高二数学-椭圆的定义及其标准方程.doc

高二年级数学科辅导讲义（第讲）

学生姓名：授课教师：授课时间：12.21 专题椭圆及其标准方程

目标掌握椭圆的定义和标准方程

重难点待定系数法求椭圆的标准方程

常考点待定系数法求椭圆的标准方程；点差法求直线的斜率

椭圆及其标准方程

第一部分：基础知识梳理

知识点一椭圆的定义

平面内到两个定点F1， F2的距离之和等于常数（大于 F1F2）的点的集合叫做椭圆。两个定点 F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

根据椭圆的定义可知：椭圆上的点 M满足集合

{M MF MF 2a} ，，

P 1 2 F1F2 2c a 0,c 0

且 a、 c 都为常数。

当 a c 即2a 2c 时，集合P为椭圆。

当 a c 即2a 2c 时，集合 P 为线段F1F2。

当 a c 即2a 2c 时，集合 P 为空集。

知识点二椭圆的标准方程

（1） x2 y2 1(a b 0) ，焦点在 x 轴上时，焦点为 F ( c,0) ，焦点F1F2 2c 。

a2 b2

（2） y2 x2 1(a b 0) ，焦点在 y 轴上时，焦点为 F (0, c) ，焦点F1F2 2c 。

a2 b2

知识点三椭圆方程的一般式

这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：

Ax 2 By2 C（其中 A、 B、C 为同号且不为零的常数， A B ），它包含焦点在x 轴或y轴上两

种情形。方程可变形为x2 y2 1

。

C C

A B

当C C

时，椭圆的焦点在x 轴上；当

C C

时，椭圆的焦点在 y 轴上。

A B A B

一般式，通常也设为Ax2 By2 1 ，应特别注意A、B 均大于0，标准方程为x2 y2 1 。

1 1

A B

知识点四椭圆标准方程的求法

1.定义法

椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一 , 当问题是以实际问题给出时，一定

要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。

例 1、在△ ABC中，A、B、C 所对三边分别

为a、b、c ，且B（-1,0）C（1,0），求满足 b a c ，且 b、a、c 成等差数列时，顶点 A 的曲线方程。

变式练习 1. 在△ ABC中，点 B（ -6,0 ）、 C（ 0,8 ），且sin B、sin A、sinC成等差数列。

（1）求证：顶点 A 在一个椭圆上运动。

（2）指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

2.待定系数法

首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数a、b 表示出来，然后结合问题的条件，建立参数

a、 b 满足的等式，求得a、b 的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。

例 2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P（ 3,0 ），a =3b，求椭圆的标准方程。

例 3、 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

P ( 6,1)、 P ( 3, 2 ) ，求椭圆方程。

1

2

变式练习 2. 求适合下列条件的椭圆的方程 ;

(1) 两个焦点分别是（ -3,0 ），（ 3,0 ）且经过点（ 5,0 ）.

（ 2）两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为

8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 12.

3. 已知椭圆经过点 （ 6 ， 3）和点（

2 2

，1），求椭圆的标准方程。

3

3

4. 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点

P （ 1 1 Q （ ， 1 ） ，），

3 3

0 - 2 的椭圆标准方程。

知识点五 共焦点的椭圆方程的求解

一般地，与椭圆x2 y2 1(a b 0) 共焦点的椭圆可设其方程为x2

k b2 y2 1(kb2)。

a2 b2 a2 k 例 4、过点（ -3,2 ）且与 x2 y2 1 有相同焦点的椭圆的方程为（）

9 4

x2 y 2

B. x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2

A. 1

225 1 C. 1D.

100

1

15 10 100 10 15 225

变式练习 5. 求经过点（ 2，-3 ）且椭圆9x24y 236 有共同焦点的椭圆方程。

知识点六与椭圆有关的轨迹问题的求解方法

与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本

思路是设出轨迹上一点P( x, y) 和已知曲线上一点M ( x0 , y0 ) ，建立其关系，再代入。

例 5、已知圆x2y29，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP' , 点M在PP'上，并且PM 2MP' , 求点 M 的轨迹。

知识点七与弦的中点有关问题的求解方法

直线与椭圆相交于两点A( x1, y1) 、 B( x2 , y2 ) ,称线段AB为椭圆的相交弦。与这个弦中点有点的轨迹问题是一类综合性很强的题目，因此解此类问题必须选择一个合理的方法，如“设而不求”法，其主要特

点是巧代线段AB 的斜率。其方程具体是：设直线 l 与椭圆

x

2 y2 1(a b 0) 相交于A、B两点，坐

a2 b2

标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，线段AB的中点为 M ( x0 , y0 ) ，则有

x12 y12

1

a2 b2

x2 2 y2 2

a 2 b2 1

①式-②式，得x

1

2

- x

2

2

-

y

1

2 - y2

2

，即

y

1 y

2 b2 x1 x2 b2 2x0 b2 x0

a2 b2 x1 x2 a2 y1 y2 a2 2 y0 a2 y0

∴ k AB b2 x0 a2 y0

通常将此方程用于求弦中点的轨迹方程。

例 6. 已知：椭圆x

2 y 2 1

，求：16 4

（1）以 P（ 2， -1 ）为中点的弦所在直线的方程；

（2）斜率为 2 的相交弦中点的轨迹方程；

（3）过 Q（ 8,2 ）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。第二部分：巩固练习