信息论与编码总复习
信息论与编码-复习
第6章 信道编码
计算：
对于循环码，已知（n,k）循环码 会求g(x),并根据g(x)求G， 例p191-192 6.3.3,p193 6.3.4 会求h(x)=(xn+1)/g(x),并根据h(x), 例p193 6.3.4 会求系统循环码码字:由G经过初等行变换得Gs, 再通过C=mGS得系统循环码码字
第4章 信息率失真函数
计算：
对于离散信源(如作业4.1(3))：
R(D)的计算、R(D)与D的关系图 只要求等概信源，对称失真的R(D),见P120 (4.2.50式) 关系图见P109 图4.1.1（注意区分离散和连续信源）， 所取的点的纵坐标根据R(D)的计算式求得
第4章 信息率失真函数
计算：
会计算达到稳态时的状态概率分布（作业2.16（1））和 极限熵（作业2.16（2），2.17（2）和p48 例2.2.4）；
给定状态转移概率，会画状态转移图，反之亦要求。
第二章 ——续
计算：
信源冗余度的计算（作业2.17（3）） 根据给出的离散信源，能够进行定长编码，求出码字。
掌握信源编码器的性能指标（编码效率η）及其与码 长（k）之间的关系。
第3章 信道容量
掌握离散无记忆信道的N次扩展信道的容量的求解
CN次扩展 NC单符号无记忆信道
无噪信道的容量：见作业3.14 应用连续信道的信道容量公式进行解题
连续信道的容量 所需的信号功率
S 如作业3.19,使用公式 C连续 B log 2 (1 ) N 注意：
C就是信号的传输速率 dB表示的信噪比在代入时要进行转换
能够通过分析电路的运行过程，得到生成的循环码字。 见课件
信息论与编码总复习
“信息论与编码”总复习1．消息、信号、信息的含义、定义及区别。
信息是指各个事物运动的状态及状态变化的方式。
消息是指包含信息的语言，文字和图像等。
信号是消息的物理体现。
消息是信息的数学载体、信号是信息的物理载体信号：具体的、物理的消息：具体的、非物理的信息：非具体的、非物理的同一信息，可以采用不同形式的物理量来载荷，也可以采用不同的数学描述方式。
同样，同一类型信号或消息也可以代表不同内容的信息2．信息的特征与分类。
1接收者在收到信息之前，对其内容是未知的，所以信息是新知识，新内容；2信息是能使认识主体对某一事物的未知性或不确定性减少的有用知识；3信息可以产生，也可以消失，同时信息可以被携带，被存储及处理；4信息是可以量度的，信息量有多少的差别。
3．狭义信息论、广义信息论、一般信息论研究的领域。
狭义信息论：信息论是在信息可以量度的基础上，对如何有效，可靠地传递信息进行研究的科学。
它涉及信息量度，信息特性，信息传输速率，信道容量，干扰对信息传输的影响等方面的知识。
广义信息论：信息是物质的普遍属性，所谓物质系统的信息是指它所属的物理系统在同一切其他物质系统全面相互作用（或联系）过程中，以质、能和波动的形式所呈现的结构、状态和历史。
包含通信的全部统计问题的研究，除了香农信息论之外，还包括信号设计，噪声理论，信号的检测与估值等。
概率信息：信息表征信源的不定度，但它不等同于不定度，而是为了消除一定的不定度必须获得与此不定度相等的信息量4．信息论的起源、历史与发展。
⏹1924年，Nyquist提出信息传输理论；⏹1928年，Hartly提出信息量关系；⏹1932年，Morse发明电报编码；⏹1946年，柯切尼柯夫提出信号检测理论；⏹1948年，Shannon提出信息论，“通信中的数学理论”—现代信息论的开创性的权威论文，为信息论的创立作出了独特的贡献。
5．通信系统的物理模型（主要框图），各单元（方框）的主要功能及要解决的主要问题。
信息论与编码复习资料
信息论与编码复习资料信息论与编码是通信工程、电子信息工程等专业的重要课程，它为我们理解和优化信息的传输与处理提供了理论基础。
下面就来系统地复习一下这门课程的重点知识。
一、信息论基础信息论主要研究信息的量化、存储、传输和处理。
信息是用来消除不确定性的东西，而信息量的大小与事件发生的概率密切相关。
