2018年中考数学一轮复习第七章图形的变化第2节图形的平移与旋转练习
人教版中考数学第一轮复习第七章图形与变换
第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．2．点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．3．在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（-3，-2）D．（2，-3）7.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（-2，-3）B．（-2，6）C．（1，3）D．（-2，1）8.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°9．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2 10.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．11.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．12.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．13.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．第二十五讲相似图形（一）：【知识梳理】1.比例基本性质及运用（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即a bb c=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．（3）比例的性质，①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。
初中数学图形的平移与旋转练习题及参考答案
初中数学图形的平移与旋转练习题及参考答
案
1. 平移练习题：
①把图形A 向右平移4个单位，向下平移2个单位得到了图形B，则图形A 的坐标为(3,1)，图形B 的坐标为(7,-1)。
那么图形A 的形状是什么？
②将图形C 向左平移3个单位，向上平移5个单位得到图形D，则图形C 的坐标为(7,-4)，图形D 的坐标为(4,1)。
那么图形C 的形状是什么？
参考答案：
①图形A 的坐标为(-1,3)，形状为B中心对称的图形。
②图形C 的坐标为(10,-6)，形状为D沿x轴对称的图形。
2. 旋转练习题：
①将图形E 沿顺时针方向旋转90度得到图形F，则图形E 的坐标为(2,4)，图形F 的坐标为(-4,2)。
那么图形E 的形状是什么？
②将图形G 沿逆时针方向旋转120度得到图形H，则图形G 的坐标为(5,-7)，图形H 的坐标为(4,8)。
那么图形G 的形状是什么？
参考答案：
①图形E 的坐标为(-4,2)，形状为F沿y轴对称的图形。
②图形G 的坐标为(-7,-4)，形状为H沿y=x对称的图形。
2018版中考数学：6.2-轴对称、平移、旋转(含答案)
§6.2轴对称、平移、旋转一、选择题1．(原创题)永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是()解析由轴对称图形的定义可知选项C中图形是轴对称图形，故选C.答案C2．(原创题)如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线()A．a户最长B．b户最长C．c户最长D．三户一样长解析相邻电路的电线等距排列说明三条电线中水平部分是相等的，若将三条电线的铅直部分的下段都向右，使铅直部分在同一条直线上，可知这三条电线是相等的，故电线的总长相等，选D.答案D3．(改编题△)如图，在ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△A BC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C△′，再将A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别A．4，30°()B．2，60°C．1，30°D．3，60°解析由平移的性质可得A′B′＝AB＝4，A′B′∥AB，∠A′B′C＝∠B＝60°.由旋转的性质可得A′C＝A′B△′，∴A′B′C是等边三角形，∴B′C＝A′B′＝4.∴BB′＝BC－B′C＝2，即平移的距离为△2.∵A′B′C是等边三角形，∴∠B′A′C＝60°，即旋转角的度数为60°.故选B.答案B4．(改编题△)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝△20°，若将ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE的度数是()A．30°B．40°C．50°D．55°解析由折叠可知∠CED＝∠B＝90°－∠A＝90°－20°＝70°.又∵∠CED△是AED的外角，∴∠ADE＝∠CED－∠A＝70°－20°＝50°，选C.答案C5．(原创题)在方格纸中，选择某一个白色小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形，则不同的涂法有()A．1种C．3种B．2种D．4种解析如图，可以有下面3种不同的涂法，分别涂黑①②③的位置．故选C.答案C6．(改编题)如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，AD＝10，则CE等于()A．1B．1.58C.3D．2解析在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC，AD＝10，由勾股定理可得BF＝8，∴CF＝2.由折叠可知∠AFE＝90°，∴∠EFC＝AB BF FC·BF2×88∠BAF△.∴ABF∽△FCE，FC＝CE.∴CE＝AB＝6＝3.故选C.答案C二、填空题7．(原创题)使平行四边形ABCD是轴对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是________(只要填写一种情况)．