2010高考数学一轮—26平面向量数量积及应用范文
2010年高考数学真题分类汇编(老人教)考点12 平面向量的数量积、线段的定比分点与平移
考点12、平面向量的数量积、线段的定比分点与平移 1.（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量a ，b 满足0,1,2a b a b ∙=== ，则2a b -= （ ）A ．0B ．C ．4D ．8【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.【思路点拨】根据公式a =解.【规范解答】选B （方法一）2a b -====；（方法二）数形结合法：由条件0a b ∙= 知，以向量a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，又因为1,2a b == ，所以2=2a ，则2a b - 是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为.方法二：熟记向量0a b a b ⊥⇔∙= 及向量和的三角形法则2.（2010·重庆高考文科·Ｔ3）若向量(3,)a m = ，(2,1)b =- ，, 0a b ∙= ，则实数m 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．6 【命题立意】本小题考查平面向量的基础知识及其应用，考查数量积的运算，考查方程思想.【思路点拨】代入数量积的坐标公式计算即可.【规范解答】选D 因为0a b ∙= ，向量(3,)a m = ，(2,1)b =- ，所以32(1)0m ⨯+-=，所以6m =.【方法技巧】熟记向量数量积的坐标运算公式3.（2010·四川高考理科·Ｔ5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣= （ ）.（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1【命题立意】本题主要考查平面向量加、减运算的几何表示，向量模的意义，平行四边形的性质.【思路点拨】平行四边形法则，22BC BC = .【规范解答】选C 以AB ,AC 为邻边作平行四边形ABCD ，由22=16BC BC = ,知=4BC ，又由AB AC AB AC +=- 可知，四边形ABCD 为矩形.∴242AD BC AM AM ===⇒= ，故选C【方法技巧】平行四边形法则和数形结合思想的应用. 如图：4.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）△ABC 中，点D 在 边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a ,CA = b , 1,2a b == ， 则CD =（ ）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b 【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
平面向量数量积的定义
1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点 O, 作 OA a , AB b , OC c . 因为 a b (即OB) 在 c 方向上的投影等于 a 、b 在 c 方向上的投影的和. 由此可证，运算律（ 3 ）成立 （以下见黑板） .
练一练
判断题 (1) (a b)c a(b c)
注： 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大 小与两个向量的长度及其夹角有关. （2）“ a b a b ”能不能写成“ 式？ ”或者 ab “ ” 的形
例题分析： 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。
解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
1、已知a
a 与b 的交角为90 o，则a b 0 2， b 3，
；
（1）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 2、若 a
a、b共线，则 a b 3或－ b 3， . 3 1，
（2）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · | b | ．( a // b 特别地
B
B b
B
b
b
O a
B1
A
B1Biblioteka Oa A O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0 a O b B 。 0时，它是 | b |
θ为钝角时， | b | cosθ＜0 b A B O
θ为直角时， | b | cosθ=0 a A
θ为
。 θ为 180时，它是 -| b |
向量数量积的性质
平面向量的数量积及平面向量的应用(一轮公开)课
高考总复习 B 数学（文）
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研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
平面向量的夹角与模
【例2】 (1)(2014年锦州模拟)平面向量a与b的夹角为60° ， 2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B ) A. 3 B．2 3 C．4 D．10
菜 单
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平面向量数量积的运算
→ ＝(1,2)， 【例 1】 (1)(2013 年高考福建卷)在四边形 ABCD 中，AC → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( BD A. 5 B．2 5 C．5
的乘积．
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1．(2014年武汉模拟)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2 3 ，且a⊥ (a＋b)，则a与b的夹角为( D ) π 2π 3π A. B. C. 2 3 4 5π D. 6
(1)交换律：a·b＝ b·a .
思考：(a·b)c=a(b·c)，对吗？
(2)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . (3)对λ∈R，λ(a·b)＝
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(λa)·b ＝ a·(λb)
．
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(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ |a||b|·cos θ .规定0·a＝0.
