八年级数学下册 3.4《正方形》同步练习湘教版

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湘教版八年级数学下册正方形同步优生辅导测评(Word版含答案) (1)

湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步优生辅导测评（附答案）一．选择题（共8小题,满分40分）1．在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（﹣3,0）,则点C到y轴的距离是（）A．6B．5C．4D．32．如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°3．下列命题中,真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4．如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH．若BE：EC＝2：1,则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．65．如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°6．如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5,则四边形EFGH 的面积是（）A．30B．34C．36D．407．正方形ABCD中,点P,Q分别是边AB,AD上的点,连接PQ、PC、QC,下列说法：①若∠PCQ＝45°,则PB+QD＝PQ；②若AP＝AQ＝,∠PCQ＝36°,则；③若△PQC 是正三角形,若PB＝1,则AP＝．其中正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个8．我们知道：四边形具有不稳定性．如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D′处,则点C的对应点C′的坐标为（）A．（,1）B．（2,1）C．（1,）D．（2,）二．填空题（共6小题,满分30分）9．如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是．10．如图,在四边形ABCD中,∠ADC＝∠ABC＝90°,AD＝CD,DP⊥AB于P．若四边形ABCD 的面积是18,则DP的长是．11．如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC＝1,CE＝3,H是AF的中点,那么CH的长是．12．如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE＝DF＝2,BE与AF 相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为．13．如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°,则∠AED等于度．14．如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为（2,3）,则点F的坐标为．三．解答题（共6小题,满分50分）15．如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,连接AM,点E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1,若点E为线段AM的中点,BM：CM＝1：2,BE＝,求AB的长；（2）如图2,若DA＝DE,求证：BF+DF＝AF．16．如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）若点G在AD上,且∠GCE＝45°,则GE＝BE+GD成立吗？为什么？17．如图,正方形ABCD中,AB＝4,点E是对角线AC上的一点,连接DE．过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点,连接DF交AC于点M,请直接写出ME的长．18．已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P的运动而运动,PE＝PD总成立．（1）如图（1）,当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2）,当点P运动到CA的延长线上时,（1）中猜想的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由；（3）如图（3）,当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图（3）画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）19．已知：如图四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝CD,E是对角线BD上一点,且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC,且∠CBE：∠BCE＝2：3,求证：四边形ABCD是正方形．20．如图1,正方形ABCD中,E为BC上一点,过B作BG⊥AE于G,延长BG至点F使∠CFB ＝45°（1）求证：AG＝FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M,连接DF、BM,若C为FM中点,BM＝10,求FD的长．参考答案一．选择题（共8小题,满分40分）1．解：过点C作CE⊥x轴于点E,如图,则点C到y轴的距离为OE．∵点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（﹣3,0）,∴OA＝2,OB＝3．∵CE⊥x轴,∴∠CEB＝90°．∴∠ECB+∠EBC＝90°．∵四边形ABCD是正方形,∴BC＝AB,∠CBA＝90°．∴∠EBC+∠ABO＝90°．∴∠ECB＝∠ABO．在△CBE和△BAO中,,∴△CBE≌△BAO（AAS）．∴EB＝OA＝2．∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．∴点C到y轴的距离是5．故选：B．2．解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,又∵△ADE是等边三角形,∴AE＝AD＝DE,∠DAE＝60°,∴AB＝AE,∴∠ABE＝∠AEB,∠BAE＝90°+60°＝150°,∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°,又∵∠BAC＝45°,∴∠BFC＝45°+15°＝60°．故选：C．3．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选：C．4．解：设CH＝x,则DH＝EH＝9﹣x,∵BE：EC＝2：1,BC＝9,∴CE＝BC＝3,∴在Rt△ECH中,EH2＝EC2+CH2,即（9﹣x）2＝32+x2,解得：x＝4,即CH＝4．故选：B．5．解：如图,连接BD,∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°,BC＝EC,∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°,∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°,∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线,M在AC上,∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．6．解：∵四边形ABCD是正方形,∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,AB＝BC＝CD＝DA,∵AE＝BF＝CG＝DH,∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中,,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）,∴EH＝FE＝GF＝GH,∠AEH＝∠BFE,∴四边形EFGH是菱形,∵∠BEF+∠BFE＝90°,∴∠BEF+∠AEH＝90°,∴∠HEF＝90°,∴四边形EFGH是正方形,∵AB＝BC＝CD＝DA＝8,AE＝BF＝CG＝DH＝5,∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝,∴四边形EFGH的面积是：×＝34,故选：B．7．（1）证明：延长AB至点E,使BE＝DQ,连接EC,AC,∵正方形ABCD,∴∠BCA＝∠DCA＝45°,CD＝DA＝AB＝BC,∠D＝∠EBC＝90°,∴在△BEC和△DQC中,,∴△BEC≌△DQC（SAS）,∴CE＝CQ,∠BCE＝∠DCQ,∵∠PCQ＝45°,∴∠DCQ+∠PCB＝45°,∴∠BCE+∠PCB＝45°,即∠ECP＝45°,∵在△PCE和△PCQ中,,∴△PCE≌△PCQ（SAS）,∴PE＝PQ,∵PE＝PB+BE＝PB+QD,∴PQ＝PB+QD,（2）过点Q作∠PQC的角平分线,交PC于点E,∵正方形ABCD,∴∠A＝∠D＝∠B＝90°,AD＝AB＝BC＝CD,∵∠PCQ＝36°,AP＝AQ＝,∴PQ＝2,PB＝QD,∴PE＝PC﹣2,∵在△PBC和△QDC中,,∴△PBC≌△QDC（SAS）,∴QC＝PC,∴∠CPQ＝∠CQP＝72°,∴∠PQE＝∠EQC＝36°,∴QE＝QP＝EC＝2,∵△QPE∽△CQP,∴PQ：QC＝PE：PQ,即PQ2＝PE•PC,∵PQ＝2,∴PE•PC＝4,∵PE＝PC﹣2,∴PC2﹣2PC﹣4＝0,解得：PC1＝1﹣＜0（舍去）,PC2＝1+,∴PC＝+1,（3）取PC的中点E,连接BE,做BM⊥PC于点M,∵正方形ABCD,∴BC＝CD＝AB＝AD,∠D＝∠B＝∠A＝∠BCD＝90°,∵△PCQ为正三角形,∴QC＝PQ＝PC,∠QCP＝60°,∵在Rt△PBC和Rt△QDC中,,∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL）,∴∠BCP＝∠DCQ＝,PB＝QD,∵E为PC的中点,∴BE＝EC＝PE＝,∴∠BEM＝30°,∴2BM＝BE,∴4BM＝PC,∵PC＝AP,∴4BM＝AP,∵BM⊥PC,∠BCP＝15°,∴∠PBM＝15°,∵PB＝1,∴BC＝AB＝AP+1,∴AP＝+1,∴其中说法正确的共3个,故选：A．