香农熵是信息论中的一个核心概念，它用来衡量随机变量的不确定性。
对于一个离散随机变量 X，其概率分布为 P(X)，香农熵 H(X) 的计算公式为：H(X) ＝∑P(x)log₂P(x)香农熵具有一些重要的性质，比如非负性、对称性等。
它的物理意义在于表示了在对随机变量进行观测之前，我们对其取值的平均不确定性。
互信息则反映了两个随机变量之间的相关性。
如果有两个随机变量X 和 Y，它们之间的互信息 I(X;Y) 定义为：I(X;Y) ＝ H(X) H(X|Y)其中，H(X|Y) 表示在已知 Y 的情况下 X 的条件熵。
互信息越大，说明两个随机变量之间的相关性越强。
二、信源编码信源编码的目的是减少信源输出符号序列中的冗余度，提高传输效率。
无损编码是指在编码和解码过程中不会丢失任何信息，常见的无损编码方法有霍夫曼编码和算术编码。
霍夫曼编码是一种基于概率的变长编码方法。
它根据信源符号出现的概率大小，赋予概率大的符号较短的编码，概率小的符号较长的编码，从而实现平均码长的最小化。
算术编码则是将整个信源符号序列映射为一个区间内的一个实数，通过不断缩小这个区间来实现编码。
有损编码则允许在一定程度上损失信息，以换取更高的压缩比。
比如图像和音频编码中常用的 JPEG 和 MP3 就是有损编码的典型例子。
三、信道编码信道编码的作用是在信息传输过程中增加冗余，以提高信息传输的可靠性，对抗信道中的噪声和干扰。
线性分组码是一类重要的信道编码，其中最常见的是汉明码。
汉明码能够检测和纠正单个比特错误。
循环码具有良好的代数结构，便于实现编码和译码。
信息论与编码期末考试复习
②状态转移概率矩阵、状态转移图、网格图转换关系；
③平稳马尔可夫信源熵的计算；
④状态平稳分布计算。
第五章
1、区分非奇异码与奇异码、异前置码；
2、区分及时码与非及时码；
3、求非唯一可译码；
对于定长码：非奇异码即为唯一可译码；
非奇异码
变长码：同时满足{
；
异前置码
4、编码定理的掌握；Kraft 定理的理解；
（4）η = ������ = 0.831
������������������������
或者η
=
������(������) ������′
=
0.831
7/7
=
∑������
������(������������ )������(������/������������ )
=
������(0)������
(������)
0
+
������(1)������
(������)
1
+
������(2)������
(������)
2
= 1 ������[���̅���, 0, ������] + 1 ������[������, ���̅���, 0] + 1 ������[0, ������, ���̅���] = ������[������]
1/36。不同点出现时有 15 种，概率 1/18。
H(i,
j)
=
6
∗
1 36
∗
log2
36
+
15
∗
1 18
∗
log2
18
=
4.3366������������������/事件
《信息论和编码技术》复习提纲复习题
《信息论和编码技术》复习提纲复习题《信息论与编码技术》复习提纲复习题纲第0章绪论题纲：I.什么是信息？II.什么是信息论？III.什么是信息的通信模型？IV.什么是信息的测度？V.自信息量的定义、含义、性质需掌握的问题：1.信息的定义是什么？（广义信息、狭义信息——Shannon信息、概率信息）2.Shannon信息论中信息的三要素是什么？3.通信系统模型图是什么？每一部分的作用的是什么？4.什么是信息测度？5.什么是样本空间、概率空间、先验概率、自信息、后验概率、互信息？6.自信息的大小如何计算？单位是什么？含义是什么（是对什么量的度量）？第1章信息论基础㈠《离散信源》题纲：I.信源的定义、分类II.离散信源的数学模型III.熵的定义、含义、性质，联合熵、条件熵IV.离散无记忆信源的特性、熵V.离散有记忆信源的熵、平均符号熵、极限熵VI.马尔科夫信源的定义、状态转移图VII.