解析若平行四边形ABCD是矩形、菱形、正方形，就是轴对称图形，故可添加：∠A＝90°(或其它角为直角)或AC＝BD，使成为矩形；也可添加：AB ＝BC(或其它邻边相等)，AC⊥BD，使成为菱形；因为添加一个条件不能成为正方形，故可添加的条件可以是∠A＝90°，AC＝BD，AB＝BC，AC⊥BD等．答案答案不唯一，如∠A＝90°(或AC＝BD，AB＝BC，AC⊥BD) 8．(改编题)矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角AD线BD上，若得到的四边形BEDF是菱形，则A B＝________．解析由折叠与菱形的性质可知∠ABF＝30°，∴∠ABD＝60°.在Rt△ABDAD中，AB＝tan60°＝ 3.答案3三、解答题9．(改编题)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(3，2)，B(1，△3)．AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.(1)点A关于点O成中心对称的点的坐标为________；(2)点A1的坐标为________；(3)在旋转过程中，求点B经过的路径的长．解(1)(－3，－2)；(2)如图，在坐标系中画出将△AOB绕点O逆时针旋转△90°的A1OB1，点A1的坐标为(－2，3)︵︵(3)点B经过的路径为BB1，OB＝12＋32＝10，BB1的长＝90×π×1010180＝2π.10．(改编题)实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．(1)请你仿照图1，用两段相等的圆弧(小于或等于半圆)，在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．(2)以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．解答案不唯一，仅供参考：(1)在图3中设计出符合题目要求的图形如下图1.(2)在图4中画出符合题目要求的图形如下图2.。
人教版中考数学一轮复习--平移、旋转与位似(精品课件)
解：∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，∴∠ABD＝45°. ∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到， ∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠ABD＝45°.
(2)求CG的长． 解：由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°.
A．3 B．4 C．6 D．9
4．一个正方形AOBC各顶点的坐标分别为A(0，3)，O(0，0)，
B(3，0)，C(3，3)．若以原点O为位似中心，将这个正方 形的边长缩小为原来的 1 ，则新正方形的中心的坐标为
2 _34_，__34__或__－ ___34_，__－__34_ _．
5．【2021福州质检8分】如图，等边三角形ABC中，D为 AB边上一点(点D不与点A、B重合)，连接CD，将CD平 移到BE(其中点B和点C对应)，连接AE.将△BCD绕着点 B逆时针旋转至△BAF，连接DF.
∴△ADE≌△CFD(AAS)， ∴AE＝CD，∴CD＝BF.
考点2 图形的旋转 要点知识 性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等．
福建6年中考聚焦[6年2考]
1．【2017福建4分】如图，网格纸上正方形小格的边长为1， 图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别 得到线段A′B′和点P′，则证明：如图，连接AE， ∵线段EF是由线段AB平移得到的， ∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AE∥BC，AE＝BF，∴∠DAE＝∠BCA＝90°， ∴∠DAE＝∠FCD＝90°. ∵△EFD是等腰直角三角形，∴DE＝DF.
中考数学专题复习第七章图形与变换平移与旋转
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考点聚焦
第二十二页，共二十九页。
考向探究
┃平移(pínɡ yí)与旋转
探究4 平移(pínɡ yí)、旋转与其他知识的综合运用 例 4 【2016·贵州改编】如图 31－11，已知△ABC 中，AB＝AC， 把△ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接 BD，CE 交于 点 F. (1)求证：∠CAE＝∠BAD； (2)求证：△AEC≌△ADB； (3)若 AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长．
第2课时(kèshí) 平移与旋转
第一页，共二十九页。
┃平移(pínɡ yí)与旋转
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1．[九上 P62 习题 23.1 第 4 题] 分别画出△ABC 绕点 O 逆时针 旋转 90°和 180°后的图形．
图 31－1
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┃平移与旋转
解：如图所示．
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图 31－3 A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．21 cm
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┃平移与旋转
解 析 ∵△ABE 向右平移 2 cm 得到△DCF，
∴EF＝AD＝2 cm，AE＝DF，
∵△ABE 的周长为 16 cm，
∴AB＋BE＋AE＝16 cm， ∴四边形 ABFD 的周长＝AB＋BE＋EF＋DF＋AD＝AB ＋BE＋AE＋EF＋AD＝16＋2＋2＝20(cm)． 故选 C.