8．解：∵AD′＝AD＝2,AO＝AB＝1,∴OD′＝＝,∵C′D′＝2,C′D′∥AB,∴C′（2,）,故选：D．二．填空题（共6小题,满分30分）9．解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠BAD＝90°．∵等边三角形ADE,∴AD＝AE,∠DAE＝∠AED＝60°．∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°,AB＝AE,∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°,∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°．10．解：如图,过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,∵∠ADC＝∠ABC＝90°,∴四边形DPBE是矩形,∵∠CDE+∠CDP＝90°,∠ADC＝90°,∴∠ADP+∠CDP＝90°,∴∠ADP＝∠CDE,∵DP⊥AB,∴∠APD＝90°,∴∠APD＝∠E＝90°,在△ADP和△CDE中,,∴△ADP≌△CDE（AAS）,∴DE＝DP,四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18,∴矩形DPBE是正方形,∴DP＝＝3．故答案为：3．11．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC＝1,CE＝3,∴AB＝BC＝1,CE＝EF＝3,∠E＝90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM＝BC+CE＝1+3＝4,FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2,∠AMF＝90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD＝∠GCF＝45°,∴∠ACF＝90°,∵H为AF的中点,∴CH＝AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得：AF＝＝＝2,∴CH＝,故答案为：．12．解：∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAE＝∠D＝90°,AB＝AD,在△ABE和△DAF中,∵,∴△ABE≌△DAF（SAS）,∴∠ABE＝∠DAF,∵∠ABE+∠BEA＝90°,∴∠DAF+∠BEA＝90°,∴∠AGE＝∠BGF＝90°,∵点H为BF的中点,∴GH＝BF,∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3,∴BF＝＝,∴GH＝BF＝,故答案为：．13．解：∵正方形ABCD,∴AB＝AD,∠BAE＝∠DAE,在△ABE与△ADE中,,∴△ABE≌△ADE（SAS）,∴∠AEB＝∠AED,∠ABE＝∠ADE,∵∠CBF＝20°,∴∠ABE＝70°,∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°,故答案为：6514．解：如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H．过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形,∴OG＝EO,∠GOM＝∠OEH,∠OGM＝∠EOH,在△OGM与△EOH中,∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝2,OM＝EH＝3,∴G（﹣3,2）．∴O′（﹣,）．∵点F与点O关于点O′对称,∴点F的坐标为（﹣1,5）．故答案是：（﹣1,5）．三．解答题（共6小题,满分30分）15．解：（1）设BM＝x,则CM＝2x,BC＝3x,∵BA＝BC,∴BA＝3x．在Rt△ABM中,E为斜边AM中点,∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2,即40＝x2+9x2,解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点,过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE,∴∠1＝∠2．∵DE＝DA,DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°,∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°,∠HAD+∠DAF＝90°,∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD,∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH,BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形,∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF,∴BF+DF＝AF．16．（1）证明：在正方形ABCD中,∵,∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE＝CF．（2）解：GE＝BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF,∴∠BCE＝∠DCF,∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD,即∠ECF＝∠BCD＝90°,又∵∠GCE＝45°,∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵,∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE＝GF．∴GE＝DF+GD＝BE+GD．17．解：（1）如图,作EM⊥AD于M,EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形,∴∠EAD＝∠EAB,∵EM⊥AD于M,EN⊥AB于N,∴EM＝EN,∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°,∴四边形ANEM是矩形,∵EF⊥DE,∴∠MEN＝∠DEF＝90°,∴∠DEM＝∠FEN,∵∠EMD＝∠ENF＝90°,∴△EMD≌△ENF,∴ED＝EF,∵四边形DEFG是矩形,∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,∴DG＝DE,DC＝DA＝AB＝4,∠GDE＝∠ADC＝90°,∴∠ADG＝∠CDE,∴△ADG≌△CDE（SAS）,∴AG＝CE,∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图,作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD＝4,AB∥CD,∵F是AB中点,∴AF＝FB∴DF＝＝2,∵△DEF是等腰直角三角形,EH⊥AD,∴DH＝HF,∴EH＝DF＝,∵AF∥CD,∴AF：CD＝FM：MD＝1：2,∴FM＝,∴HM＝HF﹣FM＝,在Rt△EHM中,EM＝＝．18．（1）解：①PE＝PB,②PE⊥PB．（2）解：（1）中的结论成立．①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,∴CD＝CB,∠ACD＝∠ACB,又PC＝PC,∴△PDC≌△PBC,∴PD＝PB,∵PE＝PD,∴PE＝PB,②：由①,得△PDC≌△PBC,∴∠PDC＝∠PBC．（7分）又∵PE＝PD,∴∠PDE＝∠PED．∴∠PDE+∠PDC＝∠PEC+∠PBC＝180°,∴∠EPB＝360°﹣（∠PEC+∠PBC+∠DCB）＝90°,∴PE⊥PB．（3）解：如图所示：结论：①PE＝PB,②PE⊥PB．19．证明：（1）在△ADE与△CDE中,,∴△ADE≌△CDE,∴∠ADE＝∠CDE,∵AD∥BC,∴∠ADE＝∠CBD,∴∠CDE＝∠CBD,∴BC＝CD,∵AD＝CD,∴BC＝AD,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AD＝CD,∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE＝BC∴∠BCE＝∠BEC,∵∠CBE：∠BCE＝2：3,∴∠CBE＝180×＝45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABE＝45°,∴∠ABC＝90°,∴四边形ABCD是正方形．20．（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点,∵∠CFB＝45°∴CH＝HF,∵∠ABG+∠BAG＝90°,∠FBE+∠ABG＝90°∴∠BAG＝∠FBE,∵AG⊥BF,CH⊥BF,∴∠AGB＝∠BHC＝90°,在△AGB和△BHC中,∵∠AGB＝∠BHC,∠BAG＝∠HBC,AB＝BC,∴△AGB≌△BHC,∴AG＝BH,BG＝CH,∵BH＝BG+GH,∴BH＝HF+GH＝FG,∴AG＝FG；（2）方法1、解：∵CH⊥GF,∴CH∥GM,∵C为FM的中点,∴CH＝GM,∴BG＝GM,∵BM＝10,∴BG＝2,GM＝4,∴AG＝4,AB＝10,∴HF＝2,∴CF＝2×＝2,∴CM＝2,过B点作BK⊥CM于K,∵CK＝CM＝CF＝,∴BK＝3,过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q,∴△BKC≌△CQD∴CQ＝BK＝3,DQ＝CK＝,∴QF＝3﹣2＝,∴DF＝＝2．方法2,如图3,∵CH⊥GF,∴CH∥GM,∵C为FM的中点,∴CH＝GM,∴BG＝GM,根据勾股定理得,BG2+（2BG）2＝100,∴BG＝2连接CG,∴CG⊥FM,∴CG＝CM＝CF,∵∠BCD＝90°,∴∠BCG＝∠DCF,∵BC＝CD,∴△BCG≌△DCF,∴DF＝BG＝2．。

