例3答案年金精算现值变量方差的计算
年金精算现值
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为 利力为0.05，求 （1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元 在65岁的精算积累值。 解：
2 n年定期生存年金
模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元
年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px
保险精算试题及答案解析
保险精算试题及答案解析1. 某保险公司推出了一款年金产品，假设年金的支付方式为每年支付一次，年金的支付金额为1000元，年金的支付期限为10年，年金的支付开始时间为第5年。
若年金的贴现率为5%，请计算该年金的现值。
答案：首先，我们需要计算年金的现值。
根据年金现值的计算公式：\[ PV = P \times \left[ \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \right] \]其中，\( PV \) 是年金的现值，\( P \) 是每期支付的金额，\( r \) 是每期的贴现率，\( n \) 是支付期数。
在本题中，\( P = 1000 \) 元，\( r = 0.05 \) ，\( n = 10 \) 。
但是，由于年金的支付开始时间为第5年，所以实际的支付期数为6期。
\[ PV = 1000 \times \left[ \frac{1 - (1 + 0.05)^{-6}}{0.05}\right] \]\[ PV = 1000 \times \left[ \frac{1 - (1 + 0.05)^{-6}}{0.05}\right] \]\[ PV = 1000 \times \left[ \frac{1 - (1.05)^{-6}}{0.05}\right] \]\[ PV = 1000 \times \left[ \frac{1 - 0.7462}{0.05} \right] \] \[ PV = 1000 \times \left[ \frac{0.2538}{0.05} \right] \]\[ PV = 1000 \times 5.076 \]\[ PV = 5076 \]因此，该年金的现值为5076元。
2. 假设某保险公司的死亡率表显示，30岁的男性在一年内死亡的概率为0.001。
如果保险公司为10000名30岁的男性提供保险，那么预计一年内会有多少人死亡？答案：根据死亡率表，30岁男性一年内死亡的概率为0.001。
保险精算习题及答案
保险精算习题及答案第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =?，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++?=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=?? ?=+= ? ???6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
保险精算学年金的精算现值
年缴m次年纯保费（全期缴费）
年缴m次年纯保费（限期缴费）
6.4 营业保费
保险费用的定义
保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付 外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出 统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益 来弥补。
保险费用的范围：
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、 合同成立后的维持费、投资费用等
保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散， 缴费也离散） 厘定过程：
6.2.2 各种寿险的年缴纯保费
完全离散型年缴均衡纯保费（全期缴费）
完全离散型年缴均衡纯保费（限期缴费）
6.2.3 半连续型寿险的纯保费
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
ax
a x:n
n Exaxn
k n
延期m年的n年定期生存年金
k nm1
m| ax
vk k px
a x:mn
a x:m
n
Ex
a xm:n
k m
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与寿险精 算现值之间的关系
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
终身生存年金 定期生存年金 延期n年的终身生存年金
5.2.3 年金的精算累积值
5.3 离散型生存年金
简介：
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金 的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
保费的构成
6.1 全连续型寿险的纯保费
保险精算-第5章2(2)年金的精算现值
2021/2/4
1
2
5.3.1 期初付生存年金及其精算现值
现时支 付法
1.终身生存年金 2. 定期生存年金
2021/2/4
1
3
3.延期n年的终身生存年金 4.延期m年的n年定期生存年金
2021/2/4
4
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的关系
1.设K为x岁的人未来取整余命，Y为给付年金现值随
当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
为 A。 x
2021/2/4
1
6
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
运用Y 1Z来计算， d
或
2021/2/4
1
7
对于延期年金
同理可证：
2021/2/4
1
8
例4.4
已知 i 0.05
x
90 91 92 93
lx
100 72
a E a 10| 40 10 40 50
a
1 A
50
50
d
AA1 EA
40
4： 010 | 10 40 50
M538(4元 0)
