北师大版九年级下册数学 《垂径定理》圆PPT教学课件
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《垂径定理》PPT课件
弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点
到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量中知
任意两个可求其他两个．
(2)两关系：①
a 2
2
＋d2＝r2；②h＋d＝r.
注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来
构造直角三角形
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB 是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE， 那么可用几何语言表述为：
AE BE
CD是直径
CD⊥AB
AD BD
AC
BC
要点精析：(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可 以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
知1－讲
例1 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥ CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
知1－练
1 [中考·温州]如图，在⊙O中，OC垂直于弦AB 于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( ) A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
知1－练
2 【中考·广元】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点 E，则下列结论中错误的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE
C. BC BD
D．△OCE≌△ODE
弦，AM＝BM，OM︰OC＝3︰5，
则AB的长为( )
A．8 cm B. 91 cm
C．6 cm D．2 cm
3 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝
60°，AB＝AC＝2，则弦BC
的长为( )
北师大版九年级数学下册：垂径定理课件
C
A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直弦的直径平分弦所对的弧） A⌒M－C⌒M＝B⌒M－DM⌒ ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD， 交AB于点M.
A
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是
第三章 圆
3.3 垂径定理*
情景导入 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦 的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州 桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂足为M. （1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 A 什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你 的理由.
例4 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C MB
O
D
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD
所在的直线
A
（2）AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C MB
O
D
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M.
求证：AM=BM，A⌒C
北师大版九年级下册32圆的对称性-垂径定理 课件
A
H MG
D
BE
·N
F
C
0
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
O
C
D
（1）
A C
B
D O
（2）
P93:习题3.2 1、 2题 试一试 第1题
驶向胜利 的彼岸
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C = B⌒C,
⑤
⌒
AD
=
⌒
BD.
C
只要具备其中两个条件,
A M└
B 就可推出其余三个结论.
●O
你可以写出相应的命题吗?
可推得
平分弦（不是．直径）的直径
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂直于弦,并且平 分弦所对不的是两直条弧径.
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 A
O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
可推得
结论
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理 如图,小明的理由是:
连接OA,OB则, OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
北师大版九年级数学下册第三章3.3垂径定理 课件 (共21张PPT)
九年级数学(下)第三章 圆
3.3 垂径定理
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等。
5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相 等。
（2） （3）
（1） （4） （1） （5） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于
C
弦，并且平分弦所对的两条弧
A M└
B
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
●O
分弦所对的两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所
对的弦，并且平分弦所对的另一条弧
可推得
②④CA⌒DC=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.3121.8.31Tuesday, August 31, 2021
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:56:2209:56:2209:568/31/2021 9:56:22 AM
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.3109:56:2209:56Aug-2131-Aug-21
3.3 垂径定理
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等。
5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相 等。
（2） （3）
（1） （4） （1） （5） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于
C
弦，并且平分弦所对的两条弧
A M└
B
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
●O
分弦所对的两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所
对的弦，并且平分弦所对的另一条弧
可推得
②④CA⌒DC=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.3121.8.31Tuesday, August 31, 2021
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:56:2209:56:2209:568/31/2021 9:56:22 AM
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.3109:56:2209:56Aug-2131-Aug-21
垂径定理课件北师大版九年级下册数学
预习导学
2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧.
3.圆的两条平行弦所夹的弧相等.
预习导学
1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则
半径OB的长为( C )
A.3
B.4
C.5
D.10
预习导学
2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则
第三章 圆
3 *垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决
相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用.
预习导学
你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历
史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆
合作探究
解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE
＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝
OD.
合作探究
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为
更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管
道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面
(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指
平分弦所对的劣弧、优弧.
预习导学
垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且
平分 弦
所及垂径定理还有如下结
论:
1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
求的点.
合作探究
垂径定理ppt课件
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
北师大版九年级数学下册(课件)3.3 垂径定理
A⌒D=⌒BD.
D
用心想一想
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
O
C
D C E DC
OD
A
A
×
√
×
注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦.
垂径定理的逆 定理
例1 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
A M└
B
●O
条件
结论
D ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM, ⌒⌒
④ ⑤AA⌒CD==⌒BBCD,.
连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
第三章 圆
3.3 垂径定理
基础回顾
1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对 折，可以发现什么结论？ 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为 圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是 否是轴对称图形呢？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂 足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？为什么？
A
OB
A C
O
B D
A C
B O
D
C
D
有三种情况：1、圆心在平行弦外；