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。
2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。
2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。
10年高考真题-平面向量的数量积及其应用
5.2 平面向量的数量积及其应用考点一 平面向量的数量积1.(2020课标Ⅲ理,6,5分)已知向量a,b 满足|a|=5,|b|=6,a ·b=-6,则cos<a,a+b>=( ) A.-3135 B.-1935 C.1735 D.1935 答案 D 由题意得cos<a,a+b>=a ·(a+b)|a|·|a+b|=2|a|·√a 2+b +2a ·b=5×√25+36-12=1935.故选D.2.(2020课标Ⅱ,5,5分)已知单位向量a,b 的夹角为60°,则在下列向量中,与b 垂直的是( ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b答案 D 解法一:要判断A 、B 、C 、D 四个选项中的向量哪个与b 垂直,只需判断这四个向量哪个与b 的数量积为零即可.A.(a+2b)·b=a ·b+2b 2=|a||b|cos 60°+2|b|2=1×1×cos 60°+2×12=52≠0. B.(2a+b)·b=2a ·b+b 2=2|a||b|cos 60°+|b|2=2×1×1×cos 60°+12=2≠0. C.(a-2b)·b=a ·b-2b 2=|a||b|cos 60°-2|b|2=1×1×cos 60°-2×12=-32≠0. D.(2a-b)·b=2a ·b-b 2=2|a||b|cos 60°-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0.故选D. 解法二:由于a 与b 均为单位向量,且夹角为60°,所以可设a=(1,0),b=(12,√32). 对于选项A,a+2b=(2,√3),则b ·(a+2b)=12×2+√32×√3=52≠0,所以b 与a+2b 不垂直; 对于选项B,2a+b=(52,√32),则b ·(2a+b)=12×52+√32×√32=2≠0,所以b 与2a+b 不垂直; 对于选项C,a-2b=(0,-√3),则b ·(a-2b)=12×0-√32×√3=-32≠0,所以b 与a-2b 不垂直; 对于选项D,2a-b=(32,-√32),则b ·(2a-b)=12×32-√32×√32=0,所以b 与2a-b 垂直. 故选D.3.(2019课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( ) A.√2 B.2 C.5√2 D.50答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. ∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a ·b=12,则|a-b|=√a 2-2a ·b +b 2=√13-2×12+13=√2.故选A. 一题多解 ∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|=√(-1)2+12=√2,故选A.4.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案 A 由已知得cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗|=√32,所以∠ABC=30°,故选A.5.(2016天津文,7,5分)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-58 B.18 C.14 D.118 答案 B 建立如图所示的平面直角坐标系.则B (-12,0),C (12,0),A (0,√32),所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). 易知DE=12AC,∠FEC=∠ACE=60°,则EF=14AC=14, 所以点F 的坐标为(18,-√38),所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(18,-5√38), 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(18,-5√38)·(1,0)=18.故选B. 疑难突破 利用公式a ·b=|a||b|cos<a,b>求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F 的坐标是解题的关键.评析 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积,考查运算求解能力和数形结合思想. 6.(2016课标Ⅱ理,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8答案 D 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D. 7.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2 B.-34a 2 C.34a 2 D.32a 2答案 D BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12a 2+a 2=32a 2.8.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2答案 C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C. 9.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20 B.15 C.9 D.6答案 C 依题意有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-316BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9.故选C.10.(2015福建文,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c,则实数k 的值等于( ) A.-32B.-53C.53D.32答案 A c=a+kb=(1+k,2+k).由b ⊥c,得b ·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-32.故选A.11.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2答案 A ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×3+1×(-1)=5.选A. 12.(2015重庆理,6,5分)若非零向量a,b 满足|a|=2√23|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b 的夹角为( )A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 A ∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a ·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·cos <a,b>-2|b|2=0. 又∵|a|=2√23|b|,∴83|b|2-2√23|b|2·cos <a,b>-2|b|2=0.∴cos <a,b>=√22.∵<a,b>∈[0,π], ∴<a,b>=π4.选A.13.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a+b),则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6 答案 C 因为a ⊥(2a+b),所以a ·(2a+b)=0, 得到a ·b=-2|a|2,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b |a||b|=-2|a|24|a|2=-12,又0≤θ≤π,所以θ=2π3,故选C.14.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A ∵|a+b|=√10,∴a 2+2a ·b+b 2=10.① 又|a-b|=√6,∴a 2-2a ·b+b 2=6.② ①-②,得4a ·b=4,即a ·b=1,故选A.15.(2014大纲全国文,6,5分)已知a 、b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2答案 B (2a-b)·b=2a ·b-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.16.(2014大纲全国理,4,5分)若向量a 、b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2 B.√2 C.1 D.√22答案 B 由题意得{(a +b)·a =a 2+a ·b =0,(2a +b)·b =2a ·b +b 2=0⇒-2a 2+b 2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|=√2.故选B. 17.(2020课标Ⅱ理,13,5分)已知单位向量a,b 的夹角为45°,ka-b 与a 垂直,则k= . 答案√22解析 因为(ka-b)·a=ka 2-a ·b=0,且单位向量a,b 的夹角为45°,所以k-√22=0,即k=√22.18.