2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测：第九章 平面解析几何 9-9-1 Word版含答案

1 A组 专项基础训练 (时间：40分钟)

1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是( ) A．至多为1 B．2 C．1 D．0

由题意知：4m2＋n2>2，即m2＋n2<2，

∴点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部， 故所求交点个数是2. 【答案】 B

2．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是( ) A．1 B．2 C．1或2 D．0

因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点． 【答案】 A 3．已知椭圆C的方程为x216＋y2m2＝1(m＞0)，如果直线y＝22x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( ) A．2 B．22 C．8 D．23

根据已知条件得c＝16－m2，则点(16－m2，2216－m2)在椭圆x216＋y2m2＝1(m＞0)上， ∴16－m216＋16－m22m2＝1，可得m＝22. 【答案】 B 4．(2017·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( ) A．2 B.455 2

C.4105 D.8105 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线l的方程为y＝x＋t，

由x2＋4y2＝4，y＝x＋t消去y， 得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4（t2－1）5. ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2

＝2·－85t2－4×4（t2－1）5 ＝425·5－t2， 当t＝0时，|AB|max＝4105. 【答案】 C 5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( ) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)， 准线方程为x＝－1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2. 设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x， 则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0， ∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2. ∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4. ∴A，B到直线x＝－2的距离之和x1＋x2＋2＋2≥6>5. ∴满足题意的直线不存在． 【答案】 D

6．(2017·大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________． 3

由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)． 由方程组y＝2（x－1），x25＋y24＝1消去y，整理得3x2－5x＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝53，x1x2＝0. 则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]

＝ （1＋22）532－4×0＝553. 【答案】 553 7．(2017·安顺月考)在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________． 设直线MN的方程为y＝－x＋b， 代入y＝x2中， 整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b＞0，

∴b＞－14. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1， y1＋y22＝－x1＋x2

2＋b＝12＋b，

由－12，12＋b在直线y＝x＋3上， 即12＋b＝－12＋3，解得b＝2， 联立得y＝－x＋2，y＝x2， 解得x1＝－2，y1＝4，x2＝1，y2＝1. 【答案】 (－2，4)，(1，1) 8．(2017·江苏盐城模拟)设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦

点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为________． 4

由题意可得，抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴c＝2.∵椭圆的离心率为12，∴a＝4，∴b＝a2－c2＝23，即n＝23，∴椭圆的短轴长为43. 【答案】 43

9．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求E的离心率； (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a， l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1，消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2（c2－b2）a2＋b2. 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]，即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22. (2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－2c3，y0＝x0＋c＝c3.

由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1， 得c＝3，从而a＝32，b＝3. 故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.

10．(2017·山西山大附中模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．

(1)求椭圆方程； (2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点5

P，证明：OM→·OP→为定值．

(1)由题意知a＝2，b＝c， ∵a2＝b2＋c2， ∴b2＝2.

∴椭圆方程为x24＋y22＝1. (2)证明 由题意知C(－2，0)，D(2，0)， 设M(2，y0)，P(x1，y1)，

则OP→＝(x1，y1)，OM→＝(2，y0)． 直线CM：x－24＝y－y0y0，

即y＝y04x＋12y0. 代入椭圆x2＋2y2＝4， 得1＋y208x2＋12y20x＋12y20－4＝0.

∵x1·(－2)＝4（y20－8）y20＋8， ∴x1＝－2（y20－8）y20＋8， ∴y1＝8y0y20＋8. ∴OP→＝－2（y20－8）y20＋8，8y0y20＋8. ∴OP→·OM→＝－4（y20－8）y20＋8＋8y20y20＋8＝4y20＋32y20＋8＝4(定值)． B组 专项能力提升 (时间：25分钟) 11．(2017·大连双基测试)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C

两点，l与抛物线准线交于点A，且|AF|＝6，AF→＝2FB→，则|BC|等于( ) A.92 B．6

C.132 D．8 不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0＜θ＜π2，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则点B在x6

轴的上方，过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，|AF||AB|＝p|BB1|，由此得p＝2，抛物线方程是y2＝4x，焦点F(1，0)，cos θ＝p|AF|＝p6＝26＝13，sin θ＝1－cos2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22，直线l：y＝22(x－1)．由

y＝22（x

－1），

y2＝4x

消去y，得2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝52，|BC|＝x1＋x2＋p＝52＋2＝92，选A. 【答案】 A 12．(2017·绵阳中学月考)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)经过圆F：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心，则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为________． 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝32，圆心为F(1，－2)．代入抛物线方程可得p＝2，所以其准线方程为x＝－1.圆心到直线x＝－1的距离d＝2，所以抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为232－22＝25. 【答案】 25

13．(2017·西安中学模拟)如图，过抛物线y＝14x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2

＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则AB→·DC→＝________．

不妨设直线AB的方程为y＝1，联立y＝1，y＝14x2，解得x＝±2，则A(－2，1)，D(2，1)，因为B(－1，1)，C(1，1)，所以AB→＝(1，0)，DC→＝(－1，0)，所以AB→·DC→＝－1. 【答案】 －1 14．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________． 直线AF的方程为y＝－3(x－2)，

联立y＝－3x＋23，x＝－2， 得y＝43，所以P(6，43)． 由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8. 【答案】 8