第26讲平面向量的数量积及应用

第26讲平面向量的数量积及应用高三新数学第一轮复习教案〔讲座26〕一平面向量的数量积及应用一•课标要求：1•平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例，明白得平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面向量的垂直关系。

2.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何咨询题、力学咨询题与其他一些实际咨询题的过程，体会向量是一种处理几何咨询题、物理咨询题等的工具，进展运算能力和解决实际咨询题的能力。

二.命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的差不多概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。

重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合咨询题是”新热点〃题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等咨询题，以解答题为主。

推测07年高考：〔1〕一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度咨询题；属于中档题目。

〔2〕一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三•要点精讲1 .向量的数量积〔1〕两个非零向量的夹角非零向量a与a，作OA = a , OB = b，那么/ A O A= B〔0 we<n〕叫a与b的夹角；讲明：〔1〕当B=0时，a与b同向;〔2〕当9= n时，a与b反向;〔3〕当9= 一时，a与b垂直，记a丄b ；2〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范畴a ^0= O B ~ e =跻 —〔2〕数量积的概念对实数的结合律成立:当且仅当两个非零向量 a 与b 同方向时，B =o o ，当且仅当a 与b 反方向时B =180°, 同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一咨询题。

两个非零向量a 与b ，它们的夹角为 b i cos 叫做a 与 称为向量b 在a 方向上的投影。

投影的绝对值称为射影;〔3〕数量积的几何意义: b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。

〔4〕向量数量积的性质I①向量的模与平方的关系： aa 2向2。

②乘法公式成立I'2b 2 ；2 a 2 2b b 22a b③平面向量数量积的运算律 交换律成立：a b分配律成立：a b ④向量的夹角：cos = cos a,b d?b, ?bX 1X 2y i y 22222。

X i y i 、、X 2 y 2cBCC，那么=i a i •的数量积〔或内积〕。

规定 0;向量的投影：| b I cos €解析：〔1〕错；〔2〕对；〔3〕错；〔4〕错；〔5〕错；〔6〕对。

点评：通过该题我们清晰了向量的数乘与数量积之间的区不于联系, 零向量，而0 a 为零。

例2.〔 1〕〔2002上海春，13〕假设a 、b 、C 为任意向量，m € R ,〔5〕两个向量的数量积的坐标运算两个向量 (X i , y i ),b (X 2,y 2)，那么 a ・b =X !X 2 y 』2。

〔6〕垂直：假如a 与b 的夹角为90°那么称a 与b 垂直，记作 两个非零向量垂直的充要条件： a 丄b a ■ b = O X 1X 2 y°2 0，平面向量数量积的性质。

〔7〕平面内两点间的距离公式 设 a (X , y)，那么 |a|2 X 2 y 2或 |a | X 2 假如表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分不为 （x 「yj 、 （X 2, y 2），那么| a | （X 1 X 2）2 （y 1 y 2）2 （平面内两点间的距离公式）。

2 .向量的应用 〔1〕向量在几何中的应用； 〔2〕向量在物理中的应用。

四.典例解析 题型1 :数量积的概念例1.判定以下各命题正确与否: 〔1〕假设a 0,a b那么b C ；〔4〕假设a那么b当且仅当时成立;〔6〕 (a b)（b C ）对任意a,b,C 向量都成立;对任意向量a ，有重点清晰0 a 为那么以下等式不B . (a b) c a c beF —F—► —F —FD . (a b) c a (b c)4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不②|a |— |b |<|a — b | b • c 〕a —〔 c • a 〕b 不与c 垂直3a +2b 〕〔3a — 2b 〕=9|a |2 — 4|b |2 中，是真命题的有〔 〕A.①②B.②③C.③④D.②④解析：〔1〕答案：D ；因为(a b) c | a | | b| cos c,而 a (b c) | b | |c | cos a ； 而c 方向与a 方向不一定同向。

〔2〕答案：D ①平面向量的数量积不满足结合律。

故①假；②由向量的减法运算可 知|a |、|b |、|a — b I 恰为一个三角形的三条边长，由”两边之差小于第三边"，故②真； ③ 因为［〔b • c 〕a —〔 c • a 〕b : • c =〔 b • c 〕a • c —〔 c • a 〕b • c =0，因 此垂直•故③假；3 a +2b 〕〔3a — 2b 〕=9 • a • a — 4b • b =9| a |2 — 4|b |2成立。

