数求导时，先外后内层次清楚，先内后外容易搞乱，易错，建议习惯于先外后内的顺序求导．4．复合函数求导的关键点是什么？正确分解初等函数的复合结构是复合函数求导的关键点．感悟体会练一练1.函数f (x )＝x (x 2－A ．x 2－1 B ．3x 2 C ．3x 2－1 D ．3x 2－x解析：因为f (x )＝x (x 2－1)＝x 3－x ，所以f ′(x )＝3x 2－1，故选C. 答案：C2．函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y ＋1＝0解析：∵f ′(x )＝1＋ln x ＋1＝ln x ＋2，∴f ′(1)＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选B.答案：B3．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：依题意，可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，因为导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a >0，b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，又f (x )＝ax 2＋bx ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，∴－b 2a <0，－b 24a<0，∴顶点⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a 在第三象限，故选C.答案：C4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：∵f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案：－4知识点一导数运算法则的应用1.设f (x A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10 解析：∵f (x )＝10x ＋lg x ，∴f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e ，故选B.答案：B2．求下列函数的导数(1)y ＝x －2＋x 2. (2)y ＝3x e x －2x ＋e.(3)y ＝ln x x 2＋1.解析：(1)y ′＝(x 2)′＋(x －2)′＝2x －2x －3. (2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x ·e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x ·(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x ·(x 2＋1)－ln x ·(2x )(x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2·ln x x (x 2＋1)2.知识点二求复合函数的导数3.已知f (解析：由F (x )＝f (x 3－1)＋f (1－x 3)，得F ′(x )＝f ′(x 3－1)·(x 3－1)′＋f ′(1－x 3)·(1－x 3)′＝3x 2f ′(x 3－1)－3x 2f ′(1－x 3)，∴F ′(1)＝3f ′(0)－3f ′(0)＝0. 答案：04．求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4.(2)y ＝cos x 2.(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (4)y ＝1＋x 2.解析：(1)令u ＝1－3x ，则y ＝1u 4＝u －4，所以y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin x 2.(3)令u ＝2x －π3，则y ＝sin u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (4)令u ＝1＋x 2，则y ＝u ＝u 12，∴y ′x 5.2，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：因为f (x )＝x 2，所以f ′(x )＝2x ，所以函数f (x )＝x 2在点(a ，a 2)(a >0)处的切线斜率f ′(a )＝2a ，切线方程为y －a 2＝2a (x －a )，令x ＝0，得y ＝－a 2；令 y ＝0，得x ＝a2，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×|－a 2|×⎪⎪⎪⎪a 2＝2，解得a ＝2，故选B. 答案：B6．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析是________．解析：由题意可知，f ′(－1)＝－3，所以a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，所以－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.答案：f (x )＝－52x －12e x ＋17．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或2564D ．－74或7解析：设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，则3x 20－2x 30＝0，解得x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，切点为(0,0)，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564；同理，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，故选A.答案：A8．已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的曲线段AOB 上求一点P ，使△APB 的面积最大．解析：因为|AB |为定值，所以要使△APB 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，即点P 是抛物线与平行于AB 的直线相切时的切点．设P (x ，y )，由图知，点P 在x 轴下方的图象上，所以y ＝－2x ，所以y ′＝－1x，因为k AB ＝－12，所以－1x ＝－12，解得x ＝4，所以y ＝－24＝－4，所以点P 的坐标为(4，－4)．基础达标一、选择题1．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( ) A ．6x 5＋12x 2 B ．4＋2x 3 C ．2(2＋x 3)2 D ．2(2＋x 3)·3x解析：∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6，∴ y ′＝12x 2＋6x 5，故选A. 答案：A2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103 D.133解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，且f ′(－1)＝4，∴3a －18＋6＝4，解得a ＝163，故选B.答案：B3．曲线y ＝cos x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x －2y ＋1＝0 D ．2x －y ＋1＝0解析：当x ＝0时，y ＝cos 0＋e 0＝2，又y ′＝－sin x ＋e x ，所以y ′|x ＝0＝－sin 0＋e 0＝1，所以切线方程为y －2＝1·(x －0)，即x －y ＋2＝0，故选B.答案：B4．已知函数f (x )＝x －sin x ，且f (x )的导数为f ′(x )，若a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π6，b ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3，c ＝f ′⎝⎛⎭⎫π2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．a >b >cC ．a <b <cD ．b <a <c解析：∵f ′(x )＝1－cos x ，而y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，∴f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6<f ′⎝⎛⎭⎫π3<f ′⎝⎛⎭⎫π2，即a <b <c ，故选C. 