(2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 答案 √3解析 由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a 2+b 2+2a ·b=1,而|a|=|b|=1,故a ·b=-12,|a-b|=√|a -b|2=√a 2+b 2-2a ·b =√1+1+1=√3.19.(2020浙江,17,4分)已知平面单位向量e 1,e 2,满足|2e 1-e 2|≤√2.设a=e 1+e 2,b=3e 1+e 2,向量a,b 的夹角为θ,则cos 2θ的最小值是 . 答案2829解析 由题可知{a =e 1+e 2,b =3e 1+e 2⇔{e 1=b -a2,e 2=3a -b 2,从而{ |b -a2|=1,|3a -b2|=1,|3b -5a 2|≤√2⇔{|b -a|=2,|3a -b|=2,|3b -5a|≤2√2 ⇔{a 2-2a ·b +b 2=4①,9a 2-6a ·b +b 2=4②,25a 2-30a ·b +9b 2≤8③,由①②可得{a ·b =2a 2④,b 2=4+3a 2⑤,代入③可得a 2≥72, 从而cos θ=a ·b |a||b|=2a 2|a||b|=2|a||b|=2√|a|24+3|a|2=2√14|a|2+3≥2√729,所以cos 2θ≥2829,故cos 2θ的最小值为2829.20.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E 、F 是y 轴上的两个动点,且|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 答案 -3解析 本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0), ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,m),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,n). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+mn,又知|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, ∴|m-n|=2.①当m=n+2时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mn-2=(n+2)n-2=n 2+2n-2=(n+1)2-3. ∴当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值-3. ②当m=n-2时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mn-2=(n-2)n-2=n 2-2n-2=(n-1)2-3. ∴当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值-3. 综上可知,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为-3.21.(2017山东理,12,5分)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若√3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 . 答案√33解析 本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.由题意不妨设e 1=(1,0),e 2=(0,1),则√3e 1-e 2=(√3,-1),e 1+λe 2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cos =√3,2√1+λ=√3-2√1+λ=12,所以√3-λ=√1+λ2,解得λ=√33.疑难突破 根据“e 1,e 2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题的突破口. 易错警示 对向量的夹角公式掌握不牢而致错.22.(2017课标Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 答案 2√3解析 本题考查向量数量积的计算.由题意知a ·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×12=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a ·b=4+4+4=12. 所以|a+2b|=2√3.23.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .答案78解析 解法一:(坐标法) 建立直角坐标系,设D(0,0),A(3b,3c),B(-a,0),C(a,0),E(2b,2c),F(b,c),则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a-3b,-3c),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-3b,-3c),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9b 2+9c 2-a 2=4,FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a-b,-c),FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-b,-c),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2+c 2-a 2=-1,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a-2b,-2c),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2b,-2c),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4b 2+4c 2-a 2, 由{9b 2+9c 2-a 2=4,b 2+c 2-a 2=-1,得b 2+c 2=58,a 2=138, 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×58-138=78. 解法二:先证明一个三角形中与中点有关的向量公式.BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2, BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FD ⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|FD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=19|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|ED ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=49|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n,由题意可得{m 2-n 2=4,m 29-n 2=-1, 解得m 2=458,n 2=138,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =49m 2-n 2=49×458-138=78.24.(2016课标Ⅰ,理13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= . 答案 -2解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a ⊥b,∴a ·b=m+2=0,∴m=-2. 评析 本题考查向量数量积及向量的模,难度不大.25.(2016课标Ⅰ文,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a ⊥b,则x= . 答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.易错警示 混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.26.(2016山东文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a ⊥(ta+b),则实数t 的值为 . 答案 -5解析 因为a ⊥(ta+b),所以a ·(ta+b)=0,即ta 2+a ·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=√2,a ·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.评析 本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.27.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a 与b 夹角的大小为 . 答案π6解析 ∵cos<a,b>=a ·b|a|·|b|=1×√3+√3×12×2=√32, ∴a 与b 夹角的大小为π6.28.(2015浙江,13,4分)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b|= . 