(1)对应点到旋转中心的距离__相__等____；
旋转的 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等
性质
于__旋__转___角_；
2018年全国各地中考数学真题汇编平移与旋转(含答案)
中考数学真题汇编:平移与旋转一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C2. 以下图形中，能够看做是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A3. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°取得△EDC．假设点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，那么∠ADC的度数是（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°【答案】C4. 在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，取得点B，那么点B的坐标为（）A.（4，-3）B.（-4，3）C.（-3，4）D.（-3，-4）【答案】B5. 如图，在平面直角坐标系中，的极点在第一象限，点，的坐标别离为、，，，直线交轴于点，假设与关于点成中心对称，那么点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A6.以下图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B7.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点动身引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就能够够用线段的长度和从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确信，即或或等,那么点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的选项是( )A. B. C. D.【答案】D8.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，假设四边形的面积为25，，那么的长为（）A. 5B.C. 7D.【答案】D9.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在那个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C10. 如图，已知一个直角三角板的直角极点与原点重合，另两个极点A，B的坐标别离为（-1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，取得△OCB’，那么点B的对应点B’的坐标是（）A. （1，0）B. （，）C. （1，）D. （-1，）【答案】C11. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部份三角形的面积为4.若，那么等于（）A. 2B. 3C.D.【答案】A12.如图，直线都与直线l垂直，垂足别离为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于之间分的长度和为y，那么y关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A二、填空题13.在平面直角坐标系中，将点（3,-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么所得的点的坐标是________.【答案】（5,1）14.如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，极点AB别离落在x、y轴的正半轴上，∠OAB ＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的转动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，那么点B运动的途径与坐标轴围成的图形面积是________.【答案】+ π15.如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置, 与相交于点,则的坐标为________．【答案】16.如图，正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其通过点B，取得直线l，那么直线l对应的函数表达式是________ .【答案】y= x-317.如图，中，，，，将绕点顺时针旋转取得，为线段上的动点，以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为________.【答案】或18.设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其通过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其通过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，现在我称平移后的两条曲线所围部份（如图中阴影部份）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线的眸径为6时，的值为________.【答案】三、解答题19.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.（1）①在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原先的2倍，取得线段（点A，B的对应点别离为）.画出线段;②将线段绕点逆时针旋转90°取得线段.画出线段;（2）以为极点的四边形的面积是________个平方单位.【答案】（1）解：如下图：（2）2020.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD 绕点C按逆时针方向旋转90°取得线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【答案】（1）证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°取得线段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE，又∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠DCE.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵CD=CE，∠ACD=∠BCE，AC=BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°由（1）知△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，又∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE= =67.5°.21. 如图，在每一个小正方形的边长为1的网格中，的极点，，均在格点上.（1）的大小为________（度）；（2）在如下图的网格中，是边上任意一点. 为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）【答案】（1）（2）解：如图，即为所求.22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中成立如下图的平面直角坐标系，△ABC的极点都在格点上，请解答以下问题：（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后取得的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；②作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的极点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式. 【答案】（1）解：如下图，C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）（2）解：∵A（2,4），A3（-4，-2），∴直线l的函数解析式：y=-x.23. 在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针取得（点，的对应点别离为，）射线，别离交直线于点，.（1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转进程时，当点别离在，的延长线上时，试探讨四边形的面积是不是存在最小值.假设存在，求出四边形的最小面积；假设不存在，请说明理由.【答案】（1）由旋转的性质得：.，，，，，.（2）为的中点，.由旋转的性质得：，.，.，，.（3），最小，即最小，.法一：（几何法）取中点，那么..当最小时，最小，，即与重合时，最小.，，，.法二：（代数法）设，.由射影定理得：，当最小，即最小，.当时，“ ”成立，.24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，取得矩形，点，，的对应点别离为，，.（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点.①求证；②求点的坐标.（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）. 【答案】（1）解：∵点，点，∴，.∵四边形是矩形，∴，，.∵矩形是由矩形旋转取得的，∴.在中，有，∴.∴.∴点的坐标为.（2）解：①由四边形是矩形，得.又点在线段上，得.由（Ⅰ）知，，又，，∴.②由，得.又在矩形中，，∴.∴.∴. 设，那么，.在中，有，∴.解得.∴.∴点的坐标为.（3）解：。