答案：C 5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图可知点(3,1)既在曲线y ＝f (x )上，又在切线y ＝kx ＋2上，所以f (3)＝1,1＝3k ＋2，解得k ＝－13，∴f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，故选B. 答案：B6．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)解析：由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得f ′(x )＝2x －2－4x ，解f ′(x )>0得(x ＋1)(x －2)x>0，∵x >0，∴x >2，∴f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)，故选C. 答案：C7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x ＋1e x＋2，∵e x >0，∴e x ＋1e x≥2，∴e x ＋1e x ＋2≥4，∴－1≤－4e x ＋1e x ＋2<0，又α为曲线在点P 处切线的倾斜角，∴tan α＝k ＝y ′∈[－1,0)，∴3π4≤α<π，故选D.答案：D 二、填空题8．已知函数f (x )＝e 2x ，则过原点且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为________．解析：设过原点与曲线f (x )相切的切点为(x 0，e2x 0)，又f ′(x )＝e 2x ·(2x )′＝2e 2x ，∴切线的斜率k ＝2e2x 0，∴切线方程为y －e2x 0＝2e2x 0(x －x 0)，∵切线过原点，∴－e2x 0＝2e2x 0(－x 0)，解得x 0＝12，∴所求切线方程为y ＝2e x .答案：y ＝2e x9．若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________.解析：(方法一)y ′＝4sin 3x (sin x )′－4cos 3x (cos x )′＝4sin 3x cos x －4cos 3x ·(－sin x )＝4sin x cos x (sin 2x ＋cos 2x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x .(方法二)∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴y ′＝(－cos 2x )′＝sin 2x ·(2x )′＝2sin 2x . 答案：2sin 2x10．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ＝e ax ，∴y ′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，∴y ′|x ＝0＝a e 0＝a ，又曲线y ＝e ax 在点 (0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，∴a ＝2. 答案：211．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．解析：∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4·sin π4＋cos π4，解得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)·cos π4＋sin π4＝1. 答案：112．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.解析：∵f (x )＝cos(3x ＋φ)，∴f ′(x )＝－sin(3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋π3， ∵f (x )＋f ′(x )为奇函数，∴φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.答案：π6三、解答题13．求下列函数的导数： (1)y ＝x e x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝2xx 2＋1；(4)y ＝x sin x －2cos x .解析：(1)y ′＝x ′·e x ＋x ·(e x )′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .(2)因为(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6. 所以y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1′＝(2x )′(x 2＋1)－2x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x. 14．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求过点P (2,4)的曲线的切线方程．解析：(1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点P (2,4)处切线的斜率k ＝22＝4， ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点M ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， ∵点P (2,4)在切线上，∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x 30－3x 20＋4＝0，∴(x 0＋1)(x 20－4x 0＋4)＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，当x 0＝－1时，切线方程为x －y ＋2＝0；当x 0＝2时，切线方程为4x －y －4＝0.能力提升15.求曲线y ＝ln(2x －1)解析：作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象知，它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线y ＝ln(2x －1)相切时，切点到直线l 的距离即为曲线上的点到直线l 的最短距离．设切点为M (x 0，y 0)，∵y ＝ln(2x －1)，∴y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1，由22x 0－1＝2，得x 0＝1， ∴y 0＝ln(2x 0－1)＝ln 1＝0， ∴M (1,0)∴曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为点M (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.16．已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝axx 2＋b，∴f ′(x )＝a (x 2＋b )－ax ·2x (x 2＋b )2＝ab －ax 2(x 2＋b )2，∵f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝2即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a(1＋b )2＝0，a1＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1.∴f (x )＝4x x 2＋1，(2)∵f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，∴直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20(x 20＋1)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 20＋1)2－1x 20＋1 令t ＝1x 20＋1∈(0,1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12∈⎣⎡⎦⎤－12，4， ∴斜率k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，4.。