答案23√3 解析 令e 1与e 2的夹角为θ,∴e 1·e 2=|e 1|·|e 2|cos θ=cos θ=12,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b ·(e 1-e 2)=0,所以b 与e 1、e 2的夹角均为30°,从而|b|=1cos30°=23√3.29.(2014重庆文,12,5分)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a ·b= . 答案 10解析 由a=(-2,-6),得|a|=√(-2)2+(-6)2=2√10, ∴a ·b=|a||b|cos<a,b>=2√10×√10×cos 60°=10. 30.(2014课标Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C 为圆O 上的三点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案 90°解析 由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )可知O 为BC 的中点,即BC 为圆O 的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°.31.(2014湖北文,12,5分)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 2√5解析 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(-3)2=√10,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√20=2√5,故答案为2√5.32.(2014湖北理,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a +λb)⊥(a-λb),则实数λ= . 答案 ±3解析 |a|=3√2,|b|=√2,a ·b=3×1+3×(-1)=0.因为(a +λb)⊥(a-λb),所以(a +λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.33.(2013课标Ⅱ,理13,文14,5分)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22-12×22=2.解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2),则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-2)+2×2=2.34.(2013天津,理12,5分)在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB 的长为 . 答案12解析 易知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·1·cos 60°+12=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1,由已知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,可得-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1=1,解得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12.35.(2013课标Ⅰ,理13,文3,5分)已知两个单位向量a,b 的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b ·c=0,则t= . 答案 2解析 解法一:∵b ·c=0,∴b ·[ta+(1-t)b]=0,ta ·b+(1-t)·b 2=0, 又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°, ∴12t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=(12,√32), 则c=(32,-√32).把a 、b 、c 的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.评析 本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c 的坐标是解题关键.36.(2012课标,理13,文13,5分)已知向量a,b 夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=√10,则|b|= . 答案 3√2解析 |2a-b|=√10两边平方得 4|a|2-4|a|·|b|cos 45°+|b|2=10. ∵|a|=1,∴|b|2-2√2|b|-6=0.∴|b|=3√2或|b|=-√2(舍去).评析 本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键.37.(2012安徽文,11,5分)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|= . 答案 √2 解析 a+c=(3,3m), ∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=0, ∴3m+3+3m=0, ∴m=-12, ∴a=(1,-1),∴|a|=√12+(-1)2=√2.评析 本题主要考查向量的基本运算,考查了向量垂直的充要条件.38.(2011课标,文13,5分)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a+b 与向量ka-b 垂直,则k= . 答案 1解析 由题意知|a|=1,|b|=1,<a,b>≠0且<a,b>≠π. 由a+b 与向量ka-b 垂直,得(a+b)·(ka-b)=0, 即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos<a,b>-|b|2=0, (k-1)(1+cos<a,b>)=0.又1+cos<a,b>≠0, ∴k-1=0,k=1.评析 本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识,考查学生的运算求解能力,属中等难度试题.考点二 平面向量数量积的应用1.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516 D.3 答案 A 本题主要考查数量积的综合应用.解法一:如图,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B (32,√32),C(0,√3),令E(0,t),t ∈[0,√3],∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t)·(-32,t -√32)=t 2-√32t+32,∵t ∈[0,√3],∴当t=--√322×1=√34时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =316-√32×√34+32=2116.故选A.解法二:令DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),由已知可得DC=√3, ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =3λ2-32λ+32.当λ=--322×3=14时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值2116.故选A.方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.2.(2017课标Ⅱ理,12,5分)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( )A.-2B.-32 C.-43 D.-1答案 B 设BC 的中点为D,AD 的中点为E,则有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PE ⃗⃗⃗⃗⃗ -EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2). 而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(√32)2=34,当P 与E 重合时,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2有最小值0,故此时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )取最小值, 最小值为-2EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-2×34=-32.方法总结 在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2可快速求出最值. 一题多解 以AB 所在直线为x 轴,AB 的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,√3),设P(x,y),取BC 的中点D,则D (12,√32).PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(-1-x,-y)·(12-x,√32-y)=2[(x+1)·(x -12)+y ·(y -√32)]=2[(x+14)2+(y -√34)2-34]. 因此,当x=-14,y=√34时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )取得最小值,为2×(-34)=-32,故选B.3.