2020年广东省深圳外国语学校高考数学综合能力测试试卷 (含答案解析)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2024年广东省深圳外国语学校高考数学教学情况试卷(三)
2024年广东省深圳外国语学校高考数学教学情况试卷（三）一、选择题1．(★)(3分)已知集合A={-2， 3， 4m-4}，集合B={3， m2 }．若B⊆A，则实数m=() A．2B．-2C．1D．02．(★)(3分)已知M={x|y=x2-2}， N={y|y=x2-2}，则M∩N等于()A．N B．M C．R D．∅3．(★★)(3分)已知函数f(x)=的定义域为M， g(x)=的定义域为N，则M∩N=()A．{x|x≥-2}B．{x|x＜2}C．{x|-2＜x＜2}D．{x|-2≤x＜2}4．(★)(3分)函数y=x2+2x+3(x≥0)的值域为()A．R B．[0， +∞)C．[2， +∞)D．[3， +∞)5．(★)(3分)给出下列四种从集合A到集合B的对对应：其中是从A到B的映射的是()A．(1)(2)B．(1)(2)(3)C．(1)(2)(4)D．(1)(2)(3)(4)6．(★)(3分)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1， x2∈(0， +∞)， x1≠x2恒有＜0，试比较f(-2)， f(1)， f(3)的大小()A．f(-2)＜f(1)＜f(3)B．f(1)＜f(-2)＜f(3)C．f(3)＜f(-2)＜f(1)D．f(3)＜f(1)＜f(-2)7．(★)(3分)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y=x+1B．y=-x2C．y=D．y=x|x|8．(★)(3分)定义在R上的偶函数在[0， 7]上是增函数，在[7， +∞)上是减函数，又f(7)=6，则f(x)()A．在[-7， 0]上是增函数，且最大值是6B．在[-7， 0]上是增函数，且最小值是6C．在[-7， 0]上是减函数，且最小值是6D．在[-7， 0]上是减函数，且最大值是69．(★)(3分)设函数f(x)=，则f[f(3)]=()A．B．3C．D．10．(★★)(3分)已知函数f(x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数，则在(-∞， 0)上此函数()A．是增函数B．不是单调函数C．是减函数D．不能确定11．(★)(3分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时， f(x)=x(1-x)，则f(x)的单调递增区间是()A．(0， +∞)B．(-∞， -C．(-∞， -)∪()D．(-)12．(★)(3分)已知函数f(x)=，则不等式f(x)≥x2的解集是()A．[-1， 1]B．[-2， 2]C．[-2， 1]D．[-1， 2]二、填空题13．(★★)(3分)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞， 3]上为减函数，则实数a的取值范围为(-∞， -2]．14．(★★)(3分)已知函数f(x)=2x+3， g(x)=3x-5，如果f[g(x0)]=1，则x0=．15．(★★)(3分)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x都有f(x)=f(x+2)，当x∈[0， 1]时， f(x)=x+1，则f()=．16．(★★★)(3分)已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+1， f(2)=-1，求f(-2)=3．17．(★★)(3分)如果函数f(x)满足：对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)f(b)，且f(1)=1，则=2010．三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分）18．(★★★)已知集合A={x|3≤x＜7}， B={x|4＜x≤10}， C={x|x＜a}．(1)求A∪B；(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．19．(★★★)设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-4x+a=0}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．20．(★★★)已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0， 2]上有最大值3．求实数a的值．21．(★★★★)已知偶函数f(x)是定义在[-2，2]上的函数，在[0，2]上递减，且f(1-m)＜f(m)，求m的取值范围．已知奇函数f(x)在定义域(-1， 1)上是减函数，且f(1-a)+f(1-a2)＜0，求 a 的取值范围．22．(★★★★★)已知奇函数f(x)=．(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象．(2)若函数f(x)在区间[-1， |a|-2]上单调递增，试确定a的取值范围．。
2020届广东省深圳外国语学校高三下学期4月综合能力测试数学(文)试题解析
2020届广东省深圳外国语学校高三下学期4月综合能力测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x Z x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2-答案：C求出集合A 、B ，利用交集的定义可得集合A B .解：{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}{}20222,1,0,12x B x Z x Z x x ⎧⎫+=∈≤=∈-≤<=--⎨⎬-⎩⎭，因此，{}2,1A B =--.故选：C. 点评：本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足93z z i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四答案：A先设(,)z a bi a b R =+∈，再根据复数相等列方程，解得z ，最后根据复数几何意义确定选项. 解：设(,)z a bi a b R =+∈，229393zz i a bia b i494333a a z i b b ⎧=⎧⎪=∴∴=+⎨⎨==⎩⎪⎩,对应的点为(4,3)，位于第一象限， 故选：A点评：本题考查根据复数相等求复数、复数几何意义，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.3．平面向量a 与b 的夹角为60︒，且3a =，b 为单位向量，则2a b +=（ ） ABC ．19D．答案：B计算2219a b +=，得到答案. 解：()222222=4496419a b a b a a b b +=++⋅+=++=，故219a b +=.故选：B . 点评：本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.4．已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A ． B ．53C ．52D 答案：C由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程0bx ay -=，再由圆C ，求得圆心为(0,5)C ，半径2r ，利用直线与圆相切，即可求得52c a =，得到答案。