2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数课件(50张)

这些命题中，真命题的个数是________．【解析】 ②③正确．【答案】 2
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】小，大
题型二闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)．又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点呢？

人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-2导数的计算

课时作业2 导数的计算一、选择题1．若对任意x 属于R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝－1，∴b ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.故应选B.B2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －xy ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．故应选A.A3．若函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)的导数为0，则实数x 是( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 2－a 2＝0得x ＝±a .故应选B.B4．函数f (x )＝2a 3＋5a 2x 2－x 6的导数为( )A ．6a 2＋10ax 2－x 6B ．2a 3＋10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．5a 2x －6x 5f ′(x )＝(2a 3＋5a 2x 2－x 6)′＝10a 2x －6x 5.故应选C.C5．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(2x )′＝－1x 2＋2， ∴当x ＝0时，函数无定义，且y ′不存在，故该函数在x ＝0处没有切线．故应选C.C6．若曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4y ′＝(x n )′＝n ·x n －1.由n ·2n －1＝12得n ＝3.故应选C.C7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)，∵f ′(x )＝3(x －1)2＋3，∴f ′(1)＝3.故应选A.A8．设函数y ＝f (x )是线性函数，已知f (0)＝1，f (1)＝－3，则f ′(x )＝( )A ．4xB ．－4C ．－2D ．6由f (x )是线性函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，由f (0)＝1，f (1)＝－3，解得a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.故应选B.B二、填空题9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．∵y ＝x 34 ，∴y ′＝34x 34 -1 ＝34x -14 ， ∴y ′| x =16＝38.3810．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．令f (x )＝x 3＋x ＋1，由导数的几何意义知在点(1,3)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以由点斜式得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.4x －y －1＝1011．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．y ′＝3x 2，所以k ＝y ′⎪⎪x ＝1＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.由⎩⎨⎧ y ＝3x －2x ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝4，所以S ＝12×43×4＝83. 83 12．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. y ′＝3x 2，所以切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，与直线x ＝a 的交点为(a ，a 3)，所以三角形面积为S ＝12×a 3×a 3＝16，解得a ＝±1. ±1三、解答题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ① ∵y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x =2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③ 联立①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(1)求曲线y ＝2x x 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度． (1)∵y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2 ＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′| x =1＝2－24＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x x 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1.(2)S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2)′ ＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t 3＋4t . S ′| t =3＝－19＋227＋12＝112627. 15．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)，且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数y ＝f (x )的表达式．∵f (x )是偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝d ＝0，f (x )＝ax 4＋cx 2＋e ，又∵图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1，∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1，f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，当x ＝1时，f ′(1)＝4a ＋2c ＝－2， ①对于2x ＋y －2＝0，当x ＝1时，y ＝0.∴点(1,0)在f (x )图象上，∴a ＋c －1＝0. ②由①②解得a ＝－2，c ＝3，因此f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.16．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x－x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. ①对C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4，解得⎩⎨⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎨⎧ x 1＝2x 2＝0，∴直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

高中数学(人教A版,选修22)1.2 导数的计算课件+同步练习(9份)22 1.2.1

[方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据结论直接写出结果，不必再按定义求解．
求函数y＝1x在点－3，－13处的切线方程．
[解析] y′＝1x′＝－x12，切线的斜率k＝y′|x＝－3＝－19. 又切线过点－3，－13. 所以切线方程为y－－13＝－19(x＋3)，即x＋9y＋6＝0.
∴－x120＝－1 x20＝b
，解得xb0＝＝21 或xb0＝＝－－21 .
即当b＝2时，切点为(1,1)；
当b＝－2时，切点为(－1，－1)．
典例探究学案
常用函数的导数
(1)求函数f(x)＝π的导数． (2)求函数y＝1x在点(1,1)处的切线方程．
[解析] (1)∵π为常数，∴f ′(x)＝0. (2)∵k＝y′＝－x12，当x＝1时，k＝－1， ∴切线方程为：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
5．若直线 y＝－x＋b 为函数 y＝1x的图象的切线，求 b 及切点坐标．
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，因为 y′＝1x′＝－x12，所以切线斜率为 k＝－x120. 所以切线方程为 y－x10＝－x120(x－x0) 即 y＝－x120x＋x20 .
又切线方程为y＝－x＋b，
∴切线与x轴交点为(32，0)，与直线x＝2的交点为(2,2)．
∴S＝12×(2－32)×2＝12.
规范答题样板
如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝ x(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标及a的值．
[解题思路探究] 第一步，审题．一审结论探索解题方向．求点P坐标和a值，需利用条件建立坐标及a的方程求解；二审条件找解题突破口．两曲线相切于点P，在点P处有相同切线表明切点是关键，切点在两曲线上和切线上，这是解题的突破口．第二步，建联系确定解题步骤．只要设出切点坐标，则过点P的两曲线切线的斜率相等，由此可求出切点坐标，代入f(x)解析式中可求出a. 第三步，规范解答．

