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北师大版九年级上册数学期中考试试题含答案解析

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《第1章特殊平行四边形》期中复习解答题专题训练 北师大版九年级数学上册

《第1章特殊平行四边形》期中复习解答题专题训练 北师大版九年级数学上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》期中复习解答题专题训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，则∠AEC＝；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．2．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC 交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．3．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝5，求四边形ABCD的面积．4．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，若AC＝6，BD＝8，请直接写出AG的长．5．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△EGF ≌△AGD．6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC 于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形．（2）若∠DAC＝60°，EF＝4，求四边形AFCE的面积．8．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ ＝DP，连接AP，BQ，PQ．（1）求证：AP＝BQ；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．9．已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．（1）求证：△BOE≌DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，AD是BC边上的中线，过A点作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE交于点O、E，连结EC．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）设OD＝a，求菱形ADCE的周长．11．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．（1）求证：四边形AECD是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．12．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．13．如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．求证：四边形ABOE是菱形．14．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE+CG的值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC，AC和DE相交于点O．（1）求证：OD＝OC；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．16．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．17．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF ∥BE，连接BF，CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形．（2）若△ABC满足什么条件时，四边形BECF为菱形，并说明理由．18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．19．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．20．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连接BE，取BE中点O．（1）如图①，连接AO，MO，试证明∠AOM＝90°；（2）如图②，连接AM，AO，并延长AO交对角线BD于点N，∠MAN＝45°，试探究线段DM，MN，NB之间的数量关系并证明．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AB＝AD，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，故答案为：55°；（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，∴DG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠DEA+∠DEC＝135°，∴∠GEA＝45°，∴∠GAE＝∠GEA＝45°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝，∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，∴GF＝AF＝EF＝1，∴AG＝GE＝，∵AC2＝AG2+GC2，∴10＝2+（EC+）2，∴EC＝（负根已经舍弃）．2．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB＝ED，∵DC＝ED，∴DC＝AB，DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DE⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：过O作OF⊥CD于F，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴OD＝OC，∵OF⊥CD，∴DF＝CF＝CD＝＝1，∴OF＝BC＝＝2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，∴OE＝＝＝．3．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+CE）•FG＝（5+5）×＝48．4．（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AG＝AC•BD，即5AG＝×6×8，∴AG＝．5．证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝90°，∴CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形；（2）∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠GAE＝45°，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AF+BF＝BE+BF，即AB＝EF，∴EF＝AD，在△EGF和△AGD中，，∴△EGF≌△AGD（SAS）．6．解：（1）设AB，OE交于F，∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∴AF＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，OD＝OB．∵OE⊥CD，∴OE⊥AB．∴AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接DE，过E作EH⊥DA交DA的延长线于H，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE＝OB，∵OD＝OB∴BD＝2AE＝2，∵AD＝BC＝2，∴AB＝＝＝2，∴AF＝AB＝，∵∠AFE＝∠F AH＝∠AHE＝90°，∴四边形AHEF是矩形，∴EH＝AF＝，AH＝EF＝OF＝AD＝1，∴DE＝＝＝．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，EO＝FO＝EF＝2，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OA＝EO＝2，∴AC＝2OA＝4，∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×4×4＝8．8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ；（2）∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．9．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，∵AE∥CF，∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，在△BOE与△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．10．（1）证明：∵AE∥BC，AB∥DE，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，又∵AD为Rt△ABC斜边上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝DC，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵DE∥AB，∠BAC＝90°，∴DO⊥OC，∴四边形ADCE为菱形，（2）设OD＝a，∴DE⊥AC，AO＝，在Rt△AOD中，由勾股定理得：＝，∴菱形ADCE的周长为4a．11．证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，∴CF＝F A，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，∵由（1）得四边形AECD是矩形，∴矩形AECD是正方形．12．解：（1）在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）当时，四边形BCEF是菱形．理由如下：连接BE，交CF与点H，∵AC＝DF，∴AC﹣FC＝DF﹣FC，即AF＝CD，若四边形BCEF是菱形时，∴BE⊥CF，，EF＝BC＝3．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴．∵，即．在Rt△BCH中，，BC＝3，∴．∴，∴，∴当时，四边形BCEF是菱形．13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，∵BD＝2AB，∴AB＝OB，∵AE∥BD，OE∥AB，∴四边形ABOE是平行四边形，∵AB＝OB，∴四边形ABOE是菱形．14．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）①CE⊥CG，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠CDA＝∠DCG，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴CE⊥CG；②由①知，△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，故答案为：2．15．证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS），∴∠ACD＝∠EDC（全等三角形对应角相等），∴OA＝OC（等角对等边）；（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代换），∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形．16．（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∴∠EAC＝∠ECA，∠F AC＝∠FCA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∴∠F AO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∵AF＝CF，AE＝CE，∴AE＝EC＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AD于H，则∠CHD＝∠CHF＝90°，∵∠D＝45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴CH＝DH＝CD＝1，∵AD＝3，∴AH＝2，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，则FH＝2﹣x，在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2，即x2＝（2﹣x）2+12，解得：x＝，∴AF＝CF＝，∴菱形AECF的周长＝×4＝5．17．（1）证明：在△ABC中，D是BC边的中点，∴BD＝CD，∵CF∥BE，∴∠CFD＝∠BED，在△CFD和△BED中，，∴△CFD≌△BED（AAS），∴CF＝BE，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）满足条件AB＝AC时四边形BECF为菱形．理由：若AB＝AC时，△ABC为等腰三角形，∵AD为中线，∴AD⊥BC，即FE⊥BC，由（1）知，△CFD≌△BED，∴BD＝CD，ED＝FD，∴平行四边形BECF为菱形．18．（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1，则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝BG，同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，整理得：xy+6（x+y）＝36，∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；（3）解：如图2所示：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，∴GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，解得：a＝3，即HR＝3．当△PQR是钝角三角形时，过P作PT⊥PR交RQ延长线于T，如图3所示：则∠TPQ＝90°﹣45°＝45°，由①得：TH＝3，∴PT＝＝＝3，设HR＝x，PR＝y，则TR＝x+3，∵△PTR的面积＝（x+3）×6＝×3y，∴y＝6+2x，∴5y2＝（6+2x）2①，在Rt△PRH中，由勾股定理得：y2＝62+x2②，由①②得：（x﹣12）2＝0，∴x＝12，即HR＝12；综上所述，HR为3或12，19．解：（1）AE＝BF且AE⊥BF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BHE＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF．（2）BF＝GE，证明：过点A作AM∥GE交BC于M，∵EG⊥BF，∴AM⊥BF，∴∠BAM+∠ABF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，在△ABM和△BCF中，∴△ABM≌△BCF（ASA），∴AM＝BF，∵AM∥GE且AD∥BC，∴AM＝GE，∴BF＝GE．20．证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°；∵ME⊥BD，∴∠BME＝90°；∵点O是BE中点，∴AO＝BE＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝2∠OBA；同理，∠MOE＝2∠OBM，∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2（∠OBA+∠OBM）＝2∠ABD＝90°．（2）DM2+NB2＝MN2，理由如下：如图2，作EF∥BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，∵∠OEF＝∠OBN，OE＝OB，∠EOF＝∠BON，∴△EOF≌△BON（ASA），∴FE＝NB，OF＝ON，∵OM⊥FN，∴MF＝MN；∵∠DME＝90°，∠MDE＝45°，∴∠MED＝45°，∴∠MDE＝∠MED，∴EM＝DM；∵∠MEF＝∠DME＝90°，∴EM2+FE2＝MF2，∴DM2+NB2＝MN2．。

北师大版九年级数学上册期中考试卷及答案【完整】

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北师大版九年级数学上册期中考试卷及答案【完整】 班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．2019-的倒数是（ ）A ．2019-B ．12019-C ．12019D ．20192．对某市某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（ ）A ．20人B ．40人C ．60人D ．80人3．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3 B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠2 4．已知实数x 满足()()2224120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是（ ）A ．7B ．-1C ．7或-1D ．-5或35．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）A ．x （x+1）＝210B ．x （x ﹣1）＝210C ．2x （x ﹣1）＝210D ．12x （x ﹣1）＝210 6．一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或97．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．139．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为（ ）A ．(31)B ．(－13C ．31)D ．(31)10．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)k y x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36-二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算：82-=__________．2．因式分解：a 3－a =_____________．3．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式m ²-m+2019的值为__________.4．如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为__________．5．如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．如果BC=4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__________．6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：242111x x x ++=---2．已知一次函数的图象经过A(-2，-3)，B(1，3)两点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点P(-1，1)是否在这个一次函数的图象上；(3)求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.3．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．4．已知AB 是O 的直径，弦CD 与AB 相交，38BAC ∠=︒.（Ⅰ）如图①，若D 为AB 的中点，求ABC ∠和ABD ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若//DP AC ，求OCD ∠的大小.5．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h ，精确到1h ），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中百分数a 的值为 ，所抽查的学生人数为 ．（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图．（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．6．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、D3、D4、A5、B6、A7、C8、A9、A10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）12、a（a－1）（a + 1）3、20204、5、12 76、42．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、13 x2、(1) y=2x+1;(2)不在;（3）0.25.3、（1）略；（2）BC=2CD，理由略.4、（1）52°，45°；（2）26°5、（1）45%，60；（2）见解析18；（3）7，7.2；（4）7806、(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.。

