大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)

大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1． 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的

物体时，伸长量为9.8 10－2 m 。若使

物体上下振动，且规定向下为正方向。

（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0

10－2 m 处，由静止开始向下运动，求

运动方程。（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60 m/s 的速度向上运动，求运

动方程。

题1分析：

求运动方程，也就是要确定振

动的三个特征物理量A 、ω，和

ϕ。 其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数

k ）决定的，即m k /=ω，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相ϕ需要根据初始条件确定。

解：

物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的

大小相等，即F = mg 。 而此时弹簧的伸长

量

m l 2108.9-⨯=∆。 则弹簧的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。 系统作

简谐运动的角频率为

1

s 10//-=∆==l g m k ω

（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标

原点，向下为x 轴正向。 由初始条件t = 0

时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅

m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法

可确定初相πϕ=1。则运动方程为

])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x

（2）t = 0时，020=x ，

120s m 6.0-⋅=v ，同理可得

m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，

2/2πϕ=；则运动方程为 ]

5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x

2．某振动质点的x－t曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需要的时间。

题2分析：

由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。本题就是要通过x－t图线确定振动的三个

特征量量A、ω，和0ϕ，从而写出运动方程。曲线最大幅值即为振幅A；而ω、0ϕ

通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便。

解：

（1）质点振动振幅A = 0.10 m 。 而由振

动曲线可画出t = 0和t = 4s 时旋转矢量，如图所示。 由图可见初相

）或3/5(3/00πϕπϕ=-=，而由

()3201ππω+=-t t 得1s 24/5-=πω，则运动方程为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3s 245cos )m 10.0(1ππt x

（2）图（a ）中点P 的位置是质点从A /2处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量

图如图所示。 当初相取3/0πϕ-=时，点

P 的相位为πωϕϕ2)0(p 0P =-+=t ）。

（3）由旋转关量图可得3)0(P πω=-t ，

则s 6.1P =t

0)0(P 0P =-+=t ωϕϕ（如果初相取

3/50πϕ=，则点P 相应的相位应表示为

π

ωϕϕ2)0(p 0P =-+=t

3． 点作同频率、同振幅的简谐运动。第一个质点的运动方程为)cos(1

ϕω+=t A x ，当第一个

质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点。试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差。

题3.解：图为两质点在特定

时刻t 的旋转矢量图，OM 表

示第一个质点振动的旋转矢

量；ON 表示第二个质点振动

的旋转矢量。 可见第一个质点振动的相位比第二个质点超前2/π，即它们的相位差

2/πϕ=∆。第二个质点的运动方程应为 )2cos(2πϕω-+=t A x

4．波源作简谐运动，其运动方程为

t y )s 240cos()m 100.4(1

3--⨯=π，它所形成的波形以30 m/s

的速度沿一直线传播。（1）求波的周期及波长；（2）写出波 动方程。

解：（1）由已知的运动方程可知，质点振动的角频率1s 240-=πω。根据分析中所述，波的周期就是振动的周期，故有

s 1033.8/23-⨯==ωπT

波长为

m 25.0==uT λ

(2) 将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得

0s 240m 100.40

13==⨯=--ϕπω，，A

故以波源为原点，沿x 轴正向传播的波的波动方程为 ()[]

])m 8()s 240cos[()m 100.4(cos 1130x t u x t A y ----⨯=+-=ππϕω

5．波源作简谐振动，周期为s 100.12-⨯，以

它经平衡位置向正方向运动时为时间起

点，若此振动以u = 400 m/s 的速度沿直线传播。求：（1）距离波源8.0 m 处质点P 的运动方程和初相；（2）距离波源9.0 m 和10.0 m 处两点的相位差。

解：在确知角频率

1s 200/2-==ππωT 、波速1s m 400-⋅=u 和初相）或2/(2/30ππϕ-=的条件下，波动

方程 ]2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+⋅-=--x t A y

位于 x P = 8.0 m 处，质点P 的运动方程为 ]

2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y

该质点振动的初相2/50πϕ-=P 。而距波

源9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为

2//)(2/)(21212ππλπϕ=-=-=∆uT x x x x

如果波源初相取2/0πϕ-=，则波动

方程为

]2/9)(s 200cos[(1

ππ-=-t A y