数学人教A版选修2-2预习导航：1.2 导数的计算(第1课时) pdf版含解析

预习导航
课程目标
学习脉络
1．能根据定义求函数
y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝，y ＝的导
1
x x 数．
2．掌握基本初等函数的导数公式，并能
进行简单的应用.1．几个常用函数的导数原函数
导函数f (x )＝c (c 为常数)
f ′(x )＝0f (x )＝x
f ′(x )＝1f (x )＝x 2
f ′(x )＝2x f (x )＝1
x
f ′(x )＝－1x 2f (x )＝x f ′(x )＝1
2x
思考如何理解常数函数的导数为0的意义？
提示：设f (x )＝c ，则f ′(x )＝0的几何意义为函数f (x )＝c 的图象上每一点处的切线的斜率都为0，其物理意义为若f (x )＝c 表示路程关于时间的函数，则f ′(x )＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
2．基本初等函数的导数公式原函数
导函数f (x )＝c (c 为常数)
f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈Q *)
f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x
f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x
f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x
f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x
f ′(x )＝e x f (x )＝lo
g a x
f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1
x。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.2导数的计算1.2.2(二)Word版含答案

)
A． y＝2x＋1
B．y＝ 2x－1
C． y＝－ 2x－3
D．y＝－ 2x＋ 2
答案 A
解析
x′ ∵ y′＝
x＋2 －x x＋2 x＋2 2
′ ＝
2 x＋2
2，
2 ∴ k＝y′ |x＝－1＝－1＋ 2 2＝ 2，
∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋ 1.
1 4．直线 y＝2x＋ b 是曲线 y＝ ln x(x>0)的一条切线，则实数 b＝ ________.
化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪演练 1 求下列函数的导数：
(1)y＝ 5－ 4x3； (2)y＝3x2＋xcos x；
(3)y＝
ex·ln
x；(4)y＝ lg
1 x－x2.
解 (1)y′＝－ 12x2；
(2)y′ ＝(3x2＋xcos x)′＝ 6x＋cos x－xsin x； (3)y′ ＝ exx＋ex·ln x；
答案 4
解析依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝ g′ (1)＋ 2＝ 4. 6．已知 f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝________.
答案 1 解析由于 f′(0)是一常数，所以 f′ (x)＝x2＋ 3f′(0)，
令 x＝0，则 f′(0)＝0， ∴ f′(1)＝12＋ 3f′(0)＝ 1.
∴ y′＝ x′－ (4 x)′＋ 4′
＝ 1－ 4× 12x－12＝1－
2 .
x
法二令 u＝ x－ 2，
则 yx′＝ yu′·ux′＝ 2( x－2) ·( x－ 2)′＝
2(
x－2)
12·1x－ 0
＝1－

2019-2020学年人教A版选修2-2 数学归纳法课时作业

2019-2020学年人教A 版选修2-2 数学归纳法课时作业1.用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为当时,6331232k k k +++++=,当时,=,故选A ．2.设()()*111122f n n n n n =++⋅⋅⋅+∈++N ，那么()()1f n f n +-= A ．121n + B ．122n +C ．112122n n +++D ．112122n n -++ 【答案】D【解析】()()()11111112321122f n f n n n n n n n ⎛⎫+-=+++-+++⎪+++++⎝⎭11111212212122n n n n n =+-=-+++++．故选D ． 3.当是正整数时，用数学归纳法证明从到等号左边需要增加的代数式为 A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】当时，.则当时，，作差可得从到，等号左边需增加的代数式为，故选D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．4.用数学归纳法证明：()22311111n n c c c c cc c++-+++++=≠-，当1n =时，左边为__________．【答案】21c c ++【解析】等式的左边是以1为首项，c 为公比的等比数列的前2n +项的和，观察当1n =时，等式左边等于21c c ++,故答案为21c c ++. 5.对于不等式<n+1(n ∈N *),某同学用数学归纳法证明的主要过程如下:（1）当n =1时,<1+1 ,不等式成立;（2）假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立,有<k+1,即k 2+k <(k+1)2,则当n =k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n =k+1时,不等式也成立.则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号) ①证明过程全部正确;②n =1的验证不正确;③n =k 的归纳假设不正确;④从n =k 到n =k+1的推理不正确. 【答案】④【解析】n =1的验证及n =k 的归纳假设都正确,但从n =k 到n =k+1的推理中没有使用归纳假设,而是通过对不等式的放缩直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故填④.6.用数学归纳法证明不等式()*1111223212nnn n ++++>≥∈-N ，的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项【答案】【解析】当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 7.求证:++…+=1-(其中n ∈N *). 【解析】(1)当n =1时,左边=,右边=1-,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即++…+=1-.那么当n=k+1时,++…++=1-+=1-,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.8.证明：.【解析】设.(ⅰ)当n=1时，，，.(ⅱ)假设当n=k时，.则当n=k+1时，.要证：,只需证：.由于,所以.于是对于一切的自然数，都有11．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.【解析】(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立.(2)假设n＝k时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3).由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除，故n＝k＋1时命题也成立.由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.12．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.【解析】当n＝1、n＝2、n＝3时都有2n＋2＞n2成立,所以归纳猜想2n＋2＞n2成立.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时,左边＝21＋2＝4；右边＝1,左边＞右边,所以原不等式成立；当n ＝2时,左边＝22＋2＝6,右边＝22＝4,所以左边＞右边；当n ＝3时,左边＝23＋2＝10,右边＝32＝9,所以左边＞右边. ②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N *)时,不等式成立,即2k ＋2＞k 2.那么n ＝k ＋1时，2k +1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2＞2·k 2－2，又因为2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0, 即2k +1＋2＞(k ＋1)2成立.根据①和②可知,2n ＋2＞n 2对于任何n ∈N *都成立.13.在数列中，，其中.（1）计算的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.【解析】（1）由题意，1211213a a a ==+，232113221513a a a ===++，343115221715a a a ===++. （2）由1234,,,a a a a 猜想1.21n a n =-以下用数学归纳法证明：对任何的*n ∈N ,1.21n a n =-证明：①当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11.211=⨯-所以1n =时成等式.②假设当()*n k k =∈N 时，121k a k =-成立，则1n k =+时，()111121121212112121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-，所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知对于任何*n ∈N ，121n a n =-成立.。