2018届中考数学一轮复习课件：29图形的平移与旋转(共15张PPT)
巩固训练
1. （2017 山东聊城）如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转， 使点 B 落在 AB 边上点 B′处，此时，点 A 的对应点 A′恰好 落在 BC 边的延长线上，下列结论错误（ A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C 平分∠BB′A′ ）
与直线 AB、BC 相交于点 G、P，连接 GP，当△DGP 的面积等于 3 时，求
这节课的收获是……
课后作业
完成课后练习巩固;
巩固训练
4. （2017 江苏盐城）如图，在边长为 1 的小正方形网格 中，将△ABC 绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点 B 运动 的最短路径长为 ．
Hale Waihona Puke 巩固训练5、（2016·云南省昆明市）如图，△ABC 三个顶点的坐标 分别为 A（1，1） ，B（4，2） ，C（3，4） （1）请画出将△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形 △A1B1C1； （2）请画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出 点 P 的坐标．
拓展提升
点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F． （1）如图 1，连接 AC 分别交 DE、DF 于点 M、N，求证：MN= AC；
1. （2016·山东潍坊）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，过
（2）如图 2，将△EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE′、DF′分别 旋转角的大小并指明旋转方向．
巩固训练
2. （2017 山东泰安）如图，在正方形网格中，线段 A′B′ 是线段 AB 绕某点逆时针旋转角 α 得到的，点 A′与 A 对 应，则角 α 的大小为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120°
2018届中考数学一轮复习课件：29图形的平移与旋转(共15张PPT)
课后作业
完成课后练习巩固;
巩固训练
1. （2017 山东聊城）如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转， 使点 B 落在 AB 边上点 B′处，此时，点 A 的对应点 A′恰好 落在 BC 边的延长线上，下列结论错误（ ） A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C 平分∠BB′A′
巩固训练
4. （2017 江苏盐城）如图，在边长为 1 的小正方形网格 中，将△ABC 绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点 B 运动 的最短路径长为 ．
巩固训练
5、（2016·云南省昆明市）如图，△ABC 三个顶点的坐标 分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出将△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形 △A1B1C1； （2）请画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出 点 P 的坐标．
3.如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4 将
△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°得到△DEC，若点 F
是 DE 的中点，连接 AF，则 AF=
。
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
典型例题评析 例 1.（2017•乐山）如图，直线 a、b 垂直相交于点 O，曲 线 C 关于点 O 成中心对称，点 A 的对称点是点 A'，AB⊥a 于点 B，A'D⊥b 于点 D．若 OB=3，OD=2，则阴影部分的面 积之和为 ．
响水县2018年初三中 考数学一轮复习课
29图形的平移与旋转
全国中考真题汇编之图形的平移和旋转【解析版】
2018全国中考真题汇编——图形的平移和旋转一．选择题（共4小题）1．（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是（4，3），把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣5，2）【解答】解：∵点B的坐标为（3，1），∴向左平移6个单位后，点B1的坐标（﹣3，1），故选：C．2．（2018•黄石）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P 的对应点P'的坐标是（）A．（﹣1，6）B．（﹣9，6）C．（﹣1，2）D．（﹣9，2）【解答】解：由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），故选：C．3．（2018•宜宾）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（）A．2B．3C．D．【解答】解：如图，∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2=，即（）2=，解得A′D=2或A′D=﹣（舍），故选：A．4．（2018•温州）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A ．（1，0）B．（，）C．（1，）D．（﹣1，）【解答】解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0），所以图形向右平移1个单位长度，所以点B的对应点B'的坐标为（0+1，），即（1，），故选：C．二．填空题（共4小题）5．（2018•长沙）在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．【解答】解：∵将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，∴得到（1，3），∵再向下平移2个单位长度，∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）．故答案为：（1，1）．6．（2018•宿迁）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是．【解答】解：∵将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，∴得到（5，﹣2），∵再向上平移3个单位长度，∴所得点的坐标是：（5，1）．故答案为：（5，1）．7．（2018•曲靖）如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依次规律，P0P2018=个单位长度．【解答】解：由图可得，P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1；P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3；∵2018=3×672+2，∴点P2018在正南方向上，∴P0P2018=672+1=673，故答案为：673．8．（2018•株洲）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B 的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为．