安徽省宿州市萧县中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(理)试卷 Word版含解析
安徽省蚌埠市禹王中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(文)试卷 Word版含解析
2017-2018学年安徽省蚌埠市禹王中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A． {0，1，2，3，4} B． {0，4} C． {1，2} D． {3}2．若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A． {x|3≤x＜4} B． {x|3＜x＜4} C． {x|2≤x＜3} D． {x|2≤x≤3}3．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A． 0 B． C． 1 D．4．函数y=的图象是（）A． B． C． D．5．“若α=，则tanα=1”的逆否是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=6．已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（）A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． b＞a＞c D． c＞a＞b7．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A． B． C． D．9．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．设p：函数y=sin2x的最小正周期为；q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A． p为真 B．￢q为假 C． p∧q为假 D． p∨q为真二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.）11．“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定式．12．函数的定义域是．13．设f（x）=，则f（f（﹣2））= ．14．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）= ．15．在下列结论中：①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是p∨q为真的充分不必要条件；③p∨q为真是“￢p”为假的必要不充分条件；④“￢p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．其中正确的是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设全集合U={x|x≤4}，A={x|﹣2＜x＜3}，B={﹣3＜x≤3}，求C U A，A∩B，（C U A）∩B．17．设全集U={1，3，5，7，9}，A={1，|a﹣5|，9}，∁U A={5，7}，求实数a的值．18．p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；q：函数f（x）=lag a x在（0，+∞）上递增，若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．20．已知函数y=3x﹣x3，（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求过点A（2，﹣2）的切线方程．21．设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．2014-2015学年安徽省蚌埠市禹王中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A． {0，1，2，3，4} B． {0，4} C． {1，2} D． {3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集的运算得答案．解答：解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．点评：本题考查交集及其运算，是基础题．2．若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A． {x|3≤x＜4} B． {x|3＜x＜4} C． {x|2≤x＜3} D． {x|2≤x≤3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案解答：解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P∩Q={x|3≤x＜4}．故选A．点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．3．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A． 0 B． C． 1 D．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．解答：解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2．∴=．故选D．点评：对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现．在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解．4．函数y=的图象是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先根据得到函数为奇函数，关于原点对称，排除A，C，再根据增长的快慢程度，排除D．问题得以解决．解答：解：设f（x）=，∴f（﹣x）=﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，C，∵f（x）=增长越来越慢，故排除D．∴选项B符合，故选：B．点评：本题主要考察了幂函数的图象的性质，属于基础题．5．“若α=，则tanα=1”的逆否是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=考点：四种间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原为：若a，则b．逆否为：若非b，则非a．解答：解：：“若α=，则tanα=1”的逆否为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种的相互转化，掌握四种的基本格式，本题是一个基础题．6．已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（）A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． b＞a＞c D． c＞a＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用换底公式可得a=log23.6=log43.62，然后根据对数函数y=log4x在（0，+∞）的单调性可进行比较即可．解答：解：∵a=log23.6=log43.62∵y=log4x在（0，+∞）单调递增，又∵3.62＞3.6＞3.2∴log43.62＞log43.6＞log43.2即a＞c＞b故选：B点评：本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小，考查了换底公式的应用，是基础题．7．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案．解答：解：（1）充分性：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行；（2）必要性：当直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行时有：a•2=2•1，即：a=1．∴“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件．故选C．点评：本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握．8．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A． B． C． D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．9．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．解答：解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真且q⇒p为假，则p是q的充分不必要条件；②若p⇒q为假且q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q为真且q⇒p为真，则p是q的充要条件；④若p⇒q为假且q⇒p为假，则p是q的即不充分也不必要条件．⑤判断p与q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断p与q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．10．设p：函数y=sin2x的最小正周期为；q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A． p为真 B．￢q为假 C． p∧q为假 D． p∨q为真考点：复合的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：由题设条件可先判断出两个的真假，再根据复合真假的判断规则判断出选项中复合的真假即可得出正确选项．解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故p是假；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假．结合复合的判断规则知：￢q为真，p∧q为假，p∨q为是假．故选C．点评：本题考查复合的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及的真假及熟练掌握复合的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对考查的常规题型，知识性强，难度不大．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.）11．“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定式∃x∈R，|x|+x2＜0 ．考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：全称的否定是特称，写出结果即可．解答：解：因为全称的否定是特称，所以“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定式：∃x∈R，|x|+x2＜0．故答案为：∃x∈R，|x|+x2＜0．点评：本题考查的否定，注意特称与全称的否定关系．12．函数的定义域是{x|x＞﹣1且x≠1} ．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：欲求此函数的定义域，可由x+1＞0，且1﹣x≠0，解出x的取值范围，最终得出答案．解答：解：∵x+1＞0，且1﹣x≠0，∴x＞﹣1且x≠1，故答案为：{x|x＞﹣1且x≠1}．点评：本题考查的是求定义域时要注意对数函数的真数大于0，并且分母不能是0的问题．13．设f（x）=，则f（f（﹣2））= ﹣2 ．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题设条件先求出f（﹣2），再求f（f（﹣2））的值．解答：解：∵，∴f（f（﹣2））=f（）==﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．14．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）= 6 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g（﹣2）=3，求出f（2）的值．解答：解：∵g（﹣2）=f（﹣2）+9∵f（x）为奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2）∴g（﹣2）=﹣f（2）+9∵g（﹣2）=3所以f（2）=6故答案为6点评：本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）15．在下列结论中：①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是p∨q为真的充分不必要条件；③p∨q为真是“￢p”为假的必要不充分条件；④“￢p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．其中正确的是①③．考点：复合的真假．专题：计算题．分析：由复合的真假规律，结合充要条件的定义，逐个验证可得答案．解答：解：选项①“p∧q”为真，说明p，q同为真，故能推出“p∨q”为真，而“p∨q”为真，说明p，q中至少一个为真，故不能推出“p∧q”为真，故前者是后者的充分不必要条件，故正确；选项②“p∧q”为假，说明p，q中至少一个为假，故不能推出p∨q为真，p∨q为真也不能推出“p∧q”为假，故前者是后者的既不充分也不必要条件，故错误；选项③p∨q为真，说明p，q中至少一个为真，不能推出“￢p”为假，“￢p”为假，则p为真，足以推出p∨q为真，故前者是后者的必要不充分条件，故正确；选项④“￢p”为真，则p为假，可推出“p∧q”为假，而只要满足q假，p无论真假，都有“p∧q”为假，故“p∧q”为假不能推出“￢p”为真，故错误．综上可得选项①③正确，故答案为：①③点评：本题考查复合的真假，涉及充要条件的判断，属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设全集合U={x|x≤4}，A={x|﹣2＜x＜3}，B={﹣3＜x≤3}，求C U A，A∩B，（C U A）∩B．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集U及A，求出A的补集；求出A与B的交集；求出A补集与B的交集即可．解答：解：∵全集U={x|x≤4}，A={x|﹣2＜x＜3}，B={﹣3＜x≤3}，∴C U A={x|x≤﹣2或x≥3}，A∩B={x|﹣2＜x＜3}，则（C U A）∩B={x|﹣3＜x≤﹣2或x=3}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．设全集U={1，3，5，7，9}，A={1，|a﹣5|，9}，∁U A={5，7}，求实数a的值．考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U，A的补集，确定出A，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：∵全集U={1，3，5，7，9}，A={1，|a﹣5|，9}，∁U A={5，7}，∴|a﹣5|=3，即a﹣5=3或a﹣5=﹣3，解得：a=8或a=2．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．18．p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；q：函数f（x）=lag a x在（0，+∞）上递增，若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a的取值范围．考点：复合的真假．专题：计算题．分析：依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．解答：解：p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；①若p正确，则△=（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；②q：函数f（x）=log a x在（0，+∞）上递增⇒a＞1，∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p、q一真一假，当p真q假时，有，∴﹣2＜a≤1；当p假q真时，有，∴a≥2∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．点评：本题考查复合的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．专题：常规题型；计算题．分析：（1）先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知再对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端点处取最大值；（2）要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，只需当区间[﹣5，5]在对称轴的一侧时，即满足条件．解答：解：（1）f（x）=x2+2ax+2=（x+a）2+2﹣a2，其对称轴为x=﹣a，当a=1时，f（x）=x2+2x+2，所以当x=﹣1时，f（x）min=f（﹣1）=1﹣2+2=1；当x=5时，即当a=1时，f（x）的最大值是37，最小值是1．（6分）（2）当区间[﹣5，5]在对称轴的一侧时，函数y=f（x）是单调函数．所以﹣a≤﹣5或﹣a≥5，即a≥5或a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）时，函数在区间[﹣5，5]上为单调函数．（12分）点评：本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值，以及单调性的运用等有关基础知识，同时考查分析问题的能力．20．已知函数y=3x﹣x3，（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求过点A（2，﹣2）的切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导数，即可求f′（2）的值；（Ⅱ）利用点斜式，即可求过点A（2，﹣2）的切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵函数y=3x﹣x3，∴f′（x）=3﹣3x2，∴f′（2）=﹣9；（Ⅱ）过点A（2，﹣2）的切线方程为y+2=﹣9（x﹣2），即9x+y﹣16=0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，比较基础．21．设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（2）令h（x）=g（x）﹣=2lnx+﹣x（x＞0）．可得h′（x）=≤0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）=0，即可得出大小关系．解答：解：（1）（x＞0）．∴g（x）=lnx+（x＞0）．∴=，令g′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴当x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=1．综上可得：函数g（x）单调递减区间为（0，1）；函数g（x）单调递增区间为[1，+∞），最小值为1．（2）g（x）=lnx+（x＞0），=﹣lnx+x．令h（x）=g（x）﹣=2lnx+﹣x（x＞0）．∴h′（x）=﹣﹣1=≤0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．当x=1时，h（1）=0，此时g（x）=．当0＜x＜1时，h（1）＞0，此时g（x）＞．当1＜x时，h（1）＜0，此时g（x）＜．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