《3.4 一元一次方程模型的应用》同步练习2020-2021学年数学湘教版七年级上册

《3.4 一元一次方程模型的应用》同步练习2020-2021年数学湘教版七（上）一．选择题（共6小题）1．我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（）尺．A．B．C．D．2．《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100的同时，不善于走路的人只能走60步．现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？根据题意，可以求得答案为（）A．250步B．200步C．160步D．320步3．为大力发展现代农业，山西省连续多年整合各项相关资金设立了农田建设补助专项资金，用于支持高标准农田建设．2020年省级财政在许多支出大幅压减的情况下，仍下达农田建设补助资金约14.5亿元，与2019年相比增长率约为16%，则2020年比2019年农田建设补助资金增加了（）A．2亿元B．2.5亿元C．3亿元D．3.5亿元4．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（）人．A．38B．40C．42D．455．甲、乙、丙三人按如下步骤摆放硬币：第一步：每个人都发若干枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；第二步：甲拿出2枚硬币给丙；第三步：乙拿出1枚硬币给丙；第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲．此时，若甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则此时（）A．乙有4枚硬币B．乙有5枚硬币C．乙有6枚硬币D．乙的硬币无法确定6．“津南”幼儿园的小朋友正在玩搭积木的游戏，小南的城堡已经有26cm高，小开拿了一些A正方体木块和B正方体木块过来帮忙，已知A正方体木块高2cm，B正方体木块高bcm，且A、B两种正方体木块数量相同，小开将所有的木块一块接一块的依次叠加上去，现在量得小南的城堡有40cm高，则所有满足要求的整数b的值的和为（）A．12B．15C．16D．17二．解答题（共17小题）7．新冠病毒爆发期间，武汉某医院住院部有27个重症病房和若干个普通病房，其中一个重症病房需要1名医生，1名护士，5个普通病房需要1名医生，2名护士，某省第三批援鄂医疗队126名医护人员刚好接管该医院住院部所有病房．（1）该批援鄂医疗队中医生、护士各有多少人？（2）该医院住院部普通病房有多少个？8．小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．9．阅读理解题阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521．（1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”；（2）若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”．10．现有一块质量为10kg的甲、乙两种金属的合金．用甲种金属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3份，乙种金属占2份．如果再用相同数量的甲种金属与新合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金属占3份．求每次所用的甲种金属的质量．11．某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲，乙两个垃圾处理厂处理．已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，每吨需费用10元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，每吨需费用11元．（1）甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需多少时间完成？（2）如果该城市每天用于处理垃圾的费用为7300元，那么甲厂每天处理垃圾多少吨？12．中国宝武马鞍山钢铁集团第二炼铁厂接到一批原料加工任务425吨，现打算调用甲、乙两条生产线完成．已知甲生产线平均每天比乙生产线多加工5吨．若甲生产线独立加工20天后，乙生产线加入，两条生产线又联合加工5天，刚好全部加工完毕．甲生产线加工一吨需用电40度，乙生产线加工一吨需用电25度．求完成这批加工任务需用电多少度？13．今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩，本周该学校给（1）班全体学生配备了一定数量的口罩，若每个学生发3个口罩，则多30个口罩，若给每个学生发5个口罩，则少50个口罩，请问该班有多少名学生？14．列方程解应用题：某工厂有中、乙两车间各生产不同型号的产品，原计划乙车间人数比甲车间少100人，产品上市后，甲车间的产品成为爆款，于是又从乙车间调50人支援甲车间，这时甲车间的人数是乙车间剩余人数的3倍，求原来甲乙车间各有多少人？15．在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．（1）七年级2班有男生、女生各多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．16．某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在18天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？17．我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示：分档水量年用水量水价（元/吨）第1级180吨以下（含180吨）5第2级180﹣260吨（含260吨）7第3级260吨以上9例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：180×5+80×7+（270﹣260）×9＝1550（元）．（1）如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？（2）如果小明家2020年的用水量为a吨（a＞260），求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）（3）如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？18．“水是生命之源”，某自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：月用水量/吨单价（元/吨）不超过20吨的部分2超过20吨的部分 2.5另：每吨水加收0.3元的城市污水处理费（1）若某用户11月份共用水25吨，他应缴水费多少元？（2）若该用户的水表有故障，每次用水只有60%计入用水量，在这样的情况下12月份共缴水费41.4元，则该用户12月份实际用水多少吨？19．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决问题．20．某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？21．现有面值为5元和2元的人民币共32张，币值共计100元，问：这两种人民币各有多少张？22．六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？23．用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥90千克，就少3000千克，若每亩施肥75千克，就余4500千克，那么共有多少亩麦田？参考答案一．选择题（共6小题）1．解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：x＝，即该女子第一天织布尺．故选：C．2．解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得（100﹣60）t═100，40t═100，t＝2.5，则100t＝100×2.5═250（步）．答：善于走路的人追他，需要走250步才能追上他．故选：A．3．解：设2019年的补助资金为x亿元，则可列方程：（1+16%）x＝14.5，解得：x＝12.5，∴14.5﹣12.5＝2（亿元），故选：A．4．解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：（1）得分不足7分的平均得分为3分，xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），xy﹣3x＝13①，（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），4.5x﹣xy＝21.5②，①+②得1.5x＝34.5，解得x＝23，故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．故选：A．5．解：设每个人都发x枚硬币，由题意知，第一步中，甲有x枚硬币、乙有x枚硬币，丙有x枚硬币，第二、三步后，甲有（x﹣2）枚硬币，乙有（x﹣1）枚硬币，丙有（x+3）枚硬币，第四步后，甲有2（x﹣2）枚硬币，丙的硬币有x+3﹣（x﹣2）＝5（枚），依题意有2（x﹣2）＝5×2，解得x＝7，此时乙有x﹣1＝7﹣1＝6．故选：C．6．解：设A、B两种正方体木块分别为x块，依题意有2x+bx+26＝40，解得x＝，∵x，b为正整数，∴2+b＝1，2，7，14，∴b＝﹣1，0，5，12，∵b＝5，12，则所有满足要求的整数b的值的和为5+12＝17．故选：D．二．解答题（共17小题）7．解：（1）设该批援鄂医疗队中医生有x人，则护士有（126﹣x）人，根据题意得：2（x﹣27＝126﹣x﹣27），解得x＝51，则126﹣x＝75．答：该批援鄂医疗队中医生有51人，护士有75人；（2）∵负责普通病房的医生有51﹣27＝24人，而5个普通病房需要1名医生，∴普通病房有24×5＝120（个），答：该医院住院部普通病房有120个．8．解：（1）250﹣75÷15×10＝250﹣50＝200（毫升）．故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，依题意有（t﹣20）＝160，解得t＝60．故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．9．解：（1）设这个“倍尾数”的个位数为x，则十位数字为2x，百位数字为2x+1，由题意可得，（2x+1）+2x+x＝16，解得x＝3，∴2x＝6，2x+1＝7，即这个“倍尾数”是763，答：这个“倍尾数”是763；（2）设这个“倍尾数”的个位数为a，百位数字为b，由题意可得，b+2a+a＝17，化简，得3a+b＝17，∵a、2a、b均为不大于9的非负整数，∴或，即满足条件的“倍尾数”是863、584，答：所有符合要求的“倍尾数”是863、584．10．解：设每次所用的甲种金属有xkg，依题意得：.，解得：x＝5，答：每次所用的甲种金属有5kg．11．解：（1）设每天需要m小时完成，根据题意得：（55+45）m＝700，解得：m＝7，则甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需7小时完成；（2）设甲厂每天处理x吨垃圾，乙厂处理（700﹣x）吨，根据题意得：10x+11（700﹣x）＝7300，解得：x＝400．则甲厂每天处理垃圾400吨．12．解：设甲生产线每天生产x吨，则乙生产线每天生产（x﹣5）吨，由题意得20x+5（x+x﹣5）＝425，解得x＝15，所以x﹣5＝10，甲生产线每天生产15吨，乙生产线每天生产10吨，需用电：（20+5）×15×40+5×10×25＝16250（度），答：完成这批加工任务需用电16250度．13．解：设该班有x名学生，3x+30＝5x﹣50，解得：x＝40，答：该班有40名学生．14．解：设乙车间x人，则甲车间（x+100）人，由题意得，x+100+50＝3（x﹣50），解得x＝150．故甲车间：150+100＝250（人），答：乙车间150人，甲车间250人．15．解：（1）设七年级2班男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得：x+x+2＝50，解得：x＝24，女生：24+2＝26（人），答：七年级2班男生有24人，则女生有26人；（2）设男生应向女生支援y人，由题意得：120（24﹣y）＝（26+y）×40×2，解得：y＝4，答：男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．16．解：设甲种零件生产x天，由题意得：2×120x＝3×100（18﹣x），解得：x＝10，答：甲种零件生产10天，乙种零件生产8天．17．解：（1）根据题意得：180×5+（200﹣180）×7＝1040（元），∴小丽家全年需缴水费1040元；（2）根据题意得：180×5+80×7+（a﹣260）×9＝9a﹣880（元），答：小明家全年应缴水费（9a﹣880）元；（3）∵用水量为260吨，需缴水费：180×5+80×7＝1460（元），∴全年缴水费2000元，用水量大于260吨，设该年的用水量为x吨，根据题意可得：9x﹣880＝2000，解得：x＝320，∴该年的用水量为320吨．18．解：（1）20×2+（25﹣20）×2.5+0.3×25＝60（元），答：他应缴水费60元．（2）∵20×2+0.3×20＝46＞41.4，故水表有故障时，计入用水量不超过20吨，设该用户12月份实际用水x吨，由题意，得2×60%x+0.3×60%x＝41.4，解得x＝30，答：该用户12月份实际用水30吨．19．解：设木头长x尺，则绳子长（x+4）尺，根据题意得：x﹣（x+4）＝1，解得x＝6．答：木头长6尺．20．解：设安排x名工人制作甲配件，安排（7﹣x）名工人制作乙配件，900x＝1200（7﹣x），解得：x＝4，7﹣4＝3（名），答：安排4名工人制作甲配件，安排3名工人制作乙配件，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等．21．解：设面值为5元得人民币由x张，面值为2元得人民币由（32﹣x）张，根据题意得：5x+2（32﹣x）＝100，解得：x＝12（张），∴32﹣x＝20（张）．答：面值为5元得人民币由12张，面值为2元得人民币由20张．22．解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133﹣x），由题意得：（192﹣x）：[133﹣（133﹣x）]＝2：1，即（192﹣x）：x＝2：1，解得：x＝64，∴133﹣64＝69（人）．答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人．23．解：设共有x亩麦田，90x﹣3000＝75x+4500，解得x＝500．故共有500亩麦田．。

湘教版八年级数学下册练习《正方形》课时作业

《正方形》课时作业：一、选择题1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是( )A．平行四边形；B．矩形；C．菱形；D．正方形2．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于( ) A．30°B．45°C．60°D．75°3．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( )A．1条；B．2条；C．3条；D．4条4．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )A．1 B．2 C．3 D．3 25．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．∠D＝90°；B．AB＝CD；C．AD＝BC ；D．BC＝CD二、填空题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是________．2．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是。

3．已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD的周长为________4．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是________．三、解答题1、如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE＝BF.2、如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP，DP，延长BC到E，使PB＝PE.求证：∠PDC＝∠PEC.3、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：BE＝CE；(2)求∠BEC的度数．参考答案：一、1、D ；2、B ；3、D ；4、C ；5、D ；二、1、正方形；2、8；3、4；4、22.5°；三、1、.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝90°. ∵AE ⊥BF ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°.又∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF.∴△ABE ≌△BCF(ASA)．∴AE ＝BF.2、证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCP ＝∠DCP.在△BCP 和△DCP 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCP ＝∠DCP PC ＝PC ，，∴△BCP ≌△DCP(SAS)．∴∠PDC ＝∠PBC.∵PB ＝PE ，∴∠PBC ＝∠PEC.∴∠PDC ＝∠PEC.3、(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵三角形ADE 为正三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°.∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°.在△BAE 和△CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS)．∴BE ＝CE.（2）∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE.∴∠ABE ＝∠AEB.又∵∠BAE ＝150°，∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°.同理：∠CED ＝15°.∴∠BEC ＝60°－15°×2＝30°.。