【解答】解：∵点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），∴AA′=BB′=2，∵△OAB是等腰直角三角形，∴A（，），∴AA′对应的高，∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×=4．故答案为：4．三．解答题（共14小题）9．（2018•枣庄）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．【解答】解：（1）如图所示，△DCE为所求作（2）如图所示，△ACD为所求作（3）如图所示△ECD为所求作10．（2018•吉林）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．【解答】解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：（2）观察图象可知图象是轴对称图形，故答案为轴对称．（3）周长=4×=8π．11．（2018•南充）如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，∴AE=C′E；（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，∴∠AB′B=60°，∴∠FBB′=15°；（3）解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过B作BH⊥BF，在Rt△BB′H中，cos15°=，即BH=2×=，则BF=2BH=+．12．（2018•徐州）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．13．（2018•温州）如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．（1）在图1中画出一个面积最小的▱PAQB．（2）在图2中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．注：图1，图2在答题纸上．【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：14．（2018•临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，∴∠AEB=∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF，∴∠EDA=∠DEF，又∵DE=ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF=AE，又∵AE=AB=CD，∴CD=DF；（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=AD=AG，∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°﹣60°=300°．15．（2018•宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°16．（2018•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；（3）BC扫过的面积=﹣=﹣=2π．17．（2018•广西）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A （1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B=，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形．18．（2018•眉山）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（﹣3，﹣2）；（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（﹣4，﹣2），所以直线l的函数解析式为y=﹣x，19．（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．20．（2018•岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB 沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴==，∴=，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．21．（2018•广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB 绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）填空：∠OBC=°；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为60．（2）如图1中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=OB=2，AB=OA=2，∴S △AOC=•OA•AB=×2×2=2，∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC==2，∴OP===．（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ON•sin60°=x，∴S△OMN=•OM•NE=×1.5x×x，∴y=x2．∴x=时，y有最大值，最大值=．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°=（8﹣1.5x），∴y=×ON×MH=﹣x2+2x．当x=时，y取最大值，y＜，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y=•MN•OG=12﹣x，当x=4时，y有最大值，最大值=2，综上所述，y有最大值，最大值为．。
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第2节 图形的平移与旋转
(仅2011年未考，1～2道，4～16分)
玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)
命题点1 图形旋转的相关证明及计算(10年10考，多在解答题中涉及考查)
1. (2015重庆A 卷18题4分)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝46，AD ＝10.连接BD ，∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E .现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为△BC ′E ′.当射线BE ′和射线BC ′都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G .若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为______．
第1题图
2. (2015重庆B 卷25题12分)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF ＝120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC (或AC 的延长线)相交于点F .
图① 图② 图③
第2题图
(1)如图①，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB ＝4，求BE 的长；
(2)如图②，将(1)中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F .求
证：BE ＋CF ＝12
AB ； (3)如图③，将(2)中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线相交于点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN ＝FN ，求证：BE ＋CF ＝3(BE －CF )．
命题点2) 网格中图形变化作图(仅2008年考查)
3. (2008重庆22题10分)作图题：(不要求写作法)
如图，在10×10的方格纸上，有一个格点四边形ABCD (即四边形的顶点都在格点上)．
(1)在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A1B1C1D1；
(2)在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A2B2C2D2.