北师大版九年级数学上册期中试卷

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2024—2025学年北师大版数学九年级上册期中模拟考试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知1-是关于x 的方程240x x m +-=的一个根，则这个方程的另一个根是()A ．3-B ．−2C ．1-D ．32．方程23510x x --=的两根为1x 、2x ，下列各式正确的是（）A ．121251,33x x x x +==-B ．121251,33x x x x +=-=C ．12125,1x x x x +==-D ．121251,33x x x x +==3．袋子中有42个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程180次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是（）A ．6B ．7C ．8D ．94．关于x 的一元二次方程2304x x m --=有实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．13m >-B ．13m ≥-C ．13m >-且0m ≠D ．13m ≥-且0m ≠5．如图，M 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点M 作//EF AB ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，2DE =，5EM =，则阴影部分的面积是（）A ．5B ．10C ．12D ．146．如图，△ABC 中，∠C ＝900，∠CAB ＝600，AD 平分∠BAC ，点D 到AB 的距离DE ＝3cm ，则BC 等于（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm7．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上一点，且CD DE =，连接BE ，分别交AC ，AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论：①12OG AB =；②ABF ODGF S S >△四边形；③由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形；④4ACD BOG S S =△△，其中正确的结论是（）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④8．如图，在ABC V 中，AB AC =，36A ∠=︒．按照如下步骤作图：①分别以点,A B 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点,M N ；②作直线MN ，交AC 点D ；③以D 为圆心，BC 长为半径作弧，交AC 的延长线于点E ；④连接,BD BE ．下列说法错误的是()A ．AD DE =B ．12CBE A ∠=∠C ．2BC AC CD =⋅D ．35CE CD =二、填空题9．小明和小红两人分别从M ，N 两个博物馆中选择一个参观，则小明和小红选到同一博物馆的概率为．10．如图，已知等腰ABC V ，AB AC ==，4BC =，AD 为BC 边上的高，将ADC △绕点A 顺时针旋转90°得到AEF △（点D 的对应点为点E ，点C 的对应点为点F ）．连接DE ，点M 为DE 的中点，点P 为直线AD 上一动点，将FPM 沿PM 翻折，使点F 的对应点G 恰好落在直线AD 上，则DG 的长为．11．如图，连结正方形ABCD 和正三角形的顶点C 、E,则∠BCE 为12．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，点E 在AD 上，1DE =．若EC 平分BED ∠，则BC 的长为．13．如图，在正方形ABCD 中，F 为AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，且AF EC =，连接EF DE DF 、、，M 是EF 的中点，连接MC BD 、，EF 与BD 和DC 分别相交于点G 和N ，则下列四个结论：FGD BGE ①∽；②若4BF =，则22CE =；CME CDE ∠=∠③；2DG GN GE =⋅④；其中正确的是．三、解答题14．（1）解一元二次方程：x 2﹣3x ＝10（2）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0（用配方法）15．如图，在平面直角坐标系中，▲ABC 的三个顶点坐标分别为()1,3A -，()2,3B --，()2,1C -．(1)画出▲ABC 关于x 轴对称的111A BC △，点1C 的坐标为；(2)以原点O 为位似中心，在x 轴上方画出▲ABC 放大2倍后的222A B C △，点2C 的坐标为．16．为响应东方市教育教学研究培训中心关于开展中考英语词汇检测的通知，某校举行“百词竞赛，备战中考”学生英语词汇比赛，每位学生听写单词100个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如图的图表．组别正确单词数x 人数A020x ≤<10B2040x ≤<15C4060x ≤<25D6080x ≤<m E 80100x ≤≤n根据以上信息完成下列问题：(1)统计表中的m =_________，n =___________；(2)扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是_________；(3)已知该校九年级共有400名学生，如果听写正确的单词个数少于40个定为不合格，请你估计该校九年级本次听写比赛不合格的学生人数有__________；(4)甲、乙两同学表现出色，被选中参加全市初中英语学习经验交流会，该活动随机将选送的同学分配到A 、B 组两个小组，则甲、乙两人恰好分在同一小组的概率是_________．17．大疆农业无人机在全球多个国家和地区获得政府政策支持和市场认可，2022年，我国S 省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A 、B 两款大疆农业无人机共25架，服务于全省农作物洒水、施肥、喷农药等农田与果园工作．每架A 款农业无人机为2万元，每架B 款农业无人机比A 款少2000元．(1)求2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 、B 两款大疆农业无人机各多少架？(2)大疆农业无人机始终保持技术的选代升级．2024年A +、B +款农业无人机以更智能、更高效、更安全的方式革新农业生产方式．对比2022年S 省计划购买的A 、B 两款农业无人机，2024年H 省购买A +款农业无人机比S 省购买A 款农业无人机的单价高12，购买数量多m 个；H 省购买B +款农业无人机比S 省购买B 款农业无人机的单价高10m 万元，购买数量少5m ．2024年H 省购买A +款、B +款农业无人机共花费55.8万元，求m 的值．18．已知，正方形ABCD 中，45,MAN MAN ∠=︒∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），求证BM DN MN+=(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．证明：延长MB 至点P ，使BP DN =，连接AP ，如图1(2)当MAN ∠旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，若正方形的周长为4，则CMN 的周长是：(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．19．如图1，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF ⊥CP 交于C ，交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ．（1）若AP=78AC ，BC=4，求S △ACP ；（2）若CP ﹣BM=2FN ，求证：BC=MC ；20．小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？答案解析：1．A【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设240x x m +-=的另一个根为1x ，根据根与系数的关系得出114x -+=-，求出1x 的值是解题的关键．【详解】解：设方程240x x m +-=的另一个根为1x ，由根与系数的关系得：114x -+=-，解得：13x =-，故选A ．2．A【分析】本题考查了一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与系数的关系：若方程的两根为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．根据根与系数的关系直接求解即可．【详解】解：∵方程23510x x --=的两根为1x 、2x ，∴1253x x +=，1213x x =-，故选：A ．3．B 【分析】根据摸球的情况可以求出摸到红球的频率为30180，而袋子中有42个小球，从而求出袋子中红球的大约数量；【详解】 摸了180次后，共摸到红球30次∴摸到红球的频率为：3011806=又 袋子中有42个小球∴口袋中的红球个数大约为：14276⨯=（个）故选：B.【点睛】本题主要考查用频率去估计概率，熟练掌握这一方法是解决本题的关键.4．B【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．根据一元二次方程有实数根，即0∆≥，得出关于m 的一元一次不等式，进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2304x x m --=有实数根，∴()()23141304m m ∆=--⨯⨯-=+≥解得13m ≥-．故选：B ．5．B【分析】矩形的性质可证明S △DEM =S △BFM ，即可求解．【详解】解：作PM ⊥AB 于P ，交DC 于Q ．则有四边形DEMQ ，四边形QMFC ，四边形AEMP ，四边形MPBF 都是矩形，∴S △DEM =S △DQM ，S △QCM =S △MFC ，S △AEM =S △APM ，S △MPB =S △MFB ，S △ABC =S △ADC ，∴S △ABC -S △AMP -S △MCF =S △ADC -S △AEM -S △MQC ，∴S 四边形DEMQ =S 四边形MPBF ，∴2S △DEM =2S △MFB ∵DE =CF =2，EM =5，∴S △DEM =S △MFB =12×2×5=5，∴S 阴=5+5=10，故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S 四边形DEMQ =S 四边形MPBF ．6．C【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE ，然后根据BC=BD+CD 计算即可得解．【详解】解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=90°-60°=30°，∵DE ⊥AB ，∴BD=2DE=2×3=6cm ，∵AD 平分∠BAC ，∠C=90°，DE ⊥B ，∴CD=DE=3cm ，∴BC=BD+CD=6+3=9cm ．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．C【分析】①由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG =DG ，证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG =12AB ，①正确；③先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB =BD =AD ，因此OD =AG ，得出四边形ABDE 是菱形，③正确；②连接FD ，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F 到△ABD 三边的距离相等，则S △BDF =S △ABF =2S △BOF =2S △DOF =S 四边形ODGF ，则S 四边形ODGF =S △ABF ，②错误；即可得出结论．④∵连接CG ，由O 、G 分别是AC ，AD 的中点，得到=AOG COG ACG DCG S S S S =△△△△，，则S △ACD ＝4S △AOG ，再由S △AOG ＝S △BOG ，得到S △ACD ＝4S △BOG ，故④正确；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，∴∠BAG ＝∠EDG ，∵CD ＝DE ，∴AB ＝DE ，在△ABG 和△DEG 中，AGB DGE BAG EDG AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴AG ＝DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG ＝12AB ，故①正确；∵AB ∥CE ，AB ＝DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°，∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝AD ，∠ODC ＝60°，∴平行四边形ABDE 是菱形，故③正确；∵连接CG ，∵O 、G 分别是AC ，AD 的中点，∴=AOG COG ACG DCG S S S S =△△△△，，∴S △ACD ＝4S △AOG ，∵OG AB ∥，∴S △AOG ＝S △BOG ，∴S △ACD ＝4S △BOG ，故④正确；连接FD ，如图：∵△ABD 是等边三角形，AO 平分∠BAD ，BG 平分∠ABD ，∴F 到△ABD 三边的距离相等，∴S △BDF ＝S △ABF ＝2S △BOF ＝2S △DOF ＝S 四边形ODGF ，∴S 四边形ODGF ＝S △ABF ，故②错误；正确的是①③④，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．8．D【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得72ABC ACB ∠=∠=︒，再根据题意可得：BC DE =，MN 是A 的垂直平分线，从而可得DA DB =，进而可得36A DBA ∠=∠=︒，然后利用角的和差关系可得36DBC ∠=︒，从而利用三角形的外角性质可得72CDB ACB ∠=∠=︒，进而可得BD BC =，再根据等量代换可得BD DE =，从而可得54DBE DEB ∠=∠=︒，进而可得18CBE ∠=︒，即可判断A 、B ，然后证明BCD ACB ∽，从而利用相似三角形的性质可得BC CD AC CB =，即可判断C ，根据等腰三角形的性质相似三角形的性质，可得CD DE =D ．【详解】解：AB AC = ，36A ∠=︒，()1180722ABC ACB A ∴∠=∠=︒-∠=︒，由题意得：BC DE =，MN 是A 的垂直平分线，DA DB ∴=，36A DBA ∴∠=∠=︒，36DBC ABC DBA ∴∠=∠-∠=︒，72CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，72CDB ACB ∴∠=∠=︒，BD BC ∴=，AD DB BC DE ∴===，故A 正确；BD DE = ，()1180542DBE DEB CDB ∴∠=∠=︒-∠=︒，18CBE DBE DBC ∴∠=∠-∠=︒，∴12CBE A ∠=∠，故B 正确；36CBD A ∠=∠=︒ ，DCB ACB ∠=∠，BCD ACB ∴ ∽，∴BC CD AC CB=，∴2BC AC CD =⋅，故C 正确；设1,AD CD x ==，则1AC x =+，1BC DB AD ===∴()11x x =+解得：x =负值舍去)又∵1DE BC ==∴1122CE CD -==，故D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰的性质，作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．12【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式n P m=，即可求解；会用画树状图法或列表法求概率是解题的关键．【详解】解：列表如下：小红小明M N M (),M M (),M N N (),N M (),N N 共有4种等可能结果，其中两人选到同一博物馆的有2种结果，∴两人选到同一博物馆的概率为：2142P ==；故答案：12．10．2【分析】由旋转的性质可得6AE AD ==，90AED ∠=︒，2EF BD ==，90AEF ADB ∠=∠=︒，由三角形中位线定理可得132MN AE ==，MH AE ∥，3AH DH ==，由折叠的性质可得FM MG ==【详解】解：如图，取AD 的中点H ，连接HM ，并延长HM 交直线EF 于N ，∵AB AC ==4BC =，AD BC ⊥，∴2BD CD ==，∴6AD ===，∵将ADC △绕点A 顺时针旋转90°得到AEF △，∴6AE AD ==，90EAD ∠=︒，2EF BD ==，90AEF ADB ∠=∠=︒，∴DE =45AED ∠=︒，∴45NEM ∠=︒，∵点M 为DE 的中点，点H 为直线AD 的中点，∴132MH AE ==，MH AE ∥，3AH DH ==，∴90MPA EAD ∠=∠=︒，∴四边形AHNE 是矩形，∴90N ∠=︒，∴45NEM EMN ∠=∠=︒，∴NN MN =，∵点M 为DE 的中点，6AE AD ==，90EAD ∠=︒，∴EM DM AM ===∴3EN MN ==，∴1FN =，∴FM ==，∵将FPM 沿PM 翻折，∴FM MG =∴1HG ===，当点G 在线段DH 上时，312DG =-=，当点G 在线段AH 上时，314DG =+=（不符合题意舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11．15°.【详解】试题分析：由正方形的性质可得线段相等及∠ABC 的度数，由等边三角形的性质可得线段相等及∠ABE 的度数，利用三角形内角和及等腰三角形的性质可求得答案．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∵△AEB 是对边三角形，∴BC=AB ，∠ABE=60°，∴BE=BC ，∴∠BEC=∠BCE ，又∵∠EBC=90°+60°=150°，∴∠BCE=（180°-150°）=15°.考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质．12．5【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，由矩形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，由角平分线和平行线的性质可证BE BC =，由勾股定理可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵EC 平分BED ∠，∴BEC CED ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴DEC BCE ∠=∠，∴BEC BCE ∠=∠，∴BE EC =，设BC BE x ==，则1AE x =-，在Rt ABE △中，222BE AB AE =+，∴()22231x x =+-，解得：5x =，∴5BC =，故答案为：5．