信源的相对信息率和冗余度需掌握的问题：1.信源的定义、分类是什么？2.离散信源的数学模型是什么？3.信息熵的表达式是什么？信息熵的单位是什么？信息熵的含义是什么？信息熵的性质是什么？4.单符号离散信源最大熵是多少？信源概率如何分布时能达到？5.信源的码率和信息率是什么，如何计算？6.什么是离散无记忆信源？什么是离散有记忆信源？7.离散无记忆信源的数学模型如何描述？信息熵、平均符号熵如何计算？8.离散有记忆多符号离散平稳信源的平均符号熵、极限熵、条件熵（N阶熵）的计算、关系和性质是什么？9.什么是马尔科夫信源？马尔科夫信源的数学模型是什么？马尔科夫信源满足的2个条件是什么？10.马尔科夫信源的状态、状态转移是什么？如何绘制马尔科夫信源状态转移图？11.马尔科夫信源的稳态概率、稳态符号概率、稳态信息熵如何计算？12.信源的相对信息率和冗余度是什么？如何计算？㈡《离散信道》题纲：I.信道的数学模型及分类II.典型离散信道的数学模型III.先验熵和后验熵IV.互信息的定义、性质V.平均互信息的定义、含义、性质、维拉图VI.信道容量的定义VII.特殊离散信道的信道容量需掌握的问题：1.信道的定义是什么？信道如何分类？信道的数学模型是2.二元对称信道和二元删除信道的信道传输概率矩阵是什么？3.对称信道的信道传输概率矩阵有什么特点？4.根据信道的转移特性图，写出信道传输概率矩阵。
信息论与编码(网信10)复习
I(X;Y)，其中I(X;Y)表示输入和输出之间的互信息量。
约束条件
03
离散信道容量的计算需要考虑输入概率分布的约束条
件。
连续信道容量
定义
连续信道容量是指连续信道在给定输入概率 密度函数和功率限制条件下，能够传输的最 大信息量。
计算方法
使用香农公式计算连续信道容量，公式为C = max∫ 熵(y|x)dF(x)，其中熵(y|x)表示条件熵，F(x)表示输入 概率密度函数。
04
纠错编码
奇偶校验码
定义
奇偶校验码是一种简单的错误检测码，通过在数据位之外添加校验位，使得整个 码字中1的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。
原理
奇偶校验码通过在数据位之外添加一个校验位，使得整个码字中1的个数满足特 定的规则（奇数或偶数）。在接收端，对接收到的码字进行同样的计算，并与发 送端的规则进行比较，如果规则不满足，则认为发生了错误。
数字通信系统广泛应用于电话通信、移动通信、卫星通信等领域，为人们提供了快速、可靠、安全的通 信服务。
网络安全
网络安全是信息论与编码的一个重要应用方向，通过信息编码和加密技术保护网络 通信中的数据安全。
常见的网络安全技术包括对称加密、非对称加密、哈希函数等，它们能够提供数据 加密、身份认证和完整性保护等功能。
循环码
优点
纠错能力强，且具有高效的编码和解 码算法。
缺点
实现较为复杂，且对硬件要求较高。
05
信息论与编码的应用
数据压缩
01
数据压缩是信息论与编码的重要应用之一，通过去除数据中的冗余和 无用的信息，将数据压缩成更小的体积，以便于存储和传输。
02
常见的数据压缩算法包括哈夫曼编码、算术编码、LZ77和LZ78等， 这些算法利用数据的统计特性来达到压缩效果。
信息论与编码复习
1、通信系统模型的组成，及各部分的功能。
答：信源，产生消息的源，消息可以是文字，语言，图像。
可以离散，可以连续。
随机发生。
编码器，信源编码器：对信源输出进行变换（消去冗余，压缩），提高信息传输的有效性。
信道编码器：对信源编码输出变换（加入冗余），提高抗干扰能力，提高信息传输的可靠性。
调制器：将信道编码输出变成适合信道传输的方式信道，信号从发端传到收端的介质干扰源，系统各部分引入的干扰，包括衰落，多径，码间干扰，非线性失真，加性噪声译码器，编码器的逆变换信宿，信息的接收者2、消息，信号，信息三者之间的关系答：关系：信息---可以认为是具体的物理信号、数学描述的消息的内涵，即信号具体载荷的内容、消息描述的含义。
信号---则是抽象信息在物理层表达的外延；消息---则是抽象信息在数学层表达的外延。