【真题】18年安徽省宿州市汴北三校联考高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2017-2018学年安徽省宿州市汴北三校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩∁U B=（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}2．（5分）函数f（x）=（x﹣）0+的定义域为（）A．B．[﹣2，+∞）C．D．3．（5分）对于非零向量，，“+=”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．5．（5分）已知命题p：“对任意x＞0，都有ln（x+1）＜x”，则命题p的否定是（）A．对任意x＞0，都有ln（x+1）≥x B．存在x0＞0，使得ln（x0+1）≥x0C．对任意x≤0，都有ln（x+1）≥x D．存在x0≤0，使得ln（x0+1）≥x0 6．（5分）若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA=csinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不确定8．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）≤0．对任意正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（a）≤af（b）B．af（b）≤bf（a）C．bf（a）≤f（a） D．af（a）≤f（b）9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A． B．C．D．10．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）11．（5分）曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=012．（5分）函数y=的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分，将答案写到答题卡上）13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=，则cosα=．14．（5分）函数f（x）=x2+2x﹣3在x∈[﹣2，2]上的最小值与最大值的和为．15．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．16．（5分）函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）计算：（1）×．18．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．19．（12分）已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0其中m＞0．（1）已知m=4，若p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．21．（12分）已知是定义在（﹣∞，b﹣3]∪[b﹣1，+∞）上的奇函数．（1）若f（2）=3，求a，b的值；（2）若﹣1是函数f（x）的一个零点，求函数f（x）在区间[2，4]的值域．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．2017-2018学年安徽省宿州市汴北三校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩∁U B=（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，∴A∩∁U B={1，2，3}∩{0，1}={1}．故选：A．2．（5分）函数f（x）=（x﹣）0+的定义域为（）A．B．[﹣2，+∞）C．D．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即x≥﹣2且x≠，即函数的定义域为，故选：C．3．（5分）对于非零向量，，“+=”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若+=，则=﹣，则∥，即充分性成立，若∥，则=﹣，不一定成立，即必要性不成立，即“+=”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．5．（5分）已知命题p：“对任意x＞0，都有ln（x+1）＜x”，则命题p的否定是（）A．对任意x＞0，都有ln（x+1）≥x B．存在x0＞0，使得ln（x0+1）≥x0C．对任意x≤0，都有ln（x+1）≥x D．存在x0≤0，使得ln（x0+1）≥x0【解答】解：命题p是全称命题，则命题的否定为：存在x0＞0，使得ln（x0+1）≥x0，故选：B．6．（5分）若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选：B．7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA=csinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不确定【解答】解：由acosB+bcosA=csinA，结合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=sinCsinA，∴sin（B+A）=sinCsinA，可得：sinC=sinCsinA，在△ABC中，∵sinC≠0，∴sinA=1，又0＜A＜π，∴∠A=，则△ABC的形状为直角三角形．故选：A．8．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）≤0．对任意正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（a）≤af（b）B．af（b）≤bf（a）C．bf（a）≤f（a） D．af（a）≤f（b）【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f （x），令F（x）=，则F′（x）=，∵xf′（x）﹣f（x）≤0，∴F′（x）≤0，∴F（x）=在（0，+∞）上单调递减或常函数∵对任意的正数a、b，a＜b∴≥，∵任意的正数a、b，a＜b，∴af（b）≤bf（a）故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A． B．C．D．【解答】解：（1）由题意A=，T=16，T=，∴ω=，x=﹣2时，f（x）=0，即：sin[×（﹣2）+φ]=0，|φ|＜；∴φ=，函数f（x）的解析式为：．故选：A．10．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣1）=﹣f（1）=0，则不等式等价为x＞0时，f（x）＜0，此时0＜x＜1当x＜0时，f（x）＞0，此时﹣1＜x＜0，综上不等式的解为﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故不等式的解集为：（﹣1，0）∪（0，1）．故选：D．11．（5分）曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0【解答】解：y=的导数为y′==﹣，可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+y﹣2=0．故选：B．12．（5分）函数y=的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=为偶函数，∴图象关于y轴对称，排除A，C，当x=时，y=＜0，排除D，故选：B．二、填空题（每题5分，共20分，将答案写到答题卡上）13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=，则cosα=﹣．【解答】解：α是第二象限的角，tanα=﹣，∴sinα=﹣cosα；∴sin2α+cos2α=+cos2α=cos2α=1，∴cos2α=；又cosα＜0，∴cosα=﹣．故答案为：．14．（5分）函数f（x）=x2+2x﹣3在x∈[﹣2，2]上的最小值与最大值的和为1．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴在x∈[﹣2，2]上，f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（2）=32﹣4=5．∴函数f（x）=x2+2x﹣3在x∈[﹣2，2]上的最小值与最大值的和为：﹣4+5=1．故答案为：1．15．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．16．（5分）函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为2x﹣y﹣1=0．【解答】解：∵y=x+1nx，∴，∴k=y′|x=1=1+1=2，∴函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），整理，得2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）计算：（1）×．【解答】解：1）×=﹣4﹣1+0.5×4=﹣3=lg5+lg2﹣lg0.1﹣2=1+﹣2=﹣．18．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．19．（12分）已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0其中m＞0．（1）已知m=4，若p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣7x+10＜0，解得2＜x＜5，所以p：2＜x＜5又x2﹣4mx+3m2＜0，因为m＞0，解得m＜x＜3m，所以q：m＜x＜3m．当m=4时，q：4＜x＜12，又p∧q为真，p，q都为真，所以4＜x＜5．…（6分）（2）由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，¬p≠＞¬q，其逆否命题为p⇒q，q≠＞p，…（8分）由（1）p：2＜x＜5，q：m＜x＜3m，…（10分）所以，即：．…（14分）20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）由△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．可得：，去分母得：2acosC+bcosC+ccosB=0，则有2acosC+a=0，即，∴；（2），再根据余弦定理得：4=a2+b2+ab，∴a2+b2=4﹣ab≥2ab，则，那么，当且仅当时，△ABC面积最大．21．（12分）已知是定义在（﹣∞，b﹣3]∪[b﹣1，+∞）上的奇函数．（1）若f（2）=3，求a，b的值；（2）若﹣1是函数f（x）的一个零点，求函数f（x）在区间[2，4]的值域．【解答】解：（1）由f（x）为（﹣∞，b﹣3]∪[b﹣1，+∞）上的奇函数，则（b ﹣3）+（b﹣1）=0，解得b=2，又f（2）=3，∴，即4a+2=6，得a=1；（2）∵﹣1是函数f（x）的一个零点，∴f（﹣1）=0，即a+2=0，得a=﹣2．∴f（x）=，则f（x）在区间[2，4]上单调递减．∴f（x）的最大值为f（2）=﹣3，最小值为f（4）=﹣．故f（x）的值域为[﹣，﹣3]．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…（1分）因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2分）当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…（3分）当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…（1分）令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…（2分）故时，函数g（x）取得最大值．…（3分）因而函数有零点，则．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即xlnx+a＞xe﹣x．…（6分）令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…（7分）于是，当时，．①…（8分）令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…（9分）于是，当x＞0时，．②…（10分）显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．…（11分）故当时，f（x）＞e﹣x．…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．yxo（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017-2018届江苏省宿迁市高三上学期第一次摸底考试数学试题及答案
建造一条观光路线， 其中 A 到 C 是圆弧 AC ，C 到 D 是线段 CD .
设 AOC x rad，观光路线总长为 y km .
（１）求 y 关于 x 的函数解析式， 并指出该
函数的定义域；
C
D
-3-
A
O
B
( 第 17 题图 )
14．已知函数 f ( x) x2 2ax a2 1，若关于 x 的不等式 f ( f ( x)) 0 的
解集为空集，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
-2-
二、解答题 : 本大题共 6 小题， 15~17 每小题 14 分， 18~20 每小题 16 分，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．的．区．域．内．作．答． ， 解．答．时．应．写．出．文．字．说．明． 、．证．明．过．程．或．演．算．步．骤． ．
15．已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ， B ．
3
（ 1）若 a 2 ， b 2 3 ，求 c 的值； （ 2）若 tan A 2 3 ，求 tan C 的值．
16．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是
P
菱形，且 PB PD ． （ 1）求证： BD PC ；
光线通过点 N 2,6 ， 则反射光线所在直线的方程
C是 ▲．DFra bibliotek13．如图， 已知 ABC 中， AB AC 4 ， BAC 90 ，D 是 BC
的中点， 若向量 AM
1 AB
4
m AC ，且 AM 的终点 M 在
A
(第 13 题图 )
B
ACD 的内部 （不含边界） ，则 AM BM 的取值范围是
▲．
宿迁市 2017-2018 届高三年级摸底考试 数学试题 11 数 学Ⅰ
江苏省泰州中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 高三数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B = ．2.“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ．（填“真”或“假”） 3.函数()f x =的定义域为 ． 4.已知角α的终边过点(8,6sin 30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为 ． 5.函数()log (1)1a f x x =-+（1a >且1a ≠）恒过定点 ．6.函数2()2(1)2f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值范围是 ．7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时()32xf x x m =-+（m R ∈，m 为常数），则(2)f = ．8.若(0,)2πα∈，cos()24παα-=，则sin 2α= ．9.已知函数321()213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为 ．10.已知函数ln 5,(01)()9,(1)1x x x f x x m x x ++<≤⎧⎪=⎨++>⎪+⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为 ． 11.设实数1a >，1b >，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的 条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）12.设函数22,0,(),0,x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．13.若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ．14.设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m 使得()()f m g m =，则a b += ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数21y x =+，(0,)x m ∈的值域为B ． （1）当2m =时，求AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．16.已知函数2()cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的值域和最小正周期； （2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值． 17.已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数x 的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -． （1）当0a >时，解关于x 的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++； （2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于x 的函数1()3xx y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．18.为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE ⊥FH ．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点A ，B 放在弧EF 上，点C 、D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=．（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．19.已知函数()ln ()||f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对任意(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()f x 的图象在两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x 处的切线分别为1l ，2l ，若1x =，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值． 20.已知函数2()(ln )x f x e a x b x=++，其中a ，b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-，求实数a ，b 的值； （2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围； ②若2a =，2b ≥-，若()f x kc ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围（用b 表示）．江苏省泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测高三数学试卷（理科）答案一、填空题1.{}0,12.假3.4.125.()2,16.(,0][5,)-∞+∞7.289-8.1516 9.3(,4)210.1m ≤ 11.充要 12.a ≤ 13.(0,)+∞ 14.4 二、解答题15.解：（1）由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =， 又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(,2)1y m ∈+， 即2(,2)1B m =+，16.解：（1）因为1cos 2()22x f x x +=-cos 21222x x =--1sin(2)62x π=--， 所以()f x 的值域为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小正周期为22T ππ==． （2）因为()1f x =-，所以1sin(2)162x π--=-，即1sin(2)62x π-=-， 所以21cos(2)cos (2)sin(2)32662x x x ππππ⎡⎤-=--=-=-⎢⎥⎣⎦．17.解：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为[]1,n -知，关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，由根与系数关系，得21,3(1),n mn m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩∴1,3.m n =⎧⎨=⎩所以原不等式化为(2)(2)0x ax -->，①当01a <<时，原不等式化为2(2)()0x x a -->，且22a <，解得2x a>或2x <； ②当1a =时，原不等式化为2(2)0x ->，解得x R ∈且2x ≠； ③当1a >时，原不等式化为2(2)()0x x a -->，且22a >，解得2x a<或2x >； 综上所述：当01a <≤时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或； 当1a >时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或． （2）假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得：1m =，2()23f x x x =--，12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-．