2021/2/4
1
17
谢谢观赏！
2020/11/5
18
年金的精算现值；两者唯一的差别是在死亡当年，
对 va 来说 v元 ， 已支付 a来 ， 1 说 元 而 ， 尚 对未支
x
x
所以两者之差等于(x)在死亡当年末给付1元的现值，
即 A 。 2021/2/4x
12
与寿险的换算公式注意
,
a x
1
A x
中国精算师《寿险精算》章节题库-生存年金的精算现值(圣才出品)
第3章生存年金的精算现值1．设（50）岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。
假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且50=13.5 ，≈1，β12=-0.4665，则k的值为（）。
[2008年真题] A．322B．333C．341D．356E．364【答案】A【解析】每月的年金精算现值为：由×12=50000 ，解得：k=322。
2．设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（）。
[2008年真题]A．0.4396B．0.4572C．0.4648D．0.4735E．0.4837【答案】C【解析】由已知，得3．根据以下条件计算=（）。
[2008年真题]A．1.6B．1.8C．2.0D．2.2E．2.4【答案】D【解析】由已知，有4．支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E（Y）和Var （Y）分别为（）。
[2008年真题]A．2.03；0.55B．2.03；0.79C．2.05；0.79D．2.05；0.55E．2.07；0.79【答案】A【解析】由i=0.06，得：v=（1＋i）-1=1.06-1。
5．考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金负担现值为（）。
A．480B．481C．483D．485E．487【答案】C【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则故。
6．考虑（90）的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：已知利率i＝0.06，则=（）。
A．1.8B．1.9C．2.0D．2.1E．2.2【答案】C【解析】由于7．。
A．0.085B．0.125C．0.600D．0.650E．0.825【答案】D【解析】8．已知α（12）＝1.000281，β（12）＝0.46811951，=9.89693，假设死亡均匀分布。
方差var的计算公式
方差var的计算公式方差（var）在统计学中是一个非常重要的概念，它能够帮助我们了解数据的离散程度。
方差的计算公式是：一组数据中的每个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数。
用数学符号表示就是：$Var(X) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$ ，其中$n$是样本数量，$x_i$表示第$i$个样本值，$\overline{x}$是样本的平均值。
咱来举个例子好好理解一下方差的计算。
比如说，有一组考试成绩：85 分、90 分、95 分、70 分、80 分。
首先，咱们得算出这组成绩的平均数。
（85 + 90 + 95 + 70 + 80）÷ 5 = 84 分，这 84 分就是平均数啦。
然后，开始算方差。
第一个成绩 85 分，它与平均数 84 分的差是 85 - 84 = 1，平方后就是 1² = 1 ；90 分与 84 分的差是 90 - 84 = 6 ，平方后是 6² = 36 ；95 分与 84 分的差是 95 - 84 = 11 ，平方后是 11² = 121 ；70 分与 84 分的差是 70 - 84 = -14 ，平方后是 (-14)² = 196 ；80 分与 84分的差是 80 - 84 = -4 ，平方后是 (-4)² = 16 。
接着把这些差的平方加起来：1 + 36 + 121 + 196 + 16 = 370 。
最后，用这个和除以样本数量 5 ，得到方差：370 ÷ 5 = 74 。
你看，通过这个计算过程，我们就得到了这组考试成绩的方差74 。
方差越大，说明这组数据的离散程度越大，成绩波动越厉害；方差越小，数据就越集中，波动越小。
在实际生活中，方差的应用可广泛啦！就拿工厂生产零件来说吧。
假设一个工厂生产一批零件，尺寸规格有一定的标准。
如果测量这些零件的尺寸，计算出它们的方差，就能知道生产的精度怎么样。
年金现值计算方法详解
年金现值计算方法详解年金是一种常见的投资方式，计算年金的现值是帮助投资者了解未来现金流的价值。
合理的现值计算方法可以帮助投资者做出明智的决策，下面我们来详细讨论年金现值的计算方法。
一、普通年金现值计算方法普通年金是指每期支付的金额相同的年金，其现值计算方法可以通过如下公式进行：\[PV = PMT \times \left(\dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\right)\]其中，PV代表年金的现值，PMT代表每期支付的金额，r代表利率，n代表年数。
二、年金现值的不同情况计算方法1. 当年金是年末支付时，现值公式为：\[PV = PMT \times \left(\dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\right)\]2. 当年金是年初支付时，现值公式为：\[PV = PMT \times \left(\dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\right) \times (1 + r)\]3. 当年金是不定期支付时，现值公式为：\[PV = FV \times \left(\dfrac{1}{(1 + r)^n}\right)\]其中，FV代表年金的终值。
三、利用现金流表计算年金现值除了使用上述的公式计算年金的现值，我们也可以通过制作现金流表的方式来计算年金的现值。
现金流表可以清晰地展示出每期的现金流量，帮助投资者更直观地了解年金的价值。
四、利率对年金现值的影响利率是影响年金现值的重要因素之一。
当利率上升时，年金的现值会下降，因为未来现金流的折现率变高；反之，当利率下降时，年金的现值会上升。