2024八年级数学下册第2章四边形2.7正方形习题课件新版湘教版

(3)拓展延伸如图③，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF
于点 G，连接 GE.若已知 AB＝2 2，CD＝14BC，则 GE ＝___1_0____．
【点拨】对于线段之间的关系的结论猜想题，一般要考虑两种情况：一是位置关系，即平行或垂直；二是数量关系，即相等或倍数关系，若是三条线段，一般存在三者间的和差关系．这两种情况下的结论一般可以观察图形得到．如此题中，BC与CF的垂直关系易得；BC，CD，CF之间的数量关系在不同图形中也容易辨识．
∵DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形．
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10．在四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是____④________． ①AD∥BC，∠ABC＝∠ADC；②AC＝BD，AB＝CD， AD＝BC；③OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC；④OA＝OB ＝OC＝OD，AC⊥BD.
解：∵AB＝AD＝4 2，∴BD＝ AB2＋AD2＝
（4 2）2＋（4 2）2＝8.∵四边形 ABCD 为正方形，
∴易得 AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD＝4. 又 AE＝CF＝2，∴OA－AE＝OC－CF，即 OE＝OF＝4－2＝2，易知四边形 BEDF 为菱形．
∵∠DOE＝90°，∴DE＝ DO2＋EO2＝ 42＋22＝2 5.
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11．[中考·常德]如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB 与BC的中点，AE与DF交于点P，则下列结论成立的是
( C) A．BE＝ AE12 B．PC＝PD C．∠EAF＋∠AFD＝90° D．PE＝EC
【点拨】∵F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴AF＝BE.
AF＝BE，

八年级数学下册第2章四边形2.7正方形练习(新版)湘教版

八年级数学下册第2章四边形2.7正方形练习（新版）湘教版要点感知1 有一组邻边相等且有一个角是直角的__________四边形叫作正方形.预习练习1-1 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A.∠D=90°B.AB＝CDC.AD=BCD.BC=CD要点感知2正方形的四条边都__________，四个角都是__________.正方形的对角线__________，且互相_________.预习练习2-1已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16 cm，则DO=_________cm，BO=_________cm，∠OCD=__________.要点感知3 正方形是中心对称图形，__________是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，__________都是它的对称轴.预习练习3-1如图，正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2.知识点1 正方形的性质1.正方形是轴对称图形，它的对称轴有( )A.2条B.4条C.6条D.8条2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A.45°B.55°C.60°D.75°第2题图第4题图3.已知正方形ABCD的对角线2ABCD的周长为__________.4.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是__________.5.如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点.求证：AE=CE.知识点2 正方形的判定6.下列说法不正确的是( )A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形7.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC8.如图正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.9.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE等于( )A.2B.3C.22D.23第9题图第10题图10.如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A.nB.n-1C.(14)n-1 D.14n11.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④12.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为__________.第12题图第13题图13.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC 的最小值是__________.14.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证AM=EF.15.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.（1）求证：AE＝CF；（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.16.正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF=FM；(2)当AE=1时，求EF的长.17.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形.18.如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM，垂足分别为点E,F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并说明理由.(2)在(1)中，当P点运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形，为什么？参考答案要点感知1平行预习练习1-1 D要点感知2相等直角相等垂直平分预习练习2-1 8 8 45°要点感知3对角线的交点以及过每一组对边中点的直线预习练习3-1 81.B2.C3.44.22.5°5.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD.又BE=BE，∴△ABE≌△CBE(SAS).∴AE=CE.6.D7.C8.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°.∵AE⊥BF，垂足为G，∴∠CBF+∠AEB=90°.∴∠BAE=∠CBF.在△ABE与△BCF中，,,, BAE CBF AB BCABE BCF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△BCF(ASA).∴AE=BF.9.C 10.B 11.B 12.514.证明：连接MC.∵正方形ABCD，∴AD=CD，∠ADM=∠CDM.又DM=DM，∴△ADM≌△CDM(SAS).∴AM=CM.∵ME∥CD，MF∥BC，∴四边形CEMF是平行四边形.∵∠ECF=90°，∴□CEMF是矩形.∴EF=MC.又AM=CM，∴AM=EF.15.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°.∴∠ABE＝∠CBF.∵AB=BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.（2）∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°.∴∠EGC＝80°.16.(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°.∴∠EDF+∠FDM=90°.∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.又∵DF=DF，∴△DEF≌△DMF.∴EF=MF.(2)设EF=x，∵AE=CM=1，∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x.∵EB=2，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2.即22+(4-x)2=x2，解得x=52.∴EF的长为4.17.(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A=∠EDB=∠GFE，∠ABC=∠DBE=90°，∴∠BDE+∠BED=90°.∴∠GFE+∠BED=90°.∴∠FHE=90°，即DE⊥FG.(2)∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB=GE.∴四边形CBEG是平行四边形.∵∠ABC=∠GEF=90°，∴四边形CBEG是矩形.∵BC=BE，∴四边形CBEG是正方形.18.(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PEMF为矩形.理由：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAM=∠CDM=90°，AB=CD.又AD=2AB=2CD，AM=DM，∴AM=AB=DM=DC.∴∠AMB=∠DMC=45°.∴∠BMC=90°.又PE⊥CM，PF⊥BM，∴∠PEM=∠PFM=90°.∴四边形PEMF为矩形.(2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF为正方形.理由：由(1)知∠AMB=∠DMC=45°，∴∠ABM=∠DCM=45°.∴∠PBF=∠PCE=45°.又∠PFB=∠PEC=90°，PB=CP，∴△BPF≌△CPE，∴PE=PF.∴矩形PEMF为正方形.。

八下数学正方形

湘教版八年级数学下册《正方形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（）A．3B．4C．5D．62．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°3．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF 的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1B．2C．D．24．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且OE＝2CO，则BE的长度是（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，∠BEC＝70°，那么∠DAE＝（）A．10°B．15°C．25°D．30°6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④7．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形8．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．三个角都是直角的四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形9．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形二．填空题10．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD 于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD＝，∠APB＝135°，则正方形ABCD的面积为．12．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP＝．三．解答题13．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．（1）求证：四边形EFDC是正方形；（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．14．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．15．观察下列图形的变化过程，解答以下问题：如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB 于E点，DF∥AB交AC于F点．（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？16．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．17．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB＝∠DAB；（2）若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形．18．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；（2）求证：AE＝BE+DG．19．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．20．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．21．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD 于点G．（1）求证：BG＝DF；（2）求证：EF+EG＝CE．参考答案一．选择题1．解：过点E 作MN ∥AD ，交AB 于点M ，CD 于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥AB ，AD ⊥CD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝4，∵MN ∥AD ，∴MN ⊥AB ，MN ⊥CD ，∵S △ABE ＝AB •EM ＝×4×EM ＝2EM ＝5，∴EM ＝，∴EN ＝AD ﹣EM ＝AB ﹣EM ＝4﹣＝，∴S △CDE ＝CD •EN ＝×4×＝3，故选：A ．2．解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∵AB ＝BF ＝DE ，∴∠BAF ＝∠BFA ＝∠DAE ＝∠DEA ＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴AE ＝AF ，∴∠EAF ＝180°﹣2×67.5°＝45°．故选：C ．3．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°，在△ABE 与△DAF 中，，∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠ABE ＝∠DAF ，∴∠ABE +∠BAO ＝∠DAF +∠BAO ＝90°，∴∠AOB ＝90°，∵△ABE ≌△DAF ，∴S △ABE ＝S △DAF ，∴S △ABE ﹣S △AOE ＝S △DAF ﹣S △AOE ，＝S四边形OEDF＝1，即S△ABO∵OA＝1，∴BO＝2，∴AB＝＝＝，故选：C．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∵正方形ABCD的边长为2，∴BC＝2，在Rt△BOC中，BO2+CO2＝BC2，即2BO2＝22，解得BO＝，∵OE＝2CO，∴OE＝2，在Rt△BOE中，BE＝．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∠BCD＝90°，在△AED和△CED中，，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠DAE＝∠ECD，又∵∠BEC＝70°，∴∠BCE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝90°﹣65°＝25°，∴∠DAE＝25°，故选：C．6．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．7．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；B．对角线相等的四边形不一定是矩形，故原命题错误，不符合题意；C．有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故原命题正确，符合题意；D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；故选：C．8．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．9．解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，说法错误，C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；故选：D．二．填空题10．解：如图，作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴AB＝BC＝OB＝2+．故答案为：2+．11．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH 交DH的延长线于E，∴△APB≌△AHD，∠PAH＝90°，∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，∴PH＝AP＝，∠APH＝∠AHP＝45°，∴∠PHD＝90°，∴DH＝＝＝2，∵∠AHD＝135°，∴∠AHE＝45°，∵AE⊥DH，∴∠AHE＝∠HAE＝45°，∴AE＝EH，AH＝AE，∴AE＝EH＝，∴DE＝，∵AD2＝AE2+DE2＝13，∴正方形的面积为13，故答案为：13．12．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+∠FCD＝90°，又∵CF⊥CP，∴∠DCP+∠FCD＝90°，∴∠BCF＝∠DCP，在△BCF和△DCP中，∴△BCF≌△DCP（AAS），∴BF＝DP，∵AC＝3，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴2AB2＝AC2＝32＝9∴AB＝，∴AD＝，∵3DP＝AB，∴DP＝，∴BF＝DP＝，∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝，AP＝AD+DP＝+＝2，在Rt△AFP中，FP＝＝＝．故答案为：．三．解答题13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，∵EF∥DC，∴四边形FEDC为平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠CDE＝∠DEC，∴四边形FEDC是菱形，又∵∠C＝90°，∴平行四边形FEDC是正方形；（2）∵四边形FEDC是正方形，∴∠CDE＝45°，∵，∴CE＝CD＝ED•sin45°＝2×＝2，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，∴BD＝．14．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG∴HE2≤53，∴x2+16≤53，的最小值为，此时DG＝，∴S△FCG∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．15．解：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠EAF，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FDA，∴AF＝DF，∴四边形AEDF为菱形；（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形，理由：由（1）知，四边形AEDF为菱形，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF为正方形．16．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°．∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF．∴四边形DFAE为正方形．17．（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又∵AB⊥CD∴∠CAB＝∠DAB（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD＝90°，即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，∵AF平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF，设CE＝x，则BE＝4﹣x，AE＝EF＝8﹣4+x＝4+x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝1，∴CE＝1；（2）如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，∴∠AGD＝∠EAF+∠BAE，∵AF平分∠DAE，∴∠EAF＝∠FAD，∠AGD＝∠FAD+∠BAE，在△ABM和△ADG中，，∴△ABM≌△ADG（SAS），∴∠M＝∠AGD＝∠FAD+∠EAB，∠MAB＝∠FAD，∴∠M＝∠MAB+∠EAB＝∠MAE，∴AE＝ME＝BE+MB＝BE+DG．19．（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，∴∠MNC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，∵AD＝CD，∴MN＝AD，∵ME⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，∴∠DAF＝∠EMN，在△DAF与△NME中，，∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．21．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCB＝∠DCF＝90°，BC＝DC，∵BE⊥DF，∴∠CBG+∠F＝∠CDF+∠F，∴∠CBG＝∠CDF，在△CBG和△CDF中，，∴△CBG≌△CDF（ASA），∴BG＝DF；（2）如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，∵△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠F＝∠CGB，∵∠MCG+∠DCE＝∠ECF+∠DCE＝90°，∴∠MCG＝∠ECF，在△MCG和△ECF中，，∴△MCG≌△ECF（ASA），∴MG＝EF，CM＝CE，∴△CME是等腰直角三角形，∴ME＝CE，又∵ME＝MG+EG＝EF+EG，∴EF+EG＝CE．。