3、信源的分类答：分类：单消息（符号）信源：离散信源；连续变量信源。
平稳信源。
无/有记忆信源。
马尔可夫信源。
随机波形信源。
离散信源：信源可能输出的消息数是有限的或可数的，而且每次只输出其中一个消息。
可以用一维离散型随机变量X来描述这个信源输出的消息。
这个随机变量X的样本空间就是符号集A；而X的概率分布就是各消息出现的先验概率，信源的概率空间必定是一个完备集。
连续变量信源：数据取值是连续的，但又是随机的。
可用一维的连续型随机变量X来描述这些消息。
这种信源称为连续信源，其数学模型是连续型的概率空间：4、自信息的含义：当事件ai发生以前，表示事件ai发生的不确定性，当事件ai发生以后表示事件ai所含有（所提供）的信息量。
5、互信息含义：信源发送消息ai,而由于干扰，在接收端收到的为消息bj ，此时获得的信息量——互信息，即最初的不确定性减去尚存在的不确定性。
6、离散单符号信源熵的物理含义：熵是随机变量的随机性的描述。
熵是信源输出消息前随机变量平均不确定性的描述。
信源熵H(X)是表示信源输出后每个消息/符号所提供的平均信息量。
信息论与编码复习重点整理(1页版)
1第1章 概论1. 信号(适合信道传输的物理量）、信息（抽象的意识/知识，是系统传输、转换、处理的对象）和消息(信息的载体)定义；相互关系：(1信号携带消息，是消息的运载工具(2信号携带信息但不是信息本身(3同一信息可用不同的信号来表示(4同一信号也可表示不同的信息。
2. 通信的系统模型及目的:提高信息系统可靠性、有效性和安全性，以达到系统最优化.第2章 信源及信息量1. 单符号离散信源数学模型2. 自信息量定义：一随机事件发生某一结果时带来的信息量I(xi)=-log2P(xi)、单位：bit 、物理意义：确定事件信息量为0；0概率事件发生信息量巨大、性质：I(xi)非负；P(xi)=1时I(xi)=0；P(xi)=0时I(xi)无穷；I(xi)单调递减；I(xi)是随机变量。
3. 联合自信息量：I(xiyi)=- log2P(xiyj) 物理意义：两独立事件同时发生的信息量=各自发生的信息量的和、条件自信息量：I(xi/yi)=- log2P(xi/yj)；物理意义：特定条件下(yj 已定)随机事件xi 所带来的信息量。
三者关系：I(xi/yi)= I(xi)+ I(yi/xi)= I(yi)+ I(xi/yi)4. 熵：定义(信源中离散消息自信息量的数学期望)、单位(比特/符号)、物理意义(输出消息后每个离散消息提供的平均信息量；输出消息前信源的平均不确定度；变量的随机性)、计算:(H(X)=-∑P(xi)log2 P(xi)) 1)连续熵和离散的区别：离散熵是非负的2)离散信源当且仅当各消息P相等时信息熵最大H (X )=log 2 n 。
3)连续信源的最大熵:定义域内的极值. 5.条件熵H(Y/X) = -∑∑P(xiyj) log2P(yj/xi)，H (X /Y )= -∑∑P(xiyj) log2P(xi/yj) 、物理意义：信道疑义度H(X/Y)：信宿收到Y 后，信源X 仍存在的不确定度，有噪信道传输引起信息量的损失，也称损失熵。
信息论与编码总复习
VS
奇偶校验位
奇偶校验位是添加到数据中的一个额外位 ，用于检测数据中的错误。根据数据的二 进制位数，可以选择奇校验或偶校验。
05
编码的应用
数据压缩
1 2 3
数据压缩
数据压缩是编码技术的重要应用之一，通过去除 数据中的冗余信息，减少数据的存储空间和传输 时间，提高数据传输效率。
压缩算法
常用的数据压缩算法包括哈夫曼编码、算术编码、 LZ77和LZ78等，这些算法通过不同的方式实现 数据的压缩和解压缩。
互信息与条件互信息
互信息的定义
互信息是两个随机变量之间的相关性度量。对于两个随机变量$X$和$Y$，其互信息定义为$I(X;Y) = sum_{x,y} P(X=x,Y=y) log_2 frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x)P(Y=y)}$。