令x a t =（2a t a ≤≤），则2(32)3y t a t =-+-，（2a t a ≤≤）， 对称轴322a t +=， 因为(0,1)a ∈，所以21a a <<，325122a +<<， 所以函数2(32)3y t a t =-+-在2,a a ⎡⎤⎣⎦单调递减，所以当t a =时，y 的最小值为2223y a a =---5=-，解得a =． 18.解：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=，所以()2AD BC AB S +⋅=2(1sin )cos θθ=+，其中02πθ<<．（2）记()2(1sin )cos f θθθ=+，02πθ<<，22'()2(cos sin sin )f θθθθ=--2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+（02πθ<<）．当06πθ<<时，'()0f θ>，当62ππθ<<时，'()0f θ<，所以()f θ在(0,)6π上单调递增，在(,)62ππ上单调递减，所以max ()()6f f πθ==6πθ=时，max S = 19.解：函数22ln (),,()ln (),0,a x x c x c f x a x x c x c ⎧+-≥⎪=⎨--<<⎪⎩求导得2222,,'()22,0.x cx ax c xf x x cx a x c x ⎧-+≥⎪⎪=⎨-++⎪<<⎪⎩（1）当34a =-，14c =时，228231,,44'()8231,0.44x x x x f x x x x x ⎧--≥⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩①若104x <<，则2823'()04x x f x x -+-=<恒成立，所以()f x 在1(0,)4上单调递减；②若14x ≥，则(21)(43)'()4x x f x x +-=，令'()0f x =，解得34x =或12x =-（舍去）， 若1344x ≤<，则'()0f x <，()f x 在13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； 若34x >，则'()0f x >，()f x 在3(,)4+∞上单调递增； 综上，函数()f x 的单调减区间是3(0,)4，单调增区间是3(,)4+∞．（2）当x c >，12a c =+时，(1)(2)'()x x a f x x --=，而112ac =+<，所以当1c x <<时，'()0f x <，()f x 在(,1)c 上单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增；所以函数()f x 在(,)c +∞上的最小值为2(1)4a f =，所以2144a ≥恒成立，解得1a ≤-或1a ≥（舍去）， 又由102ac =+>，解得2a >-， 所以实数a 的取值范围是(2,1]--．（3）由12l l ⊥知，'()1f f c =-，而'()af c c=，则c f a =-，c ≥，则2f c ==-， 所以2c c a -=-，解得12a =，不合题意，c <，则2c f c a ==+=-，整理得c =，由0c >，得12a <-t =，则28t a =-，2t >，所以232282814t tt c t t -⋅==--+，设32()28t g t t =-，则22222(12)'()(28)t t g t t -=-，当2t <<时，'()0g t <，()g t在(2,上单调递减；当t >时，'()0g t >，()g t在)+∞上单调递增；所以函数()g t的最小值为g =， 故实数c20.解：（1）由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)f e =； 又因为222'()(ln )x a f x e a x b x x+=-++， 则有(1)(2)0,'(1)(),f e b f e a b e =+=⎧⎨=+=⎩解得3a =，2b =-．（2）①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()(2ln )0x f x e x b x =--+=， 若'()0f x =时，得222ln b x x=+， 设22()2ln g x x x=+（0x >）， 由2332424'()x g x x x x-=-=，得x =，1ln 2g =+．当0x <<'()0g x <，函数()y g x =在区间上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x （12x x <）．此时，函数()y f x =既有极大值又有极小值． ②由题意2(2ln )x e x b kx x++≥对一切正实数x 恒成立， 取1x =得(2)k b e ≤+． 下证2(2ln )(2)x e x b b ex x++≥+对一切正实数x 恒成立． 首先，证明x e ex ≥，设函数()xu x e ex =-，则'()xu x e e =-，当1x >时，'()0u x >；当1x <时，'()0u x <；得(1)0xe ex u -≥=，即x e ex ≥， 当且仅当都在1x =处取到等号．再证1ln 1x x +≥，设1()ln 1v x x x =+-，则21'()x v x x-=，当1x >时，'()0v x >； 当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v ≥=，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号． 由上可得2(2ln )(2)x e x b b ex x ++≥+，所以min ()()(2)f x b e x=+， 所以(2)k b e ≤+．。
安徽省淮北市濉溪县2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省淮北市濉溪县高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合N={x|＜2x+1＜4，x∈R}，M={x|x2+3x+2≤0，x∈R}，则M∩N（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1]D．[﹣2，﹣1]2．函数f（x）=+log2（x2﹣1）的定义域为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣1，1）3．下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x∈R，x2+2x+2≤0B．∀x∈R，lgx＜1C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x+cos2x=14．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设a=log3，b=（）1.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．设函数f（x）对任意x、y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．±C．2 D．17．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=08．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1）B． C．D．9．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13．计算：（）+lg+lg70+=．14．已知f（x）+2f（）=3x，求f（x）的解析式．15．已知函数f（x）=，则f[f（﹣2016）]=．16．已知函数f（x）=ln+sinx，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题p：∀x∈[1，12]，x2﹣a≥0．命题q：∃x0∈R，使得x02+（a﹣1）x0+1＜0．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．（2）若对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．19．已知函数f（x）=|1﹣|，（x＞0）．（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b），求证： +=2；（2）是否存在实数a，b（1≤a≤b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．已知f（x）=﹣（a+1）x2+4x+1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间；（2）当a∈R时，讨论函数的单调增区间；（3）是否存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3？选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2016-2017学年安徽省淮北市濉溪县高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合N={x|＜2x+1＜4，x∈R}，M={x|x2+3x+2≤0，x∈R}，则M∩N（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1]D．[﹣2，﹣1]【考点】交集及其运算．【分析】求出M与N中不等式的解集，分别确定出两集合，求出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x+1）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤﹣1，即M=[﹣2，﹣1]，由N中不等式变形得：2﹣1＜2x+1＜22，即﹣1＜x+1＜2，解得：﹣2＜x＜1，即N=（﹣2，1），则M∩N=（﹣2，﹣1]，故选：C．2．函数f（x）=+log2（x2﹣1）的定义域为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣1，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数解析式有意义求解定义域，对数的真数要求大于0．即x2﹣1＞0求解即可．【解答】解：对数的真数要求大于0，即x2﹣1＞0，解得：x＞1或x＜﹣1．∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）故选B．3．下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x∈R，x2+2x+2≤0B．∀x∈R，lgx＜1C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x+cos2x=1【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题和全称命题的定义分别进行判断即可．【解答】解：要使命题的否定为假命题，则原命题为真命题即可．A．∵x2+2x+2=（x+1）2+1＞1，∴A为假命题．B．当x=10时，lg10=1，∴B为假命题．C．当数为6时，满足能被3整除，但6不是奇数，∴C为假命题．D．根据同角的三角函数关系式可知，∀x∈R，sin2x+cos2x=1，成立，∴D为真命题．故选：D．4．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．【解答】解：若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=﹣1，此时两直线垂直．当2m﹣1=0，即m=时，两直线为x=﹣4与3x+y+3=0，此时两直线相交不垂直．当m≠0且m时，两直线的斜截式方程为y=x﹣与y=．两直线的斜率为与，所以由得m=﹣1，所以m=﹣1是两直线垂直的充分不必要条件，故选A．5．设a=log3，b=（）1.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质比较a，b，c与0，1的关系即可．【解答】解：a=log3＜0，0＜（）1.2＜1，c=2＞20=1，∴a＜b＜c，故选：A6．设函数f（x）对任意x、y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．±C．2 D．1【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】可用赋值法求得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数，再利用f（1+1）=f（1）+f（1）=4即可求得f（1），从而可求得f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）对任意x、y满足f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0；再令y=﹣x代入得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．∵f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=4，∴f（1）=2，又f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选A．7．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y﹣8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．【解答】解：设与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l为：4x﹣y+m=0，即曲线y=x4在某一点处的导数为4，而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，将（1，1）代入4x﹣y+m=0，得m=﹣3，故l的方程为4x﹣y﹣3=0．故选A．8．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1）B． C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．【解答】解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1，当x＞1时，log a x＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥综上：≤a＜故选C．9．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，故排除D故选C10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】导数的运算．【分析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．【解答】解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用；不等式．【分析】先根据=＞0判断函数的单调性，进而分别看x＞1和0＜x ＜1时f （x ）与0的关系．再根据函数的奇偶性判断﹣1＜x ＜0和x ＜﹣1时f （x ）与0的关系，最后去x 的并集即可得到答案．【解答】解：=，即x ＞0时是增函数当x ＞1时，＞f （1）=0，f （x ）＞0； 0＜x ＜1时，，＜f （1）=0，f （x ）＜0．又f （x ）是奇函数，所以﹣1＜x ＜0时，f （x ）=﹣f （﹣x ）＞0；x ＜﹣1时f （x ）=﹣f （﹣x ）＜0． 故答案选B ．12．已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，﹣2） 【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f ′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2），f （0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f （x ）=ax 3﹣3x 2+1， ∴f ′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2），f （0）=1；①当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1有两个零点，不成立；②当a ＞0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a ＜0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f （）=﹣3•+1＞0；故a ＜﹣2； 综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13．计算：（）+lg +lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg +lg70+=+lg （）+1﹣lg3=+lg +1=+1+1=，故答案为：．14．已知f （x ）+2f （）=3x ，求f （x ）的解析式 （x ≠0） ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由f （x ）+2f （）=3x ，用 替换x 得 f （）+2f （x ）=3×，解方程求得f（x ） 的解析式．【解答】解：对于f （x ）+2f （）=3x ，有x ≠0，∵f （x ）+2f （）=3x ，用替换x 得f （）+2f （x ）=3×，⇒2f （）+4f （x ）=6×解得：f （x ）=（x ≠0）．故答案为：（x ≠0）．15．已知函数f （x ）=，则f [f （﹣2016）]= 0 ．【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数，结合函数的周期，转化求解即可．【解答】解：函数f （x ）=，可知x ≤﹣1时，函数的周期为2， f （﹣2016）=f （﹣2）=f （0）=2． f [f （﹣2016）]=f （2）=22﹣4=0． 故答案为：0．16．已知函数f （x ）=ln+sinx ，则关于a 的不等式f （a ﹣2）+f （a 2﹣4）＜0的解集是（） ．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0化为﹣1＜a2﹣4＜﹣a+2＜1，解不等式组可得答案【解答】解：函数f（x）=ln+sinx的定义域为（﹣1，1）且f（﹣x）=ln+sin（﹣x）=﹣（ln+sinx）=﹣f（x）故函数f（x）为奇函数又∵f（x）=ln+sinx=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx且在区间（﹣1，1）上y=ln（1+x）和y=sinx为增函数，y=ln（1﹣x）为减函数∴函数f（x）在区间（﹣1，1）上为增函数，则不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0可化为：f（a2﹣4）＜﹣f（a﹣2），即f（a2﹣4）＜f（﹣a+2），即﹣1＜a2﹣4＜﹣a+2＜1解得＜a＜2故不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）故答案为：（）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题p：∀x∈[1，12]，x2﹣a≥0．命题q：∃x0∈R，使得x02+（a﹣1）x0+1＜0．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，据复合函数的真假得到p，q中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a的范围．【解答】解：∵x∈[1，12]，x2≥1，∴命题p为真时，a≤1；∵∃x0∈R，使得x+（a﹣1）x0+1＜0，∴△=（a﹣1）2﹣4＞0⇒a＞3或a＜﹣1，∴命题q为真时，a＞3或a＜﹣1，由复合命题真值表得：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，当p真q假时，有⇒﹣1≤a≤1；当p假q真时，有⇒a＞3．故a的取值范围为﹣1≤a≤1或a＞318．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．（2）若对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）当m=0时，f（x）=mx2﹣mx﹣1=﹣1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则有，由此能求出m的取值范围．（2）由f（x）＜﹣m+5，知（x2﹣x+1）m﹣6＜0，由对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，知只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．由此能求出x的取值范围．【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=mx2﹣mx﹣1=﹣1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则有，∴﹣4＜m＜0，综上，m的取值范围是（﹣4，0]．（2）∵f（x）＜﹣m+5，∴mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5，∴（x2﹣x+1）m﹣6＜0，∵对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，且x2﹣x+1＞0，∴只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．