承德数学 二次函数单元测试卷(解析版)

承德数学 二次函数单元测试卷（解析版）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y

轴的负半轴交于点C ．

()1求点B 的坐标．

()2若ABC 的面积为6．

①求这条抛物线相应的函数解析式．

②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（1，0）；（2）①223y x x =+-；②存在，点P 的坐标为

1133313++⎝⎭或53715337-+-⎝⎭

． 【解析】

【分析】

（1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标；

（2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到

12

(1−a)•(−a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式；

②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可．

【详解】

解：()1当0y =时，()210,x a x a -++= 解得121,.x x a ==

点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C

0,a ∴<

∴点B 坐标为()1,0．

()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a <

1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6,

()()116,2

a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=．

0,a < 3a ∴=-

22 3.y x x =+-

②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-，

∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-

则03,k =-

3k ∴=．

,POB CBO ∠=∠

∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC

∴直线OP 的函数解析式3,y x =为

则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩

1112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩(舍去)

，2212x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴点的P

坐标为1322⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭

； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称，

则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-

则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩

1152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去)

，2252x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴点P'的坐标为53715337,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭

综上可得，点P 的坐标为1133313,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或53715337,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．

2．如图，抛物线()2

50y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．

【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412

【解析】

【分析】

（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；

（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为()24542

d BP sin t =⋅︒=-，则

12PBE S BE d =⨯

⨯

)()1244222

t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值； （3

）先求出4542AM AB sin =⋅︒=⨯

=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ

是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角

形，求得4NH ===；设()

2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．

【详解】

解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -

∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，

∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩

所以抛物线的解析式为2

65y x x =-+-． ()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -

∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，

∴45,ABC ∠=

由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤

点P 到BE

的距离()4542d BP sin t =⋅︒=

- 所以12

PBE S BE d =⨯⨯

)()1244222

t t t t =⨯⨯-=-； ∵二次函数(

)()42f t t =

-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422

t +==时，