第三章第一节矩阵的等价

d1 d2 A1 dr
*
0
0

(d1d 2 d r 0)
阶梯形
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1 1 初等变换 列 A2 1
0
0
0

最简形
TH 1 矩阵A经行初等变换可化为阶 梯形A1 , 经行 及列初等变换可化为最 简形A2 , 且级数r由A确定.
A | B E | C
行实行变换
AX B
X C
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XB C ?
AXB C ?
E (i , j )1 E ( i , j )
1 倍法矩阵 kri E ( i ( k )) E k E (i (k ))1 E (i (k 1 ) 1
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1 1 k ri r j E E ( i , j ( k )) 消法矩阵 1 E ( i , j( k ))1 E ( i , j( k )) 1
矩阵的等价的性质
(1) 自反性 A~ A
(2) 对称性 A ~ B B ~ A
(3) 传递性 A ~ B, B ~ C A ~ C
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2.矩阵的等价阶梯形和最 简形
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2 a1n a2 n 行 初 等 变 换 amn
(5). max{ R( A), R( B)} R( A, B) R( A) R( B) 证
(6). R( A B) R( A) R( B)
证
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(7). R( AB) min{ R( A), R( B)}
(8).若Amn Bnl 0, 则R( A E ) R( E A) n
20当A P1 P2 Ps时 | A || P1 P2 Ps | 0 A可逆.
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4.用初等变换求矩阵的逆 阵
A | E E | A
行初等变换
1

A 列初等变换 E 1 E A
定义2 称矩阵A的阶梯形A1的级数r为A的秩, 记作 R( A) r
Th2 等价的矩阵具有相同的 秩.
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2 . 矩阵的秩
a . 矩阵的子式 从矩阵A中选定k行k列， 依原相对位置 不变构成的k阶行列式Dk为A的一个k阶子式 b. 定义 : 矩阵A的最高阶非零子式的阶数r
注 : 用阶梯形的级数定义秩， 用于计算； 用子式定义秩， 主要是用于推理。
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3.初等矩阵
1 0 1 ri r j E E (i , j ) 1 0 1
换法矩阵
TH 3矩阵A可逆阵 存在初等阵P1 , P2 , Ps 使得 A P1 P2 Ps
证明
1 当A可逆时, 有 | A | 0那么
0
| A|
经行初等变换

d | E |, 于是有
1 1 1
qs qs 1 q1 A E A q1 q2 qs E P1 P2 Ps
以上三矩阵称之为初等 矩阵
容易得到: 初等矩阵左乘于 A相当于对A作行初 等变换, 右乘于A相当于对A作列初等变换 .也就是说 对A作一次行初等变换可以 通过左乖一个初等矩阵
变换 P来实现,即 : A 行 A1 PA A1 .列类同 .
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3.可逆阵的分解
*
为矩阵的秩.记作R( A) r c . 显然r就是A的阶梯形的级数.
(初等变换不改变矩阵的秩 )
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秩的相关结论
(1).0 R( Amn ) min{ m , n}
(2). R( A ) R( A)
T
(3). A ~ B R( A) R( B)
(4).若P , Q可逆， 则R( PAQ) R( A)