13．①③④【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，三角形的中位线性质；根据SAS 证明DAF DCE ≌得到ADF CDE ∠=∠，DE DF =，再证明DEF 是等腰直角三角形，可得45DEF DFE ∠=∠=︒，由BD 是正方形的对角线可得45DBC ∠=，得45DFG EBG ∠=∠=︒，又FGD BGE ∠=∠，故可得FGD BGE ∽，故①正确；连接DM BM 、，过点M 作MH BC ⊥于点H ，证明MH 是BEF △的中位线，求出2MH =，根据直角三角形的性质得到MD MB =，根据SSS 证明DCM BCM ≌，得到1452BCM DCM BCD ∠=∠=∠=︒，得出CM =②错误；根据三角形内角和定理可得③正确；证明DGN EGD ∽可判断④正确；熟记各性质与定理并作出辅助线是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形中，∴AD CD =，90A ABC BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∴90DCE A ∠=∠=︒，又∵AF CE =，∴()SAS AFD CED ≌，∴ADF CDE ∠=∠，DE DF =，∴90CDE FDC ADF FDC ADC ∠+∠=∠+∠=∠=︒，即90EDF ∠=︒，又∵DE DF =，∴45DFE DEF ∠=∠=︒，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴45DBC ∠=︒，∴45DFG CBG ∠=∠=︒，∵FGD BGE ∠=∠，∴~FGD BGE ，故①正确；连接DM BM 、，过点M 作MH BC ⊥于点H，如图，∵MH BF ∥，∴EM EH MF HB=，∵M 是EF 的中点，∴EM MF =，∴1EH HB=，即EH HB =，∴H 是EB 的中点，∴MH 是BEF △的中位线，∴122MH BF ==，∵M 是EF 的中点，∴12MD EF =，12BM EF =，∴MD MB =，在DCM △与BCM 中，DM MB BC CD CM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS DCM BCM ≌，∴1452BCM DCM BCD ∠==∠=︒，∴45HMC MCH ∠=∠=︒，∴CM ==由于无法判断CM CE =，故②说法错误；∵180MCN CNM CMN ∠+∠+∠=︒，180DEN DNE EDN ∠+∠+∠=︒，又∵45MCN DEN ∠=∠=︒，MNC DNE ∠=∠，∴CME CDE ∠=∠，故③正确；∵45GDN DEG ∠=∠=︒，DGN EGD ∠=∠，∴DGN EGD ∽，∴DG GN GE DG=，∴2·DG GN GE =，故④正确；综上，正确的是①③④，故答案为：①③④．14．（1）x 1＝5，x 2＝﹣2；（2）x 1x 2【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【详解】（1）∵x 2﹣3x ﹣10＝0，∴（x ﹣5）（x+2）＝0，则x ﹣5＝0或x+2＝0，解得：x 1＝5，x 2＝﹣2；（2）∵2x 2﹣4x ＝1，∴x 2﹣2x ＝12，则x 2﹣2x+1＝12+1，即（x ﹣1）2＝32，∴x ﹣1＝±2，则x 1x 2【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法和配方法，解题关键在于掌握运算法则.15．(1)见解析；()2,1(2)见解析；()4,2-．【分析】（1）分别确定A ，B ，C 关于x 轴对称的对称点1A ，1B ，1C ，再顺次连接即可，再根据1C 的位置可得其坐标；（2）分别确定A ，B ，C 关于原点O 的位似对应点2A ，2B ，2C ，再顺次连接即可，再根据2C 的位置可得其坐标；【详解】（1）解：如图，111A BC △，即为所求作的三角形，由图象可得()12,1C ，（2）如图，222A B C △，即为所求作，由图象可得()24,2C -，【点睛】本题考查的是画关于x 轴对称的三角形，画关于原点位似的三角形，以及确定对称与位似的对应点的坐标，掌握“轴对称与位似的性质进行画图”是解本题的关键．16．(1)30，20(2)90︒(3)100(4)12【分析】（1）先求解总人数为100人，再由D 组的百分比乘以100即可得到m ，再由总人数减去各小组的人数可得n 的值；（2）由C 组的百分比乘以360︒即可；（3）由不合格的百分比乘以400即可；（4）先列表得到所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.【详解】（1）解：总人数为：1515%100÷=（人），∴10030%30m =⨯=，1001015253020n =----=；（2）2536090100︒⨯=︒；∴扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是90︒；（3）1015400100100+⨯=；∴该校九年级本次听写比赛不合格的学生人数有100人；（4）列表如下：AB A (),A A (),A B B (),B A (),B B ∴所有等可能的结果数有4种，两人分在同一组的情况数有2种，∴甲、乙两人恰好分在同一小组的概率是2142=.【点睛】本题考查的是频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体，利用列表法或画树状图求解随机事件的概率，掌握基础的统计知识是解本题的关键.17．(1)2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 款大疆农业无人机10架，B 款大疆农业无人机15架；(2)m 的值为1．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）设2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 款大疆农业无人机x 架，B 款大疆农业无人机y 架，利用总价=单价⨯数量，结合我国S 省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A 、B 两款大疆农业无人机共25架，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总价=单价⨯数量，可列出关于m 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 款大疆农业无人机x 架，B 款大疆农业无人机y 架，根据题意得：252(20.2)47x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩．答：2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 款大疆农业无人机10架，B 款大疆农业无人机15架；（2）解：根据题意得：()1211020.215155.82105m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得：2340m m +-=，解得：11m =，24m =-（不符合题意，舍去）．答：m 的值为1．18．(1)证明见解析(2)MN BM DN =+，2(3)DN BM MN -=，证明见解析【分析】（1）先证明()SAS ADN ABP ≌，可得BAP DAN ∠=∠，AP AN =，再证明(SAS)PAM NAM ≌△△，可得MN MP =，再利用线段的和差可得结论；（2）如图所示，延长CB 至P ，使得BP DN =，连接AP ，再仿照（1）的思路可得结论，再利用结论求解CMN 的周长即可；（3）在DC 上截取DE BM =，连接AE ，由（1）知ADE ABM ≌△△，则DAE BAM ∠=∠，AE AM =，则90EAM BAM BAE DAE BAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，根据45MAN ∠=︒得EAN MAN ∠=∠，根据SAS 可证明MAN EAN ≌△△，则EN MN =，即DN DE MN -=．【详解】（1）证明：延长MB 至点P ，使BP DN =，连接AP ，如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90D ABC ABP ∠=∠=︒=∠，在ADN △和ABP 中，∵AD AB D ABP DN BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADN ABP ≌，∴BAP DAN ∠=∠，AP AN =，∴90PAN BAP BAN DAN BAN ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵45MAN ∠=︒，∴PAM MAN ∠=∠，∵在PAM △和NAM △中AP AN PAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)PAM NAM ≌△△，∴MN MP =，∵MP BM BP BM DN =+=+，∴BM DN MN +=，（2）如图2所示，延长CB 至P ，使得BP DN =，连接AP，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90D ABC ABP ∠=∠=︒=∠，在ADN △和ABP 中，∵AD AB D ABP DN BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADN ABP ≌，∴BAP DAN ∠=∠，AP AN =，∴90PAN BAP BAN DAN BAN ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵45MAN ∠=︒，∴PAM MAN ∠=∠，∵在PAM △和NAM △中AP AN PAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()PAM NAM SAS ≌，∴MN MP =，∵MP BM BP BM DN =+=+，∴BM DN MN +=，∵正方形的周长为4，∴1BC CD ==，∴CMN C CM CN MN=++ CM CN BM DN=+++BC CD=+2=；（3）DN BM MN -=，理由如下：解：如图3，在DC 上截取DE BM =，连接AE ，由（1）知()SAS ADE ABM ≌，∴DAE BAM ∠=∠，AE AM =，∴90EAM BAM BAE DAE BAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵45MAN ∠=︒，∴EAN MAN ∠=∠．在MAN △和EAN 中AE AM MAN EAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS MAN EAN ≌，∴EN MN =，即DN DE MN -=，∴DN BM MN -=．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，解题的关键是掌握这些知识点，添加适当的辅助线．19．（1）S △ACP（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC ，得出AP ，即可求出S △ACP ；（2）在CF 上截取NG=FN ，连接BG ，则CF-CG=2FN ，证出∠BCF=∠DCP ，由ASA 证明△BCF ≌△DCP ，得出CF=CP ，证出CG=BM ，由SAS 证明△ABM ≌△BCG ，得出∠AMB=∠BGC ，因此∠BMC=∠BGF ，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG ，得出∠BFG=∠BGF ，因此∠BMC=∠CBM ，即可得出结论试题解析：（1）∵四边形ABC 是正方形，∴AD ∥BC ，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，∴=，∴AP=78AC=78×=2，∴S △ACP=12AP×CD=12×2；（2）证明：在CF 上截取NG=FN ，连接BG ，如图1所示：则CF﹣CG=2FN，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，在△BCF和△DCP中，ABC CDP BC DCBCF DCP∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCF≌△DCP（ASA），∴CF=CP，∵CP﹣BM=2FN，∴CG=BM，∵∠ABC=90°，BM⊥CF，∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，在△ABM和△BCG中，AB BCABM CBG BM CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△BCG（SAS），∴∠AMB=∠BGC，∴∠BMC=∠BGF，∵GN=FN，BM⊥CF，∴BF=BG，∴∠BFG=∠BGF，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC.点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，综合性较强，由一定的难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论.20．（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析．【分析】（1）根据题意直接列出树形图或列表即可；（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．【详解】解：（1）列表法如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）树形图如下：（2）不公平．理由：因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况：1+1=2；2+1=3；3+1=4；1+2=3；2+2=4；3+2=5；1+3=4；2+3=5；3+3=6共9种情况，其中5个偶数，4个奇数．即小昆获胜的概率为49，而小明的概率为595499∴>∴此游戏不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2（x ﹣1）＝4B ．212+=x xC ．22310x x ++=D ．x+y ＝0 2．若13a c b d ==（b+d≠0），则a c b d ++的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．1 D ．433．下列方程有两个不相等的实数根的是（ ）A ．2650x x +-=B ．23650x x ++=C ．2440x x ++=D ．2210x x ++= 4．下列可以判断是菱形的是（ ）A ．一组对边平行且相等的四边形B ．对角线相等的平行四边形C ．对角线垂直的四边形D ．对角线互相垂直且平分的四边形 5．王师傅的蘑菇培育基地2017年产量是60吨，由于科学管理，产量逐年增加，2019年产量达到80吨如果每年的增长率相同，设增长率为x ，那么可列方程（ ） A ．260(1)80x +=B ．280(1)60x -=C ．260(12)80x +=D ．260(1)60(1)140x x +++= 6．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上一点（不与A ，B 两点重合），下列条件：①∠ACD ＝∠B ； ②∠ADC ＝∠ACB ；③AC 2＝AD•AB ；④AC AD BC CD=，能使△ABC ∽△ACD 的条件的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的10个红球和若中个黄球每次从盒子里摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.8．请估计盒子里黄球约有（ ）A ．20个B ．40个C ．60个D ．80个8．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为12．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若CD ＝1，则AC 的长为（ ）A B C D 9．如图，菱形ABCD 沿对角线AC 的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC 的中点．若菱形ABCD 的边长为2，∠BCD ＝60°，则阴影部分的面积为（ ）A ．12BC ．1 D10．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为（ ）A ．4B ．C ．4.5D ．5二、填空题 11．为了检验某批足球的质量，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个．如果从这批足球中随机取出一个，那么这个足球合格的概率约为_____．12．若关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个相等的实数根，则k的值为______．13．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为_____．14．中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为______．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边上一动点，将△ABE沿BE 折叠，使点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对角线上，则AE的长为______．16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝3，则AC的长是_____．三、解答题17．解下列方程（1）x2+x＝0 （2）2x2+4x﹣1＝018．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF＝3，求AC的长．19．如图，在正方形ABCD的上方作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）连接AC，设AC与BE交于点F，求∠BFC的度数．20．课堂上，蒋老师拿出了4张分别与有数字1，2，3，4的卡片（除数字外其他都相同），让同学们随机抽取两张，并计算这两张卡片上数字的和．（1）请用列表或画树状图的方法列举出所有等可能的结果；（2）求两张卡片上数字的和大于5的概率．21．某商场新上市一款毛衣，进价是40元，当售价为80元，一天可以销售20件．若售价每降价1元，则每天可以多卖2件．设售价为x元，当天的销售量为y件．（1）销售量y与售价x之间的函数表达式为______；（2）在尽可能增大销售量的前提下，问这款毛衣降价后的售价为多少元时，商场当天可获利1200元？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D．（1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______．23．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD＝3，DE，连接AE，CG（1）线段AE与CC的关系为______；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC＝90°时，请直接写出AE 的长．