∴x的取值范围是（﹣1，2）．19．已知函数f（x）=|1﹣|，（x＞0）．（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b），求证： +=2；（2）是否存在实数a，b（1≤a≤b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）作出函数f（x）的图象，由图象可得，0＜a＜1＜b，去绝对值，即可得证；（2）假设存在实数a，b（1≤a≤b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，运用单调性，结合方程的解，即可判断．【解答】解：（1）证明：作出函数f（x）的图象，如图：由图象可得，0＜a＜1＜b，即有﹣1=1﹣，即为+=2；（2）假设存在实数a，b（1≤a≤b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，由f（x）在[1，+∞）递增，可得f（a）=a，f（b）=b，即有1﹣=a，1﹣=b，即a，b为方程1﹣=x的两根，由1﹣=x 即x 2﹣x +1=0无解，则不存在实数a ，b （1≤a ≤b ），使得函数y=f （x ）的定义域、值域都是[a ，b ]．20．已知函数f （x ）=ln （x +a ）﹣x 2﹣x 在x=0处取得极值（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程f （x ）=﹣x +b 在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）令f ′（x ）=0，即可求得a 值；（2）f （x ）=﹣x +b 在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln （x +1）﹣x 2+x 在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g （x ）=ln （x +1）﹣x 2+x 在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b 的范围．【解答】解：（1）f ′（x ）=﹣2x ﹣1，∵f ′（0）=0，∴a=1．（2）f （x ）=ln （x +1）﹣x 2﹣x所以问题转化为b=ln （x +1）﹣x 2+x 在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g （x ）=ln （x +1）﹣x 2+x 在[0，2]上最值和极值情况．∵g ′（x ）=﹣，∴g （x ）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max （x ）=g （1）=+ln2，g min （x ）=g （0）=0，又g （2）=﹣1+ln3，∴当b ∈[﹣1+ln3， +ln2）时，方程有两个不同解．21．已知f （x ）=﹣（a +1）x 2+4x +1（a ∈R ）（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间；（2）当a ∈R 时，讨论函数的单调增区间；（3）是否存在负实数a ，使x ∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3？【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）写出a=﹣1的函数解析式，再求导，分别令大于0，小于0，得到单调区间；（2）求出导数，分解因式，对a讨论，分a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1五种情况，求出单调增区间；（3）假设存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3．再由a≥﹣2，a≤﹣2，讨论单调区间，得到最小值，再解出a，检验，即可得到答案．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=﹣x3+4x+1，f′（x）=﹣x2+4，由f′（x）＜0，解得x＞2或x＜﹣2；由f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜2，故函数的单调减区间为：（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调增区间为：（﹣2，2）；（2）f′（x）=ax2﹣2（a+1）x+4=（ax﹣2）（x﹣2），①当a=0，由f′（x）＞0得到x＜﹣2，即增区间为（﹣∞，﹣2）；②当a＜0，f′（x）＞0，得到＜x＜2，即增区间为（，2）；③当0＜a＜1，f′（x）＞0，得到x＞或x＜2，即增区间为（﹣∞，2），（，+∞），④当a=1，f（x）=（x﹣2）2≥0，即增区间为（﹣∞，+∞）；⑤当a＞1，f′（x）＞0，得到x＜或x＞2，即增区间为（2，+∞），（﹣∞，）．（3）假设存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3．因a＜0，由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[﹣1，0]上是分类“契机”）：①当≤﹣1⇔a≥﹣2，当x∈[﹣1，0）⊆（，2），f（x）递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣3，即﹣（a+1）﹣3=﹣3，解得a=﹣＞﹣2；②当≥﹣1⇔a≤﹣2，由单调性知：f（x）min=f（）=﹣3，化简得：3a2+3a﹣1=0，解得a=＞﹣2，不合要求．综上，存在这样的负数a，且a=﹣为所求．选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．2016年12月8日。
安徽省安庆市望江中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(文)试卷 Word版含解析
2017-2018学年安徽省安庆市望江中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡的相应位置．1．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，B={y|y=lnx，1≤x≤e2}，则A∩（∁R B）=（）A． [﹣3，2] B． [﹣2，0）∪（0，3] C． [﹣3，0] D． [﹣3，0）2．在△ABC中，“A＞B”是“tanA＞tanB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=（）A．﹣2 B． 2 C． 1 D． 04．已知函数f（x）满足f（tanx）=sin2x+1，则f（tan）的值是（）A． B． C． D．5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．有一内角为30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形6．若函数f（x）=x2+2xtanθ﹣1在[﹣1，]上为单调函数，则θ的取值范围是（） A．（﹣+kπ，﹣+kπ]∪[+kπ，+kπ）（k∈Z）B． [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．（﹣+kπ，﹣+kπ]∪[+kπ，+kπ）（k∈Z）D． [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）7．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（）A． f′（1）+f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf'（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x）取得极小值8．函数f（x）=ln（e﹣x2）的图象是（）A． B．C． D．9．已知定义在R上的奇函数的内角A满足f（cosA）≤0，则角A的取值范围为（）A． B． C． D．10．定义函数，给出下列四个：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当时，f（x）＜0．上述中正确的个数是（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置．11．函数f（x）=的定义域是．12．曲线y=2x在点P（0，1）处的切线方程为．13．已知函数f（x）=sin2x的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，所对应函数在区间上单调递减，则实数φ的值是．14．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．15．给出下列五个结论：①函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）有3个零点；②函数y=log2（2x+3）的图象可由函数y=log22x的图象向左平移3个单位得到③若奇函数f（x）对定义域内的任意x都有f（x）=f（2﹣x），则函数f（x）是周期函数；④函数y=f（x﹣2）与函数y=f（2﹣x）所对应的图象关于直线x=2对称；⑤对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0（其中f′（x），g′（x）分别是f（x），g（x）的导函数，则函数y=f（x）﹣g （x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}．（Ⅰ）若A∩B=[2，3]，求实数m的值；（Ⅱ）若A⊆C R B，求实数m的取值范围．17．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，且a、b、c互不相等，设a=4，c=3，A=2C．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）求b的值．18．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，k]（k＞0）上的最大值．19．已知函数f（x）=mx3+nx+k为奇函数，且f（x）在x=时取得极值﹣．（Ⅰ）求实数m，n，k的值；（Ⅱ）过定点Q（a，b）（a＞0）作曲线y=f（x）的切线，若这样的切线可以作出三条．求证：﹣a＜b＜f（a）．20．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c．（1）求角A的大小；（2）已知当x∈[，]时，函数f（x）=cos2x+asinx的最大值为3，求△ABC的面积．21．已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．2014-2015学年安徽省安庆市望江中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡的相应位置．1．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，B={y|y=lnx，1≤x≤e2}，则A∩（∁R B）=（）A． [﹣3，2] B． [﹣2，0）∪（0，3] C． [﹣3，0] D． [﹣3，0）考点：一元二次不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：先化简集合A、B，求出C R B，借助数轴可求得答案．解答：解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，B={y|y=lnx，1≤x≤e2}={y|0≤y≤2}，即C R B={y|y＜0或y＞2}，∴A∩（C R B）={x|﹣3≤x＜0}=[﹣3，0），故选D．点评：本题考查一元二次不等式的解法、集合的交并补运算，属基础题．2．在△ABC中，“A＞B”是“tanA＞tanB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：要判断A＞B是tanA＞tanB的什么条件，只要判断，其中一个成立时，另一个是否也成立即可，我们可以利用举反例进行判断；解答：解：当A=，B=时，满足A＞B，但是tanA=﹣，tanB=，tanA＜tanB，所以△ABC中，“A＞B”推不出“tanA＞tanB”；当tanA＞tanB，取A=，B=，满足tanA＞tanB，推不出A＞B，∴“A＞B”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要条件，故选D；点评：本题考查了充要条件的判断，做题时一定要细心，此题利用特殊值法进行判断会比较简单，是一道基础题；3．已知函数f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=（）A．﹣2 B． 2 C． 1 D． 0考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（1）=f（﹣1）=（﹣1）2﹣，计算求得结果．解答：解：由于函数f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=f（﹣1）=（﹣1）2﹣=2，故选 B．点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的值，属于基础题．4．已知函数f（x）满足f（tanx）=sin2x+1，则f（tan）的值是（）A． B． C． D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：将x=代入已知等式即可求出f（tan）的值．解答：解：把x=代入得：f（tan）=sin+1=sin（6π+）+1=sin+1=．故选：D．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．有一内角为30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由题中等式结合正弦定理，算出A=B=，由此可得△ABC是以C为直角的等腰直角三角形．解答：解：∵，∴结合正弦定理，可得sinA=cosA，因此tanA=1，可得A=．同理得到B=∴△ABC是以C为直角的等腰直角三角形故选：B点评：本题给出三角形的边角关系式，判断三角形的形状．着重考查了正弦定理、同角三角函数的关系和三角形的形状判断等知识点，属于基础题．6．若函数f（x）=x2+2xtanθ﹣1在[﹣1，]上为单调函数，则θ的取值范围是（） A．（﹣+kπ，﹣+kπ]∪[+kπ，+kπ）（k∈Z）B． [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．（﹣+kπ，﹣+kπ]∪[+kπ，+kπ）（k∈Z）D． [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）考点：函数单调性的性质．专题：数形结合．分析：若二次函数在某区间内是单调函数，则对称轴在区间外．解答：解：∵函数f（x）=x2+2xtanθ﹣1的对称轴为x=﹣tanθ∴若函数f（x）=x2+2xtanθ﹣1在[﹣1，]上为单调函数，则﹣tanθ≤﹣1或﹣tanθ≥∴tanθ≥1或tanθ≤﹣∴θ∈（﹣+kπ，﹣+kπ]∪[+kπ，+kπ）（k∈Z），故选A．点评：二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．7．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（）A． f′（1）+f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf'（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x）取得极小值考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：根据函数y=xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性画出函数f（x）的大致图象，从而可以得到正确答案．解答：解：由函数y=xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，函数f（x）大致图象是，故f′（1）=0，f′（﹣1）=0，所以A、B、D正确；故选C．点评：本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．本题有一定的代表性，是一道好题．8．函数f（x）=ln（e﹣x2）的图象是（）A． B．C． D．考点：函数的图象；复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的对称性和奇偶性以及函数的取值即可得到结论．解答：解：由e﹣x2＞0，得﹣＜x＜，则f（x）为偶函数关于y轴对称，f（0）=lne=1，排除B，D，当0＜x＜1时，函数t=e﹣x2为减函数，而y=lnt为增函数，根据复合函数单调性的性质可知此时函数f（x）为减函数，故排除C，故选：A点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的取值性质以及复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．9．已知定义在R上的奇函数的内角A满足f（cosA）≤0，则角A的取值范围为（）A． B． C． D．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：先根据函数f（x）为奇函数求出f（﹣）的值，根据f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，判断在区间（0，+∞）上的单调性进而分别看当x＞0时和x＜0时，cosA的取值范围，进而求出A的范围．解答：解：∵函数f（x）为奇函数∴f（）=﹣f（）=0∵f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴当x＞0时，x≤，f（x）≤0；当x＜0时，x≤﹣，f（x）≤0∴对于f（cosA）≤0，解集为0≤cosA≤或cosA≤∵A为三角形内角∴0＜A＜πA的取值范围为故选C点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．属基础题．10．定义函数，给出下列四个：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当时，f（x）＜0．上述中正确的个数是（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：由题意可得：函数，再根据周期函数的定义结合其图象可得函数的周期等性质即可．解答：解：由题意可得：函数，即，作出其图象如图，从图象上可以看出：（1）该函数的值域为[﹣，1]；故（1）错；（2）当且仅当或x=2kπ（k∈Z）时，该函数取得最大值；帮（2）错；（3）该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错；（4）当且仅当时，f（x）＜0，（4）正确．故选A．点评：本题主要考查三角函数的有关性质，如周期性，单调性，最值等性质，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置．11．函数f（x）=的定义域是（1，2）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，求出解集即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴，解得﹣＜x＜2；∴函数f（x）的定义域是（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题的关键是列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，是容易题．12．曲线y=2x在点P（0，1）处的切线方程为y=xln2+1 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：欲求在点P（0，1）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：∵y=2x，∴y′=2x ln2，∴曲线y=2x在点P（0，1）处的切线的斜率为：k=2°ln2=ln2，∴曲线y=2x在点P（0，1）处的切线的方程为：y﹣1=ln2（x﹣0），即y=xln2+1，故答案为：y=xln2+1．点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力和化归与转化思想．属于基础题．13．已知函数f（x）=sin2x的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，所对应函数在区间上单调递减，则实数φ的值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先根据函数图象平移的原则，再利用正弦函数的单调性，即可得到结论．解答：解：函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位得y=sin（2x+2φ）的图象，∵对应函数在区间上单调递减可得2×+2φ≥2kπ+（k∈Z），或2×+2φ≤2kπ+（k∈Z），∴φ≥kπ﹣或φ≤kπ﹣（k∈Z），即：φ=kπ﹣（k∈Z），令k=1，可得φ=，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数的性质，属于基础题．14．