专题2.13 正方形(知识讲解)-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)

专题2.13 正方形（知识讲解）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC 的延长线上，且P E＝PB．求证：（1）△BCP△△D CP；（2）△DPE ＝△ABC．【思路点拨】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得△BCP=△DCP，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得△CBP=△CDP，根据等边对等角可得△CBP=△E，然后根据等角的余角得出△DPE= 90°，从而得证；【解析】证明：（1）△四边形ABCD是正方形△BC=DC，△ACB＝△ACD ，△ABC＝90°又△PC = PC△△BCP△△D CP．（2）△P E＝PB，△△E＝△PBE ，△△BCP△△D CP，△△PBE＝△PDC ，△△E＝△PDC ，△△E＋△1＝90°，△1＝△2△△PDC＋△2＝90°即△DPE＝90°△△DPE＝△ABC．【总结升华】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出△BCP=△DCP是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分△ACD 交BD于点M，MN△CM，交AB于点N，（1）求△BMN的度数；（2）求BN的长．【答案】（1）22..5°；（2）4【思路点拨】（1）先由正方形ABCD的面积是8，求得正方形的边长及其对角线的长；再由正方形的性质及CM平分△ACD，求得△DCO、△BCO、△CDO、△MBN、△DCM、△MCO及△BMC的度数；然后由MN△CM得△CMN＝90°，则△BMN的度数等于△CMN的度数减去△BMC即可得出答案；（2）先证明△BCM＝△BMC，从而可得BM＝BC＝CD，则由DM＝BD﹣BM可得DM的长；【解析】解：（1）△正方形ABCD的面积是8，△BC＝CD，△BD4．△四边形ABCD为正方形，△△DCO＝△BCO＝△CDO＝△MBN＝45°，△CM平分△ACD，△△DCM＝△MCO＝22.5°，△△BMC＝△CDO+△DCM＝45°+22.5°＝67.5°．△MN△CM，△△CMN＝90°，△△BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，△△BMN的度数为22..5°．（2）△△MCO＝22.5°，△BCO＝45°，△△BCM＝△BCO+△MCO＝67.5°，又△△BMC＝67.5°，△△BCM ＝△BMC ，△BM ＝BC ＝CD ＝，△DM ＝BD ﹣BM ＝4﹣．△△DCM ＝22.5°，△BMN ＝22.5°，△△DCM ＝△BMN ．△在△DCM 和△BMN 中，DCM BMN DC BM CDM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△DCM △△BMN （ASA ），△BN ＝DM ＝4﹣△BN 的长为4﹣．【总结升华】本题考查正方形的性质、角平分线的性质、余角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】已知，如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，△ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时．(1)求证：△ABD △△ACF ；(2)若正方形ADEF的边长为对角线AE ，DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度．【思路点拨】（1）由题意易得AD ＝AF ，△DAF ＝90°，则有△DAB ＝△F AC ，进而可证AB ＝AC ，然后问题可证；（2）由（1）可得△ABD △△ACF ，则有△ABD ＝△ACF ，进而可得△ACF ＝135°，然后根据正方形的性质可求解．【解析】(1)证明：△四边形ADEF为正方形，△AD＝AF，△DAF＝90°，又△△BAC＝90°，△△DAB＝△F AC，△△ABC＝45°，△BAC＝90°，△△ACB＝45°，△△ABC＝△ACB，△AB＝AC，△△ABD△△ACF(SAS)；(2)解：由(1)知△ABD△△ACF，△△ABD＝△ACF，△△ABC＝45°，△△ABD＝135°，△△ACF＝135°，由(1)知△ACB＝45°，△△DCF＝90°，△正方形ADEF边长为△DF＝4，△OC＝12DF＝12×4＝2．【总结升华】本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．类型二、正方形的判定2、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE△沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形ABFG 是菱形；（3）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形AECG 是正方形．【思路点拨】（1）根据平移的性质，可得：BE=FC ，再证明Rt△ABE△Rt△CDG 可得BE=DG ；（2）要使四边形ABFG 是菱形，须使AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 时，BC 与AB 的数量关系即可；（3）当四边形AECG 是正方形时，AE=EC ，由，可得，再有BE=12AB 可得BC=12AB ．【解析】（1）证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，AB=CD ．△AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成，△CG△AD ，AE=CG ，△△AEB=△CGD=90°．△在Rt△ABE 与Rt△CDG 中，AE CG AB CD =⎧⎨=⎩， △Rt△ABE△Rt△CDG （HL ），△BE=DG ．（2）解：当BC=32AB 时，四边形ABFG 是菱形．证明：△AB△GF ，AG△BF ，△四边形ABFG 是平行四边形．△Rt△ABE中，△B=60°，△△BAE=30°，△BE=12AB（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），△BE=CF，BC=32 AB，△EF=12 AB．△AB=BF．△四边形ABFG是菱形．故答案是：32；（3）解：AB时，四边形AECG是正方形．△AE△BC，GC△CB，△AE△GC，△AEC=90°，△AG△CE，△四边形AECG是矩形，当AE=EC时，矩形AECG是正方形，△△B=60°，△EC=AE=2AB，BE=12AB，AB．．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．【变式】如图所示，在四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？（3）若AB ＝8，如果Q 点的移动速度不变，要使PQBA 是正方形，则P 点移动速度是多少？解：（1）△PD //CQ ，△只要当PD ＝CQ 时，四边形PQCD 是平行四边形，设运动时间为t ，24PD t =-，3CQ t =，列式：24﹣t ＝3t ，解得t ＝6，△经过6秒，四边形PQCD 是平行四边形；（2）△//AP BQ 且90B ∠=︒，△只要当AP ＝BQ 时，四边形PQBA 是矩形，设运动时间为t ，AP t =，263BQ t =-，列式：t ＝26﹣3t ，解得132t =， △经过132秒，四边形PQBA 是矩形；（3）当BQ ＝AB ＝8时，四边形PQCD 是正方形，设运动时间为t ，列式：26﹣3t ＝8，解得t ＝6，△P A ＝6•V P ＝8，△V P ＝43cm /s ．【总结升华】本题考查的是动点问题，涉及平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，解题的关键是设运动时间，用时间表示线段长度，然后根据题意列方程求解．类型三、正方形中的折叠问题3 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．（1）求证：△ABG△△AFG ；（2）求△EAG 的度数；（3）求BG 的长．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB ＝AF ，△B ＝△AFG ＝90°，利用HL 定理得出△ABG△△AFG 即可；（2）由（1）可得△FAG ＝12△BAF ，由折叠的性质可得△EAF ＝12△DAF ，继而可得△EAG ＝12△BAD ＝45°；（3）首先设BG ＝x ，则可得CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，然后利用勾股定理GE 2＝CG 2＋CE 2，得方程：（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解此方程即可求得答案．【解析】（1）证明；在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，△D ＝△B ＝△BCD ＝90°， △将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，△AD ＝AF ，DE ＝EF ，△D ＝△AFE ＝90°，△AB ＝AF ，△B ＝△AFG ＝90°，又△AG ＝AG ，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩， △△ABG△△AFG （HL ）；（2）△△ABG△△AFG ，△△BAG ＝△FAG ，△△FAG ＝12△BAF ，由折叠的性质可得：△EAF ＝△DAE ，△△EAF＝12△DAF，△△EAG＝△EAF＋△FAG＝12（△DAF＋△BAF）＝12△DAB＝12×90°＝45°；（3）△E是CD的中点，△DE＝CE＝12CD＝12×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，△GE2＝CG2＋CE2△（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，△BG＝2．【点拨】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．【变式】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG△△AFG；（2）求BG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF ，△B=△AFG=90°，利用HL 定理得出△ABG△△AFG 即可；（2）利用勾股定理得出GE 2=CG 2+CE 2，进而求出BG 即可；【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，△D=△B=△BCD=90°，△将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，△AD=AF ，DE=EF ，△D=△AFE=90°，△AB=AF ，△B=△AFG=90°，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG AG AB AF =⎧⎨=⎩， △Rt△ABG△Rt△AFG （HL ）；即△ABG△△AFG ；（2）△△ABG△△AFG ，△BG=FG ，设BG=FG=x ，则GC=6-x ，△E 为CD 的中点，△CE=EF=DE=3，△EG=3+x ，△在Rt△CEG 中，32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2，△BG=2．【点拨】本题主要考查了勾股定理的综合应用，全等三角形的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．类型四、正方形中的最值问题4.如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，Q 为BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，连接PB ，PQ ，求△PBQ 周长的最小值．【答案】1【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知，此时△PBQ的周长最小，△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．△四边形ABCD是正方形，△AC△BD，BO=OD，CD=2cm，△点B与点D关于AC对称，△BP=DP，△BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理，得QD==△△PBQ的周长的最小值为：（cm）．【点拨】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理得应用.是常考的基本题.【变式】如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90︒得DF，连接AE，CF.点，2（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；（2）求CDF 的面积的最小值.【答案】（1）3；（2）10-【分析】（1）利用勾股定理求出AO 长，易得AE 长，由正方形的性质利用SAS 可证ADE CDF ≌，根据全等三角形对应边相等可得结论；（2）过点E 作EH AD ⊥于点H ，当,,O E H 三点共线，EH 最小，求出EH 长，根据三角形面积公式求解即可.解：（1）由旋转得：90EDF ∠=︒，ED DF =，△O 是BC 边的中点，△12BO BC == 在Rt AOB中，5AO ===.△523AE AO EO =-=-=.△四边形ABCD 是正方形，△90ADC ∠=︒，AD CD =，△ADC EDF ∠=∠，即ADE EDC EDC CDF ∠+∠=∠+∠，△ADE CDF ∠=∠.在ADE 和CDF 中AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ADE CDF ≌.△3CF AE ==.（2）由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动.过点E 作EH AD ⊥于点H .△ADE CDF ≌，△ADE CDF S S =△△当,,O E H 三点共线，EH 最小，2EH OH OE =-=.△1S 102CDF ADE S AD EH ==⨯⨯=-△△ 【总结升华】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.。