24．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣34x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A 同时出发，设运动时间为t秒．（1）如果点Q的速度为每秒35个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标．参考答案1．C【解析】根据一元二次方程的定义进行判断，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】A、是一元一次方程，故本选项不合题意；B、不是一元二次方程，是分式方程，故本选项不合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、是二元一次方程，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义. 2．A【分析】根据等比的性质进行解答即可．【详解】∵若13a cb d==（b+d≠0），∴a cb d++＝13．故选：A．【点睛】本题考查等比的性质，解题的关键是掌握等比的性质.3．A【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论．【详解】A、∵△＝62﹣4×1×（﹣5）＝56＞0，∴一元二次方程x2+6x﹣5＝0有两个不相等的实数根，A符合题意；B、∵△＝62﹣4×3×5＝﹣24＜0，∴一元二次方程3x2+6x+5＝0没有实数根，B不符合题意；C、∵△＝42﹣4×1×4＝0，∴一元二次方程x2+4x+4＝0有两个相等的实数根，C不符合题意；D、∵△＝22﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的运用.4．D【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法.5．A【分析】设增长率为x，根据王师傅的蘑菇培育基地2017年及2019年的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】设增长率为x，依题意，得：60（1+x）2＝80．故选：A．【点睛】本题考查增长率和列一元二次方程，解题的关键是读懂题意，得到等式关系.6．C【分析】由∠A是公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC与△ACD相似，即可得出结果．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ACD＝∠B时，△ADC∽△ACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当∠ADC＝∠ACB时，△ADC∽△ACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当AC2＝AD•AB时，即AC ADAB AC=，△ADC∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）．当AC ADBC CD=时，∠A不是夹角，则不能判定△ADC与△ACB相似；∴能够判定△ABC与△ACD相似的条件是：①②③．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定.7．B【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】设盒子里黄球约有x个，根据题意得：10xx+＝0.8，解得：x＝40，答：盒子里黄球约有40个；故选：B．【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握求概率的方法. 8．D【分析】根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解．【详解】∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°，∴AD ＝BD ，∴∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△ABC 和△BDC 都是顶角为36°的等腰三角形．∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，，∴DC BC ＝BC AC即1BC ＝BC AC∴BC ，AC ． 故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和黄金分割，解题的关键是读懂题意，掌握等腰三角形的性质和黄金分割.9．B【分析】先求出菱形ABCD 的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF 的面积是▱ABCD 面积的14，即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AD ＝2＝CD ，∠DCA ＝12∠BCD ＝30°，∴A'D ＝1，A'C∴菱形ABCD 的面积＝4×12×A'D×A'C ＝ 如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝12 AC，∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的14，∴阴影部分的面积＝4故选：B．【点睛】本题考查菱形的性质、平移的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、平移的性质.10．A【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．11．90%【分析】用概率公式进行计算解决问题即可．【详解】由题意，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个， 所以这个足球合格的概率约90100%100⨯＝90%， 故答案为90%．【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握概率公式.12．﹣14【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于k 的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的方程kx 2+（2k ﹣1）x+k ﹣2＝0有两个相等的实数根，∴2k 0(2k 1)4k (k 2)0≠⎧⎨∆=--⨯⨯-=⎩， 解得：k ＝﹣14． 故答案为：﹣14． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式.13．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】∵矩形ABCD 与矩形EABF 相似， ∴AE AB ＝AB AD ，即1AD 626AD=，解得，AD ＝，故答案为：．【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质.14．100【分析】根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直角三角形的两条直角边长，进而求解．【详解】∵正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+（AE﹣7）2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所用细塑料棒的长度为：4（AB+AE）＝4（13+12）＝100．故答案为100．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用.15．3 2【分析】由勾股定理可求BD长，由折叠的性质可得AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，由勾股定理列出方程，可求AE的长．【详解】如图，∵AB＝3，AD＝4，∠A＝90°，∴BD5，∵将△ABE沿BE折叠，∴AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，∴A'D＝BD﹣A'B＝2，∵DE2＝A'E2+A'D2，∴（4﹣AE）2＝AE2+4，∴AE＝32，故答案为：3 2【点睛】本题考查勾股定理和折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理和折叠的性质.16．6【分析】根据矩形的性质，因为矩形的对角线相等且互相平分，则△BOC是等腰三角形；已知∠AOB ＝120°，即可求出∠DBA＝30°，由AD＝3，可求出AC=BD=6．【详解】∵四边形ABCD是矩形，矩形的对角线相等且互相平分∴OA=OB，∴△AOB是等腰三角形又∵∠AOB＝120°∴∠DBA＝∠CAB=30°在Rt△DAB中，AD＝3，∠DBA=30°∴BD=2AD=6∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD=6故答案为：6【点睛】本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，在直角三角形中，利用特殊三角形的相关性质求解是解题的关键．17．（1）x＝0或x＝﹣1；（2）x＝﹣1±2【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；（2）根据配方法即可求出答案.【详解】（1）∵x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x＝0或x＝﹣1；（2）∵2x2+4x﹣1＝0，∴x2+2x＝12，∴（x+1）2＝32，∴x＝﹣1±2【点睛】本题考查因式分解法、配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、配方法解一元二次方程.18．AC=12．【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得AE ADAC AB=＝12，可得AC＝2AE，通过证明△ADF∽△ABE，可得AD AFAB AE=＝12，可求AF＝EF＝3，即可求解．【详解】∵点D是AB的中点，∴AB＝2AD＝2DB，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB=＝12，∴AC＝2AE，∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE，∴AD AFAB AE=＝12，∴AE＝2AF，且AE＝AF+EF，∴EF＝AF＝3，∴AE＝6，∴AC＝2AE＝12．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质. 19．（1）证明见解析；（2）∠BFC＝60°．【分析】（1）利用等边三角形的性质和正方形的性质可得∠BAE＝∠CDE＝150°，由“SAS”可证△ABE≌△DCE；（2）首先得出∠ABE＝∠AEB＝15°，由外角性质可求解．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°，∵三角形ADE为正三角形，∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°，在△BAE和△CDE中AB CDBAE CDE AE DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，∴∠BFC＝∠ABE+∠BAC＝60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、三角形外角性质和全等三角形的判定（SAS），解题的关键是掌握等边三角形的性质、正方形的性质、三角形外角性质和全等三角形的判定（SAS）.20．（1）共有12种等情况数；（2）13．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数，分别列举出来即可；（2）先找出两张卡片上数字的和大于5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）画树状图如下共有12种等情况数，这两张卡片上数字的和分别是3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7；（2）∵共有12种等情况数，其中两张卡片上数字的和大于5的有4种，∴两张卡片上数字的和大于5的概率是412＝13．【点睛】本题考查画树状图法求概率，解题的关键是掌握画树状图法求概率.21．（1）y＝﹣2x+180；（2）毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元．【分析】（1）设售价为x元，根据售价每降低1元，平均每月多售出2件．可得平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式；（2）根据销售利润＝一件毛衣的利润×销售童装的数量可得方程，利用方程求解．【详解】（1）设售价为x元，则平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式为：y＝20+2（80﹣x），化简整理，得y＝﹣2x+180；故答案是：y＝﹣2x+180；（2）根据题意，得（x﹣40）（﹣2x+180）＝1200，解得x1＝70，x2＝60．因为是尽可能增大销售量，所以x＝60符合题意．答：这款毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元．【点睛】本题考查列二元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握列二元一次方程和一元二次方程的应用.22．（1）证明见解析；（2）②【分析】（1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；（2）①根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC 的延长线于点F，根据勾股定理即可求解．【详解】如图所示：（1）∵BD∥CE，CD∥BE，∴四边形BDCE是平行四边形，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴四边形BECD是矩形；（2）①当BE BECD是菱形．理由如下：连接ED，与BC交于点O，∵四边形BDCE是平行四边形，当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形，BO＝12BC＝3，OE＝12AC＝2，∴根据勾股定理，得BE②连接AD，与BC交于点P，连接PE，此时PD＝PE，AP+EP最小，∴AP+PE＝AP+PD＝AD，过点D作DF垂直于AC的延长线于点F，得矩形ODFC，∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3，∴AF＝AC+CF＝6，∴在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AD∴AP+EP的最小值为故答案为【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理，解题的关键是掌握矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理.23．（1）AE＝CG，AE⊥CG；（2）仍然成立；理由见解析；（3）AE的长为+1或﹣1．【分析】（1）延长AE交CG于点H，证△ADE≌△CDG，可得到AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，再证∠CHE＝90°，即可得出结论；（2）设AE与CG交于点H，证∴△ADE≌△CDG，可得到AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，再证，∠CHP＝90°，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，构造等腰直角三角形DME和直角三角形ADM，可通过勾股定理分别求出ME，AM的长即可；当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DN⊥CE于点N，构造等腰直角三角形DNE 和直角三角形CND，可通过勾股定理分别求出NE，CN的长，再求出CE的长，在Rt△AEC 中通过勾股定理可求出AE的长．【详解】（1）线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；（3）如图3﹣1，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°，∴∠AED＝45°，∴Rt△DME是等腰直角三角形，DE＝1，∴ME＝MD＝2在Rt⊈△AMD中，ME＝1，AD＝3，∴AM，∴AE＝AM+ME＝+1；如图3﹣2，当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DN⊥CE于点N，则∠END＝90°，∵∠DEN＝45°，∴∠EDN＝45°，∴Rt△DNE是等腰直角三角形，DE＝1，∴NE＝ND＝2在Rt△CND中，ND＝1，CD＝3，∴CN，∴CE＝NE+CN＝+1，∵AC AD＝，∴在Rt△AEC中，AE﹣1，综上所述，AE的长为+1或﹣1．【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质，正方形的性质，旋转的性质以及勾股定理，解题关键是在第（3）问中能够根据题意分情况讨论并画出图形，才能保证解答的完整性．24．（1）证明见解析；（2）△APQ的面积为16；（3）点H的坐标为：（163，6），（﹣83，4）．【分析】（1）根据已知得：直线与x、y轴的交点B（8，0）、A（0，6），AP＝5，AQ＝3，对应边成比例且夹角相等即可证明；（2）作QE⊥y轴于点E，用含t的式子表示AP和QE，利用三角形的面积即可求解；（3）根据题意画出矩形即可写出点H的坐标．【详解】（1）根据题意，得当t＝5时，AP＝5，AQ＝3，∴B（8，0），A（0，6），∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，∴APAB ＝AQAO ＝12，∠PAQ ＝∠BAO ，∴△APQ ∽△ABO ；（2）如图：过点Q 作QE ⊥OA 于点E ，在Rt △AOB 和Rt △AQE 中，sin ∠BAO ＝OBAB ＝45，sin ∠QAE ＝QEAQ ＝2QEt ，∴2QEt ＝45，∴QE ＝85t ，∴S △APQ ＝12AP•QE ＝16， 即12×t×85t ＝16∴t ＝答：那么△APQ 的面积为16．（3）如图：设点Q 的速度为每秒x 个单位长度，当t ＝4时，AP ＝4，AQ ＝4x ，∵以点A ，P ，H ，Q 四点为顶点的四边形是矩形，∴PQ ∥OB ，∴PQ OB ＝AP AO ，即8PQ ＝46， ∴PQ ＝163， ∴H （163，6）．设点Q 的速度为每秒x 个单位长度，当t ＝4时，AP ＝4，AQ ＝4x ，∵以点A ，P ，H ，Q 四点为顶点的四边形是矩形，当AP 为矩形对角线时，410x ＝26解得x ＝56∴Q′C 2AC +＝83． ∴H （﹣83，4）． 所以点H 的坐标为：（163，6）．（﹣83，4）． 【点睛】 本题考查一次函数综合、三角形面积、相似三角形的判定、矩形的性质，解决本题的关键是掌握一次函数综合，综合运用三角形面积、相似三角形的判定、矩形的性质．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷带答案 2022年