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为﹣2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：计算题．分析：由曲线y=x n+1（n∈N*），知y′=（n+1）x n，故f′（1）=n+1，所以曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn﹣lg（n+1），由此能求出a1+a2+…+a99．解答：解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∵a n=lgx n，∴a n=lgn﹣lg（n+1），∴a1+a2+…+a99=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．15．给出下列五个结论：①函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）有3个零点；②函数y=log2（2x+3）的图象可由函数y=log22x的图象向左平移3个单位得到③若奇函数f（x）对定义域内的任意x都有f（x）=f（2﹣x），则函数f（x）是周期函数；④函数y=f（x﹣2）与函数y=f（2﹣x）所对应的图象关于直线x=2对称；⑤对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0（其中f′（x），g′（x）分别是f（x），g（x）的导函数，则函数y=f（x）﹣g （x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的序号是③④⑤（填上你认为正确的所有结论的序号）．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：①在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，利用图象得结论．②根据图象的平移即可得出，③利用奇函数定义、及题目给的等式f（x）=f（1﹣x），判断即可，④若f（a﹣x）=f（a+x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称．⑤根据导数和函数的单调的性质关系以及函数的奇偶性，即可判断．解答：解对于①：函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，由图得交点1个，故函数f（x）=sinx﹣x的零点的个数是1．故①错误，对于②y=log2（2x+3）=log22（x+）=的图象可由函数y=log22x的图象向左平移个单位得到，故②错误．对于③f（﹣x）=f[2﹣（﹣x）]=f（2+x），又通过奇函数得f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2+x）=﹣f（x），∴f（4+x）=f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，对于④若f（a﹣x）=f（a+x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称．故④正确对于⑤根据题意，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；又由奇函数在定义域内单调性相同，偶函数单调性相反，所以x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）﹣g′（x）＞0恒成立，所以函数y=f（x）﹣g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，故⑤正确；故答案为：③④⑤点评：本题综合考查了函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}．（Ⅰ）若A∩B=[2，3]，求实数m的值；（Ⅱ）若A⊆C R B，求实数m的取值范围．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：集合．分析：（1）利用一元二次不等式的解法分别化简集合A，B，再利用交集的定义即可得出；（2）利用补集、子集的运算即可得出．解答：解：（1）要使函数f（x）=有意义，则3+2x﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤3．∴其定义域A={x|﹣1≤x≤3，x∈R}，由x2﹣2mx+m2﹣9≤0，解得m﹣3≤x≤m+3，∴B={x|m﹣3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}，∵A∩B=[2，3]，∴m﹣3=2，m+3≥3．∴m=5．（2）∁R B={x|x＜m﹣3，或x＞m+3}．∵A⊆C R B，∴3＜m﹣3或﹣1＞m+3，解得m＞6或m＜﹣4．∴m的取值范围是m＞6或m＜﹣4．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算，考查了计算能力，属于中档题．17．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，且a、b、c互不相等，设a=4，c=3，A=2C．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）求b的值．考点：正弦定理；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由正弦定理得到sinA和sinC的关系根据A=2C，求得cosC．（Ⅱ）余弦定理求得c2=a2+b2﹣2abcosC，把a=4，c=3和（Ⅰ）中求得的cosC，进而求得b．解答：（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，得，因为A=2C，所以，即，解得（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得，解得．因为a、b、c互不相等，所以．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．18．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，k]（k＞0）上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）分类讨论，即可求函数f（x）在区间[0，k]（k＞0）上的最大值．解答：解：（Ⅰ）由f′（x）=x（e x﹣2）＞0，可得x＜0或x＞ln2，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（ln2，+∞）；由f′（x）=x（e x﹣2）＜0，可得0＜x＜ln2，∴函数f（x）的单调增区间为（0，ln2）；（Ⅱ）∵f（0）=f（1）=﹣1，且f（x）在（0，ln2）上递减，在（ln2，1）上递增，∴0＜k≤1时，f（x）max=f（0）=﹣1，k＞1时，f（x）max=f（k）=（k﹣1）e k﹣k2．点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f （b）比较而得到的．19．已知函数f（x）=mx3+nx+k为奇函数，且f（x）在x=时取得极值﹣．（Ⅰ）求实数m，n，k的值；（Ⅱ）过定点Q（a，b）（a＞0）作曲线y=f（x）的切线，若这样的切线可以作出三条．求证：﹣a＜b＜f（a）．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据奇函数的性质，得到f（0）=0，求出k，在根据f（x）在x=时取得极值﹣得到f′（）=0，f（）=﹣，代入求值即可．（Ⅱ）先设切点为（t，t3﹣t），根据导数的几何是切线的斜率，列出关于t的一个方程，然后根据此方程必须有三个不同的实数解，结合相应函数有三个不同的零点，最后利用函数的极值点列出不等关系即可证明．解答：解（Ⅰ）：∵f（x）=mx3+nx+k为奇函数．∴f（0）=0，∴k=0，∴f′（x）=3mx3+n，∵f（x）在x=时取得极值﹣．∴f′（）=0，f（）=﹣∴解得m=1，n=﹣1，（Ⅱ）设切点P（t，t3﹣t），则切线方程为：y﹣t3+t=（3t2﹣1）（x﹣t），∵过定点Q（a，b），∴b﹣t3+t=（3t2﹣1）（a﹣t），即2t3﹣3at2+a+b=0，∵直线PQ有三条，∴方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个不同的实数解，（8分）∴函数g（t）=2t3﹣3at2+a+b有三个不同的零点，∴g′（t）=6t2﹣6at，令g′（t）=0，解得t=0，或t=a，当t=0时，g（t）有极大值，极大值为g（0）=a+b，当t=a时，g（t）有极小值，极小值为g（a）=a﹣a3+b，∴∴﹣a＜b＜a3﹣a，∴﹣a＜b＜f（a）．点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、函数的零点、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．20．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c．（1）求角A的大小；（2）已知当x∈[，]时，函数f（x）=cos2x+asinx的最大值为3，求△ABC的面积．考点：正弦定理；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）用题目中所给的条件建立方程，通过消元得到关于角A的等式，利用它求角A 的砰然函数值来，进而求出角．（2）题目中知道了最大值为3，利用f max=3建立相关的方程，此处要用二次函数在某一个确定区间上的最值问题的相关知识来最值为3的条件转化为参数a的方程来求值，进而再由面积公式求出三角形的面积，解答：解：（1）因为B=60°，所以A+C=120°，C=120°﹣A∵a=（﹣1）c，由正弦定理可得：sinA=（﹣1）sinCsinA=（﹣1）sin（120°﹣A）=（﹣1）（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=（﹣1）（cosA+sinA）整理得，tanA=1∴A=45°．（2）f（x）=1﹣2sin2x+asinx，令t=sinx，∵x∈[，]，∴t∈[，1]f（x）=g（t）=﹣2t2+at+1=﹣2（t﹣）2++1，t∈[，1]若＜，即a＜2f max=g（）=a+=3，故a=5（舍去）若≤≤1即2≤a≤4，f max=g（）=+1=3，得a=4若＞1，即a＞4，f max=g（）=1﹣2+a=a﹣1=3，得a=4（舍去）故a=4，S△ABC=6+2．点评：本题考查了正弦定理，角的变换，三角转化为函数，利用函数的相关知识得到关于最值3的方程，求参数求最值，方法灵活，技巧性很强，是一道能训练答题都灵活答题能力的好题21．已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．（2）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）﹣kx的解析式，即（1﹣k）x2+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．解答：解：（1）依题可设g（x）=a（x+1）2+m﹣1（a≠0），则g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；又g'（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1∴g（x）=（x+1）2+m﹣1=x2+2x+m，，设P（x o，y o），则=当且仅当时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值当m＞0时，解得当m＜0时，解得（2）由（x≠0），得（1﹣k）x2+2x+m=0（*）当k=1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）﹣kx有一零点；当k≠1时，方程（*）有二解⇔△=4﹣4m（1﹣k）＞0，若m＞0，，函数y=f（x）﹣kx有两个零点，即；若m＜0，，函数y=f（x）﹣kx有两个零点，即；当k≠1时，方程（*）有一解⇔△=4﹣4m（1﹣k）=0，，函数y=f（x）﹣kx有一零点综上，当k=1时，函数y=f（x）﹣kx有一零点；当（m＞0），或（m＜0）时，函数y=f（x）﹣kx有两个零点；当时，函数y=f（x）﹣kx有一零点．点评：本题主要考查二次函数的顶点式、导数的几何意义、函数零点与方程根的关系．主要考查基础知识的综合运用和学生的计算能力．。
安徽省宿州市灵璧中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试卷(实验班) Word版含解析
2017-2018学年安徽省宿州市灵璧中学高一（下）第一次月考数学试卷（实验班）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n•B．a n=（﹣1）n•C．a n=（﹣1）n•D．a n=（﹣1）n•2．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA3．已知等比数列{a n}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项a n=（）A．3•2n﹣4B．3•2n﹣3C．3•2n﹣2D．3•2n﹣14．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°5．已知S n表示数列{a n}的前n项和，若对任意的n∈N*满足a n+1=a n+a2，且a3=2，则S2016=（）A．1007×2015 B．1008×2016 C．1008×2015 D．1007×20166．如图，为了测量某湖泊的两侧A，B的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离是（）A．角A、B和边b B．角A、B和边a C．边a、b和角C D．边a、b和角A7．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或8．在△ABC中，若=3，b2﹣a2=ac，则cosB的值为（）A．B．C．D．9．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于（）A．B．C．D．10．在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，，则=（）A．B． C．3 D．﹣311．已知三个向量=（a，cos），=（b，cos），=（c，cos）共线，其中a，b，c，A，B，C分别是△ABC的三条边和三个角，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形=3+2+x n；数列{y n}：；数列{z n}：12．定义数列{x n}：x1=1，x n+1z n=；若{y n}的前n项的积为P，{z n}的前n项的和为Q，那么P+Q=（）A．1 B．2 C．3 D．不确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣1，则它的通项公式为a n=．14．在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于．15．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积，则角C=．16．已知点O（0，0），A0（0，1），A n（6，7），点A1，A2…，A n（n∈N，n≥2）是线段﹣1A0A n的n等分点，则|++…++|等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}满足：a5=9，a4﹣2a2=1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若等比数列{b n}的前n项和为T n，且b1=2a1，b4=a4+a5，求T n．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d=2，且S5=4a3+6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知a，b，c是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，=（a+c，b﹣c），=（b，a﹣c），∥．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求b﹣c的取值范围．21．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？22．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数+1列．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求证：数列{a n+2n}是等比数列（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．2015-2016学年安徽省宿州市灵璧中学高一（下）第一次月考数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n•B．a n=（﹣1）n•C．a n=（﹣1）n•D．a n=（﹣1）n•【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用由数列﹣1，，﹣，，…．可知：奇数项的符号为“﹣”，偶数项的符号为“+”，其分母为奇数2n﹣1，分子为n2．即可得出．【解答】解：由数列﹣1，，﹣，，…可知：奇数项的符号为“﹣”，偶数项的符号为“+”，其分母为奇数2n﹣1，分子为n2．∴此数列的一个通项公式．故选：A．2．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理表示出a，b，sinA及sinB的关系式，变形后即可得到答案C一定正确．【解答】解：根据正弦定理得：=，即asinB=bsinA．故选C3．已知等比数列{a n}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项a n=（）A．3•2n﹣4B．3•2n﹣3C．3•2n﹣2D．3•2n﹣1【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，代入等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a3=3，a10=384，得，∴q=2．则，∴．故选：B．4．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°【考点】余弦定理．【分析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选B．=a n+a2，且a3=2，则S2016= 5．已知S n表示数列{a n}的前n项和，若对任意的n∈N*满足a n+1（）A．1007×2015 B．1008×2016 C．1008×2015 D．1007×2016【考点】数列的求和．【分析】由已知条件推出数列{a n}是首项为0，公差为1的等差数列，根据等差数列前n项和公式，即可求得S2016．=a n+a2，【解答】解：由a n+1当n=1，a2=a n+a2，a1=0，当n=2，a3=a2+a2，a2=1，﹣a n=1，于是a n+1∴数列{a n}是首项为0，公差为1的等差数列，S2016==2015×1008，故选：C．6．如图，为了测量某湖泊的两侧A，B的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离是（）A．角A、B和边b B．角A、B和边a C．边a、b和角C D．边a、b和角A【考点】正弦定理．【分析】根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．【解答】解：对于A可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于B也可以确定唯一的A，B两点间的距离．对于C直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．对于D，边a、b和角A，当a＞b时，可以确定唯一的A，B两点间的距离，当a＜b时，不能确定唯一的A，B两点间的距离．故选D．7．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a2，a3，a1成等差数列得到关于q的方程，解之即可．【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3=a2+a1，∵a1≠0，∴q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=（舍去）；∴==．故选C．8．在△ABC中，若=3，b2﹣a2=ac，则cosB的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，得到c=3a，代入第二个等式变形出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b与c代入即可求出值．【解答】解：将=3利用正弦定理化简得：=3，即c=3a，把c=3a代入b2﹣a2=ac，得：b2﹣a2=ac=a2，即b2=a2，则cosB===．故选：D．9．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列，结合，我们易根据等差数列的性质得到S8=3S4，S16=10S4，代入即可得到答案．