不定积分换元法例题

【不定积分的第一类换元法】 已知

()()f u du F u C =+⎰

求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=

=⎰

⎰⎰ 【凑微分】

()()f u du F u C =

=+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】

(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】

【求不定积分()g x dx ⎰

的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰

（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ=

=⎰⎰⎰

（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰

⎰⎰()u f u d =⎰

（4）利用基本积分公式

()()f u du F u C =+⎰求出原函数：

:

()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C

f u F ==+⎰

（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：

()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+

【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】

1、9

9

9

9

(57)(57)(5711(57)(57)55

)(57)dx d x d x dx x x x x +=+⋅=+⋅=

+⋅++⎰

⎰

⎰

⎰ 110091(57)(57)(57)10111

(57)5550

d C x x x x C =⋅=⋅+=+++++⎰ 【注】1

(57)'5,(57)5,(57)5

x d x dx dx d x +=+==+⇒⇒

{

2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =⋅=⋅⎰⎰⎰

221

(l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =⋅=+=+⎰

【注】111

(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x

===⇒⇒

3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x

x --=

===⎰

⎰⎰⎰⎰

cos ln |cos |c ln |co s |o s x

x d C x C x

=-=-+=-+⎰

【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-⇒⇒ 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x

x x x =

==⎰

⎰⎰⎰

sin ln |si ln |sin |n |sin x

x d C x C x

==+=+⎰

【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==⇒=⇒

！

4（1）

1()11d dx a x a x a d x x a x =⋅=⋅++++⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x

C ++=⋅=+=+++⎰

【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+⇒⇒ 4（2）

1()11d dx x a x x x d a a x a =⋅=⋅----⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a

C --=⋅=+=--+⎰

【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-⇒⇒

4（3）

22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ⎛⎫- ⎪--+⎝⎛⎫

=-+⎭==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()11ln ||ln ||ln

22x a

x a x a C C a a x a

-=

--++=++

—

5（1）2sec ()sec tan sec sec tan sec tan sec sec tan x x x x x

dx x x x xdx dx x x

+==⋅+++⎰⎰

⎰ tan sec tan sec sec ()()ln |sec tan |se tan c tan d x x x x x x

d x x C x x +===+++++⎰

⎰

5（2）2221cos sec cos c cos sin os cos 1sin x xdx dx dx x x x dx d x x x

====-⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin si 1111sin 111sin ln ln 1n sin 2112sin 121s sin sin in d x x x x x x d C C x x

x --⎛⎫==-⋅=+=+ ⎪

--+++⎝⎭⎰

⎰ 6（1）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x x

dx x x x xdx dx x x

+==⋅+++⎰⎰

⎰ ()()ln |csc cot |csc c cot csc csc cot csc o ot t c d d x x x x x x

x x C x x --+=-==+-+++⎰

⎰