湘教版数学八年级下册_《正方形》提高训练

《正方形》提高训练一、选择题1．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，B点的坐标是（）A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）2．下列说法中正确的是（）A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形C．四个角都相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的大小是（）A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠DAE=67.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1B．C．4D．35．如图，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=4，则四边形EFGH的面积是（）A．14B．16C．18D．20二、填空题6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠DEF=度．7．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∠B=60°，当边AD：AB=时，四边形AECF是正方形．8．如图，在正方形ABCD中，边长为4，对角线AC、BD交于点O，点E是BC 边上任意一点，分别向BD、AC作垂线，垂足分别为F、G，则四边形OFEG 的周长是．9．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为72cm2，则菱形的边长为．（结果中如有根号保留根号）10．如图，在△BC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE=EF，得四边形ADCF．若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为．三、解答题11．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE，求证：AF=AD+CF．12．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）求证：BG⊥DE．13．如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图（2），求证：AM2+MF2=AF2．14．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：BM=CM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？15．如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设PA=x，PB=2x，PC=3x，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB=度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，PA：PB：PC=3：4：5，那么∠APB=度．请写出推理过程．《正方形》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，B点的坐标是（）A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）【分析】依据题意画出图形，然后依据旋转的性质确定出点B′的坐标即可．【解答】解：如图所示：过点B′作B′E⊥x轴，垂足为E．由旋转的性质可知：OA=AE=1，OB=BE′=1，∴点B′的租表为（2，﹣1）．∴旋转后B点的坐标是（2，﹣1）．故选：C．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．2．下列说法中正确的是（）A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形C．四个角都相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形【分析】根据正方形的判定方法即可判断；【解答】解：A、对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，这个四边形是矩形，不一定是正方形；本选项不符合题意；B、对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形，这个四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意；C、四个角都相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意；D、对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形，这个四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的大小是（）A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°【分析】由四边形ABCD是正方形，即可求得∠BAC=∠ACB=45°，又由AE=AC，根据等边对等角与三角形内角和等于180°，即可求得∠ACE的度数，又由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵AE=AC，∴∠ACE=∠E==67.5°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=67.5°﹣45°=22.5°．故选：B．【点评】此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质．4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠DAE=67.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1B．C．4D．3【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠DAE=67.5°，在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为4，∴BD=4，∴BE=BD﹣DE=4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．5．如图，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=4，则四边形EFGH的面积是（）A．14B．16C．18D．20【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为6，AE=BF=CG=DH=4，可得AH=2，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=6，AE=BF=CG=DH=4，∴AH=BE=DG=CF=2，∴EH=FE=GF=GH==2，∴四边形EFGH的面积是：2×2=20，故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质和判定定理全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，证得四边形EFGH是正方形是解答此题的关键．二、填空题6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠DEF=50度．【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠CBE=∠CDE=20°，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE=20°，∴∠BFC=70°，∴∠DEF的度数是：70°﹣20°=50°．故答案为50．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE≌△DCE（SAS）是解题关键．7．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∠B=60°，当边AD：AB=2：（+1）时，四边形AECF是正方形．【分析】根据平行四边形的性质和正方形的判定解答即可．【解答】解：当AD：AB=2：（+1）时，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∵AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠B=60°，AE⊥BG，∴AB=2BE，AE=BE，∵AD：AB=2：（+1），∴BC：AB=2：（+1），∴EC=BC﹣BE=BE，∴AE=EC，∴平行四边形AECF是正方形．故答案为：2：（+1）【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，正方形的判定与性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法．8．如图，在正方形ABCD中，边长为4，对角线AC、BD交于点O，点E是BC 边上任意一点，分别向BD、AC作垂线，垂足分别为F、G，则四边形OFEG 的周长是4．【分析】只要证明四边形OFEG的周长=OB+OC即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，∴AC⊥BD，OB=OC=2，∠OBC=∠OCB=45°，∵EF⊥OB，EG⊥OC，∴∠EFO=∠FOG=∠EGO=90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OF=EG，EF=OG，∵△EFB，△EGC都是等腰直角三角形，∴EF=FB，GE=GC，∴四边形OFEG的周长=OF+FE+OG+GE=OF+FB+OG+GC=OB+OC=4，故答案为4．【点评】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为72cm2，则菱形的边长为2．（结果中如有根号保留根号）【分析】连接AC、BD，由正方形的面积，可计算出正方形的边长和对角线AC 的长，再根据菱形的面积，计算出菱形的对角线BD的长，在直角△AOB中，求出菱形的边长．【解答】解：连接AC、BD，AC、BD相交于点O．∵正方形AECF的面积为72cm2，∴AE==6，AC=6×=12．∵菱形ABCD的面积为120cm2，即AC×BD=120∵AC=12，∴BD=20∵四边形ABCD是菱形，∴AO=AC=6，BO=BD=10，∴AB===2故答案为：2【点评】本题考查了菱形的性质、面积，正方形的面积及勾股定理．解决本题的关键是根据面积，求出菱形对角线的长．10．如图，在△BC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE=EF，得四边形ADCF．若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为∠ACB=90°．【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可，再利用∠ACB=90°得出答案即可．【解答】解：∠ACB=90°时，四边形ADCF是正方形，理由：∵E是AC中点，∴AE=EC，∵DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD=DB，AE=EC，∴DE=BC，∴DF=BC，∵CA=CB，∴AC=DF，∴四边形ADCF是矩形，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴矩形ADCF是正方形．故答案为：∠ACB=90°．【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、正方形的判定；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．三、解答题11．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE，求证：AF=AD+CF．【分析】过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明Rt△AEG≌Rt△AED，即可得AG=AD，同理证明出CF=GF，于是结论可以证明AF=AD+CF．【解答】解：过E点作EG⊥AF，垂足为G，∵∠DAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，即AE为角平分线，ED⊥AD，EG⊥AG，∴DE=EG，在Rt△AEG和Rt△AED中，，∴Rt△AEG≌Rt△AED（HL），∴AG=AD，∵E是CD的中点∴DE=EC=EG同理可知CF=GF，∴AF=AG+FG=AD+CF．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，此题难度不大．12．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）求证：BG⊥DE．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】证明：（1）∵∠BCD=∠GCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE（SAS）；（2）∵△BCG≌△DCE，∴∠HBC=∠ODH，∵∠BHC=∠DHO，∵∠HBC+∠BHC=90°，∴∠ODH+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE．【点评】本题考查三角形全等的判定和性质和正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．13．如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图（2），求证：AM2+MF2=AF2．【分析】（1）根据四边形ABFG、BCED是正方形得到两对边相等，一对直角相等，根据图形利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS即可得到三角形全等；（2）根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABFG、BCED是正方形，∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠ABD=∠CBF，在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；（2）∵△ABD≌△FBC，∴∠BAD=∠BFC，∴∠AMF=180°﹣∠BAD﹣∠CNA=180°﹣（∠BFC+∠BNF）=180°﹣90°=90°，∴AM2+MF2=AF2．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．14．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：BM=CM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？【分析】（1）根据题意可以证明△AMB≌△DMC，从而可以证明结论成立；（2）根据题意和菱形的判定方法可以解答本题；（3）根据题意和（2）中的结论可以解答本题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵M为AD中点，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM=CM；（2）四边形MENF是菱形．证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE=CM，∵MF=CM，∴NE=FM，∵NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形，由（1）知△ABM≌△DCM，∴BM=CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF，∴平行四边形MENF是菱形；（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD=2AM，∵AD：AB=2：1，∴AM=AB，∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°，同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°，∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形，即当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．【点评】本题考查矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设PA=x，PB=2x，PC=3x，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB=135度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，PA：PB：PC=3：4：5，那么∠APB=150度．请写出推理过程．【分析】图2中，根据旋转的性质知△BCP≌△BAE．由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推知△BPE是等腰三角形，则∠BPE=∠BEP=45°；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理证得∠APE=90°；最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB=135°；如图3，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ABM，然后连接PM，根据旋转的性质知∠PBM=60°，△BCP≌△BMA．推出△PBM是等边三角形，得到∠BPM ═∠PBM=60°，根据勾股定理的逆定理得到∠APM=90°，于是得到结论．【解答】解：如图2．∵根据旋转的性质知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE，∴BP=BE，PC=AE，∴∠BPE=∠BEP=45°，PE=PB，又PA：PB：PC=1：2：3，设PA=x，PB=2x，PC=3x，∴AE=PC=3x，AP=x，PE=2x，∴AE2=AP2+PE2，∴∠APE=90°，∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即图2中∠APB的度数为135°．故答案是：135；如图3，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ABM，然后连接PM，∵根据旋转的性质知∠PBM=60°，△BCP≌△BMA．∴PB=BM，∴△PBM是等边三角形，∴∠BPM═∠PBM=60°，∵PA：PB：PC=3：4：5，∴PA=3x，PB=4x，PC=5x，∴AM=PC=5x，BM=PB=PM=4x，PA=3x，∴AM2=PA2+PM2，∴∠APM=90°，∴∠APB=90°+60°=150°∴PA：PB：PC=3：4：5，那么∠APB=150度，故答案是：150．【点评】本题综合考查了旋转的性质，等边三角形和正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点．旋转变化前后，对应角、对应线段分别相等，图形的大小、形状都不变．。

湘教版八年级数学下册矩形同步练习题(Word版含答案)

湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12,BC＝5,D为边AC上一动点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC 于点F,则EF的最小值为（）A．4.8B．C．D．132．如图,四边形ABCD中,以对角线AC为斜边作Rt△ACE,连接BE、DE,BE⊥DE,AC,BD互相平分．若2AB＝BC＝4,则BD的值为（）A．2B．C．3D．43．如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA＝OB,若AD＝4,∠AOD＝60°,则AB 的长为（）A．4B．2C．8D．84．如图,点P是矩形ABCD的边上一动点,矩形两边长AB、BC长分别为15和20,那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6B．12C．24D．不能确定5．如图,矩形ABCD中,点E在BC上,且AE平分∠BAC,AE＝CE,BE＝2,则矩形ABCD的面积为（）A．24B．24C．12D．126．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若∠COD＝50°,那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题7．如图,在矩形纸片ABCD中,边AB＝12,AD＝5,点P为DC边上的动点（点P不与点D,C 重合）,将纸片沿AP折叠,则CD′的最小值为．8．如图,四边形ABDE是长方形,AC⊥DC于点C,交BD于点F,AE＝AC,∠ADE＝62°,则∠BAF的度数为．9．如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE ＝15°,则∠BOE的度数等于．10．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD＝120°,AB＝1,则BC的长为．11．如图,矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,点P在对角线BD上,且BP＝BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为．三．解答题12．如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H,求证：四边形EFGH是矩形．13．在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上,AF＝CE,连接DF,CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时,若CE＝3,BC＝5,求CD的长．14．如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点A作AF⊥CD,垂足为F,延长DC到点E,使CE＝DF,连接BE．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）若AB＝5,CF＝2,AC⊥BD,连接OE,求OE的长．15．如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO＝CO,BO＝DO,且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC,若∠ADF：∠FDC＝2：1,则∠BDF的度数是多少？16．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°．（1）求作点D,使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下,连接BD,若AB＝3,BC＝1,求BD的长．17．如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE＝DF,∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF,若AB＝4,∠ABC＝60°,BF平分∠ABC,求平行四边形ABCD的面积．18．如图,在▱ABCD中,过点D作DF⊥BC于点F,点E在边AD上,AE＝CF,连结BE、CE．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若DE＝AB,∠ABC＝130°,求∠DEC的度数．19．如图,已知点E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若△AFD是等边三角形,且边长为6,求四边形ABFC的面积．20．如图,已知四边形ABCD是平行四边形,延长AB到E,使BE＝AB,连接BD、ED、EC．若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连结AC、若AD＝5,CD＝2,求AC的长．参考答案一．选择题1．解：如图,连接BD,∵∠B＝90°,AB＝12,BC＝5,∴AC＝＝＝13,∵DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,∴四边形DEBF是矩形,∴EF＝BD,由垂线段最短可得BD⊥AC时,线段BD最短,则EF最小,此时,S△ABC＝BC•AB＝AC•BD,即×12×5＝×13•BD,解得：BD＝,∴EF的最小值为．故选：B．2．解：连接OE,如图所示：∵2AB＝BC＝4,∴AB＝2,∵AC,BD互相平分,∴OA＝OC,OB＝OD,四边形ABCD是平行四边形,∵以AC为斜边作Rt△ACE,∴OE＝OA＝OC＝AC,∵BE⊥DE,∴OE＝OB＝OD＝BD,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC＝4,∠BAD＝90°,∴BD＝＝＝2,故选：A．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形,∴OD＝OB＝BD,OA＝OC＝AC,∵OA＝OB,∴OA＝OD,AC＝BD,∴▱ABCD是矩形,又∵∠AOD＝60°,∴△AOD为等边三角形．∴∠ADB＝60°．∴tan∠ADB＝＝．∴AB＝AD＝4．故选：A．4．解：连接OP,如图所示：∵四边形ABCD是矩形,∴AC＝BD,OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD,∠ABC＝90°,S△AOD＝S矩形ABCD,∴OA＝OD＝AC,∵AB＝15,BC＝20,∴AC＝＝＝25,S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75,∴OA＝OD＝,∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75,∴PE+PF＝12．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝90°,∴∠BAC+∠BCA＝90°,∵AE平分∠BAC,AE＝CE,∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA,∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°,∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°,∴AE＝CE＝2BE＝4,AB＝2,∴BC＝BE+CE＝6,∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．6．解：∵矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∴DB＝AC,OD＝OB,OA＝OC,∴OA＝OD,∴∠CAD＝∠ADO,∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO,∴∠CAD＝25°,故选：B．二．填空题7．解：连接AC,当点D'在AC上时,CD'有最小值,∵四边形ABCD是矩形,AB＝12,AD＝5,∴∠D＝∠B＝90°,AD＝BC,∴AC＝,由折叠性质得：AD＝AD'＝5,∠AD'P＝∠D＝90°,∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8,故答案为：8．8．解：∵四边形ABDE是矩形,∴∠BAE＝∠E＝90°,∵∠ADE＝62°,∴∠EAD＝28°,∵AC⊥CD,∴∠C＝∠E＝90°∵AE＝AC,AD＝AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠EAD＝∠CAD＝28°,∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°,故答案为：34°．9．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC＝BD,OA＝OC,OB＝OD,∠BAD＝90°,∴OA＝OB,∠DAE＝∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB,∴AB＝BE,∵∠CAE＝15°,∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°,∠BAC＝60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB＝OB,∠ABO＝60°,∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°,∵AB＝OB＝BE,∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故答案为75°．10．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°,OA＝AC,OB＝BD,AC＝BD,∴OA＝OB,∵∠AOD＝120°,∴∠AOB＝60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA＝AB＝1,∴AC＝2OA＝2,∴BC＝＝＝；故答案为：．11．解：∵矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,∠BAD＝∠BCD＝90°,∴BD＝＝13,∵BP＝BA＝5,∴PD＝BD﹣BP＝8,∵BA＝BP,∴∠BAP＝∠BP A＝∠DPQ,∵AB∥CD,∴∠BAP＝∠DQP,∴∠DPQ＝∠DQP,∴DQ＝DP＝8,∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3,∴在Rt△BCQ中,根据勾股定理,得BQ＝＝＝3．故答案为：3．三．解答题12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD＝180°,∵BH,CH分别平分∠ABC与∠BCD,∴∠HBC＝∠ABC,∠HCB＝∠BCD,∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°,∴∠H＝90°,同理∠HEF＝∠F＝90°,∴四边形EFGH是矩形．