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB ⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O.记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.I 1<I 2<I 3B.I 1<I 3<I 2C.I 3<I 1<I 2D.I 2<I 1<I 3 答案 C 如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).设D(m,n),由AD=2和CD=3,得{m 2+(n -2)2=4,(m -2)2+n 2=9, 从而有n-m=54>0,∴n>m . 从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°, ∴∠BOC 为锐角.从而∠AOB 为钝角.故I 1<0,I 3<0,I 2>0. 又OA<OC,OB<OD,故可设OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-λ1OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1>1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ2>1), 从而I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1λ2I 1, 又λ1λ2>1,I 1<0,I 3<0,∴I 3<I 1,∴I 3<I 1<I 2.故选C.4.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC 的边长为2√3,平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37+6√34D.37+2√334答案 B 以A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2√3,0),B(√3,3). 设P(x,y),∵|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴x 2+y 2=1, ∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴M 为PC 的中点, ∴M (x+2√32,y2), ∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(x+2√32-√3)2+(y2-3)2=x 24+y 24-3y+9 =14-3y+9=374-3y, 又∵-1≤y ≤1,∴当y=-1时,|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值,且最大值为494. 思路分析 由△ABC 为正三角形,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题. 评析 本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.5.(2015福建理,9,5分)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t ,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗|,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( ) A.13 B.15 C.19 D.21答案 A 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则B (1t,0)(t>0),C(0,t),P(1,4),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t-1,-4)·(-1,t-4)=17-(4t +1t)≤17-2×2=13(当且仅当t =12时,取“=”),故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13,故选A. 6.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 答案 0;2√5解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), 故|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2.(*)显然(*)式中第一个括号中的λ1,λ3与第二个括号中的λ2,λ4的取值互不影响,∴只需讨论λ5与λ6的取值情况即可,当λ5与λ6同号时,不妨取λ5=1,λ6=1, 则(*)式即为√(λ1-λ3)2+(λ2-λ4+2)2,∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)时,(*)式取最小值0,当|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2-λ4=2(λ2=1,λ4=-1)时,(*)式取最大值2√5,当λ5与λ6异号时,不妨取λ5=1,λ6=-1,则(*)式即为√(λ1-λ3+2)2+(λ2-λ4)2. 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2√5, 综上,最小值为0,最大值为2√5.解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正方形,λi (i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1或-1),这就给建系及讨论λi 的值创造了条件,也是求解本题的突破口.7.(2013北京文,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D 由所有满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成,则D 的面积为 . 答案 3解析 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2). 设P(x,y),由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得{x -1=2λ+μ,y +1=λ+2μ,故有{λ=2x -y -33,μ=-x+2y+33.又λ∈[1,2],μ∈[0,1],故有 {1≤2x -y -33≤2,0≤2y -x+33≤1,即{3≤2x -y -3≤6,0≤2y -x +3≤3.则平面区域D 如图中阴影部分所示.易知其面积为3.评析 本题考查了平面向量的坐标运算、线性规划等知识;同时又考查了转化及数形结合思想,综合能力要求较高.。
平面向量的数量积及其物理意义几何意义
平面向量的数量积及其物理意义几何意义数量积，也称为内积、点积或标量积，是平面向量的一种重要运算。
在数学上，给定两个平面向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2、在本文中，我将讨论平面向量数量积的物理意义和几何意义。
物理意义：数量积在物理学中扮演着重要的角色，它有许多实际的物理意义和应用。
以下是其中一些常见的物理意义：1. 力和位移之间的关系：数量积可以用于计算两个力之间的关系。
当一个物体受到力F作用时，它在位移s方向上的分量可以表示为向量F和向量s之间的数量积。
根据数量积的定义，F·s = Fscosθ，其中θ是F和s之间的夹角。
因此，数量积可以帮助我们计算出物体在特定方向上受到的力的大小。
2.功的计算：在物理学中，功是通过应用力在物体上产生的能量变化。
当一个力F作用于物体上时，物体在位移s方向上的功可以表示为F·s。
这是因为功是力与位移的数量积，能够给出在应用力的方向上所做的工作的大小。
3. 速度和加速度之间的关系：当一个物体被施加一个恒定的力F时，它的加速度a可以表示为F和物体质量m之间的比值，即a = F/m。
然而，我们也可以从另一个角度理解这个关系。
我们知道，加速度a等于速度v的变化率。
因此，v = at。
将F = ma和v = at相结合，我们可以得到v = (F/m)t = (F·t)/m，其中t是时间。
这表明速度v可以用力F和时间t的数量积来计算。
几何意义：数量积不仅在物理学中有实际应用，而且在几何学中也有重要的几何意义。
以下是其中一些常见的几何意义：1. 夹角的计算：由数量积的定义可知，a·b = ，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角，a，和，b，分别是向量a和b的长度。
通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值，从而计算向量之间的夹角。
2.正交性：如果两个向量的数量积为零，即a·b=0，那么这两个向量是相互正交的。
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件004003-平面向量的数量积
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a· b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. 2 (2)模：|a|＝ a· a＝ x2 ＋ y 1 1. x1x2＋y1y2 a· b (3)夹角：cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1· x2＋y2 (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立) 2 2 2 2 ⇔|x1x2＋y1y2|≤ x1 ＋y1 · x2 ＋y2 .
