-2013年全国初中数学联赛试题及详解

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.计算432241242++=（ ）

（A 21 （B ）1 （C 2 （D ）2

【答案】（B ）

【解析】原式=2242+1(423)4(21)(423)1+=-=（），故选（B ）.

2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

【答案】（A ）

【解析】分三种情况进行讨论：

（1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式；

（2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；

（3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020m m m -≠⎧⎨

--=⎩解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）.

3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若3CD =，则AB =（ ）

（A ）2 （B 6 （C ）22 （D ）3

【答案】（A ）

【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则

32

CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠=,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠=,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠=,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠=, 在Rt ONC ∆中，∵3cos 2CN OCN OC ∠=

=,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

【答案】（B ）

【解析】由2

3725170x xy x y +---=，得2321775x x y x -++=-，因,x y 为正整数，故1,1x y ≥≥，从而750,x ->于是2321775x x x -++≥-，2

35220x x +-≤，即 (2)(311)0x x -+≤，由1x ≥，知3110x +>，故20x -≤，2x ≤，故1x =或2x =

当1x =时，8y =；当2x =时，1y =.

故原不定方程的全部正整数解(,)x y 有两组：(1,8)，(2,1),故选（B ）.

5.矩形ABCD 的边长3,2AD AB ==,E 为AB 的中点,F 在线段BC

上,12BF FC =∶∶，AF 分别与DE ,DB 交于点,M N ,则MN =（ ）

（A ）357 （B ）514 （C ）528 （D ）11528

【答案】（C ） 【解析】因

12

BF FC =,故 13BF BF DA BC ==,113BF AD ==,因BF AD ∥,故BNF DNA ∆∆∽,故13

FN BF AN DA ==,故11313344

FN AN AF AF ==⋅=.延长,DE CB 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知ADE BGE ∆∆≌,故3BG AD ==,134FG BF BG =+=+=,因FG AD ∥,故

AMD FMG ∆∆∽,故34AM AD FM FG ==，故3347AM FM AF ==,于是 22319995742828MN AF AM FN AF AF AF AF AB BF =--=--==+=, 故选（C ）.

6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n 为“好数”那么，所有“好数”之和为（ ）

（A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014

【答案】（B ）

【解析】因1既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.

设不超过n 的正整数中，质数的个数为n a ,合数的个数为n b ,当15n ≤时，列表如下（只

考虑n 为奇数的情况）：

由上表可知，1,9,11,13都是“好数”.

因15152b a -=，当16n ≥时，在15n =的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有2,n n b a -≥ 故当16n ≥时，n 不可能是“好数”.

因此，所有的“好数”之和为19111334+++=，故选（B ）.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= .

【答案】4

【解析】由4,x y +=得4x y =-，代入129z xy y +=+-，得

221(4)2969(3)0z y y y y y y +=-+-=-+-=--≥，故2(3)0y -≤，

又2(3)0y -≥，故2

(3)0y -=，故3,1,1y z x ==-=，于是234x y z ++=.

2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一

面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n = .

【答案】8

【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为26(2)n -个，任何面都不是红色的

小正方体的总数为3(2)n -个，依题意有236(2)(2)n n -=-，解得8n =(2n =舍去). 3.在ABC ∆中，60,75,10A C AB ∠=∠==，,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，则

DEF ∆的周长最小值为 . 【答案】56【解析】分别作点E 关于,AB AC 的对称的,P Q .

则,DE PD EF FQ ==.连接,,,,,AE AP AQ DP FQ PQ ,

则120PAQ ∠=,且AP AE AQ ==,从而30APQ ∠=， 故12cos30PQ

AP =，3PQ =,过点A 作AH BC ⊥于点H ,则 sin 10sin 4552AH AB B =⋅=⨯=DEF ∆的周长为

33356l DE DF EF PD DF FQ PQ AP AE AH =++=++≥==≥=