【解答】解：根据等差数列的性质，若数列{a n}为等差数列，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列；又∵，则数列S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12是以S4为首项，以S4为公差的等差数列则S8=3S4，S16=10S4，∴=故选A10．在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，，则=（）A．B． C．3 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的性质；余弦定理．【分析】先求a+c的平方，利用a、b、c成等比数列，结合余弦定理，求解ac的值，然后求解．【解答】解：a+c=3，所以a2+c2+2ac=9…①a、b、c成等比数列：b2=ac…②由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB…③，解得ac=2，=﹣accosB=故选B．11．已知三个向量=（a，cos），=（b，cos），=（c，cos）共线，其中a，b，c，A，B，C分别是△ABC的三条边和三个角，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量、共线得acos=bcos，结合正弦定理与二倍角的正弦公式化简，可得sin=sin，从而得到A=B．同理由、共线算出B=C，从而得到A=B=C，所以△ABC是等边三角形．【解答】解：∵与共线，∴acos=bcos，由正弦定理得sinAcos=sinBcos，∵sinA=2sin cos，sinB=2sin cos，∴2sin cos cos=2sin cos cos，化简得sin=sin．又∵0＜＜，0＜＜，∴=，可得A=B．同理，由与共线得到B=C，∴△ABC中，A=B=C，可得△ABC是等边三角形．故选：B=3+2+x n；数列{y n}：；数列{z n}：12．定义数列{x n}：x1=1，x n+1z n=；若{y n}的前n项的积为P，{z n}的前n项的和为Q，那么P+Q=（）A．1 B．2 C．3 D．不确定【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】由x n +1=3+2+x n ，变形为，利用“累乘求积”可得P=．由==，利用“累加求和”可得Q ，进而得到P +Q ．【解答】解：∵x n +1=3+2+x n ，∴，∴P=y 1y 2•…•y n ==．∵==，∴Q=…+=．∵x 1=1，∴P +Q==1．故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n ﹣1，则它的通项公式为a n = ． 【考点】等比数列的通项公式．【分析】先根据数列{a n }的前n 项和为S n =3n ﹣1，求出a 1，再根据 当n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1验证求出 a n ，n=1时是否也满足，就可求出数列{a n } 的通项公式． 【解答】解：∵数列{a n }的前n 项和为S n =3n ﹣1，∴s 1=2， 3n ﹣1﹣（3n ﹣1﹣1）=2×3n ﹣1，且n=1是也满足a n =2×3n ﹣1 ∴数列{a n } 的通项公式为a n =2×3n ﹣1 故答案为2×3n ﹣114．在锐角三角形ABC 中，BC=1，B=2A ，则的值等于 ．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理和B=2A 及二倍角的正弦公式化简可得值；【解答】解：根据正弦定理得：，因为B=2A ，化简得即=2；故答案为：2．15．已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积，则角C= ．【考点】余弦定理的应用．【分析】先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cosC=sinC，根据C 是△ABC的内角，可求得C的值．【解答】解：由题意，∵∴cosC=sinC∵C是△ABC的内角∴C=45°故答案为：45°16．已知点O（0，0），A0（0，1），A n（6，7），点A1，A2…，A n（n∈N，n≥2）是线段﹣1A0A n的n等分点，则|++…++|等于．【考点】平面向量的坐标运算；向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则、向量共线定理及其模的计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，（n∈N，n≥2）是线段A0A n的n等分点，∵点A1，A2，…，A n﹣1∴，，…，，又=+，…，═+，∴++…++=+=（n+1）（0，1）+（6，6）=（n+1）（3，4），∴|++…++|=（n+1）=5（n+1）．故答案为：5（n+1）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}满足：a5=9，a4﹣2a2=1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若等比数列{b n}的前n项和为T n，且b1=2a1，b4=a4+a5，求T n．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}中，由a5=9，a4﹣2a2=1，根据等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式及前n项和S n．（Ⅱ）等比数列{b n}中，由（Ⅰ）和b1=2a1，b4=a4+a5，先分别求出b1和b4，由等比数列通项公式求出公比，由此能求出等比数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=9，a4﹣2a2=1，∴，…解得．…∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，…=n2．…（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由（Ⅰ）和题设得：b1=2a1=2，b4=a4+a5=16．…∵，…∴2q3=16，解得q=2，∴数列{b n}是以b1=2为首项，q=2为公比的等比数列．∴T n==2n+1﹣2．…18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和已知条件求得sinB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．（Ⅱ）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a，∴，∴．（Ⅱ）依题意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d=2，且S5=4a3+6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由已知条件得．当c﹣1时，b n=2n．=n（n+1）=n2+n；当c≠1时，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为公差d=2，且S5=4a3+6，所以5a1+．…解得a1=2．…所以等差数列{a n}的通项公式为a n=2n．…（Ⅱ）因为数列{}是首项为1，公比为c的等比数列，所以．…所以．…（1）当c﹣1时，b n=2n．…所以=n（n+1）=n2+n．…（2）当c≠1时， +2n•c n﹣1，①…，②…①﹣②得﹣2n•c n…=，…∴．…20．已知a，b，c是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，=（a+c，b﹣c），=（b，a﹣c），∥．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求b﹣c的取值范围．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知，利用向量共线的性质可得（a+c）（a﹣c）=b（b﹣c），整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可得：=，从而利用三角函数恒等变换的应用可得b﹣c=（sinB﹣sinC）=sin（B﹣），结合范围B﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵=（a+c，b﹣c），=（b，a﹣c），∥．∴（a+c）（a﹣c）=b（b﹣c），整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵a=2，A=，∴由正弦定理可得：=，∴b﹣c=（sinB﹣sinC）= [sinB﹣sin（﹣B）]= [sinB﹣cosB﹣sinB]= [sinB﹣cosB]=sin（B﹣），∵B∈（0，），B﹣∈（﹣，），可得：sin（B﹣）∈（﹣，），∴b﹣c=sin（B﹣）∈（﹣2，）．21．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：（1）因为图象的最高点为所以A=，由图知y=Asinϖx的周期为T=12，又T=，所以ω=，所以y=所以M（4，3），P（8，0）|MP|=（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）由正弦定理得，所以NP=，MN=设使折线段赛道MNP为L则L===所以当角θ=30°时L的最大值是．22．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求证：数列{a n+2n}是等比数列（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；等差数列的性质．【分析】（1）利用数列的条件，建立三个数的方程，求解a1，a2，a3的值．（2）利用等比数列的定义去证明．（3）利用放缩法证明不等式．【解答】解：（1）因为a1，a2+5，a3成等差数列，所以a1+a3=2（a2+5），①，当n=1时，2a1=a2﹣3，②当n=2时，2（a1+a2）=a3﹣7，③所以联立①②③解得，a1=1，a2=5，a3=19．（2）由，①得，②，两式相减得，所以．+2n+1=3（a n+2n），因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列．所以a n+1又a1=1，a1+21=3，所以a n+2n=3n，即a n=3n﹣2n．（3）因为，所以，所以当n≥2时，，两边同时相乘得，所以++…+＜（1++…+（）n﹣2）•=•＜＜．2016年10月12日。
安徽省巢湖市无为一中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省巢湖市无为一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条D．既不充分又不必要条件3．已知α是第二象限角，tanα=﹣，则sinα=（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x|C．D．y=x3+15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0 C．1 D．6．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．已知x=lnπ，y=logπ，z=e，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x8．已知﹣＜x ＜0，sinx +cosx=，则sinx ﹣cosx 的值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣9．已知P 、Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos ∠POQ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣10．已知函数g （x ）是R 上的奇函数，且当x ＜0时g （x ）=﹣ln （1﹣x ），设函数f （x ）=，若f （2﹣x 2）＞f （x ），则实数x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣2，1）11．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且f （1﹣x ）=f （1+x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2，则函数y=f （x ）﹣log 5x 的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．设D 是函数y=f （x ）定义域内的一个子区间，若存在x 0∈D ，使f （x 0）=﹣x 0，则称x 0是f （x ）的一个“开心点”，也称f （x ）在区间D 上存在开心点．若函数f （x ）=ax 2﹣2x﹣2a ﹣在区间[﹣3，﹣]上存在开心点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）B ．[﹣，0]C ．[﹣，0]D ．[﹣，﹣]二、填空题13．设函数f （x ）=，则不等式f （x ）≤2的解集是 ．14．△ABC 中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC 的面积等于 ．15．函数f （x ）=e x +x 2+x +1与g （x ）的图象关于直线2x ﹣y ﹣3=0对称，P ，Q 分别是函数f （x ），g （x ）图象上的动点，则|PQ |的最小值为 ．16．下列说法正确的有 （填序号）①命题“若x=，则sinx=”的逆命题为真命题②在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B③命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”④函数f（x）=x﹣sinx在R上有且只有一个零点⑤已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形中心角为1．三、解答题（共70分）．17．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B．（1）若a=，求集合A∩（∁U B）（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．19．某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a （3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．20．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2+bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．2015-2016学年安徽省巢湖市无为一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】并集及其运算．【分析】先由M∪{1}={1，2，3}可知集合M必含2和3，是否含1，不确定，则得出两种可能集合，得出答案．【解答】解：满足条件M∪﹛1﹜=﹛1，2，3﹜的集合M，M必须包含元素2，3，所以不同的M集合，其中的区别就是否包含元素1．那么M可能的集合有{2，3}和{1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查集合的并集运算，属于基础题目，较简单，掌握并集的定义即可．2．设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的性质判断出“x＞y＞0”能推出“”，反之不成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：当x＞y＞0时成立，若，则出现x＞y＞0和x＜y＜0两种情形，即若成立，则x＞y＞0不一定成立，所以“x＞y＞0”是“”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件应该先判断前者是否能推出后者；反之后者是否能推出前者，利用充要条件的有关定义进行判断．3．已知α是第二象限角，tanα=﹣，则sinα=（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】解：tanα==﹣，∴cosα=﹣sinα，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=，又α是第二象限角，sinα＞0，∴sinα=，故选：C．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式，三角函数值在各象限的符号．要做到牢记公式，并熟练应用．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x|C．D．y=x3+1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数奇偶性的定义及基本函数的单调性可作出判断．【解答】解：函数y=log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且log2|﹣x|=log2|x|，∴函数y=log2|x|为偶函数，当x＞0时，函数y=log2|x|=log2x为R上的增函数，所以在（1，2）上也为增函数，故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0 C．1 D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】函数f（x）=Asin（ωx+φ）A，ω，φ图象可知A，可求得ω与φ的值，从而可求f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知A=2，==，∴T=π，又T=，∴ω=2．又×2+φ=，∴φ=，∴f （x ）=2sin （2x +），∴f （）=2sin （×2+）=．故选：D ．【点评】本题考查由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，求得f （x ）=2sin （2x +）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．6．若三角形ABC 中，sin （A +B ）sin （A ﹣B ）=sin 2C ，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sinC 不为0得到sin （A ﹣B ）=sinC ，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，【解答】解：∵△ABC 中，sin （A +B ）=sinC ，∴已知等式变形得：sinCsin （A ﹣B ）=sin 2C ，即sin （A ﹣B ）=sinC=sin （A +B ），整理得：sinAcosB ﹣cosAsinB=sinAcosB +cosAsinB ，即2cosAsinB=0，∴cosA=0或sinB=0（不合题意，舍去），∴A=90°，则此三角形形状为直角三角形．故选：B ．【点评】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．已知x=lnπ，y=logπ，z=e，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，判断出x、y、z与0、的大小关系即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞1，y=logπ＜0，z=e∈（0，1），∴y＜z＜x，故选：D．【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用：比较大小，一般与中间量：0、1进行比较，属于基础题．8．已知﹣＜x＜0，sinx+cosx=，则sinx﹣cosx的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意可得sinxcosx的值，且sinx＜0，cosx＞0，再根据sinx﹣cosx=﹣，计算求得结果．【解答】解：∵sinx+cosx=，﹣＜x＜0，∴平方可得1+2sinxcosx=，∴sinxcosx=﹣，∵sinx＜0，cosx＞0，则sinx﹣cosx=﹣=﹣=﹣．故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．9．已知P 、Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos ∠POQ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣ 【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin ∠xOP 和cos ∠xOQ 的值，利用同角三角函数的基本关系求得 cos ∠xOP 和 sin ∠xOQ ，再利用两角和的余弦公式求得cos ∠POQ=cos （∠xOP +∠xOQ ）的值．【解答】解：由题意可得，sin ∠xOP=，∴cos ∠xOP=；再根据cos ∠xOQ=，可得 sin ∠xOQ=﹣．∴cos ∠POQ=cos （∠xOP +∠xOQ ）=cos ∠xOPcos ∠xOQ ﹣sin ∠xOPsin ∠xOQ=﹣=﹣，故选：D ．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．10．