条件互信息的定义
条件互信息是给定一个随机变量条件下，另一个随机变量的不确定性减少的量度。对于两个随机变量$X$ 和$Y$以及第三个随机变量$Z$，其条件互信息定义为$I(X;Y|Z) = sum_{x,y,z} P(X=x,Y=y,Z=z) log_2 frac{P(X=x,Y=y|Z=z)}{P(X=x|Z=z)P(Y=y|Z=z)}$。
压缩比与效率
数据压缩比和压缩效率是衡量数据压缩算法性能 的重要指标，不同的应用场景需要选择合适的压 缩算法以满足需求。
加密通信
加密通信
编码技术在加密通信中发挥着重要作用，通过将明文转换为密文， 保护数据的机密性和完整性。
加密算法
常见的加密算法包括对称加密和公钥加密，这些算法利用数学函数 和密钥对数据进行加密和解密。
纠错码与检错码
纠错码不仅能够检测错误，还能够纠 正错误，而检错码只能检测错误。
信息论与编码复习总结
p ( xi , y j ) log p ( xi , y j )
ij
联合熵 H(X,Y)表示 X 和 Y 同时发生的不确定度。 H(XY)与 H(X)、H(X/Y)之间的关系 H(X,Y)＝H(X)＋H(Y|X) H(X,Y)＝H(Y)＋H(X|Y)
单符号序列 马尔科夫信源，m 阶马尔科夫信源（了解） 马尔科夫信源：一类相对简单的离散平稳信源，该信源在某一时刻发出字母的概率除与该 信源有关外，只与此前发出的有限个字母有关。
信息论与编码理论复资料
By 疯狂阿德
第一章 绪论
考点： 信息、消息、信号的区别 通信系统模型 香农
1.
信息、消息、信号的区别 信息：指事物运动的状态或存在方式的不确定性的描述。 消息：包含信息的语言、文字、图像等。 信号：信息的物理体现。 在通信系统中，实际传输的是信号，但实质内容是信息，信息包含在信号中，信号是信息 的载体，通信的结果是消除或部分消除不确定性，从而获得信息。
–
信源的基本特性：具有随机不确定性。
香农信息论的基本点： 一、用随机变量和随机矢量来表示信源； 二、用概率论和随机过程来研究信息。 信源的分类：
连续信源：指发出在时间和幅度上都是连续的消息（模拟消息）的信源。 离散信源：指发出在时间和幅度上都是离散分布的离散消息的信源。
离散无记忆信源：所发出的各个符号是相互独立的，发出的符号序列中的各个符号之间没 有统计关联性，各个符号的出现概率是它自身的先验概率。
第二章
考点： 自信息 概率空间
信源与信息熵
X x1 P p( x ) 1
x2 p ( x2 )
xn p ( xn )
样本空间：某事物各种可能出现的不同状态。 先验概率 p(xi)：选择符号 xi 作为消息的概率。 • 对 xi 的不确定性可表示为先验概率 p(xi)的倒数的某一函数。 自信息
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数学模型
P Xpxx11
x2
px2
pxxnn
pxi
0,
n i1
pxi
1
符号序列无记忆信源
很多实际信源输出的消息往往是由一系列符号组成， 这种用每次发出1组含2个以上符号的符号序列来代 表一个消息的信源叫做发出符号序列的信源。
设信源输出的随机序列为X，XX 1X 2LX lLX L
序列中的变量 X l x 1 ,x 2 ,L ,x n ,l 1 ,2 ,L ,L
信息是能使认识主体对某一事物的未知性或不 确定性减少的有用知识
信息可以产生，也可以消失，同时信息可以被 携带、贮存及处理
信息是可以量度的，信息量有多少的差别
2020/4/17
2
消息、信号和信息
信号最具体，它是一物理量，可测量、可显示、 可描述，同时它又是载荷信息的实体 信息的物理层表达
消息是具体的、非物理的，可描述为语言文字、 符号、数据、图片，能够被感觉到，同时它是 信息的载荷体，是信息论中主要描述形式 信息的数学层表达
信息是抽象的、非物理的
哲学层表达
2020/4/17
3
通信系统模型简介
信源 信源编码
加密 信道编码
加密 密钥
信
解密 密钥
道
信宿 信源解码
解密 信道解码