北师大版九年级上册数学期中考试试卷带答案 2022年

北师大版九年级上册数学期中考试试题2022年7月一、单选题1．萎形不一定具备的性质是（）A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线相等2．一元二次方程x²＋2x－3＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5，b=2.5，c=8，则线段d的长为（）A．2 B．4 C．5 D．64．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则图中长度为5的线段共有（）A．2条B．4条C．5条D．6条5．如图，AB//CD//EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，E和点B，D，F，若AC＝1，CE＝3，BD＝1.2，则BF的长为（）A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5.26．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，x满足的方程是（）A．50(1+x)2=182 B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182C．50(1+2x)=182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)2=1827．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、黑、白三种颜色的小球．已知口袋中有红球5个，白球23个，且从口袋中随机摸出一个红球的概率是110，则口袋中黑球的个数为（）A．22 B．23 C．25 D．278．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF交于点O，则下列结论∠AE＝BF；∠AE∠BF；∠O为AE中点；∠S∠AOB＝S四边形DEOF中，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题9．如果23ab=，那么b aa b-=+__________．10．定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，则方程（x+2）*5＝0的解为_____．11．有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字－1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，则抽取的两张卡片正面标有数字都是正数的概率为__________12．如图，在∠ABC中，BD∠AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于________．13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝130°，EF垂直平分AD，交AD于点E，交对角线AC于点F，连接BF，则∠FBC的度数为___________14．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．15．如图，在矩形ABCD中，=6AD ，沿过点A的直线翻折，使点D落在BC边上AB，10的点E处，折痕与边CD相交于点F，则CF的长为_____16．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，BE AE＝3BE，P是对角线AC 上一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，∠PBE周长的最小值为________三、解答题17．按指定的方法解方程：（1）x2＋x－6＝0；（公式法）（2）2（x＋1）2＝x2－1（因式分解法）18．先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值．解∠y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4，（y＋2）2≥0，∴（y＋2）2＋4≥4∴y²＋4y＋8的最小值是4（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；（2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．19．防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C 三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是________；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，G，F分别在AD，CD及对角线BD上，且EF//AB，FG//BC，若DE：DA＝2：5，EF＝4，求线段CG的长．21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件，同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元，设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？22．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF∠AB，OG∠EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．23．如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC－21cm，动点P从点B出发，以1cm/s 的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发，以同样的速度沿CA方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动．（1）求运动多少s时，点P与点Q相距15cm；（2）在点P，Q运动的过程中，∠PCQ的面积能否为56cm²？请说明理由．24．问题情境：如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt∠ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到∠CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明．参考答案1．D【解析】【分析】本题考查菱形的性质，菱形两组对边平行，四条边相等，两组对角相等，对角线互相垂直平分，以此可以求解．【详解】解：A、菱形的对边平行且四边相等，此选项说法正确，不符合题意；B、菱形的两组对角相等，此选项说法正确，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直平分，此选项说法正确，不符合题意；D、菱形的对角线不相等，此选项说法错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质，熟悉菱形的性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】计算一元二次方程的根的判别式，进而根据判别式的符号判断根的情况即可．【详解】由一元二次方程x²＋2x －3＝0，∴1,2,3a b c ===-，224212160b ac ∆=-=+=>,∴方程有两个不相等的实数根．故选B【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．3．B【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb ，将a ，b 及c 的值代入即可求得d ．【详解】已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb ，代入a=5cm ，b=2.5cm ，c=8cm ，解得：d=4.故线段d 的长为4cm.故选B.【点睛】本题考查成比例线段，解题突破口是根据定义进行计算即可.4．D【解析】【分析】根据矩形的性质以及等边三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠OA=OB=OC=OD=12AC=5，∠∠AOB＝60°，OA=OB，∠∠AOB为等边三角形，∠AB=OA=OB=5，同理可得∠COD为等边三角形，∠CD=OC=OD=5，∠长度为5的线段有OA、OB、OC、OD、AB、CD，共6条，故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，理解并熟练运用矩形和等边三角形的性质是解题关键．5．C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出BD，计算即可．【详解】解：∠AB//CD//EF，∠AC DBEC DF=，∠1 1.23DF =，∠DF=3.6，∠BF=BD+DF=1.2+3.6=4.8故答案为:4.8.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6．B【解析】【分析】设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，根据题意第二季度共生产零件182万个，列一元二次方程即可．【详解】设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，则50+50(1+x)+50(1+x)2=182故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出一元二次方程是解题的关键．7．A【解析】【分析】设口袋中黑球的个数为x个，则随机摸出一个红球的结果有5次，所有等可能的结果有()523x++次，再利用概率的含义列方程，再解方程即可.【详解】解：设口袋中黑球的个数为x个，则51 52310x=++2850,x∴+=22x∴=经检验：22x=是原方程的根，且符合题意；答：口袋中黑球的个数为22个.故选：A【点睛】本题考查的是随机事件的概率的含义，已知概率求数量，掌握利用随机事件的概率列方程是解题的关键.8．B【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断∠ABF∠∠DAE，即可得AE与BF的关系；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则得AE与BF位置关系；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO∠AE，根据垂直平分线的性质得到OA与OE关系；最后根据∠ABF∠∠DAE得S ∠ABF=S ∠DAE ，则S ∠ABF -S ∠AOF=S ∠DAE -S ∠AOF ，即S ∠AOB 与S 四边形DEOF 的关系．【详解】解：连结BE ，如图，∠四边形ABCD 为正方形，∠AB=AD=DC ，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF ，∠AF=DE ，在∠ABF 和∠DAE 中AB DABAD ADE AF DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ABF∠∠DAE ，∠AE=BF ，所以∠正确；∠∠ABF=∠EAD ，而∠EAD+∠EAB=90°，∠∠ABF+∠EAB=90°，∠∠AOB=90°，∠AE∠BF ，所以∠正确；∠BE ＞BC ，∠BA≠BE ，而BO∠AE ，∠OA≠OE ，所以∠错误；∠∠ABF∠∠DAE ，∠S ∠ABF=S ∠DAE ，∠S ∠ABF -S ∠AOF=S ∠DAE -S ∠AOF ，∠S∠AOB=S四边形DEOF，所以∠正确．正确的有3个．故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．9．1 5【解析】【分析】设a=2k，得到b=3k，代入b aa b-+化简即可求解．【详解】解：设a=2k，∠23ab=，∠b=3k，∠3213255b a k k ka b k k k--===++．