矩阵理论及应用-jordan标准型共25页文档

于是有 d 1 () d 2 () d n 1 () 1dn()()
1
1
A()
1
( )
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第六节 矩阵的Jordan标准形
5、 —矩阵的初等因子
将 —矩阵 A() 的不变因子分解成各因式的乘积形式，即
d 1 () ( 1 ) k 1 ( 1 2 ) k 1 2 ( s ) k 1 s d 2 () ( 1 ) k 2 ( 1 2 ) k 2 2 ( s ) k 2 s
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第六节 矩阵的Jordan标准形
1 2 6
1 2 6
例1.6.2 已知矩阵 A 1 0
3
，求特征矩阵
I
A
1
3
1 1 4
1 1 4
的Smith标准形。
解：
1 2 6 1 3
I
A
1
3
1
2
6
1 1 4 1 1 4
1
3 1
定理1.6.2 任一非零的 —矩阵 A()(aij())mn 都等价于一个如下形
式的标准对角形 —矩阵
d1()
d2()
A()
J()
dr ()
0
0
其中r(1) 是 A() 的秩，
di()i(1,2,r)是 的首
一多项式，且 di()di1() ，
将 J () 称为 A() 的Smith标 准形。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
()n a n 1n 1 a 1 a 0
D n ( ) d A ( ) e d B t ( ) e ( 1 ) t n 1 ( ) 1 ) n ( 1 ( )
D 1 () D 2 () D n 1 () 1
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第六节 矩阵的Jordan标准形
定义1.6.4 （等价变换）若 —矩阵 A() 经有限次初等变换化为 — 矩阵 B() ，则称 A() 与 B() 等价，记为 A()B() 。
—矩阵的等价关系与数字矩阵一样，满足自反性、对称性和传递性。
3、 —矩阵的标准形
4、 —矩阵的行列式因子
定义1.6.4 （行列式因子）
设 —矩阵 A() 的秩为 r，对正整数 k, 1kr中， A() 必有
非零的 k阶子式，称 A() 中所有的 k 阶子式的首一最大公因式为A() 的 k 阶行列式因子，记为 Dk () 。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
0
0
0 2 2 3 3 0
1
1
0 1
1
0 2 2 3 3
1 0
0 1 0
0
0 1
0
0
1
0
0 0 2 2 1
0 0 ( 1)2
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第六节 矩阵的Jordan标准形
可以证明，在 —矩阵 A()的标准形中，对角线上的非零元素di()1(ir) 不随矩阵初等变换而改变，称 di()1(ir) 为 A() 的不变因子。
由定义可知，一个n阶 —矩阵 A() 的 k 阶行列式因子Dk () 能整
除任一个k 阶子式，而由行列式的展开可知一个 k 1 阶行列式可表
示为k 1 个k 阶子式的代数和，从而Dk () 能整除任一个k 1 阶子
式，因此，Dk () 能整除Dk1() ，即
D k()D k 1 (), (k 1 ,2 , ,r 1 )
三种初等变换对应三个不同的初等矩阵
P(i, j) P(i(k)) P(jh(),i)
（由单位矩阵作相应的初等变换即可得其对应的初等矩阵）
初等矩阵都是可逆矩阵 P1(i,j)P(j,i) P1(i(k))P(i(k1)) P 1(j(h )i),P (j( h()i)), 当对 —矩阵进行行变换时，相当于左乘相应的初等矩阵；当 对 —矩阵进行列变换时，相当于右乘相应的初等矩阵，且施行初 等变换不改变 —矩阵的秩。
第六节 矩阵的Jordan标准形
—矩阵的秩: 不恒等于零的子式的最高阶数称为 —矩阵的秩，记为
rank(A)
例：
A()
2
2
1
deA(t)22 20 ran(k)A 2 1
—矩阵的逆: 若两个 n阶的 —矩阵 A() 和 B() 满足
A ()B () B ()A () I
则称 A() 为可逆矩阵（或为单模矩阵），并称 B() 是 A() 的逆矩阵 记为 B()A1()
定理1.6.3 等价矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。
由上述定理可以得到： dk()D D kk 1 (()), (1kr); D 0()1
可以通过求 A() 的各阶行列式因子把 A() 化为Smith标准形。
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。
第六节 矩阵的Jordan标准形
例1.6.3
d r () ( 1 ) k r 1 ( 2 ) k r 2 ( s ) k rs
其中 1,2,,s 互异，且由不变因子的整除性，有
k 1 i k 2 i k r,i ( 1 i s )
所有指数大于零的因子 ( j)kij(1jr,1js,kij0 )都称为
已知矩阵
0 Aa0
a1
In1
an1
，求其特征矩阵
I A 的Smith标准形。 1 0 0 0
解：
0 1 0
0
A的特征矩阵为 A()I A
0 0 0
1
a0 a1 a2 an2 an1
0
0
A()
0
()
1 0
1
0 0 a1 a2
0 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
0
B()
1
an2 an1
定理1.6.1 —矩阵 A() 可逆的充要条件是 detA()是数域 K中的非零常数。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
2、 —矩阵的初等变换
三种初等变换为： （1）两行（或列）互换位置； （2）某行（或列）乘以不等于零的数；
（3）某行（或列）乘以 的多项式加到另一行（或列）。
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第六节 矩阵的Jordan标准形
例1.6.1 解：
1 2
求
A()
的Smith标准形。
12 2 2
1 2
1 2
A() c 1 c30
12 2 2
1 2 2
1 2
1 0
0 1 0 0
r 3 r110
0 0
0
0 0 (1) 0 0 (1) 0 0 (1)