五、风险对年金现值的影响除了利率变动，风险也会对年金的现值产生影响。
高风险的年金会被折现得更低，因为投资者认为高风险带来的未来现金流不稳定。
六、结语通过上述的详细讨论，我们了解了年金现值的计算方法及影响因素。
在进行投资决策时，投资者应该充分考虑年金的现值，以便做出科学的投资规划。
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1 0.12 t 0.04 t 0.06 t 0.04 t 2 [ e 0.04 e ( e 0.04 e ) ] 2 0 0 0.06 1 0.04 0.04 2 [ （ ）] 25 Var[aT ] 5 2 0.06 0.16 0.10
lx n Ex (1 i ) n lx n 1 1 n lx S n (1 i ) v n px lx n n Ex
n t
x
n
x
xn
1
Ex
1
n t
E x t E x n t E x t 1 n t E x t
t
1
t
S
Ex n Ex
Ex
连续生存年金精算现值的估计方法
综合支付技巧 当期支付技巧
方法一：综合支付技巧（终身生存）
步骤 a 1
T
1 vT
步骤 2
ax E (aT )
0
aT fT (t )dt
步骤 3
以死亡事件 发生为考虑 线索
计算到死亡发生 时间T为止的所 有已支付的确定 性年金的现值
考虑这个生存赔 付发生的概率， 计算这个确定性 年金现值的期望 值
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0
aT
1 vT
ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
相关公式及理解
（） 1 ax E (aT ) aT fT (t )dt
年金在保险中的重要性
它是一种常见的保险金支付方式
• 广泛应用在养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合 。
生存年金也是一种常见的保费缴纳方式。
• 被保险人除了可以采用保险合同签订时一次性缴纳所有保费的 趸缴方式之外，还可以采用分期缴纳的方式缴纳保费，保费缴 纳以被保险人在保费缴纳期间是否生存为缴纳条件，这时保费 缴纳方式就是一种生存年金方式。
生存年金
本章专业名词中英文对照
生存年金 确定性年金 延付年金（期末支付） 初付年金（期初支付） life annuity annuities-certain annuity-immediate annuity-due
综合支付技巧
当期支付技巧
年h付次的生存年金
0
T
考虑该次生存赔 付发生的概率， 计算该年金现值 的期望值
ax E (vT ) vt t px dt
0
例4.1
假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且
0.05
计算（30）所购买的终身连续生存年金。
例4.1解
例4.2
有一种终身年金产品，每年连续给付生存
年金1000元。 现在开发一种新产品，在原来年金给付的 基础上增加死亡即刻给付2万元。 假定利息力为5％，求：
（1）新产品的趸缴净保费 （2）现值变量的方差 （3）当死亡赔付定为多大时，该产品赔付现值 的方差最小？
解4.2
例4.3
在死亡力为常数0.04，利息力为常数
0.06的假定下，求
（1）ax
（2）aT 的标准差
（3）aT 超过 ax 的概率。
例4.3答案
（） 1 ax v t px dt e
t 0 0 0.06t t
e dt e0.06t e0.04t dt 10
0
（2）Var[aT ]
1
2 2 [ A ( A ) ] x x 2
Ex nt Ext
Ex t
1
本章结构 1. 2. 3.
生存年金简介 一次性生存给付 连续生存年金 离散生存年金
4.
5.
一年给付H次生存年金
连续生存年金的定义
连续生存年金定义
在被保险人存活的条件下，保险人向其每年连续支付年金的 保险种类
连续生存年金的种类
终身连续生存年金 定期连续生存年金
定义
所谓生存年金（life annuity）是以被保险人存活为条件 ，间隔相等的时期（年、半年、季或月）支付一次保 险金的保险类型。
生存年金通常出现在生存保险场合
比如乙向保险公司购买10万元养老保险，要求保险公 司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保 险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙 在这10年内一直生存，那么保险公司将支付120次生存 给付，如果乙只获得了10次给付就死亡了，那么剩下 的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的 系列付款就构成了生存年金。
aggregate payment
technique
current payment technique
h-thly payment life insurances
本章结构 1. 2. 3.
生存年金简介 一次性生存给付 连续生存年金 离散生存年金
4.
5.
一年给付H次生存年金
生存年金的定义
生存年金和确定性年金的区别
年金
生存年金
支付期数是不确定 的，它以被保险人 生存为给付条件， 被保险人一旦死亡 ，给付就终止
确定性年金
支付期数是确定的 ，无论中间发生什 么事情，支付时期 都不可发生更改
生存年金的分类与应用
分类
连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金
本章结构 1. 2. 3.
生存年金简介 一次性生存给付 连续生存年金 离散生存年金
4.
5.
一年给付H次生存年金
一次性生存给付定义与含义
N年定期生存保险 相关公式及意义
n Ex A
1 x:n
v n px
n
lx n Ex (1 i) lxn
n
一次性生存给付现值相关的函数关系0 Biblioteka 1 vt0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
1 ax Ax
1 zt 1 vt 1 （3）Var (aT ) Var ( ) Var ( ) 2 Var ( zt )
Var (aT )
1
2 2 [ A ( A ) ] x x 2
方法二：当期支付技巧（终身生存）
步骤 a 1
T
1 vT
步骤 2
ax E (aT )
0
aT fT (t )dt
步骤 3
以生存给付 事件发生为 考虑线索
计算当期生存 给付的现值
v
ax E(aT ) aT fT (t )dt