故答案为：1 5【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键．10．x1＝3，x2＝﹣7．【解析】【分析】首先根据a*b＝a2﹣b2，可得（x+2）*5＝（x+2）2﹣52，然后解方程（x+2）2﹣52＝0，首先把﹣52移到方程右边，然后再利用直接开平方法解方程即可．【详解】由题意得：（x+2）*5＝（x+2）2﹣52，（x+2）2﹣52＝0，（x+2）2＝25，两边直接开平方得：x+2＝±5，x+2＝5，x+2＝﹣5，解得：x 1＝3，x 2＝﹣7．故答案为：x 1＝3，x 2＝﹣7．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．11．13【解析】【分析】根据树状图可知所有可能总数，两个数字都是正数的个数，用概率公式计算即可得出答案．【详解】由树状图可知：总共有6种可能，两个数字都是正数的有2种，2163P ∴==． 故答案为：13． 12．8【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD 的长．【详解】∠BD∠AC 于D ，点E 为AB 的中点，∠AB=2DE=2×5=10，∠在Rt∠ABD 中，BD===8．故答案为8．13．105°【解析】连接FD ，根据垂直平分线的性质得出∠FAD=∠FDA ，根据菱形的性质推出∠FBA=∠FDA ，从而得出结论即可．【详解】解：如图所示，连接FD ，∠四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝130°，AC 为对角线，∠∠BAD=50°，∠FAD=12∠BAD=25°， ∠EF 垂直平分AD ，交AD 于点E ，∠∠FAD=∠FDA=25°，由菱形基本性质可得AB=AD ，∠FAB=∠FAD ，在∠AFB 和∠AFD 中，A A FAB F D F D F A B A A =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠ ∠∠AFB∠∠AFD （SAS ），∠∠FBA=∠FDA=25°，∠∠FBC=∠ABC -∠FBA=130°-25°=105°，故答案为：105°．【点睛】本题考查菱形的性质和垂直平分线的性质，理解并熟练运用菱形和垂直平分线的基本性质是解题关键．14．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x 2﹣7x+10＝0（x ﹣2）（x ﹣5）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.15．83##223【解析】【分析】在矩形ABCD 中，可得6AB DC ==，10AD BC ==，=90B C D ∠=∠=∠︒，在Rt ABE △中，易求=8BE ，从而=2CE ，设FC x =，则可得6EF x =-，在Rt EFC △中利用勾股定理建立关于x 的方程，解得答案．【详解】解：在矩形ABCD 中，=6AB ，10AD =，∠6AB DC ==，10AD BC ==，=90B C D ∠=∠=∠︒，∠矩形ABCD 沿过点A 的直线翻折，使点D 落在BC 边上的点E 处，∠=10AE AD =，DF EF =，在Rt ABE △中， B E =∠BE ，∠==108=2CE BC BE --，设FC x =，则6FD x =-，即6EF x =-，在Rt EFC △中， 222FC CE EF +=，∠2222(6)x x +=-， 解得83x =， 即83FC =． 故答案为：83． 【点睛】本题考查与矩形有关的折叠问题，利用矩形的性质，可以求得各个线段的值，利用勾股定理建立方程是解题关键．16．【解析】【分析】由于BE 固定，要求∠PBE 周长的最小值，即为求PE+PB 长度的最小值，根据正方形的性质推出PB=PD ，当D 、P 、E 三点共线时，PD+PE 最小，也即是PE+PB 最小，此时利用勾股定理求解即可．【详解】解：∠BE ∠PBE 周长=PB+PE+BE ，∠要求∠PBE 周长的最小值，即为求PE+PB 长度的最小值，如图所示，连接PD ，∠四边形ABCD 为正方形，∠PB=PD ，∠求PD+PE 的最小值即可，显然，当D 、P 、E 三点共线时，PD+PE 最小，也即是PE+PB 最小，此时，PD+PE=DE ，∠BE AE ＝3BE ，∠AE=AD=AB=4BE=此时，在Rt∠ADE 中，DE ==∠PD+PE最小值为即：PB+PE 最小值为∠∠PBE周长的最小值为 故答案为：【点睛】本题考查正方形的基本性质，以及最短路径问题，理解正方形的基本性质，熟练掌握最短路径问题的处理方法是解题关键．17．（1）1x =2x =-（2）121,3x x =-=-【解析】【分析】（1）根据题意用公式法解一元二次方程；（2）根据题意用因式分解法解一元二次方程．【详解】（1）x 2＋x －6＝01,6,a b c ===-2482432b ac ∴∆=-=+=x ∴==∴1x ，2x =-（2）2（x ＋1）2＝x 2－1()()()22111x x x +=+- ()1(221)0x x x ++-+=解得121,3x x =-=-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．（1）3；（2）3m =，有最小值为4【解析】【分析】（1）利用配方法把224x x ++化为2(31)x ++，根据平方的非负性解答即可；（2）利用配方法把原始变形，根据平方的非负性解答即可．【详解】（1）2224(1)3x x x ++=++，2(1)0x +≥，2(1)33x ∴++≥224x x ∴++的最小值为3；（2）2222261363313(3)4m m m m m -+=-+-+=-+，2(3)0m -≥，2(3)44m ∴-+≥，∴当30m -=，即3m =时，有最小值为4．【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．19．(1) 13;(2) 13．【解析】【分析】(1) 因为共开设了A 、B 、C 三个测温通道，小明从A 测温通道通过的概率是13．(2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可．【详解】(1) 因为共开设了A 、B 、C 三个测温通道，小明从A 测温通道通过的概率是13，故答案为：13．(2)由题意画出树状图：由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=3193=． 【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率． 20．6【解析】【分析】根据平行得出∠DEF∠∠DAB ，求出AB 长，再根据四边形DEFG 是平行四边形得出DG 长，进而求出CG 的长．【详解】解：∠EF//AB ，∠∠DEF∠∠DAB ， ∠25DE EF DA AB ==， ∠EF ＝4，∠AB ＝10，∠EF//AB ，FG//BC ，∠四边形DEFG 是平行四边形，∠EF=DG ＝4，∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB ＝CD ＝10，∠CG ＝CD -DG ＝6．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的性质求出平行四边形的边长．21．（1）2200y x =-+(3060)x ≤≤；（2）55元【解析】【分析】（1）进而设销售单价为x 元，平均月销售量为y 件，根据题意先求得x 的取值范围，根据题意列出y 与x 的函数关系式；（2）根据题意列出方程，解一元二次方程，进而求得答案，注意x 的取值范围．【详解】（1）∠单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元，设销售单价为x 元，∴3060x ≤≤，平均月销售量为y 件，则602080220010x y x -=⨯+=-+ ∴2200y x =-+()3060x ≤≤；（2）根据题意得()304501800x y --=即()30(2200)4501800x x --+-=解得1255,75x x ==3060x ≤≤55x ∴=答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求函数关系式，根据题意列出函数关系和方程是解题的关键．22．(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】【分析】(1)先证明EO 是∠DAB 的中位线，再结合已知条件OG∠EF ，得到四边形OEFG 是平行四边形，再由条件EF∠AB ，得到四边形OEFG 是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=12AB=12AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．【详解】解：(1)证明:∠四边形ABCD为菱形，∠点O为BD的中点，∠点E为AD中点，∠OE为∠ABD的中位线，∠OE∠FG，∠OG∠EF，∠四边形OEFG为平行四边形∠EF∠AB，∠平行四边形OEFG为矩形．(2)∠点E为AD的中点，AD=10，∠AE=15 2AD=∠∠EFA=90°，EF=4，∠在Rt∠AEF中，3=AF．∠四边形ABCD为菱形，∠AB=AD=10，∠OE=12AB=5，∠四边形OEFG为矩形，∠FG=OE=5，∠BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．23．（1）9秒或12秒；（2）不能，见解析【解析】【分析】（1）设x秒后满足条件，根据题意分别利用含x的式子表示PC和CQ的长度，从而运用勾股定理建立方程求解即可；（2）假设y秒后满足条件，结合（1）的结论建立一元二次方程，并利用根的判别式判断即可．【详解】解：（1）设x 秒后满足点P 与点Q 相距15cm ，则由题意，BP=x ，CQ=x ，∠PC=BC -BP=21-x ，在Rt∠PCQ 中，222PC CQ PQ +=，∠()2222115x x -+=，解得：9x =或12x =，∠运动9秒或12秒时，点P 与点Q 相距15cm ；（2）不能满足，理由如下：假设y 秒后满足∠PCQ 的面积为56cm²，则由（1）可得：()11215622PCQ S PC CQ y y ==-=， 整理得：2211120y y -+=，∠()221411270∆=--⨯=-<，∠原方程无解，∠不能满足∠PCQ 的面积为56cm²．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确建立一元二次方程，并熟练运用根的判别式是解题关键．24．（1）正方形，理由见解析；（2）CF ＝E'F ，证明见解析．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB ＝∠CE'B ＝90°，BE ＝BE'，∠EBE'＝90°，则可由正方形的判定证得四边形BE'FE 是正方形；（2）过点D 作DH∠AE 于点H ，由等腰三角形的性质可得AH ＝12AE ，由“AAS”可得∠ADH∠∠BAE ，可得AH ＝BE ＝12AE ，由旋转的性质可得AE ＝CE'，可得结论．【详解】解：（1）四边形BE'FE是正方形．理由如下：∠将Rt∠ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∠∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°．又∠∠BEF＝90°，∠四边形BE'FE是矩形．又∠BE＝BE'，∠四边形BE'FE是正方形．（2）CF＝E'F；理由如下：如图2，过点D作DH∠AE于点H，∠DA＝DE，DH∠AE，AE，∠ADH+∠DAH＝90°．∠AH＝12∠四边形ABCD是正方形，∠AD＝AB，∠DAB＝90°．∠∠DAH+∠EAB＝90°．∠∠ADH＝∠EAB．又∠AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∠∠ADH∠∠BAE（AAS）．∠AH＝BE＝1AE．2∠将Rt∠ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∠AE＝CE'．∠四边形BE'FE是正方形，∠BE＝E'F．CE'．∠E'F＝12∠CF＝E'F．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案 2022年最新修改