【人教A版数学选修2-2】课时作业1

RJA·数学·选修2-2
第7页
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解析：由题图知，在 0 到 t0 范围内甲的平均速度等于乙的平均速度；由于 s2－s0>s1－s0，所以在 t0 到 t1 范围内甲的平均速度大于乙的平均速度．
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第8页
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7．设函数 f(x)可导，则lim
Δx→0
f1＋Δ3Δxx－f1等于(
Δx→0
点，所以 b2－4a＝0，所以f′f10 ＝a＋bb＋1＝b4＋1b＋1≥2 b4·1b＋
1＝2，当且仅当b4＝1b，即 b＝2 时，等号成立．故f′f10的最小
值为 2.
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第21页
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15．服药后，人体血液中药物的质量浓度 y(单位：μg/mL)与时间 t(单位：min)的函数是 y＝f(t)，假设函数 y＝f(t)在 t＝10 和 t ＝100 处的导数分别为 f′(10)＝1.5 和 f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义．
A．0
B．3
C．2
D．3－2t
解析：v＝ lim Δx→0
2t＋Δt－t＋ΔΔt t2－2t－t2＝Δlitm→0
(2－2t－Δt)
＝2－2t，
∴vt＝0＝2－2t|t＝0＝2.
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二、填空题 9．某婴儿从出生到第 24 个月的体重(单位：千克)变化情况
如图所示，试计算第二年该婴儿体重的平均变化率为__0_.2_5__千克
解析：由定义，得函数值的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选 D.
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2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2同步训练：1.2 导数的计算