故 ④ 真。

点评：此题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。

题型2 :向量的夹角例3.〔 1〕〔06全国1文，1〕向量a 、b 满足| a| 1、|b| 4，且a b 2，那么a 与b 的夹角为〔〕A . 一B . —C . 一D . 一6432—si—n—«—fc-〔2〕〔 06北京文，12 丨向量 a=(cos ,sin ), b =(cos,sin ),且 ab ，那么a b 与a b 的夹角的大小是 _____________________________—定成立的是〔A . (a b) c a (b c)f*C . m 〔 a b 〕=m a +m b〔2〕(2000江西、山西、天津理， 共线，那么◎〔 a • b 〕c —〔 c • a 〕b = 0〔3〕两单位向量a与b的夹角为1200，假设c 2a b,d 夹角。

〔4〕〔2005 北京3〕| a|=1, | b |=2, c= a +，试求c与d的b，且c丄a，那么向量a与b的夹角为A . B. 60°C.〕120D. 150°解析：〔1〕C;〔2〕一;〔3〕由题意, 且a与b的夹角为1200,因此，a b £b cos1200(2d b) b) 4 b27 ,同理可得而c d(2a b)(3b 7a b 3b22a2设为C与d的夹角,17那么cos —L j—2^7(13 17、91 182。

〔4〕C;设所求两向量的夹角为c.a (a b). a|a|2| a ||b | cos 即：cos|a|2|a|因此120o.点评：解决向量的夹角咨询题时要借助于公式|a||b| |b|cos ，要把握向量坐标形式的|a| |b|运算。

向量的模的求法和向量间的乘法运算可见一斑。

关于a.b |a||b|cos 那个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直〔平行〕的充要条件必需把握。

例4.〔1〕〔06全国1理，9〕设平面向量a1、a2、a3的和◎a2 a30。

假如向量b；、b2、b3，满足|b i | 2| ai |，且aj顺时针旋转30o后与b i同向，其中i 1,2,3 , 那么〔〕------ F S- 1- —F k 1- k —FA. - b1+b2+b3=0 B . a-b2+b3=0C. b| +b2- b3= 0 D . b +b2+b3=0〔2〕〔06湖南理，5〕心| 2|b| 0,且关于x的方程x2 |a|x a b 0有实根，那么a与b的夹角的取值范畴是〔2A. [0,—] B . [一，] C . [―, ] D6 3 3 3解析：〔1〕D;〔2〕B;点评：关于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际咨询题。

题型3 :向量的模例5.〔 1〕〔 06福建文，9〕向量a 与b 的夹角为120o , Jra等于〔〕 A . 5B . 4C. 3 I..〔2〕〔 06浙江文，5〕设向量a,b,c 满足aD. 12，那么|112〔〕 A . 1B . 2解析：〔1〕B ;〔2〕D ;C . 4D . 5点评：把握向量数量积的逆运算a b2 —b-a|—*-,以及a |a|。

| b | cosQa =〔 3, 4〕,b =〔 4, 3〕，求 x,y 的值使（x a +y b ）丄 a ，且丨 x a +y b I =1。

解析：由 a =〔 3, 4〕，b =〔 4, 3〕，有 x a +y b =(3x+4y,4x+3y); 又〔x a +y b 丨丄 a (x a +y b ) • a =03(3x+4y)+4(4 x+3y)=0 ;即 25x+24y =0①；cd-■-a2又 I x a +y b I =1 I x a +y b I =1;22〔3 x+4y 〕 +〔4 x+3y 〕=1;整理得 25x + 48xy+25y =1即卩 x(25x+24y)+24xy+25y =1 ②;由①②有24xy+25y =1③；将①变形代入③可得:y=± 5 ；72424x —x —再代回①得：35和3555 y — y —7 7点评：那个地点两个条件互相制约，注意表达方程组思想。

题型4:向量垂直、平行的判定点评：此例展现了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的差不多运算。

题型5 :平面向量在代数中的应用例 9. a 2 b 2 1, c 2 d 2 1,求证：|ac bd | 1。

分析：a 2 b 21, c 2 d 21,能够看作向量 x (a , b),y (c , d)的模的平方，而ac bd 那么是x 、y 的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。

证明：设 x (a , b),y (c , d)例7. (2005广东12)向量 a (2,3)，b (x,6)，且 a//b ，那么x解析：••• a//b ,••• x i y 2X 2 y i , • 2 6 3x , • x值。

〔1〕解析: 4,3 , b；〔2〕m//1,2 , b,按以下条件求实数 的,3 2 7,8〔1〕//n452 ； 9 ； 1 2 ；.72 825 2 4 88 0那么 x y ac bd,|x|a 2b 2,|y| .c 2d 2。

|x y| |x| |y|,| ac bd | ■, a 2 b 2、c 2 d 21点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了许多含不等式结构的式子，如|a b| |a| |b|, |a b| |a| |b|； a b |a b| |a||b|等。