3．平面向量数量积的运算律
(1)a· b＝b· a(交换律)． (2)λa· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(结合律)． (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律)．
1．对平面向量的数量积的认识
(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的 结果是向量．( ) (2)(2013· 湖北卷改编)已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)， 3 2 D(3,4)，则向量 A→ B 在 C→ D 方向上的投影为－ .( ) 2 (3)若 a· b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a· b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( )
平面向量数量积的运算
考 点
【例 1】 (1)(2014· 威海期末考试)已知 a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则 a· b＝( D )．A．2 B．3 C．4 D．5 π (2)(2013· 江西卷)设 e1，e2 为单位向量，且 e1，e2 的夹角为 ， 3 5 若 a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为________ ． 2
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第26讲 平面向量的数量积
第26讲
平面向量的数量积
• 点 面 讲 考 向
[归纳总结] (1)利用向量夹角公式时， 不一定非得算出 |a|，|b|和 a· b 的值，只要能得出它们的关系即可． (2)求角时，注意向量夹角的取值范围是[0，π ]．若题 目给出向量的坐标表示，可直接套用公式 cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2 2 2 2 2求解． x1＋y1 x2＋y2
[解析] (1)(a· b)· c是一个与c共线的向量，a· (b· c)是一个与 a共线的向量，因此它们不一定相等． (2) a· b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b. (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
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第26讲
平面向量的数量积
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探究点一
平面向量的数量积的概念
• 点 面 讲 考 向
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例1 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边 → ·BD → ＝________． 长为2，E为CD的中点，则AE (2)[2013· 湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2， → 在CD → 方向上的投影为________． －1)，D(3，4)，则向量AB
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平面向量的数量积
• 双 向 固 基 础
2．向量数量积的性质与运算 (1)(a· b)· c＝a· (b· c)．( ) (2) a· b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (3)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1y2－x2y1＝ 0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
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平面向量的数量积
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[思考流程] (1)分析：利用向量的数量积公式．推理： 依题意列方程得(m＋n)· (m－n)＝0.结论：解方程得λ的值． (2)分析：利用向量的数量积公式．推理：将已知等式 点 两边平方，再利用向量的夹角公式．结论：解方程得cos 面 讲 〈a，b〉的值．
平面向量的数量积及应用举例
(3)×.因为a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角;a·b<0, 则a与b的夹角为钝角或平角. (4)√.由向量的数量积,向量的加法、减法、数乘运算 的定义可知,两个向量的数量积结果为一实数,两个向量 的和或差结果为向量,向量的数乘运算结果为向量.
2.在△ABC中,若
uuur uuur BCgBA
uuur OA
|2,则点O为三角形的垂心.
4.|BuuCur|gOuuAur |AuuCur|gOuuBur |AuuBur|gOuuCur =0,则点O为三角形的内心.
【对点训练】
1.如图,AB是半圆O的直径,P是 A»B 上的点,M,N是直径AB
上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则
【典例】(1)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若
uuur BD
=
2
uuur DC
,
uuur AE
=λ
uuur AC
uuur AB
(λ∈R),且
AuuDur ·AuuEur
=-4,则λ的
值为________. 世纪金榜导学号
【解析】 Auu·Bur Au=uCur3×2×cos 60°=3,
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur
PAgPB PAgAM AMgPB|AM|2
uuur uuur uuur uur uuur
PAgAM AMgPB|AM|2
uuur uuur uuur
AMgAB|AM|2 1 6 1 5.