1.2 导数的计算1、设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,则1*(=)n y x n +∈N ()1,1x n x 的值为( )12...n x x x ⋅⋅⋅A. 1n B. 11n +C. 1nn +D. 12、曲线在点处的切线过原点,则该切线的斜率为( )y lnx =M A. 1B. eC. 1-D. 1e3、给出下列结论:①;()=cosx sinx '②;'=cos 33sin ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭③若,则;21y=x 1y x '=④.'⎛= ⎝其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.34、曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )x y e =()22,e A. 294e B. 22eC. 2e D. 22e 5、已知函数,则( ) A. B. C. D. 6、设,若,则的值等于( )()3232f x ax x =++()'14f -=a A. B. C. D. 1931631331037、若曲线在点处的切线方程是,则( )2y x ax b =++(0,)b 10x y -+=A. 1,1a b ==B. 1,1a b =-=C. 1,1a b ==-D. 1,1a b =-=-8、已知函数的定义域为,且满足 (是的导()f x ()0,+∞()()0f x x f x '+⋅>()'f x ()f x 函数),则不等式的解集为( )()()()2111x f x f x --<+A. B. C. D. ()1,2-()1,2()1,+∞(),2-∞9、已知,则 ( )()()23'1f x x xf =+()'2f =A.1 B.2 C.4 D.810、定义在上的函数的导函数为,若对任意实数有,且R () f x ()'f x x ()()'f x f x >为奇函数,则不等式的解集是( )()2017f x +()20170x f x e +<A. (),0-∞B. ()0,+∞C. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则ln y x x =+()1,1()221y ax a x =+++__________a =12、已知函数且,则的值为__________()sin f x a x =()'2f π=a 13、若,则________.()()3log 21f x x =-()'2f =14、已知,则 .()()'1ln f f x x x x =+()1f '=15、已知抛物线过点,且在点处与直线相切,求,2y ax bx c =++()1,1 ()2,1-3y x =-a ,的值.b c答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：由题意得1n n x n =+则,故选B.12n 12311x x ...x =...23411n n n n n -⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯=++2答案及解析：答案：D解析：设,()00,M x lnx 由得y lnx =1,y x'=所以切线斜率,00|1x x k y x =='=所以切线方程为()0001.y lnx x x x -=-由题意得,即,()0001001lnx x x -=-=-01lnx =所以.0x e =所以故选D.11k=x e0=3答案及解析：答案：B解析：因为,所以①错误;()=-cosx sinx '而,所以②错误;33sin π=3'0=,所以③错误;2321'()2x x x --⎛⎝⎭'=⎫=⎪-所以④正确,故选B.1232'(12)x x --'⎛===- ⎝4答案及解析：答案：D解析：∵,∴切线的斜率,'x y e =2k e =∴切线方程为,它与两坐标轴的交点坐标分别为,22y e x e =-()()20,,1,0e -∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.22e5答案及解析：答案： D解析： ∵,∴,∴.6答案及解析：答案：D 解析：先求出导函数,再代值算出.a ,()2'36f x ax x =+∴ ,()'1364f a -=-=∴ 103a =故选D.7答案及解析：答案：A解析：∵,∵曲线在点处的切线方程0'2|x y x a a ==+=2y x ax b =++(0,)b 的斜率为,∴,又切点在切线上,∴∴.故10x y -+=11a =10x y -+=010b -+=1b =选A.8答案及解析：答案：B解析：设,则,()()g x xf x =()()()''g x f x x f x =+⋅∵()()0f x x f x '+⋅>()'0g x ∴>即在为增函数,()g x ()0,+∞则不等式等价为,()()()2111x f x f x --<+()()()()()211111x x f x x f x -+-<++即,()()()()221111x f x x f x --<++即,()()211g x g x -<+∵在为增函数,()g x ()0,+∞,即,即,22101011x x x x ⎧->⎪∴+>⎨⎪-<+⎩1,1112x x x x ><-⎧⎪>-⎨⎪-<<⎩12x <<故不等式的解集为,()1,2故选: .B 根据条件构造函数,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行()()g x xf x =转化求解即可.本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数,利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键9答案及解析：答案：A解析：()()'23'1f x x f =+令,得,1x =()()'123'1f f =+()11f =-.()'23f x x ∴=-()21f ∴'=故选A10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析：答案：8解析：∵,()1'1f x x=+∴,()'12f =∴切线方程为,()121y x -=-即.21y x =-由()221,{21,y x y ax a x =-=+++得。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：1.3.1 函数的单调性与导数(2) Word版含解析