已知函数g （x ）是R 上的奇函数，且当x ＜0时g （x ）=﹣ln （1﹣x ），设函数f （x ）=，若f （2﹣x 2）＞f （x ），则实数x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣2，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由函数g （x ）是奇函数，求出函数g （x ）的解析式，再利用f （x ）与g （x ）的关系得到f （x ）的单调性，利用函数单调性解不等式f （2﹣x 2）＞f （x ），求出实数x 的取值范围．【解答】解：∵函数g （x ）是R 上的奇函数，且当x ＜0时，g （x ）=﹣ln （1﹣x ），∴当x＞0时，g（x）=﹣g（﹣x）=﹣[﹣ln（1+x）]=ln（1+x）．∵函数f（x）=，∴当x≤0时，f（x）=x3为单调递增函数，值域（﹣∞，0]．当x＞0时，f（x）=lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．∵f（2﹣x2）＞f（x），∴2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，∴（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1．∴x∈（﹣2，1）．故选：D．【点评】本题考查了奇函数的解析式求法、分段函数的单调性研究、函数单调性的应用，属于中档题，确定函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增是关键．11．已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log5x的零点个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数【解答】解：函数f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），又f（1﹣x）=f（1+x），可得f（2﹣x）=f（x），故可得f（﹣x）=f（2﹣x），即f（x）=f（x﹣2），即函数的周期是2又x∈[0，1]时，f（x）=x2，要研究函数y=f（x）﹣log5x在区间[0，5]零点个数，可将问题转化为y=f（x）与y=log5x在区间[0，5]有几个交点如图，由图知，有四个交点．故选B【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f（x）﹣log5x在区间[0，5]的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个子区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“开心点”，也称f（x）在区间D上存在开心点．若函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a﹣在区间[﹣3，﹣]上存在开心点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[﹣，0]C．[﹣，0]D．[﹣，﹣]【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据“f（x）在区间D上有开心点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[﹣3，﹣]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣2a﹣+x=0，将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围，即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[﹣3，﹣]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣2a﹣+x=0，解得a=，由a′==0，求出[﹣3，﹣]上的x=﹣2，此时a=﹣；当x=﹣3时，a=﹣；x=﹣时，a=0，故实数a的取值范围是[﹣，0]．故选：B．【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．二、填空题13．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．14．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于或．【考点】解三角形．【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，当C=120°时，A=30°，故答案为：或【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，正弦定理及“大边对大角”的定理，还考查了三角形的面积公式，在利用正弦定理求解三角形中的角时，在求出正弦值后，一定不要忘记验证“大边对大角”．15．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为2．【考点】函数的图象．【分析】根据函数f（x）和g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可．【解答】解：∵f（x）=e x+x2+x+1，∴f′（x）=e x+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，由f′（x）=e x+2x+1=2，即e x+2x﹣1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，此时d==，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数f（x）到直线的距离是解决本题的关键．16．下列说法正确的有②④（填序号）①命题“若x=，则sinx=”的逆命题为真命题②在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B③命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”④函数f（x）=x﹣sinx在R上有且只有一个零点⑤已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形中心角为1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】运用所学知识逐个判断真假．①写出逆命题，再判断真假；②采用正弦定理推导；③特称命题的否定，改条件，否结论；④单调性法结合零点存在性定理判断．若用数形结合构造函数作函数y=x和y=sinx的图象，对y=sinx作图不规范，容易画出3个交点，从而认为是3个零点，而导致错误，此命题易错；⑤方程思想联立方程组计算可得．【解答】解：分别判断命题①至⑤真假如下；命题①：“若x=，则sinx=”的逆命题为“若sinx=，则”是假命题．解方程sinx=，得：或（k∈Z），∴所以命题①不正确．命题②：在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，由正弦定理：且sinA＞sinB，∴a＞b，又∵三角形ABC中，大边对大角，小边对小角，∴A＞B故命题②是真命题，即命题②正确．命题③：命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故命题③不正确．命题④：对函数求导得f′（x）=1﹣cosx≥0，知f（x）为R上的增函数，又有f（0）=0，所以，函数f（x）在R上有且只有一个零点．故命题④正确．命题⑤：设扇形半径为R，扇形弧长为L，周长为C，面积为S，扇形中心角为α，列方程组如下：解得：或，∴扇形中心角为1或4，命题⑤不正确．故答案为：②④．【点评】本题涉及知识面比较广，要求对各模块知识点掌握，但各命题判断难度不大，属于中档题．三、解答题（共70分）．17．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B．（1）若a=，求集合A∩（∁U B）（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）把a=代入化简集合AB，再取交集；（2）由q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B，化简集合，列出不等式解a 得范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|2＜x＜3}，因为a=函数y=lg，由＞0，可得集合B={x|＜x＜}C U B={x|x或x}故A∩（C U B）={x|≤x＜3}．（2）因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B由A={x|2＜x＜3}，而集合B应满足＞0，因为a2+2﹣a=（a﹣）2+＞0故B={x|a＜x＜a2+2}，依题意就有：，即a≤﹣1或1≤a≤2所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．【点评】本题主要考查集合的化简与运算，注意集合之间的关系是解题的关键，属于基础题．18．已知函数f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x ）的图象，求函数y=g （x ）在区间上的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】（1）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力．（2）要求三角函数的有关性质的问题，题目都要变形到y=Asin （ωx +φ）的形式，变形时利用诱导公式和二倍角公式逆用．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=sin （π﹣ωx ）cos ωx +cos 2ωx ，∴f （x ）=sin ωxcos ωx +=sin2ωx +cos2ωx +=sin （2ωx +）+由于ω＞0，依题意得，所以ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）=sin （2x +）+，∴g （x ）=f （2x ）=sin （4x +）+∵0≤x ≤时，≤4x +≤，∴≤sin （4x +）≤1，∴1≤g （x ）≤，g （x ）在此区间内的最小值为1．【点评】利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式（1）化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出．19．某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a （3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．【解答】解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，L max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）万元；当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）3万元．【点评】本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．20．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2+bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据题中等式，结合余弦定理算出cosA=，而A∈（0，π），可得A=．（2）由a=代入已知等式得b2+c2=3﹣bc，再用基本不等式即可得到当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1．（3）根据正弦定理，将化简为．再由sinB=sin（A+C）和A=，将分子、分母展开化简，然后将分子分母约去公因式，即可得到的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，b2+c2=a2﹣bc∴根据余弦定理，得cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=．（2）由a=，得b2+c2=3﹣bc，又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3﹣bc≥2bc，可得当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1．（3）由正弦定理，得=2R，∴==∵sin（60°﹣C）﹣sinC=cosC﹣sinC﹣sinC=cosC﹣sinC∴==．【点评】本题给出三角形边之间的平方关系，求角A的大小并求bc的最大值，着重考查了特殊三角函数的值、两角和与差的正弦公式和用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，利用f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，可得3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；（2）依题意x=﹣是f（x）的一个极值点，所以，从而可得f（x）=x3﹣4x2﹣3x，利用导数确定函数的单调性与极值，从而可求f（x）在[1，4]上的最大值；（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3﹣4x2﹣3x=bx 恰有3个不等实根，即方程x2﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，从而可求实数b的取值范围【解答】解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，即3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，则必有且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0（2）依题意x=﹣是f（x）的一个极值点，∴即∴a=4，∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x令f′（x）=3x2﹣8x﹣3=0，得则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x 1 （1，3） 3 （3，4） 4f′（x）﹣0 +f（x）﹣6 ﹣18 ﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=﹣6（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3﹣4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根∴x3﹣4x2﹣3x﹣bx=0恰有3个不等实根∵x=0是其中一个根，∴方程x2﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，∴∴b＞﹣7，且b≠﹣3【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点问题，解题的关键是将函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，转化为方程x3﹣4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．。
江苏省宿迁市沭阳梦溪中学(沭阳国际学校)2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
沭阳国际学校2017-2018学年度第一学期第一次月考高三数学试卷注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 参考公式：样本数据12x x ,，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,2}B =-，则AB = ▲2．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是____▲____ 3．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲4．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率 是____▲____5．下图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7．已知向量(1,2),(2,3),a b ==若()()a b a b λ+⊥-，则λ＝ ▲8．在矩形ABCD 中，2AB =， 3BC =，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几 何体的侧面积为 ▲ .9．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于 ▲10．命题“[]21,2,+90x x ax ∀∈+≥”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲（第5题）100 80 90 110 /cm（第6题）11．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作 ⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值 为 ▲ ．12．若数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则na n的最小值为 ▲ 13．设函数2()3f x x ax a =-++，()2g x ax a =-．若存在0R x ∈，使得0()0f x <与 0()0g x <同时成立，则实数a 的取值范围是 ▲14．若实数,,,a b c d 满足22ln 341a a c b d--==，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ABC △的周长为13+ 且C B A sin 3sin sin =+． （1）求边c 的长；（2）若ABC △的面积为C sin 31，求角C 的大小．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AC =，D 、E 分别为BC 、C B 1的中点， （1）求证：11//DE ABB A 平面； （2）求证：1ADE B BC ⊥平面平面17．（本小题满分14分）如图所示，某人在斜坡P 处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD 近似看成直线，斜坡与水平面夹角为α，21tan =α （1）以射线OC 为Ox 轴的正向，OB 为Oy 轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD 所 在直线方程；（2）当观察者视角∠APB 最大时，求点P 的坐标（人的身高忽略不计）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线)((130x k y k ++--+=恒过定点F . 设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2. （1）求F 点坐标 （2）求椭圆C 的方程；（3）设（m ，n ）是椭圆C 上的任意一点，圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx +ny =1和l 2：mx +ny =4的位置关系.19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x （a ，b ∈R ）在点（1，f (1)）处的切线方程为y ＋2＝0． （1）求函数f (x )的解析式；（2）若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有| f (x 1) －f (x 2)|≤c ， 求实数c 的最小值；（3）若过点M （2，m ）（m ≠2）可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期第一次月考高三数学II （附加题）命题人：章其玉 2015.10 21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB=AC ，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连接AD 交⊙O 于点E ，连接BE 与AC 交于点F ． （1）判断BE 是否平分∠ABC ，并说明理由； （2）若AE=6，BE=8，求EF 的长．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线 段长度.D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设x ，y ，z 为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥【必做题】（第22、23题每题10分．共20分。