北师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案 2022年最新修改

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2021 D ．20202．已知32a b =，则a b b-的值是（ ） A ．32 B ．23 C ．2 D ．123．如下图，在ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，若:3:4AD AB =，则:AE EC =（ ）A ．3:1B ．4:1C ．4:3D ．3:2 4．菱形的一个内角是60︒，边长是3cm ，则这个菱形的较短的对角线长是（ ）A ．3cm 2B C ．3cm D ． 5．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝6，BC ＝8，过点O 作OM⊥AC ，交BC 于点M ，过点M 作MN⊥BD ，垂足为N ，则OM+MN 的值为（ ）A ．245B ．165C ．125D ．65 6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE ＝1，⊥DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF ，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、EF ．下列结论：⊥CG ⊥AEG 的周长为8；⊥EGF 的面积为1710．其中正确的是（ ）A ．⊥⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥7．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（ ）A ．150B ．100C ．50D ．2008．下列说法错误的是（ ）A ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B ．矩形的对角线相等C ．对角线相等的菱形是正方形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 9．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（） A ．310 B ．925 C ．425 D ．11010．如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝CA ，连接AE ，如果⊥ACB ＝38°，则⊥E 的值是（ ）A ．18°B ．19°C ．20°D ．40°11．如图，平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点E F ，分别是,OA OC 的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF 是菱形的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．2AC BD = C ．AC 平分BAD ∠ D ．AB BC = 12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点M 在边CD 上，若AM 平分⊥DMB ，则DM 的长是（ ）AB ．14C 32D ．2二、填空题13．一元二次方程x 2﹣x=0的根是_____．14．已知x=2是关于x 的一元二次方程kx 2+（k 2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k 的值为_____． 15．有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为_____．16．图，在菱形ABCD 中，AC ＝6，AB ＝5，点E 是直线AB 、CD 之间任意一点，连接AE 、BE 、DE 、CE ，则⊥EAB 和⊥ECD 的面积和等于_____．三、解答题17．解下列方程：（1）x 2﹣4x ﹣5＝0；（2）2x 2﹣5x+1＝0．18．已知关于x 的一元二次方程（a+b ）x 2+2cx+（b ﹣a ）＝0，其中a ，b ，c 分别为⊥ABC 三边的长．（1）如果x ＝﹣1是方程的根，试判断⊥ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断⊥ABC 的形状，并说明理由．19．如图，在四边形ABCD 中，⊥BAC ＝90°，E 是BC 的中点，AD⊥BC ，AE⊥DC ，EF⊥CD 于点F ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若AB ＝6，BC ＝10，求EF 的长．20．如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，,AE AD EC =与BD 相交于点,G 与AD 相交于点,F AF AB =．（1）求证：BD EC ⊥；（2）求:AD AB 的值；（3）连接AG ，求证：EG DG -=．21．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若⊥CAD=⊥DBC ． （1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，DH⊥CE ，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE=OF.22．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，求⊥ABC 的周长．23．如图，已知在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且EA=EC ．（8′） （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若⊥DAC=⊥EAD+⊥AED ，求证：四边形ABCD 是正方形．24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．（1）现在每天卖出件，每件盈利元（用含x的代数式表示）；（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．25．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，（1）证明：PC=PE；（2）求⊥CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当⊥ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．参考答案1．D2．D3．A4．C5．A6．D7．A8．A9．A10．B11．B12．D13．x1=0，x2=1【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．14．﹣3【详解】【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因为k≠0，所以k 的值为﹣3．故答案为﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．23【解析】设其中一双鞋分别为a ，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；【详解】设其中一双鞋分别为a ，a′．画树状图得：⊥共有12种情况，能配成一双的有8种情况，⊥取出两只刚好配一双鞋的概率是：82123=． 故答案为23． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．12【分析】过点A 作AF CD ⊥交CD 于点F ，过点D 作DG AC ⊥交AC 于点G ．根据菱形的性质确定AD 和CD 的长度，然后根据等腰三角形的性质确定AG 的长度，再结合勾股定理确定DG 的长度，再根据三角形面积公式确定AF 的长度，即直线AB 与直线CD 之间的距离．再根据三角形面积公式和乘法分配律即可求出阴影部分的面积．【详解】：如下图所示，过点A 作AF CD ⊥交CD 于点F ，过点D 作DG AC ⊥交AC 于点G ．⊥四边形ABCD 为菱形，AB=5，⊥AD=CD=AB=5．⊥DG AC ⊥，AC=6，⊥AG=CG=3．⊥4DG =． ⊥1122ACD S AC DG =⋅=． ⊥AF CD ⊥， ⊥12ACD S CD AF =⋅． ⊥11252AF =⨯． ⊥245AF =． ⊥直线AB 与直线CD 之间的距离为245． ⊥点E 是直线AB 、CD 之间一点，⊥设点E 到直线AB 的距离为1h ，点E 到直线CD 的距离为2h ． ⊥12245h h +=． ⊥S 阴()121212111111222222EAB ECD S S AB h CD h AB h AB h AB h h =+=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=． 故答案为：12．【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．17．（1）x 1＝5，x 2＝﹣1；（2）x 1=x 2=【解析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，则（x﹣5）（x+1）＝0，则x﹣5＝0或x+1＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1；（2）⊥a＝2，b＝﹣5，c＝1，⊥Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，⊥x==⊥x1=x2=【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程，即可得出答案；（2）根据方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行计算即可得出结果．【详解】解：（1）⊥ABC是等腰三角形，理由：把x=﹣1代入方程得，(a+b)－2c+(b－a)=0，⊥b=c，⊥⊥ABC是等腰三角形；（2）⊥ABC是直角三角形，理由：⊥方程有两个相等的实数根，⊥Δ=（2c）2－4（a+b）(b－a)，⊥a2+ c2= b2，⊥⊥ABC 是直角三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关概念，熟知一元二次方程根的判别式对应的根的情况是解本题的关键．19．（1）见解析；（2）245．【解析】【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）证明：⊥AD⊥BC ，AE⊥DC ，⊥四边形AECD 是平行四边形，⊥⊥BAC ＝90°，E 是BC 的中点，⊥AE ＝CE ＝12BC ，⊥四边形AECD 是菱形；（2）过A 作AH⊥BC 于点H ，⊥⊥BAC ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，⊥AC 8， ⊥1122ABC S BC AH AB AC ∆=⋅=⋅，⊥AH ＝6824105⨯=，⊥点E 是BC 的中点，BC ＝10，四边形AECD 是菱形，⊥CD ＝CE ＝5，⊥S⊥AECD ＝CE•AH ＝CD•EF ，⊥EF ＝AH ＝245． 【点睛】 此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答．20．（1）见解析；（2；（3）见解析 【解析】【分析】（1）由矩形的性质及已知证得⊥EAF⊥⊥DAB ，则有⊥E=⊥ADB ，进而证得⊥EGB=90º即可证得结论；（2）设,AD a AB b ==，利用矩形性质知AF⊥BC ，得,AEF BEC △∽△再根据相似三角形的性质得到,a b 的方程，变形整理即可；（3）在EF 上截取EM=DG ，进而证明⊥EMA⊥⊥DGA ，得到⊥EAM=⊥DAG ，AM=AG ，则证得⊥MAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．【详解】 ()1证明:四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，90EAF DAB ∴∠=∠=︒，又,AE AD AF AB ==，()AEF ADB SAS ∴△≌△，1E ∴∠=，21290E ∴∠+∠=∠+∠=︒，90EGB ∴∠=︒，故BD EC ⊥．()2在矩形ABCD 中，,//AD BC AD BC =，AEF BEC ∴△∽△，AF AE BC BE∴=， 设,AD a AB b ==，则b a a a b=+， 得220a ba b --=，⊥a ==（负值舍去），a b ∴:AD AB ∴； ()3如图，在线段EG 上取点M ，使得EM DG =，在AEM ∆与ADG ∆中，,1,AE AD E EM DG =∠=∠=，()AEM ADG SAS ∴△≌△，,34AM AG ∴=∠=∠，535490MAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，MG ∴=，EG DG EG EM MG ∴-=-==．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．21．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用菱形的对角线平方每组对角即可求解证明；（2）根据已知条件证得⊥ECO⊥⊥FDO ，即可得证.【详解】（1）证明：⊥四边形ABCD 是菱形，⊥//AD BC ，⊥BAD=2⊥DAC, ⊥ABC=2⊥DBC ;⊥⊥DAB+⊥ABC=180°;⊥⊥DAC=⊥DBC;⊥⊥BAD=⊥ABC,⊥2⊥BAD=180°;⊥⊥BAD=90°;⊥四边形ABCD是正方形.（2）证明：⊥四边形ABCD是正方形；⊥AC⊥BD,AC=BD,CO=12AC，DO=12BO⊥⊥COB=⊥DOC=90°，CO=DO⊥DH⊥CE，垂足为H；⊥⊥DHE=90°，⊥EDH+⊥DEH=90°又⊥⊥ECO+⊥DEH=90°⊥⊥ECO=⊥EDH⊥⊥ECO⊥⊥FDO；⊥OE OF.【点睛】此题主要考查正方形的性质证明，解题的关键是熟知正方形的性质与全等三角形的判定与性质.22．18．【解析】【分析】利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．【详解】⊥在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，⊥AB＝BC，⊥AOB＝90°，AO＝4，BO＝3，⊥BC＝AB，⊥⊥ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+5+8＝18．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用勾股定理，求出菱形的边长，是解题的关键.23．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再有EA=EC，公共边OE，即可根据“SSS”证得⊥AEO⊥⊥CEO，从而可得⊥AOE=⊥COE=90︒，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得结论；（2）根据⊥DAC=⊥EAD+⊥AED，又⊥ADO=⊥EAD+⊥AED，可得⊥DAC=⊥ADO，根据等角对等边可得OA=OD，从而可得AC=BD，根据对角线相等的菱形是正方形即可证得结论．【详解】（1）在□ABCD中，OA=OC，在⊥AEO和⊥CEO中，⊥OA OC EA EC OE OE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥AEO⊥⊥CEO(SSS)，⊥⊥AOE=⊥COE=90︒，⊥AC⊥BD，⊥四边形ABCD是平行四边形，⊥四边形ABCD是菱形；（2）⊥⊥DAC=⊥EAD+⊥AED，⊥ADO=⊥EAD+⊥AED，⊥⊥DAC=⊥ADO，⊥OA=OD，⊥四边形ABCD是菱形，⊥四边形ABCD是正方形．24．（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）20；（3）不可能，见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出相应的代数式即可；（2）根据题意列出方程，即每件童装的利润×销售量＝总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；（3）根据题意列出方程进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，故答案为：（20+2x），（40﹣x）；（2）由题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，解得：x1＝20，x2＝10，为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；（3）不可能，理由如下：依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，整理得：x2﹣30x+600＝0，Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，则原方程无实数解．则不可能每天盈利2000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”；25．（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析【解析】【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，⊥ABP=⊥CBP=45°，结合PB=PB得出⊥ABP ⊥⊥CBP，从而得出结论；(2)根据全等得出⊥BAP=⊥BCP，⊥DAP=⊥DCP，根据PA=PE得出⊥DAP=⊥E，即⊥DCP=⊥E，易得答案；(3)首先证明⊥ABP和⊥CBP全等，然后得出PA=PC，⊥BAP=⊥BCP，然后得出⊥DCP=⊥DEP，从而得出⊥CPF=⊥EDF=60°，然后得出⊥EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，⊥ABP=⊥CBP=45°，又⊥ PB=PB，⊥⊥ABP ⊥⊥CBP（SAS），⊥PA=PC，⊥PA=PE，⊥PC=PE；(2)解：由（1）知，⊥ABP⊥⊥CBP，⊥⊥BAP=⊥BCP，⊥⊥DAP=⊥DCP，⊥PA=PE，⊥⊥DAP=⊥E，⊥⊥DCP=⊥E，⊥⊥CFP=⊥EFD（对顶角相等），⊥180°﹣⊥PFC﹣⊥PCF=180°﹣⊥DFE﹣⊥E，即⊥CPF=⊥EDF=90°；(3)AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，⊥ABP=⊥CBP，在⊥ABP和⊥CBP中，又⊥ PB=PB，⊥⊥ABP⊥⊥CBP（SAS），⊥PA=PC，⊥BAP=⊥BCP，⊥PA=PE，⊥PC=PE，⊥⊥DAP=⊥DCP，⊥PA=PE，⊥⊥DAP=⊥DEP，⊥⊥DCP=⊥DEP，⊥⊥CFP=⊥EFD（对顶角相等），⊥180°﹣⊥PFC﹣⊥PCF=180°﹣⊥DFE﹣⊥DEP，即⊥CPF=⊥EDF=180°﹣⊥ADC=180°﹣120°=60°，⊥⊥EPC是等边三角形，⊥PC=CE，⊥AP=CE．。

北师大版九年级数学上册期中考试卷(及答案)

北师大版九年级数学上册期中考试卷(及答案)

北师大版九年级数学上册期中考试卷(及答案)班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若分式211x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．±13．若关于x 的方程333x m m x x++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m ≠32C ．m ＞﹣94D ．m ＞﹣94且m ≠﹣34 4．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）A ．9天B ．11天C ．13天D ．22天5．若点1(),6A x -，2(),2B x -，32(),C x 在反比例函数12y x =的图像上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<6．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．邻边互相垂直7．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b ≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤8．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C．33D．39．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米。