干扰源
2020/4/17
4
第2章 信源及信源熵
重点掌握
信源的分类和数学描述 自信息量、互信息 离散信源熵 离散序列信源的熵 熵的性质
一般了解
I(xiyj) lo g2p (xi)p (yj/xi)I(xi)I(yj/xi) lo g2p (yj)p (xi/yj)I(yj)I(xi/yj)
2020/4/17
13
信源熵
离散信源熵为信源中各个符号不确定度的数学 期望
H ( X ) E I ( X ) p ( x i ) I ( x i ) p ( x i ) l o g p ( x i )
2020/4/17
11
联合自信息量
两个消息xi，yj同时出现的联合自信息量
I(xiyj)lopg (xiyj)
当xi, yj相互独立时，有p(xi yj)=p(xi)p(yj)，那么 就有 I(xi yj)=I(xi)+I(yj)。
xi yj所包含的不确定度在数值上也等于它们的自 信息量。
2020/4/17
I(X; yj)在Y集合上的概率加权统计平均值
I(X;Y) j
p(yj)I(X;yj)
i,j
p(yj)p(xi/yj)logp(px(ix/iy)j)
i,j
p(xiyj)logp(px(ix/iy)j)
平均互信息（量）
p x i l o g p x i p x i y jl o g p x i/ y j H X H X / Y
H (X/Y)= p(yj)H (X/yj) p(yj)p(xi/yj)I(xi/yj)
j
i,j
p(xiyj)I(xi/yj)
i,j
在给定X（即各个xi）条件下，Y集合的条件熵
H ( Y / X ) p ( x i y j ) I ( y j/ x i ) p ( x iy j ) l o g 2 p ( y j/ x i )
L L L L
p X 1 p X 2 /X 1 p X 3 /X 1 X 2 L p X L /X 1 X 2 L X L 1
2020/4/17
8
信源的数学描述
一阶马尔可夫信源
p(X1X2X3LXL) p(X1)p(X2/X1)p(X3/X1X2)Lp(XL/X1X2LXL2XL1) p(X1)p(X2/X1)p(X3/X2)Lp(XL1/XL2)p(XL/XL1)
第1章 绪论
重点掌握
信息的特征 信息、消息、信号的联系和区别 通信系统的物理模型
一般了解
信息论理论的形成和发展过程 信息论的研究内容
2020/4/17
1
信息的特征
信息的基本概念在于它的不确定性，任何已 确定的事物都不含信息。
接收者在收到信息之前，对它的内容是不知道 的，所以信息是新知识、新内容
12
条件自信息量
在事件yj出现的条件下，随机事件xi发生的条件概 率为p(xi / yj) ，则它的条件自信息量定义为条件概 率对数的负值：
I(xi/yj)logp(xi/yj)
在给定yj条件下，随机事件xi所包含的不确定度在数值上 与条件自信息量相同，但两者含义不同。
联合自信息量、条件自信息量和自信息量
接收到符号yj后，事件xi是否发生仍保留有一定 的不确定性，用I(xi / yj)度量。
接收到某消息yj后获得的关于事件xi的信息量， 用I(xi; yj)表示。
2020/4/17
17
平均互信息
互信息量 I(xi; yj)在X集合上的统计平均值为
I ( X ;y j) ip ( x i/y j) I ( x i;y j) ip ( x i/y j) l o g p ( p x ( ix /i y ) j)
这完全是由信道中噪声引起的。
2020/4/17
19
熵的性质
非负性 H(X)＝H(x1,x2,……,xn)≥0 等号在p(xi)=1时成立
对称性 H(x1,x2,……,xn)＝ H(x2,x1,……,xn) 熵函数只与随机变量的总体结构有关
确定性 H(0,1)＝H(1,0,0,……,0)＝0 只要信源符号集中有一个符号的出现概率为1，信源 熵就等于零
H(X1)H(X2/X1)LH(XL/XL1LX1)
L
H(Xl /Xl1)H(XL) l
平均每个符号的熵为
