《导数的应用习题课》课件
合集下载
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值
(A)(0,1)
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,
所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .
因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .
答案:(- , )
[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,
所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .
因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .
答案:(- , )
[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函
大学导数的应用
由图3-4可以看出，当函数 在 上是单调减少时，其曲线上每一点的切线的倾斜角都是钝角，因此它们的斜率都是负的，此时，曲线上任一点的导数都是负值，即 ＜0．
图3-3 图3-4
定理3.4设函数 在 内可导，则
(1)如果在 内 ，那么函数 在 内单调增加；
(2)如果在 内 ，那么函数 在 内单调减少．
注在区间内个别点处导数等于零，不影响函数的单调性．如幂函数 ，其导数 在原点处为 ，但它在其定义域 内是单调增加的．
3.2
重点：洛必达法则的应用。
难点：洛必达法则的应用。
中值定理的一个重要应用是计算函数的极限.在第一章求极限时，我们经常遇到形如当 (或 )时，函数 的分子、分母都趋近于零或都趋近于无穷大的情况.对于这种函数是不能直接利用商的极限运算法则去求其极限的．极限 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，分别简记为“ ”或“ ”型．下面介绍求这类极限的一种简便且重要的方法洛必达( )法则．
对于“ ”型的极限，有下面的法则：
法则1如果函数 与函数 满足：
(1) ；
(2)函数 与 在点 的邻域内均可导，且 ；
(3) 存在(或为无穷大)．
那么
．
．
对于“ ”型的极限，有下面法则：
法则2如果函数 与函数 满足：
(1) ；
(2)函数 与 在点 的邻域内均可导，且 ；
(3) 存在(或为无穷大)．
那么
图3-2
拉格朗日定理有两个推论：
推论1如果在区间 内，函数 的导数 恒等于零，那么在区间 内，函数 是一个常数．
证明在区间 内任取两点 ，在 上，用拉格朗日中值定理，有
．
由于函数 的导数 恒等于零，所以
．
这说明在区间 内，函数 的在任何两点处的函数值都相等．故在区间 内，函数 是一个常数．
图3-3 图3-4
定理3.4设函数 在 内可导，则
(1)如果在 内 ，那么函数 在 内单调增加；
(2)如果在 内 ，那么函数 在 内单调减少．
注在区间内个别点处导数等于零，不影响函数的单调性．如幂函数 ，其导数 在原点处为 ，但它在其定义域 内是单调增加的．
3.2
重点：洛必达法则的应用。
难点：洛必达法则的应用。
中值定理的一个重要应用是计算函数的极限.在第一章求极限时，我们经常遇到形如当 (或 )时，函数 的分子、分母都趋近于零或都趋近于无穷大的情况.对于这种函数是不能直接利用商的极限运算法则去求其极限的．极限 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，分别简记为“ ”或“ ”型．下面介绍求这类极限的一种简便且重要的方法洛必达( )法则．
对于“ ”型的极限，有下面的法则：
法则1如果函数 与函数 满足：
(1) ；
(2)函数 与 在点 的邻域内均可导，且 ；
(3) 存在(或为无穷大)．
那么
．
．
对于“ ”型的极限，有下面法则：
法则2如果函数 与函数 满足：
(1) ；
(2)函数 与 在点 的邻域内均可导，且 ；
(3) 存在(或为无穷大)．
那么
图3-2
拉格朗日定理有两个推论：
推论1如果在区间 内，函数 的导数 恒等于零，那么在区间 内，函数 是一个常数．
证明在区间 内任取两点 ，在 上，用拉格朗日中值定理，有
．
由于函数 的导数 恒等于零，所以
．
这说明在区间 内，函数 的在任何两点处的函数值都相等．故在区间 内，函数 是一个常数．
专题6导数的简单应用与定积分(理)-2021届高三高考数学二轮复习PPT全文课件
● 考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围)
●
(1)(2020·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区
间 ( k － 1 ， k ＋典1 )例内 不3 是 单 调 函 数 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围
●是_ ______
3
1，2 ●
( 2 ) ( 20 1 9 ·安 庆 二 模 ) 若 函 数 f ( x ) ＝ x 2 － 4 e x － a x 在 R 上 存 在 单 调 递 增 区 间 ， 则 实 数 a 的 取 值 范
围为____________________.