2.已知O为△ABC内一点,∠AOB=120°,OA=1,OB=2,过点
,所以(
uuur uur PA PC
第03讲 平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。
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2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料 第26讲 平面向量的数量积及应用
一．【课标要求】 1．平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系； ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2．向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 二．【命题走向】 本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主 预测2010年高考： （1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目 （2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质； 三．【要点精讲】 1．向量的数量积 （1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角；
说明：（1）当θ＝０时，a与b同向； （2）当θ＝π时，a与b反向； （3）当θ＝2时，a与b垂直，记a⊥b； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。
（2）数量积的概念 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的
C 数量积（或内积）。规定00a； 向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影； （3）数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 （4）向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系：22||aaaa。 ②乘法公式成立 2
222abababab；
2
222abaabb222aabb；
③平面向量数量积的运算律 交换律成立：abba； 对实数的结合律成立：abababR； 分配律成立：abcacbccab。 ④向量的夹角：cos=cos,ababab=222221212121yxyxyyxx。 当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 （5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量1122(,),(,)axybxy，则a·b=1212xxyy。
（6）垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b。 两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝O02121yyxx，平面向量数量积的性质。 （7）平面内两点间的距离公式
设),(yxa，则222||yxa或22||yxa。
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(||yyxxa
(平面内两点间的距离公式)
2．向量的应用 （1）向量在几何中的应用； （2）向量在物理中的应用。 四．【典例解析】 题型1：数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否： （1）00a；
（2）00a；
（3）若0,aabac，则bc； （4）若abac，则bc当且仅当0a时成立； （5）()()abcabc对任意,,abc向量都成立； （6）对任意向量a，有22aa。 解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。 点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚a0为
零向量，而a0为零 例2． 已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设△APQ的面
积为1S，△ABC的面积为2S，APpPB，AQqQC，则（ⅰ）pqpq （ⅱ）12
S
S的取值范围是 .
【解析】设ABa，ACb，1APa，2AQb，因为G是△ABC的重心，故 1()3AGab，又111()33PGAGAPab，21PQAQAPba，因
为PG与PQ共线，所以PQPG，即11211[()]()033ab，又a与b不共线，所以111()3及213，消去，得12123. （ⅰ）121111(1)(1)321pq，故1pqpq； （ⅱ）12111()313，那么12||||sin||||sinSAPAQBACSABACBAC 211221
1
113931()24
，当P与B重合时，11，当P位于AB中点时，
112，故11[,1]2，故12SS41[,].92但因为P与B不能重合，故12SS41[,).92
（2）设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直
④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：（1）答案：D；因为cbacbacos||||)(，而acbcbacos||||)(；
而c方向与a方向不一定同向 （2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知
|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（b·c）a－（c·a）b］·c=（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直.故③假；④（3a+2b）（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9|a|2－4|b|2成立。故④真。 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角
例3．（1）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若ADxAB，AEyAC，
0xy，则11xy的值为（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 解析：取△ABC为正三角形易得11xy＝3．选B．
评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．
（2）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么ba与ba的夹角的大小是 。 （3）已知两单位向量a与b的夹角为0120，若2,3cabdba，试求c与d的夹角。 （4）| a|=1，| b |=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 （ ） A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：（2）2；
（3）由题意，1ab，且a与b的夹角为0120， 所以，01cos1202abab， 2ccc(2)(2)abab
22447aabb，
7c，
同理可得13d。 而cd2217(2)(3)7322abbaabba， 设为c与d的夹角， 则1829117137217cos。 （4）C；设所求两向量的夹角为 cabca 2.()..0caabaaab
2||||||cosaab
即：2||||1cos2||||||aaabb
所以120.o 点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式||||cosbaba，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于.||||cosabab这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握 例4．（1）设平面向量1a、2a、3a的和0321aaa。如果向量1b、2b、3b，
满足||2||iiab，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则（ ） A．－1b+2b+3b=0 B．1b-2b+3b=0 C．1b+2b-3b=0 D．1b+2b+3b=0 （2）（2009广东卷理）已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,)2．
（1）求sin和cos的值；
（2）若10sin(),0102，求cos的值． 解 （1）∵a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin，代入1cossin22得55cos,552sin，又(0,)2，
∴55cos,552sin. （2）∵20，20，∴22， 则10103)(sin1)cos(2，
2、（山东临沂2009年模拟）如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=23,∠BAC=θ,记()fABBC。
（1） 求()f关于θ的表达式; （2） 求()f的值域。
解：（1）由正弦定理，得||1||22sinsinsin()33BCAB 2sin()sin23233||sin,||sin()22333sinsin33BCAB
41()||||cossinsin()3332fABBCABBC
231311(cossin)sinsin2cos2322666