HL
X1HX
L
信源无记忆时
L
HXHXl
满足平稳时
l1
HXLHX
2020/4/17
24
离散平稳信源
结论1：H(XL/XL-1)是L的单调非增函数 结论2： HL (X) ≥H(XL/XL-1) 结论3： HL (X)是L的单调非增函数
2020/4/17
20
熵的性质
香农辅助定理
对于P＝(p1,p2, ……,pn)和Q＝ (q1,q2, ……,qn)
n
n
H p 1 ,p 2 ,L,p n p ilo gp i p ilo g q i
i 1
i 1
对任意概率分布pi，它对其他概率分布qi的自信息量 取数学期望时，必不小于pi本身的熵
H ( XY ) H ( X ) H (Y ) H (X ) H (X /Y) H (Y ) H (Y / X )
2020/4/17
H(X)
H(Y)
H(X/Y) I(X;Y) H(Y/X)
H(XY)
22
离散无记忆信源的序列熵
设信源输出的随机序列为X =(X1X2…Xl…XL) 序列中的变量Xl∈{x1,x2,… xn}
连续信源熵 冗余度
2020/4/17
5
信源分类
{ 离散
{ { 信源
离散无记忆信源 离散有记忆信源
发出单个符号的无记忆信源 发出符号序列的无记忆信源 发出符号序列的有记忆信源 发出符号序列的马尔可夫信源
2020/4/17
6
信源的数学描述
单符号无记忆信源
用一维离散型随机变量X来描述这些信息的输出。
信源的序列熵可以表示为
L
HXHXlLHX l1
无记忆
信源序列中，平均每个符号的熵为
HLXL 1HXHX 无记忆、平稳
离散无记忆信源平均每个符号的符号熵HL(X)等于单 个符号信源的符号熵H(X)
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离散有记忆信源的序列熵
若信源输出一个L长序列，则信源的序列熵为
H(X)H(X1X2LXL)
和条件概率
p(s2/s2)=0.8
p(x1/s2)=0.8
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稳定的马尔可夫信源
极限概率Wj
一个不可约的、非周期的、状态有限的马尔可夫链，其
i ,j
i ,j
条件熵是在联合符号集合XY上的条件自信息量的联合 概率加权统计平均值。
条件熵H(X/Y)表示已知Y后，X的不确定度。
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联合熵
联合熵是联合符号集合 XY上的每个元素对xiyj 的自信息量的概率加权统计平均值
H ( X Y ) p ( x iy j) I ( x iy j) p ( x iy j) l o g 2 p ( x iy j)
最大熵定理
离散无记忆信源输出M个不同的信息符号，当且仅 当各个符号出现概率时（即等概率分布），熵最大
HXHM 1,M 1,L,M 1logM
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互信息量与熵
I(X;Y)H(X)H(X/Y) H(Y)H(Y/ X) H(X)H(Y)H(XY)
H ( XY ) H ( X ) H (Y / X ) H (Y ) H ( X / Y )
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自信息量的特性
I (xi)是非负值 当p(xi) = 1时，I(xi) = 0 当p(xi) = 0时，I(xi) =∞ I(xi)是先验概率p(xi)的单调递减函数，即
当p(x1)＞p(x2)时，I (x1)＜I (x2) 两个独立事件的联合信息量等于它们分别
的信息量之和。即：统计独立信源的信息 量等于它们分别的信息量之和。
H 0 X H 1 X H 2 X L H X
结论4：当L→∞时，H∞(X)称为极限熵
H X @ l L i m H L X l L i m H X L / X 1 X 2 L X L 1