课时作业7 函数的单调性与导数(2)知识点一已知函数单调性求参数的值或取值范围 1.函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)答案 B解析 ∵f (x )＝x 3＋ax －2，∴f ′(x )＝3x 2＋a . ∵由已知，f ′(x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥－3x 2在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥－3.2．若函数f (x )＝mx ＋x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，则m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析由题意知f ′(x )＝m ＋12x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，即m ≥－12x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立．令g (x )＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，则g ′(x )＝14x－32.因为g ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上有g ′(x )>0，所以g (x )max ＝g (1)＝－12，所以m ≥－12.故选A.3．已知f (x )＝2ax －1x 2，若f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为________．答案 [－1，＋∞)解析由已知得f ′(x )＝2a ＋2x 3. ∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x 3在x ∈(0,1]上恒成立，而g (x )＝－1x 3在(0,1]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1.4．已知函数f (x )＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．解 f ′(x )＝6ax 2＋8x ＋3.∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a ≤0，a ＞0，解得a ≥89. 经检验，当a ＝89时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意． ∴当a ≥89时，f (x )在R 上单调递增. 知识点二利用单调性比较大小 5.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (e)<f (3)<f (2) B ．f (3)<f (e)<f (2) C ．f (e)<f (2)<f (3) D ．f (2)<f (e)<f (3)答案 D解析 f ′(x )＝12x ＋1x ，∴x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又2<e<3，∴f (2)<f (e)<f (3)，故选D.6．若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (b )>bf (a )B ．af (a )>bf (b )C ．af (a )<bf (b )D ．af (b )<bf (a )答案 C解析令g (x )＝x ·f (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0, ∴g (x )在R 上是增函数．又∵a ，b 为常数且a <b ， ∴g (a )<g (b )，即af (a )<bf (b ).知识点三含参数的函数的单调区间7.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，求b ，c 的值；(2)已知f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1≤x ≤2是不等式3x 2＋2bx ＋c ≤0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根， ∴－1＋2＝－23b ，－1×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不相等实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝02－4×3a ×1>0，∴a <0，即实数a 的取值范围为a <0.一、选择题1．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 D解析因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3) 答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0＜a ≤3 答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)．令x －9x ≤0，解得0＜x ≤3，即函数f (x )在(0,3]上是减函数，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.4．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)答案 B解析构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0.又f′(x)>2，∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1.5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)答案 D解析令F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，F′(x)＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x).∵当x<0时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．又F(3)＝f(3)g(3)＝0，∴F(－3)＝0. ∴当x<－3时，F(x)<0；当－3<x<0时，F(x)>0.又F(x)为奇函数，∴当0<x<3时，F(x)<0；当x>3时，F(x)>0.而不等式f(x)g(x)<0和f(x)g(x)<0为同解不等式(g(x)恒不为0)，∴不等式f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．二、填空题6．函数f (x )＝x ln (ax )(a <0)的递减区间为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a e ，0 解析 ∵f (x )＝x ·ln (ax )(a <0)， ∴f ′(x )＝x ′ln (ax )＋x ·[ln (ax )]′ ＝ln (ax )＋x ·1x ＝ln (ax )＋1. 令f ′(x )<0，得ln (ax )<－1， ∴ax <1e ，又∵a <0，∴x >1a e ，且原函数定义域为(－∞，0)，∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1a e ，0.7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的x 0的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，－π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2解析 f ′(x )＝2x ＋sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，由f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，知π3<x 0≤π2，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以－π2≤x 0<－π3也满足条件．8．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32解析显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x .由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得1≤k <32.三、解答题9．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解解法一：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，对于任意的x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，即函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1]和[a －1，＋∞)上单调递增，在[1，a －1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a －1]且[6，＋∞)⊆[a －1，＋∞)，从而4≤a －1≤6，故5≤a ≤7.综上，实数a 的取值范围为[5,7]．解法二：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，依题意，得f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，且f ′(x )≥0在[6，＋∞)上恒成立，即a －1≥x 在[1,4]上恒成立，且a －1≤x 在[6，＋∞)上恒成立，解得5≤a ≤7.故所求实数a 的取值范围为[5,7]．10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1，所以a >－1. (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)．所以a ≥－716.。

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2019-2020学年人教A 版选修2-2 导数的计算课时作业1.（福建省宁德市一中2018-2019学年期中）函数()()22sin f x ex x =+的导数是（） A ．()'4cos f x ex x =+ B ．()'4cos f x ex x =- C ．()2'8cos f x e x x =+D ．()2'8cos f x e x x =-【答案】C【解析】根据题意，()()2222sin 4sin f x ex x e x x =+=+，其导数()()()222'4'sin '8cos f x e xx e x x =+=+，故选C 。

2.（甘肃省武威第一中学2018-2019学年月考）函数()ln f x x x =在点1x =处的切线斜率为（） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】函数()ln f x x x =，求导得()ln 1f x x ='+.所以()11f '=，即函数()ln f x x x =在点1x =处的切线斜率为1，故选C 。

3.（江西省临川第一中学2018-2019学年月考）直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()13A ，，则k 的值等于( )A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】A【解析】因为直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)A ，所以直线1y kx =+经过点(1,3)A ，312k k ∴=+⇒=，故本题选A 。

4.（贵州省铜仁市第一中学2018-2019学年期中）曲线ln y x =在点A 处的切线与直线10x y -+=平行，则点A 的坐标为（）A ．1e （，）B ．10（，）C ．1(,1)e- D ．2(,2)e 【答案】B【解析】设A 点的坐标为00(,ln )x x ，0011ln x x y x y k y xx ==⇒='⇒='=，由题意可知，切线与直线10x y -+=平行，所以00111x x =⇒=，所以点A 的坐标为(1,0)，故本题选B 。

