2014竞赛第二讲 一般物体的平衡答案

一、相关概念

（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。

（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件

作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：计算重心位置的方法：

1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。

2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。

3、公式法：

++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

二、常用方法

①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多； ②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；

③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。

三、巩固练习

1.如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l 。求它的重心。 【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出

重心C 。C 在AB 连线上，且AC ·M=BC ·m ； 第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M 的球A '的合成，用

反向平行力合成的方法找出重心C ，C 在AB 连线上，且BC ·（2M+m ）=C A '·M 。

不难看出两种方法的结果都是m

M l R M BC +⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

+=2。

2.将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC 与水平面平行，C 点为球的最高点斜面倾角为370.求：

(1)绳子的张力.

(2)斜面对球的摩擦力和弹力.

[答案：（1）10N ；（2）10N ，30N] 解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：0)37cos (37sin 20=+-R R T mgR ，得T =10N;

（2）取球心为转轴得，f =T =10N;

取C 点为转轴：037sin )37cos (00=-+NR R R f ，得N =30N. A

B

C

mg

Mg

（M+m ）g

R+l /2 A C B

A 'C （2M+m ）g Mg

ΣF R

A B

3.—个半径为r 的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为μ,如果在球上加一个竖直向下的力F ，如图所示．问；力F 离球心的水平的距离s 为多大，才能使球做逆时针转动?

[解]当球开始转动时,12f f ，达到最大静摩擦

12

21

F G N f N f +=+⎧⎨

=⎩ 分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.12Fs f r f r =+ 因12f f ，为最大静摩擦:11

22

f N f N μμ=⎧⎨=⎩

将以上方程联立可得:2

()(1)

(1)

F G s r F μμμ++=

+

4.如图所示,均匀杆的A 端用铰链与墙连接,杆可绕A 点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB 杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? （答案：11.25N ） 解:木块静止时弹力为10N ，可得杆重G =20N

向左拉时:N 1L cos α+μN 1L sin α=G

2L cos α,或N 1μsin α=21

G cos α-N 1cos α 向右拉时:N 2L cos α=μN 2L sin α+G 2L cos α,或N 2μsin α=N 2cos α-2

1

G cos α

两式相比得10

9

10922--=

N N ,得N 2=11.25N

5.有一轻质木板AB 长为L ,A 端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC 拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r ,重均为G .木板与墙的夹角为θ(如图所示).一切摩擦均不计,求BC 绳的张力. [答案：

)cos sin 21cos 11(3θ

θθ++-=L Gr T ]

解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.

解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC 绳的张力.比较麻烦.

解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC 绳的张力.但弹力的力臂比较难求.

解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N 1=3G cot θ.

再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N 1,BC 绳的拉力T ,重力3G ,A 点的作用力N (N 对A 点的力矩为零).

对A 点,有力矩平衡)sin 2(31θr r G AD N TAC ++=

式中θθ

cos ,2

tan /L AC r AD ==

有上述四式可行)cos sin 21cos 11(3θ

θ

θ++-=L Gr T .

假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？

分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。 设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得

1131

2(

)2

N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得

11231

022N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得 21131

02

f N N +

-= ③ 由∑E A ＝0得

12f R f R = ④ 由以上四式可得

11223

223

f f G -==

=+

112N G =，232

N G =

而202f N μ≤，11f N μ≤ 023

3

μ-≥

，23μ≥- 7.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其两端下

方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，则薄片A 6B 6中点所受的

（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。答案：mg/42 解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B 1、A 2B 2、…、A 5B 5的受力情况完全相同，因此将A 1B 1、A 2B 2、…A 5B 5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.

以第i 个薄片AB 为研究对象，受力情况如图甲所示，第i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力N i 、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力N i +1. 选碗边B 点为轴，根据力矩平衡有

2,211++=⋅

=⋅i i i i N N L N L N 得所以65321)2

1

(212121N N N N ==⨯== ① 再以A 6B 6为研究对象，受力情况如图乙所示，A 6B 6受到薄片A 5B 5向上的支持力N 6、碗向上的支持力和后一个薄片A 1B 1向下的压力N 1、质点向下的压力mg. 选B 6点为轴，根据力矩平衡有L N L mg L N ⋅=⋅+⋅

614

3

2 A 1

A 2 A 3

A 4 A 5 A 6 1

B 2 B 3 B 4 B 5 B 6