(－∞，－2－2ln 2)
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x.
由 f′(x)＝0，得 x＝12.
据题意，得k－1<12<k＋1， k－1≥0
解得 1≤k＜23.
●
(2)因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x)＝2x－4ex－a>0，
即a<2x－4ex有解．
●
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex.
●
令g′(x)＝0，解得x＝－ln 2．
●
当x∈(－∞，－ln 2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增；
●
当x∈(－ln 2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减．
●
所以当x＝－ln 2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln 2，
考查角度 导数的几何意义
导数的几何意义的应用
分值 5
6
专题6导数的简单应用与定积分（理） -2021 届高三 高考数 学二轮 复习PPT 全文课 件
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
高等数学习题课
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
5.3.2函数的极值与导数课件(人教版)
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解:
(3) 令f ( x) 12 3x 2 0,解得 x1 2, x2 2.
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x2 0, 解得 x1 1, x2 1.
Ox
而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件
请思考求可导函数的极值的步骤:
①求导数 f (x) ② 求方程 f (x) =0的根,这些根也称为可能极值点； ③ 检查 f (x) 在方程 f (x＝) 0的根的左右两侧的
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x 2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
o
Q(x2,f(x2))
a x1 x2
x3 x4 b x
视察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究 方法,看极值与导数之间有什么关系?
y
x x0左侧
x0 x(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
f(x) 增
极大值 减
x x0左侧
x0 x0右侧
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
1.2导数的计算(4课时)
作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )
1.2导数计算习题课
第一章 1.2
导数及其应用 导数的计算 习题课
回顾与总结
1.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式
为常数) (C )′ = 0 (C 为常数) 为有理数) ( x n )′ = nx n−1 ( n 为有理数) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = －sin x (a x )′ = a x ln a (a > 0，a ≠ 1) 特殊地 (e x )′ = e x 1 1 (log a x )′ = log a e = (a > 0, a ≠ 1) 且 x x ln a 1 特殊地 (ln x )′ = x
2 ∴k2 = y′ |x=3 = − . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.
9 8 − x2 9
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下 圆锥曲线的切线方程如下 (1)过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0(x0,y0)的切线方程是 上一点P 的切线方程是: 过圆 的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
2 3 2 3
说明:在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤 说明 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤 在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤.
y′ = 4(1 + sin x) （1+ sin x） ⋅ x
2 3 2 ’
= 4(1 + sin2 x)3 ⋅ 2sin x ⋅ cos x = 4sin 2x ⋅ (1 + sin2 x)3 .
第三章 导数应用 小结与复习(精品公开课课件)
0 ,得
x1
2
2
3 3
,
.
x1 (0,2),
所以当
x 2 2 3时,
3
32 3 S( x)max 9 .
因此当点B为 (2 2 3 ,0)时,矩形的最大面积是
32 3 .
2
9
2019/4/28
名师伴你行
2019/4/28
题型三 ：求函数的极值与最值
名师伴你行
例3 .［2010年高考安徽卷］ 设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值；
【分析】求出f′(x),利用f′(x)>0,f′(x)<0,求出单调区间,再 求极值.
【解析】 (1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R. 令f′(x)=0，得x=ln2. 于是当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
只需讨论x2 x 1 0或x2 x 1 0，
而x2 x 1 0无解，则x2 x 1 0恒成立，即y<0恒成立
当x>-1且x 0时即函数在区间 （-1,0）和（0，+ ）单调递减
2019/4/28
这里一般写“和” 而不写并集“U”
（二）、可导函数的极值
x
2019/4/28
解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2, |BC|=2(2-x). 故矩形ABCD的面积为: S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x (0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.