第3题图
答案
1. 98
17
【解析】如解图，矩形ABCD中，AB＝46，AD＝10，∴BD＝（46）2＋102＝
14.∵△DFB为等腰三角形，∴∠FDB＝∠FBD，FD＝FB.设FD＝x，则AF＝10－x，BF＝x，在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝FB2，即(46)2＋(10－x)2＝x2，解得x＝9.8，∴DF＝BF＝
9.8.∵AD ∥BC ，∴∠FDB ＝∠DBC ，∵∠FBD ＝∠FDB ，∴∠FBD ＝∠DBC .由题意知BE 平分∠DBC ，∠FBG ＝∠EBC ，∴∠FBG ＝∠DBG .过点D 作DH ∥BF 交BG 的延长线于H 点，则∠H ＝∠FBG ＝
∠DBG ，∴DH ＝BD ＝14，∵BF ∥DH ，∴FG DG ＝BF DH ，∴FG ＋DG DG ＝BF ＋DH DH ，即FD DG ＝9.8＋1414，∴9.8DG
＝9.8＋1414，∴DG ＝9817.
第1题解图
2. (1)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴BC ＝AB ＝4，∠B ＝∠C ＝60°.
∵点D 为BC 的中点，
∴BD ＝12
BC ＝2， ∵DF ⊥AC ，
∴∠FDC ＝30°.(1分)
∵∠EDF ＝120°，
∴∠BDE ＝180°－120°－30°＝30°，
∴∠DEB ＝90°，(2分)
∴BE ＝12
BD ＝1；(3分) (2)证明：过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，如解图①.
第2题解图①
由(1)知∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，AB ＝BC ，
∴BM ＝12BD ，CN ＝12
DC ， ∴BM ＋CN ＝12BD ＋12DC ＝12(BD ＋DC )＝12BC ＝12
AB .(4分) ∵∠B ＝∠C ＝60°，∠BMD ＝∠CND ＝90°，BD ＝DC ， ∴△BDM ≌△CDN (AAS )，
∴DM ＝DN ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，
∴∠MDN ＝180°－30°－30°＝120°＝∠EDF ，(5分) ∴∠MDE ＝∠NDF .
又∵∠DME ＝∠DNF ，
∴△DME ≌△DNF (ASA )，(6分)
∴ME ＝NF ，
∴BE ＋CF ＝BM ＋ME ＋CF ＝BM ＋NF ＋CF ＝BM ＋CN ＝12
AB ；(7分) (3)证明：过点D 作DM ⊥AB 于点M ，如解图②.
第2题解图②
由(2)知DM ＝DN ，∠MDN ＝120°＝∠EDF ，
∴∠MDE ＝∠NDF .
又∵∠DME ＝∠DNF ，
∴△DME ≌△DNF (ASA )，(8分)
∴ME ＝NF .
∵DN ＝NF ，
∴DM ＝ME ＝DN ＝NF .(9分)
∵∠B ＝∠DCN ＝60°，
∴BM ＝CN ＝DM tan 60°＝DM 3
， ∴BE ＝ME ＋BM ＝DM ＋
DM 3，CF ＝NF －CN ＝DM －DM 3.(10分)
∴BE CF ＝DM ＋DM 3DM －DM 3＝1＋1
31－13＝3＋13－1，(11分) ∴(3－1)BE ＝(3＋1)CF ， ∴3BE －BE ＝3CF ＋CF ， ∴3BE －3CF ＝BE ＋CF ，
∴BE ＋CF ＝3(BE －CF )．(12分)
3. 解：(1)作四边形A 1B 1C 1D 1如解图；(5
分)
(2)作四边形A 2B 2C 2D 2如解图．(10分)
第3题解图。