理论力学第四章课后习题解答

理论力学第四章习题解答

4.1解如题4.1.1图所示.

坐标系的原点位于转动的固定点，轴沿轴与角速度的方向一致，即设点沿运动的相对速度为则有题意得：

故在点时的绝对速度

设与轴的夹角为，则故与边的夹角为，且指向左上方。 点时绝对速度

题４．１．１

Oxyz Ox Oz OB ,.k ω=ωP j v '='v π

ωωπ22b v v b ='='，得：P A ()()[]1

482212222++=++-=+⨯+=⨯+'=πππ

ωπππωωπ

ωb b

b b b v j i i j k j OA ωv v v y ()边即AB θ,1

22tan +==

ππθy x v v v AB 1

22arctan

+ππ

A P 在()()[]1

22122022222++=++-=⨯

++-='⨯+'=πππ

ωπππωπ

ωωωωb b

b

b b a j i j k j i v ωOA -a a 2

设的夹角为，则,故与边的夹角为，且指向左下方。

4.2解 如题4.2.1图所示，

以转动的方向为极角方向建立坐标系。轴垂直纸面向外，设点相对速度

① 设绝对速度的量值为常数，则：

① 对①式两边同时球时间导数得：

依题意故解得通解

当时，，将其带入①式游客的知：

时， 即 最后有

()边轴与AB y a θ'π

πθ1

tan +==

'y x a a a AB π

π1

arctan

+o

题４．２．１图

Ox Oz P θωωe e re k e OP ωv v r r r r r

r +=⨯+=⨯+'= v v 2222v r r

=+ω ()

022=+r r r ω ,0≠r 02=+r r ω ()t B t A t r ωωsin cos +=0=t ()0=t r 0=t .v r = ⎪⎩

⎪

⎨⎧==⎩⎨⎧==ωωv B A v B A 0,0()t v

t r ωω

sin =

4.3解 如题4.3.1图所示，

直角坐标的原点位于圆锥顶点轴过圆锥的对称轴.点在轴上对应

的一点，且有，所以点的绝对加速度：

最后有

4.4解 如题4.4.1图所示，

题4.4.1图

坐标系是以轴转动的坐标系.图中画出的是曲线的一段，在任意一点处，假设某质点在此处静止，则该质点除了受重力、钢丝的约束力之外，还会受惯性离心力的作用，，方向沿轴正向，在作用下，致信处于平衡状态，则有

题４．３．１图

Oxyz Ox P O 为'轴x P O ⊥'P ()k

j k j j i i p O v 2ωR a a αωαωαωαωααωωωωsin 2sin sin 2sin sin cos 2202222v t v v pt O v '+'-='+'-=+'⨯+'-='

⨯+-'=4sin 22+'=t v a ωαω)

y

Oxy y 绕ω()x f y =P F x m F 2ω=x mg F N ,,

① ①

有①得

① 又因为过原点.对上式积分得抛物线 有①得

将代入①的反作用力

4.5以直管为参照系，方向沿管，沿竖直轴建立坐标系，则小球受力为：

故沿方向运动的微分方程为：

① 有初始条件：可得①式解为 故当邱刚离开管口时，即时.则 ()角点的切线与水平方向夹为过P mg

F

θθtan =θcos mg

N =g

x

dy dx dy dx mg x m 22,tan ωθω===得()x f y =g x y 22

2ω=y

g

g x 22

2221111tan 11cos ωωθ

θ+=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=

+=

θcos y g

W N 2

21ω+=Ox Oz Oxyz j F i F N G x

m x m mg ωω2,,,2-===科牵Ox x m x

m 2ω= 02=-x x

ω 0,,0===x

a x t ()

t t

e e a x ωω-+=

2

0,2>=x

a x ()

()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧>-+=--02

2

2t t t t e e a e e a a ωωωωωω

得

所以此时：

故当球刚要离开管口时的相对速度为，绝对速度为，小球从开始运动到离开管口所需时间为

4.6解 以光滑细管为参考系，沿管，沿水平轴建立坐标系，如题4.6.1图所示，

则小球受力为：

故沿方向运动的微分方程为：

① 方程的通解

而方程①的特解为：

故方程①的通解为：

()

ω

3

2ln +=t ()j 2i v ωv v i 3i 32k i v ωωωωa a a a

x

a x a x +='⨯+'==⨯=='==3222 i ωa 3j i ωωa a 23+()

ω

32ln +Ox Oz Oxyz j F i F N G x m x m mg ωω2,,,2-===科牵Ox t mg x m x

m ωωsin 2-= t mg x x

ωωsin 2-=- 02=-x x

ω ()t t e C e C t x ωω21+=-()t g t x ωω

sin 22

=