备战中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合及答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=1

4

x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=1

4

x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（

28

13

，﹣1）．（3）

定点F的坐标为（2，1）．

【解析】

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

特征，即可得出（1-1

2

-

1

2

y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关

于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1=4a，解得：a=1

4

，

∴抛物线的解析式为y=1

4（x-2）2=

1

4

x2-x+1．

（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：

21411

4y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩

＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14

），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．

∵点B （4，1），直线l 为y=-1，

∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），

将A （1，14

）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243

k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-

1312x+43， 当y=-1时，有-

1312x+43=-1， 解得：x=2813

， ∴点P 的坐标为（

2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，

∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，

∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．

∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，

∴n=14m 2-m+1

， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（

14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12

y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，

∴000220

001110

222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩

＝＝＝，

∴00

21x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．

2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．

（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．

【解析】

【分析】

（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；

（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；

（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．

【详解】

解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：

2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩

， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩

， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，

则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），

∵﹣20＜0，故w 有最大值，

当x ＝﹣2b a ＝312

＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，

50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；

设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，

由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，

w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），

当x ＝13时，w ＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；

（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．