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵AF＝CE,∴FB＝ED．∴四边形DFBE是平行四边形,∵BE⊥CD,∴∠BED＝90°．∴四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形,∴DE＝BF,∵CF平分∠DCB,∴∠DCF＝∠BCF,∵AB∥CD,∴∠DCF＝∠CFB,∴∠BCF＝∠CFB,∴BF＝BC＝5,∴DE＝BF＝5,∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵CE＝DF,∴CE+CF＝DF+CF,即EF＝CD,∴AB＝EF,∴四边形ABEF是平行四边形,又∵AF⊥CD,∴∠AFE＝90°,∴平行四边形ABEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴OB＝OD,平行四边形ABCD是菱形,∴AD＝CD＝AB＝5,∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3,∵AF⊥CD,∴∠AFD＝90°,∴AF＝＝＝4,由（1）得：四边形ABEF是矩形,∴∠BEF＝90°,BE＝AF＝4,∵CE＝DF＝3,∴DE＝CD+CE＝8,∴BD＝＝＝4,又∵OB＝OD,∴OE＝BD＝2．15．（1）证明：∵AO＝CO,BO＝DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠ADC,∵∠ABC+∠ADC＝180°,∴∠ABC＝∠ADC＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°,四边形ABCD是矩形,∵∠ADF：∠FDC＝2：1,AC＝BD,∴∠FDC＝30°,∵DF⊥AC,∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°,∵AO＝CO,BO＝DO,∴OC＝OD,∴∠ODC＝∠DCO＝60°,∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．16．解：（1）如图所示：四边形ABCD就是所求作的矩形．（2）在Rt△ABC中,AB＝3,BC＝1,∴AC＝＝＝,∵四边形ABCD是矩形,∴BD＝AC＝．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD,BC∥AD,又∵BE＝DF,∴BC﹣BE＝AD﹣DF,即EC＝AF,∴四边形AECF为平行四边形,又∵∠AEC＝90°,∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵∠AEB＝90°,∠ABE＝60°,∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°,∴BE＝AB＝2,∴AE＝＝＝2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AFB＝∠CBF,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF＝∠CBF,∴∠AFB＝∠ABF,∴AF＝AB＝4,∵四边形AECF是矩形,∴EC＝AF＝4,∴BC＝BE+EC＝2+4＝6,∵∠AEC＝90°,∴AE⊥BC,∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,∴ED∥BF．∵ED＝AD﹣AE,BF＝BC﹣CF,AE＝CF,∴ED＝BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∵DF⊥BC,∴∠DFB＝90°．∴四边形BFDE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,∠ADC＝∠ABC＝130°,∵DE＝AB,∴DE＝CD,∴．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AB∥CD,∴∠BAE＝∠CFE,∵点E是▱ABCD中BC边的中点,∴BE＝CE,∵∠AEB＝∠FEC,∴△ABE≌△FCE（AAS）,∴AB＝FC,∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形,又∵AF＝BC,∴平行四边形ABFC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形,∴∠ACF＝90°,∵△AFD是等边三角形,∴AF＝DF＝6,CF＝DF＝3,∴AC＝＝＝3,∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵BE＝AB,∴BE＝CD,∴四边形BECD是平行四边形,∵AD＝BC,AD＝DE,∴BC＝DE,∴平行四边形BECD是矩形；（2）解：∵CD＝2,∴BE＝AB＝CD＝2．∴AE＝2AB＝4,由（1）得：四边形BECD是矩形,∴CE＝BD,∠DBE＝90°,∴∠ABD＝90°,∴CE＝BD＝＝＝,在Rt△ACE中,由勾股定理得：AC＝＝＝．。

湘教版数学八年级下册_《正方形》同步练习

《正方形》同步练习一、选择题1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.内角和为360°B.对角线相等C.对角线平分内角D.对角线互相垂直平分2、四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（）A. AO = BO = CO = DO ，AC ⊥BDB. AB ∥CD ，AC = BDC. AD ∥BC ，∠A =∠CD. AO = CO ，BO = CO ，AB = BC3、四边形ABCD 的对角线AC = BD ，且AC ⊥BD ，分别过A 、B 、C 、D 作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形4、如图,菱形ABCD 中,∠B=60°,AB=4,则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ( )A.14B.15C.16D.175、已知四边形ABCD,对角线AC 与BD 互相垂直.顺次连接其四条边的中点,得到新四边形的形状一定是 ( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形6. 一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6cm 和13.2cm ，则这个正方形的面积为( )A.242cmB.362cmC.482cmD.642cm7. 如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上．小明认为：若MN=EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为: 若MN ⊥EF ，则MN=EF ．你认为（）A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对二、填空题8.如图，已知正方形ABCD中，E为对角线AC上的一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .9. 如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为.10.如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.11. 如图，P是正方形ABCD内一点，如果△ABP为等边三角形，DP的延长线交BC于C，那么∠PCD= .三、解答题12.如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．13.如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC 边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．14．如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F(1)求证:四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.15.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,连接AE,交边BC于点G.(1)求证:四边形ABGD是平行四边形.(2)如果AD=错误!未找到引用源。

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3.4正方形
【驻足“双基”】
1．正方形ABCD 的对角线相交于O ，若AB=2，那么△ABO 的周长是_______，•面积是________．
2．如图，已知E 点在正方形ABCD 的BC 边的延长线上，且CE=AC ，AE 与CD 相交于点F ，•则∠AFC=________．
3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（）．
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15 4．四条边都相等的四边形一定是（）
A ．正方形
B ．菱形
C ．矩形
D ．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD 和正方形AKCM 中，将正方形AKLM 沿点A•向左旋转某个角度．连线段MD 、KB ，它们能相等吗？请证明你的结论．
【提升“学力”】
6．如图，E 是正方形ABCD 中CD 边延长线上一点，CF ⊥AE ，F 是垂足，CF 交AD 或AD 延长线于G ，试判断当点E 在CD 的延长线上移动时，∠DEG 的大小是否变化，若变化，•请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．
【聚焦“中考”】
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C•按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？
9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
参考答案
1．-1 2．112.5° 3．A 4．B
5．提示：证△ADM≌△AKB
6．不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果7．（1）提示：证△DEB≌△DFC，
（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）
8．叙述有道理即可．。