高中数学新课标人教A版高中数学选修矩阵知识点总结

高中数学选修矩阵知识点总结

1、五种特殊变换

旋转变换 ⎢⎣⎡a a sin cos ⎥⎦⎤-a

a c o s s i n

⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a y a x y a y a x x c o s s i n

s i n c o s

'

'

反射变换 关于X 轴对称 ⎢⎣

⎡01 ⎥⎦⎤-10 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y y x

x '

'

关于Y 轴对称 ⎢⎣⎡-01 ⎥⎦⎤

10

⎪⎩⎪⎨⎧=-=y y x

x '

'

关于Y=X 对称 ⎢⎣⎡10 ⎥⎦⎤

01

⎪⎩⎪⎨⎧==y

y x

x '

' 伸缩变换 纵轴伸缩 ⎢⎣⎡0

1

⎥⎦

⎤k 0 ⎪⎩⎪⎨⎧==ky y x

x '

' 横轴伸缩 ⎢⎣⎡0

k

⎥⎦⎤10

⎪⎩⎪⎨⎧==y

y kx

x '

' 横纵均伸缩 ⎢⎣⎡01k ⎥⎦⎤20k ⎪⎩⎪⎨⎧==y

k y x

k x 2'1'

投影变换 关于X 轴正投影 ⎢⎣⎡00 ⎥⎦

⎤01

⎪⎩⎪⎨⎧==0'

'y x

x 关于Y 轴正投影 ⎢⎣⎡00 ⎥⎦

⎤

10

⎪⎩⎪⎨⎧==y

y x '

'

关于AX+BY=0投影⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+222

22

B A AB B A B ⎥⎥

⎥⎥⎦⎤++-222

22B A A B A AB ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+++-=+-+=y B A A x B A AB y y B A AB

x B A B x 22222'22222' 切变变换 沿X 轴平行方向移ky 个单位⎢⎣⎡0

1

⎥⎦⎤1k

⎪⎩⎪⎨⎧=+=y y ky

x x '

'

沿Y 轴平行方向移kx 个单位⎢⎣⎡k

1

⎥

⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧+==y

kx y x

x '

' 2.矩阵的概念：形如2341⎛⎫

⎪⎝⎭、3m ⎛⎫

⎪⎝⎭

的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.

通常用大写黑体的拉丁字母A 、B 、C …表示，或者用()ij a 表示，其中i,j 分别表示元素ij a 所在的行与列.同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。 所有元素均为0的矩阵称谓零矩阵。

3.相等的矩阵：对于两个矩阵A 、B 的行数、列数分别相等，且对应位置的元素也分别相等，A 和B 才相等，记做A=B 。

4.二阶矩阵与平面列向量的乘法

矩阵A=⎢⎣⎡c

a

⎥⎦⎤d b 与→a =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x 相乘，=→a A ⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤

d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ， =→

)(a A λ⎢⎣⎡c

a

⎥⎦

⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λ=⎢⎣⎡c

a ⎥⎦⎤d

b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y d x

c y b x a λλλλ=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++dy cx by ax λλλλ=→a A λ →

→

→

→

+=+b A a A b a A )(

→

→→→+=+b A a A b a A 2121)(λλλλ

5.复合变换

→

→

=a AB a B A )()( 若向量a 先经过矩阵A 再经过矩阵B 变换后⇔→

a BA )()(BC A C AB = BA AB ≠（矩阵相乘没有交换律） l k l k A A A += 若AC=AB 但 B C ≠（没有消去律）

kl l k A A =)( 若A AE A E ==22 2E 为单位矩阵

6.逆矩阵 （五种特殊变换，除了投影变换外其他都有逆矩阵）

定义：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵A 可逆，并称B 是A

的逆矩阵。

已知矩阵A=⎢⎣⎡c

a

⎥⎦⎤d b ，求逆矩阵1

-A 若=

=A A det c

a

d b =0≠-bc ad 则，detA 是二阶矩阵⎢⎣⎡c a ⎥⎦

⎤

d b 的行列式，且

A 有逆矩阵1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c A d

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤-A a A b ，2

1E AA =-

⎢⎣⎡01 ⎥⎦

⎤

10 为单位矩阵 2E 。 逆矩阵的性质：

（1）不是每个变换都有逆变换，不是每个矩阵都有逆矩阵。 （2）若二阶矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一，记为1

A -. （3）若二阶矩阵A 、

B 可逆，则AB 也可逆，且1(AB)-=-1

-1

A B .

7.用逆矩阵求二元一次方程组

已知⎩

⎨⎧=+=+f dy cx e

by ax A=⎢⎣⎡c a

⎥⎦

⎤

d b 为二元一次方程组的系数矩阵 这二元一次方程组可写成⎢⎣⎡c a

⎥⎦⎤d b ⎥

⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡f e 1

-A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡f e =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x

已知⎩⎨

⎧=+=+0

dy cx by ax

（其中d c b a ,,,是不全为0的常数） 则此二元一次方程组有非0解的充要条件是

c

a

d

b =0 8.特征值与特征向量

设矩阵A =⎢⎣⎡c

a

⎥⎦

⎤

d b ,若存在实数λ及非零向量→ξ，使得A →ξ=λ→ξ,则称λ是矩阵A 的一个特征值，→ξ是矩阵A 属于特征值λ的一个特征向量。

特征值和特征向量的性质

（1）不是每个矩阵都有特征值与特征向量。 （2）属于矩阵不同特征值的特征向量不共线。

（3）设→

ξ是矩阵A 属于特征值λ的一个特征向量，则对于任意的非零常数k ，k →

ξ也是矩阵A 属于特征值

λ的一个特征向量。

特征值与特征向量的求法

已知A=⎢⎣⎡c

a

⎥⎦⎤d b →a =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡f e 求特征值λ、特征向量→ξ和→a A n

令=

)(λf c a --λ d

b --λ=0 解出21λλλλ==或