5.（云南省师范大学附属中学2019届高三模拟）设()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，2()f x x x =-，则()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为（）A ．01=--y xB ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．10x y ++=【答案】D【解析】由()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数得，当0x <时，22()()()()f x f x x x x x =-=---=+，则'()21f x x =+，'(1)1f -=-，(1)0f -=，故()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为0(1)y x -=-+，即10x y ++=，故选D 。

6.（内蒙古集宁一中2018-2019学年期中）函数()sin f x x x =的图像在点33,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．34π D ．56π 【答案】C【解析】()sin cos f x x x x '=+，3333()sin cos 12222f ππππ'=+=- 由导数的几何意义可知，切线的斜率1k =-，设切线的倾斜角为α，即tan 1α=-，所以34πα=，故选C 。

7.（黑龙江省大庆市铁人中学2018-2019学年期末）如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（）．A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B【解析】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-，由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B 。

8.（福建省莆田市莆田第八中学2018-2019学年期末）已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e【答案】B【解析】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭，本题选B 。

9（湖北省华中师范大学第一附属中学2018-2019学年期中）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n N ∈，则2019()f x =( )A ．sin x -B ．sin xC ．cos x -D ．1cos cos 4B C ⋅=【答案】C【解析】()1cos f x x =，()2sin f x x =-，()3cos f x x =-，()4sin f x x =，因此()()433cos t f x f x x +==-，故()()()2019450433cos f x f x f x x ⨯+===-，故选C 。

8.（江西省赣州市2018-2019学年期末）设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f a a f -+< D ．不确定【答案】A【解析】由题意，()()212f x f x ''=-，则()()1212f f ''=-，可得()12f '=，则()2221f x x x =-+，由二次函数性质可知，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为2217121242a a a ⎛⎫-+=-+>> ⎪⎝⎭，所以()()221f a a f -+>，故答案为A 。

11.（2019年湖南省娄底市高三模拟）已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（）A ．4040B ．4C ．2D ．0【答案】B【解析】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B 。

12.（河南省郑州市第一中学2018-2019学年模拟）曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（）A ．eB ．2eC ．1D ．2【答案】D【解析】因为1x y xe-=，所以1100+12x x e y exe k e --∴=+⨯=='，故选D 。

13.（河南省豫西名校2018-2019学年第一次联考）已知函数()f x 在0x 处的导数为()0f x '，则()()000limx f x m x f x x∆→-∆-∆等于（）A ．()0mf x 'B ．()0-mf x 'C ．()01-f x m' D ．()01f x m' 【答案】B 【解析】()y f x =在0x x =处的导数为()0f x '，所以()()000limx f x m x f x x ∆→-∆-∆()()()0000lim'm x f x m x f x m mf x m x-∆→-∆-=-=--∆，故选B.14.（河南省新乡市2019届高三模拟）若曲线nx x y e =在点11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为4e ，则n =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】()12n x n xxnx e x e y e -'-=由题导函数为，114x n y e e=-∴=='， 5.n ∴= 故选D 。

15.（广东省佛山市2019届教学质量检测）若曲线xy e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（）A ．1-B ．1C ．2D ．e【答案】C【解析】函数x y e =的导数为y '＝e x，曲线xy e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1，则曲线xy e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ；函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2，即有2＝ln1+b ，解得b ＝2．故选C 。

16.（安徽省六安市毛坦厂中学2019届联考）曲线()ln f x a x =在点()(),P e f e 处的切线经过点()1,1--，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．eD ．2e【答案】C【解析】因为()ln f x a x =，所以()´af x x=，故()´afe e =，又()f e a =，所以曲线()ln f x a x =在点()(),P e f e 处的切线方程为()y aa x e e-=-，又该切线过点()1,1--，所以1aa a e--=--，解得a e =，故选C 。

17.（山西大学附属中学2018-2019学年诊断）已知函数()1322x xf x e e -=-，则曲线()y f x =上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是（）A ．(0]3π，B ．2(]23ππ， C ．[)32ππ， D ．[)3ππ，【答案】C【解析】∵13()22x xf x e e -=-，∴1311()(3)2222x x x x f x e e e e --=+=+≥⨯='3x x e e -=，即1ln 32x =时等号成立．∴tan α≥，又0απ≤<， ∴32ππα≤<，即倾斜角α的取值范围是[,)32ππ．故选C 。