高等数学竞赛试题及

兰州理工大学2011年高等数学竞赛试题（洪小波提供）及解答

一、填空题(每小题2分，共12分)

1、函数2

ln(1),0()(1)sin 2,0

x x x f x e x x βα⎧+≥⎪

=⎨⎪-<⎩若若 在点0=x 处可导，则,αβ==

。

2、设x d x

x f x x x f e ⎰

-=1

2

)

(2ln )(，则()f x =。

3、

22

1

(1)(arctan )

dx

x x +∞

=+⎰

。

4、设二元函数(,)u x y 满足

22u

x y y

∂=+∂，2(,)1u x x =，则(,)u x y =。

5

、由xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分为

。 6、过1123:

101x y z L ---==-且平行于221:211

x y z

L +-==的平面方程为

。

二、选择题(每小题2分，共12分) 1、把0x →+时的无穷小量⎰

=

x

dt t 0

2

cos α，⎰

=

2

tan x dt t β，⎰

=

x

dt t 0

3sin γ排列起来，使排在

后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )

()A γβα,,； ()B βγα,,； ()C γαβ,,； ()D αγβ,,。

2、设2,()0,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩若为有理数

若为无理数

，则()f x 可导点的个数为( )

(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 无穷。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上可导的、周期为6π的函数，且满足0

()()

lim

1x f f x x

ππ→--=-，则曲线

()y f x = 在(7,(7))f ππ处的切线斜率为( )

A 、2-；

B 、0 ；

C 、1-；

D 、1。 4、设0a >，()t ϕ是正值连续函数，则曲线()()a

a

y f x x t t dt ϕ-==

-⎰

( )

(A) 在[],0a -上是凹的，在[]0,a 上是凸的； (B) 在[],0a -上是凸的，在[]0,a 上是凹的；

(C) 在

[],a a -上是凹的； (D) 在[],a a -上是凸的。

5、设0a >，而2

2

:L x y ax +=，则

=⎰

( )

(A)

12

2

a ； (B) 2a ； (C)42a ； (D) 22a 。 6、设(1)

n

n u =-( ) A 、

1n

n u

+∞

=∑与

21

n

n u

+∞

=∑都收敛； B 、

1n

n u

+∞

=∑与

21

n

n u

+∞

=∑都发散；

C 、

1

n

n u

+∞

=∑收敛而

21

n

n u

+∞

=∑发散； D 、

1

n

n u

+∞

=∑发散而

21

n

n u

+∞

=∑收敛。

三、计算题(每小题6分，共60分)

1、求n

n n

n !lim ∞

→。

2、确定常数,a b R ∈，使2

001lim

2sin x x ax x →=-⎰。

3、设()2()z xf y x y x y ϕ=+，其中()f u ，()u ϕ都是二阶可导的函数，求z

x

∂∂，2z x y ∂∂∂。

4

、计算

5、求2

22

min(||,)x x dx -⎰

。

6、试求连接空间两点(1,0,0)A 和(0,1,1)B 的直线段AB 绕z 轴旋转所得曲面与二平面0,1z z ==所围立体的体积。

7、计算积分2

1

1

y x

I dx e dy =⎰

⎰。

8、计算曲线积分22

(1)(1)L

ydx x dy I x y

--=-+⎰

，其中L 为椭圆22

91x y +=的正向。

9、求级数20

(1)(1)

2n n

n n n +∞

=--+∑的和。

10、设(,)P x y 为连接两点(0,1)A 与(1,0)B 的一条凸弧上的任一点，且凸弧与弦AP 之间的面积为

3x ，求此凸弧的方程。

四、证明题(第1、2小题各5分，第3小题6分，共16分)

1、设(),()f x g x 为[],a b 上单调递增的连续函数，则()()()()()b

b

b

a

a

a

b a f x g x dx f x dx g x dx -≥⋅⎰⎰⎰。

2、设)(x f 在区间[]4,2上具有连续的导数，且(2)(4)0f f ==，则⎰

≥

'≤≤42

4

2)()(max dx x f x f x 。

3、设1

0,n

n n k

k a A a

=≥=

∑满足lim ,lim 0n n n n n A a A →+∞

→+∞

=+∞=，则级数

1

n

n n a x

+∞

=∑的收敛半径为1。