【北师大版】数学九年级上学期《期中考试卷》含答案

【北师大版】数学九年级上学期《期中考试卷》含答案
A.S矩形ABMN＝S矩形MNDCB.S矩形EBMF＝S矩形AEFN
C.S矩形AEFN＝S矩形MNDCD.S矩形EBMF＝S矩形NFGD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据矩形的性质:矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，即可求解.．
【详解】S矩形NFGD=S△ADC−(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC−(S△ANF+S△FCM).
故选A．
点晴:本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质:相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系(锐角三角形函数)即可得出对应边 之比，进而得到面积比．
7.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指()
A. 1∶3B. 2∶3C. ∶2D. ∶3
【答案】A
【解析】
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠C=∠FDE，
同理可得:∠B=∠DFE，∠A=DEF，
∴△DEF∽△CAB，
∴△DEF与△ABC的面积之比= ，
又∵△ABC为正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°
27.二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(−1，0)、B(4，0)．
(1)求此二次函数的表达式;
(2)如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F( ，0)，动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标;
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北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（）A．12B．13C．23D．252．下列说法错误的是（）A．顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形B．四个角都相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3．一元二次方程240x-=的解是（）A．2-B．2C．D．2±4．在下列四个选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD∥BC B．AB∥DC，∠BAD=∠ABCC．AB∥DC，AD=BC D．AB∥DC，AB=DC5．一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有实数根D．没有实数根6．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取两张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）A．16B．12C．34D．567．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为A．10°B．15°C．20°D．25°8．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣59．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD10．一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）A．10% B．15% C．18% D．20%11．如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱ALMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱ALMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题12．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是____㎝2．13．从﹣3,﹣l，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是____________.14．一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k+2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____. 15．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝4cm ，∠AOD ＝120°，则BC 的长为_____cm ．16．若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是_____． 17．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．18．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，则m +n +mn ＝_____．三、解答题19．解方程(1) 210x -= (2) 22410x x -+= (用配方法解)(3) 25510x x (4)22(1)1x x -=-20．如图，在□ ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF,(1)求证：AE ＝CF ；(2)求证：四边形AECF 是平行四边形．21．己知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若1211x x +=﹣1，求k 的值．22．如图，ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ．(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD ＝5cm ，AP ＝8cm ，求△APB 的周长．23．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16cm ，BC ＝8cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以2cm /s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 边以4cm /s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，运动时间为t （s ）．（1）若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值？ （2）△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．24．如图，矩形ABCD 中，AB AD >，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．（1）求证：ADE CED ∆≅∆；（2）求证：DEF ∆是等腰三角形．25．某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出______件；（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？26．如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90 °，过点C 的直线MN ∥ AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥ BC ，交直线MN 于 E ，垂足为F ，连接CD 、BE ．（1）求证：CE ＝AD ；（2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由．27．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于45，求m的值.参考答案1．D【解析】直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，∴从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是：25．故选D．【点睛】此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．C【解析】【分析】直接利用中点四边形的判定方法以及矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的判定方法分别分析得出答案．【详解】A. 顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形，正确，不合题意；B. 四个角都相等的四边形是矩形，正确，不合题意；C. 对角线互相垂直且相等、互相平分的四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意；故选：C.【点睛】考查中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定与性质，正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键.3．D【分析】这个式子先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．【详解】移项得，x2=4开方得，x=±2，故选D．【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．4．D【详解】根据平行四边形的判定可知：A、若AB=CD，AD∥BC，一组对边平行，另一组对边相等也有可能是等腰梯形，故A错误；B、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故B错误；C、AB∥DC，AD=BC ，此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故C错误．D、可判定是平行四边形的条件，故D正确，故选D．5．C【解析】【分析】先求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【详解】∵△＝a2﹣4×1×(a﹣1)＝a2﹣4a+4＝(a﹣2)2≥0，∴一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0有实数根，故选C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．D【解析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为5，所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率=5 6故选：D．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题关键在于利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．7．B【详解】试题分析：根据正方形的性质及旋转的性质可得ΔECF是等腰直角三角形，∠DFC=∠BEC=60°，即得结果.由题意得EC=FC，∠DCF=90°，∠DFC=∠BEC=60°∴∠EFC=45°∴∠EFD=15°故选B.考点：正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．8．B【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，∴-2+m=−31，解得，m=-1，故选B．9．D【解析】试题分析：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF=GH=12AB，EH=FG=12CD，∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．故选D．考点：菱形的判定10．A【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1-x），那么第二次降价后的单价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：100×（1﹣x）2＝81，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．11．B【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质，先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系，再根据▱ALMN的面积，求出各边长的关系，最后得出面积.设EF=a ，BC=b ，AB=c ，则PQ=a-c ，RQ=b-a ，PQ=RQ∴a=2b c +， ∵▱ALMN 的面积为50，∴bc+a 2+(a-c)2=50,把a=2b c +代入化简求值得b+c=10, ∴a=5, ∴正方形EFGH 的边长为5，∴正方形EFGH 的面积为25，故选B.【点睛】此题重点考查学生对于正方形和长方形的性质的理解，熟练掌握这两个性质是解题的关键. 12．24【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6×8=24cm 2， 故答案为24．13．25【分析】五个数中有两个负数，根据概率公式求解可得.【详解】∵在﹣3.﹣l ，π，0，3这五个数中，负数有﹣3和﹣1，共2个，∴抽取一个数，恰好为负数的概率为25， 故答案为25【点睛】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比. 14．k ＞2【分析】根据根的判别式得到不等式即可求解.【详解】解：∵方程x2﹣2kx+k2﹣k+2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣k+2）＝4k﹣8＞0，解得：k＞2．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式.15．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，再根据邻补角的定义求出∠AOB=60°，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=OA，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】在矩形ABCD中，OA＝OB＝12AC＝12×4＝2cm，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC．故答案为【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了矩形的对角线相等且互相平分．16．m≠1且m≥0【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．【详解】∵方程2(1)1m x-=是关于x的一元二次方程，∴m-1≠0且m≥0，∴m≠1且m≥0.故答案是：m≠1且m≥0.【点睛】考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．17．5 12【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【详解】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为255 3025512=++．故答案为5 12．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A 的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．18．-3【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n＝﹣2，mn＝﹣1，将其代入m+n+mn中即可求出结论．【详解】∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，则m+n+mn＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键.19．（1）x=±1；（2）（3）；（4） x=1或x=32 【解析】【分析】 （1）直接开方法求解,（2）配方法求解,（3）公式法求解,（4）因式分解法求解.【详解】解：（1）221011x x x -===±（2）22410x x -+=2(x 2-2x)=-1x 2-2x=12- x 2-2x+1=12-+1 (x-1)2=12（3）255105,5,12520455451535010x x a bc x（4）2（1-x ）2=x-12（1-x ）2+(1-x)=0(1-x)(2-2x+1)=0(1-x)(-2x+3)=0x=1或x=32【点睛】本题考查了求解一元二次方程,属于简单题,熟悉解方程的不同解法,根据方程不同形式进行求解是解题关键.20．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD ，AB ∥CD ，然后可证明∠ABE=∠CDF ，再利用SAS 来判定△ABE ≌△DCF ，从而得出AE=CF ．（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD ，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE ，然后证明AE ∥CF ，从而可得四边形AECF 是平行四边形．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE=∠CDF ．在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△DCF （SAS ）．∴AE=CF ．（2）∵△ABE ≌△DCF ，∴∠AEB=∠CFD ，∴∠AEF=∠CFE ，∴AE ∥CF ，∵AE=CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．21．（1）k ＞﹣34；（2）k=3． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣2k ﹣3、x 1x 2=k 2，结合1211x x +=﹣1即可得出关于k 的分式方程，解之经检验即可得出结论．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+3）2﹣4k 2＞0，解得：k ＞﹣34； （2）∵x 1、x 2是方程x 2+（2k+3）x+k 2=0的实数根，∴x 1+x 2=﹣2k ﹣3，x 1x 2=k 2， ∴12212121123x x k x x x x k +--+===﹣1， 解得：k 1=3，k 2=﹣1，经检验，k 1=3，k 2=﹣1都是原分式方程的根，又∵k ＞﹣34， ∴k=3．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合1211x x +=﹣1找出关于k 的分式方程．22．(1)∠APB ＝90°； (2)△APB 的周长是24cm .【详解】【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB 即可；（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB ，即可求出答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ,AB ∥CD ，AD BC,AB DC == ，∴DAB CBA 180∠∠+= ，又∵AP 和BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠， ∴()1PAB PBA DAB CBA 902∠∠∠∠+=+= ， ∴()APB 180PAB PBA 90∠∠∠=-+= ；（2） ∵AP 平分DAB ∠，AB ∥CD ，∴DAB PAB DPA ∠∠∠== ，∴AD DP 5cm == ，同理：PC BC AD 5cm === ，∴AB DC DP PC 10cm ==+= ，在Rt APB 中，AB 10cm,AP 8cm == ， ∴()BP 6cm == ，∴△ABP 的周长()681024cm ++=.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.23．(1) 2s ;(2)不能.【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC 面积为：12⨯8×16=64，△PCQ 的面积为12⨯2t （16﹣4t ），由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系S △PCQ 12=S △ABC 列方程求出t 的值，但方程无解． 【详解】（1）∵S △PCQ 12=⨯2t （16﹣4t ），S △ABC 12=⨯8×16=64，∴12⨯2t （16﹣4t ）=6414⨯，整理得：t 2﹣4t +4=0，解得：t =2．答：当t =2s 时△PCQ 的面积为△ABC 面积的14； （2）当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 面积相等，即：当S △PCQ 12=S △ABC 时，12⨯2t （16﹣4t ）=6412⨯，整理得：t 2﹣4t +8=0，△=（﹣4）2﹣4×1×8=﹣16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD ＝BC ，AB ＝CD ，结合折叠的性质可得出AD ＝CE ，AE ＝CD ，进而即可证出△ADE ≌△CED （SSS ）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF ＝∠EDF ，利用等边对等角可得出EF ＝DF ，由此即可证出△DEF 是等腰三角形．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ．由折叠的性质可得：BC ＝CE ，AB ＝AE ，∴AD ＝CE ，AE ＝CD ．在△ADE 和△CED 中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CED （SSS ）．（2）由（1）得△ADE ≌△CED ，∴∠DEA ＝∠EDC ，即∠DEF ＝∠EDF ，∴EF ＝DF ，∴△DEF 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是根据矩形的性质、折叠及全等三角形的性质找图形中相等的线段 ．25．(1)450;(2)定价为4元【分析】(1)、根据上涨的数量与减少的数量之间的关系得出答案；(2)、根据总利润=单件利润×数量得出方程，从而得出答案，然后根据售价不能超过批发价的2.5倍进行舍根．【详解】（1） ∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件，∴当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出：500−10×3.5−30.1=450(件)； 故答案为450；（2）解：设实现每天800元利润的定价为x 元/个，根据题意，得：（x －2)（500－30.1x -×10）=800 .整理得：x 2－10x +24=0， 解之得：x 1=4,x 2=6，∵物价局规定，售价不能超过批发价的2.5倍.即2.5×2=5＜6，∴x2=6不合题意，舍去，得x=4．答：应定价4元/个，才可获得800元的利润.点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．列出方程是解决这个问题的关键．26．(1)见解析；（2）四边形BECD 是菱形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用平行四边形对边平行可解答.(2)利用证明菱形的条件即可解答.【详解】证明：∵ DE ⊥ BC ，∴∠ DFB ＝90 °，∵∠ ACB ＝90 °，∴∠ ACB ＝∠ DFB ，∴ AC ∥ DE ，∵ MN ∥ A B ，即CE ∥ AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴ CE ＝AD ；（2 ）解：四边形BECD 是菱形，理由如下：∵ D 为AB 中点，∴ AD ＝BD ，∵ CE ＝AD ，∴ BD ＝CE ，∵ BD ∥ CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ ACB ＝90 °， D 为AB 中点，∴ CD ＝BD ，∴四边形BECD 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的综合运用，掌握证明平行四边形和菱形的条件是解题关键. 27．(1) 4；2或3；（2）m=2.【详解】试题分析：（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；（2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．试题解析：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件；当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件，故答案为4；2，3.（2）根据题意得：64= 105m，解得：m=2，所以m的值为2.。

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