安徽省合肥市第一中学2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}{}{}B b A a b a x x M B A ∈∈+====,,,5,4,3,2,1，则M 中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） A ．5,3)5)(3(21-=+-+=x y x x x y B ．2)(,)(x x g x x f ==C ．33341)(,)(-=-=x x x F x x x f D ．52)(,52)(21-=-=x x f x x f3.在映射B A f →:中，{}R y x y x B A ∈==,),(，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ）A ．)1,3(-B ．)3,1(C ．)3,1(--D ．)1,3( 4.图中函数图象所表示的解析式为（ ）A ．)20(123≤≤-=x x y B ．)20(12323≤≤--=x x y C ．)20(123≤≤--=x x y D ．)20(11≤≤--=x x y5.设函数⎩⎨⎧<+≥-=,10)),5((,10,3)(x x f f x x x f 则)6(f 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“合一函数”，那么函数解析式为122-=x y ，值域为{}7,1的“合一函数”共有（ ） A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．4个7.函数xx x f +-=312)(，则)]([x f f y =的定义域是（ ） A ．{}3,-≠∈x R x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠-≠∈853,x x R x x 且C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠-≠∈213,x x R x x 且 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠-≠∈583,x x R x x 且 8.定义两种运算：222)(,b a b a b a b a -=⊗-=⊕，则)2(22)(⊗-⊕=x xx f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数 9.定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)()(1212<--x x x f x f ，且0)2(=f ，则不等式05)()(2<-+x x f x f 的解集是（ ） A ．),2()2,(+∞--∞ B ．)2,0()0,2( - C ．),2()0,2(+∞- D ．)2,0()2,( --∞10.若函数)30(42)(2<<++=a ax ax x f ，且对实数a x x x x -=+<1,2121，则（ ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f =C ．)()(21x f x f >D ．)(1x f 与)(2x f 的大小不能确定11.函数)(x f 对任意正整数n m ,满足条件)()()(n f m f n m f =+，且2)1(=f ，则=+⋅⋅⋅+++)2015()2016()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f （ ） A ．4032 B ．1008 C ．2016 D ．1008212.在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间]2,1[上的减函数，则)(x f （ ）A ．在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是增函数B ．在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是减函数C ．在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D ．在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数x x y 422+--=的值域是______.14.已知函数1)(3-+-=x bx ax x f ，若2)2(=-f ，求=)2(f ______. 15.若函数3472+++=kx kx x y 的定义域为R ，则∈k ______. 16.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知全集R U =，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=≥--=0145,01832x x x B x x x A .（1）求A B C U )(；（2）若集合{}12+<<=a x a x C ，且B C B = ，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）在1到200这200个整数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的整数共有多少个？并说明理由. 19.（本小题满分12分）合肥市“网约车”的现行计价标准是：路程在km 2以内（含km 2）按起步价8元收取，超过km 2后的路程按9.1元/km 收取，但超过km 10后的路程需加收%50的返空费（即单价为85.2%)501(9.1=+⨯元/km ）.（1）将某乘客搭乘一次“网约车”的费用)(x f （单位：元）表示为行程600(≤<x x ，单位：km ）的分段函数；（2）某乘客的行程为km 16，他准备先乘一辆“网约车”行驶km 8后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由.20.（本小题满分12分）已知131≤≤a ，若函数12)(2+-=x ax x f 在区间]3,1[上的最大值为)(a M ，最小值为)(a N ，令)()()(a N a M a g -=.（1）求)(a g 的函数表达式；（2）判断并证明函数)(a g 在区间]1,31[上的单调性，并求出)(a g 的最小值. 21.（本小题满分12分）对于定义在区间D 上的函数)(x f ，若存在闭区间D b a ⊆],[和常数c ，使得对任意],[1b a x ∈，都有c x f =)(1，且对任意D x ∈2，当],[2b a x ∉时，c x f >)(2恒成立，则称函数)(x f 为区间D 上的“平底型”函数.（1）判断函数21)(1-+-=x x x f 和2)(2-+=x x x f 是否为R 上的“平底型”函数？ （2）若函数n x x mx x g +++=2)(2是区间),2[+∞-上的“平底型”函数，求m 和n 的值.22.（本小题满分12分）定义在)1,1(-的函数)(x f 满足：①对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+；②当0<x 时，0)(>x f .回答下列问题： （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数)(x f 在)1,0(上的单调性，并说明理由； （3）若21)51(=f ，试求)191()111()21(f f f --的值. 高一数学参考答案一、选择题：BCABC BDADA CD二、填空题：13.]2,0[ 14.0 15.)43,0[ 16)1,2(- 三、解答题17.解：（1）∵{}{}145,36<≤-=-≤≥=x x B x x x A 或， ∴{}514)(-<≥=x x x A B C U 或 .（2）B C B = ，则B C ⊆. 当∅≠C 时，112≥⇒+≥a a a ；当∅≠C 时，12525,13,152,141,12<≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤++<a a a a a a a a ，综上25-≥a .18.解：方法一：集合A 表示1到200中是2的倍数的数组成的集合，集合B 表示1到200中是3的倍数的数组成的集合，集合C 表示1到200中是5的倍数的数组成的集合，20)(,33)(,40)(,66)(,100)(=====C A Card B A Card C Card B Card A Card ， 6)(,13)(==C B A Card C B Card ，)()()()()()()(C A Card C B Card B A Card C Card B Card A Card C B A Card ---++=146)(=+C B A Card ，所以54146200=-.方法二：用韦恩图解也可.19.解：（1）由题意得，车费)(x f 关于路程x 的函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+⨯+≤<-+≤<=)6010(,3.585.2)102(,9.12.4)20(,8)6010(),10(85.289.18)102(),2(9.18)20(,8)(x x x x x x x x x x x f（2）只乘一辆车的车费为：3.403.51685.2)16(=-⨯=f （元），∴)(x f 有最小值aa N 11)(-=. 当312≤≤a 时，]21,31[∈a ，)(x f 有最大值1)1()(-==a f a M ；当211<≤a 时，]1,21(∈a ，)(x f 有最大值59)3()(-==a f a M ； ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=)121(169),2131(12)(a a a a a a a g（2）设213121≤<≤a a ，则)()(,0)11)(()()(21212121a g a g a a a a a g a g >∴>--=-， ∴)(a g 在]21,31[上是减函数. 设12121≤<<a a ，则)()(,0)19)(()()(21212121a g a g a a a a a g a g <∴<--=-， ∴)(a g 在]1,21(上是增函数.∴当21=a 时，)(a g 有最小值21. 21.解：（1）对于函数21)(1-+-=x x x f ，当]2,1[∈x 时，1)(1=x f .当1<x 或2>x 时，1)2()1()(1=--->x x x f 恒成立，故)(1x f 是“平底型”函数. 对于函数2)(2-+=x x x f ，当]2,(-∞∈x 时，2)(2=x f ； 当),2(+∞∈x 时，222)(2>-=x x f ，所以不存在闭区间],[b a ，使当],[b a x ∉时，2)(>x f 恒成立，故)(2x f 不是“平底型”函数.（2）因为函数n x x mx x g +++=2)(2是区间),2[+∞-上的“平底型”函数，则存在区间),2[],[+∞-⊆b a 和常数c ，使得c n x x mx =+++22恒成立.所以22)(2c mx n x x -=++恒成立，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=nc mc m 22,22,1解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==1,1,1n c m 或⎪⎩⎪⎨⎧==-=1,1,1n c m .当⎪⎩⎪⎨⎧=-==1,1,1n c m 时，1)(++=x x x g .当]1,2[--∈x 时，1)(-=x g ；当),1(+∞-∈x 时，112)(->+=x x g 恒成立，此时，)(x g 是区间),2[+∞-上的“平底型”函数.当⎪⎩⎪⎨⎧==-=1,1,1n c m 时，1)(++-=x x x g .当]1,2[--∈x 时，112)(≥--=x x g ；当),1(+∞-∈x 时，1)(=x g 恒成立，此时，)(x g 不是区间),2[+∞-上的“平底型”函数. 综上分析，1,1==n m 为所求.22.解：（1）令0==y x 得0)0(=f ，令x y -=则0)()(=-+x f x f ， 所以)(x f 在)1,1(-上是奇函数.（2）设1021<<<x x ，则)1()()()()(21212121x x x x f x f x f x f x f --=-+=-，而10,02121<<<-x x x x ，则012121<--x x x x ，所以0)1(2121>--x x xx f ，故)(x f 在)1,0(上单调递减.（3）)135()191()111()21(f f f f =--，1)135()51()51(==+f f f . 法二：（3）由于)31()52115121()51()21()51()21(f f f f f f =⨯--=-+=-， )41()111()31(f f f =-，)51()191()41(f f f =-， 1212)51(2)191()111()21(=⨯==--f f f f .。
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2017-2018学年安徽省宿州市萧县中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知，那么cosα=( )
A． B． C． D．
2．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁UP=( ) A．[，+∞） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）
3．下列中，真是( ) A．∃x0
∈R，e≤0
B．∀x∈R，2x＞x2 C．x+≥2
D．a2+b2≥，a，b∈R 4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76，=﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
5．设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是( )
A． B． C． D． 6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，
该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实
际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A．
B． C． D．
7．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于( ) A． B．2 C．3 D．4
8．若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=( )
A．5 B．4 C．3 D．2
9．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=( )
A． B． C． D．
10．设a=log32，b=log52，c=log23，则( ) A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
11．某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为
( ) A．5 B．4 C．3 D．2
12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）
=函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8]
D．（﹣∞，]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13．若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=__________．
14．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=__________． 15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是__________． 16．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是__________．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．在数列{an}中，已知a1=﹣20，an+1=an+4（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式和前n项和An；
（2）若bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项Sn．
18．已知定义x∈[﹣1，1]在偶函数f（x）满足：当x∈[0，1]时，f（x）=x+2，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）， （1）求函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的解析式： （2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有g（x2）＞f（x1）成立，求实数a的取值范围．
19．如图，已知在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（侧棱垂直底面的棱柱）中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD1=2AD=2AB=2． （1）求证：DB⊥平面B1BCC1； （2）求BC1与平面A1BD所成的角的正弦值．
20．某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下 观众年龄 支持A 支持B 支持C 20岁以下 200 400 800 20岁以上（含20岁） 100 100 400
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值； （2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从这7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E（X），D（X）．
21．定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E． （I）求轨迹E的方程； （Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．
22．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R） （1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围； （2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．
2015-2016学年安徽省宿州市萧县中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知，那么cosα=( )
A． B． C． D． 考点：诱导公式的作用． 专题：三角函数的求值． 分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．
解答： 解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=． 故选C． 点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁UP=( ) A．[，+∞） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞） 考点：对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算． 专题：计算题． 分析：先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可． 解答： 解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0， 所以全集U=（0，+∞），
同样：P=（0，），
得到CUP=[，+∞）． 故选A． 点评：此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．
3．下列中，真是( ) A．∃x0
∈R，e≤0
B．∀x∈R，2x＞x2 C．x+≥2
D．a2+b2≥，a，b∈R 考点：基本不等式；的真假判断与应用． 专题：不等式的解法及应用． 分析：由不等式的性质，逐个选项验证即可． 解答： 解：选项A，由指数函数的性质可得任意x均有ex＞0，故错误； 选项B，当x=3时，不满足2x＞x2，故错误； 选项C，当x为负数时，显然x为负数，故错误； 选项D，a2+b2﹣=﹣=≥0， 故a2+b2≥，故正确． 答选：D 点评：本题考查不等式的性质，属基础题．
4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76，=﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 考点：线性回归方程． 专题：计算题；概率与统计． 分析：由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．
解答： 解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8， 代入回归方程可得═8﹣0.76×10=0.4， ∴回归方程为=0.76x+0.4， 把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8， 故选：B． 点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．
5．设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是( )
A．