2020届广东省深圳外国语学校高三下学期第6次月考数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届广东省深圳外国语学校高三下学期第6次月考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}{},22,a A B a b ==，，若12AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B ⋃＝（）A ．1122⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，B ．11,2b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，C ．112,2b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，， D ．122⎧⎫⎨⎬⎩⎭，解：∵集合{}{},22,a A B a b ==，，12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴122 12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得11,2a b =-=，∴122A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，112B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，．∴11,,22A B ⎧⎫⋃=-⎨⎬⎩⎭． 故选：A ． 点评：本题考查了由集合的运算结果求参数，集合交集与并集运算，属于基础题. 2．若复数()2a iz a R i+=∈的对应点在直线y x =上，则a =（） A ．12-B ．12C ．1-D ．1答案：C先将复数化简，表示出点的坐标.将坐标代入直线方程，即可求得a 的值. 解：∵()()212222a i i a i az i i i +-+===--， ∴z 在复平面内对应点的坐标为1,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由题意122a=-，则1a =-． 故选：C ． 点评：本题考查了复数的除法运算，复数在复平面内对应点的坐标，属于基础题. 3．设等比数列{}n a 的前6项和66S =，且212a -为13,a a 的等差中项，则789a a a ++=（） A ．2- B ．8C ．10D ．14答案：B根据等差中项性质，结合等比数列的通项公式，可求得1a 与q 的等量关系；由等比数列前n 项和公式，也可得1a 与q 的等量关系，联立方程即可求得q ，进而用q 表示出1a .代入等比数列通项公式即可求解. 解： ∵212a -为13,a a 的等差中项， ∴213212a a a ⎛⎫⨯-=+ ⎪⎝⎭， 设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q ≠， ∴2111212a q a a q ⎛⎫⨯-=+ ⎪⎝⎭， 又前6项和66S =，∴()61161a q q -=-，联立()211161212161a q a a qa q q ⎧⎛⎫⨯-=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得32q =． ∴()121a q =-．∴789a a a ++()6211a q q q =++()()62211q q q q =-++()6321q q =-()222218⨯⨯=-=． 故选：B ． 点评：本题考查了等差中项性质应用，等比数列通项公式及前n 项和公式的应用，化简需要技巧性，属于中档题.4．2021年广东新高考将实行312++模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率() A ．136B ．116C ．18D ．16答案：D基本事件总数n 24C ==6，他们选课相同包含的基本事件m ＝1，由此能求出他们选课相同的概率．解：今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n 24C ==6，他们选课相同包含的基本事件m ＝1， ∴他们选课相同的概率p m 1n 6==． 故选：D ． 点评：本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.5．椭圆C ：2222x y a b+=1（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为,A B ，且AB 4=，22AF =P C ∈，122PF PF =，则12PF F ∆的面积为（）A ．13B ．12C ．1D ．2答案：C根据题意，求得,,a b c ，即可求得1PF 、2PF 、12F F ，结合余弦定理即可求得12PF PF ，即可由三角形面积公式求解. 解：椭圆C ：2222x y a b+=1（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为,A B ，且AB 4=，22AF =可得2,a c ==1b =，所以121224PF PF PF PF +==，，不妨设12PF =22PF =12F F =由余弦定理可得2(((221222222cos F PF =+--∠，解得12cos 0F PF ∠=，即1290F PF ∠=， 所以12PF F ∆的面积为12112S PF PF == 故选：C ． 点评：本题考查椭圆标准方程及几何性质的简单应用，余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.6．点P 是ABC ∆所在平面上一点，若2133AP AB AC =+，则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是（） A ．3 B ．2C ．13D ．12答案：D过P 作//,//PE AC PF AB ，根据平面向量基本定理求得:PC PB ，即可求得ABP ∆与ACP ∆的面积之比. 解：点P 是ABC ∆所在平面上一点，过P 作//,//PE AC PF AB ，如下图所示：由2133AP AB AC AE AF =+=+， 故:2:1:AE EB PC PB ==，所以ABP ∆与ACP ∆的面积之比为:1:2BP PC =， 故选：D ． 点评：本题考查了平面向量基本定理的简单应用，面积比与线段比的关系，属于基础题.7．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法不正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最大值为3C ．函数()g x 的最小正周期为πD ．函数()g x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增答案：D根据图象得到函数()()sin f x A x =+ωϕ的最大值与周期，从而确定A 与ω，再将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x ，从而得到()f x 的解析式，再利用()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再利用正弦函数的性质，即可得解. 解：由图可知3A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∴T π=，2ω=，()()3sin 2f x x ϕ=+将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()3sin 2f x x ϕ=+， 得553sin 3126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴23k πϕπ=-+(k Z ∈)，故()3sin(2)3f x x π=-，向左平移6π个单位长度得,()3sin 23sin 263y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()()()3sin 23sin 2g x x x g x -=-=-=-，函数()g x 为奇函数，故A 正确；()g x 的最大值为3，故B 正确； ()g x 的最小正周期为22ππ=，故C 正确； ()g x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误.故选：D. 点评：本题考查了函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式以及图象变换规律，考查了正弦函数的性质，属于中档题. 8．设函数()21ln 1f x x x =-+，则不等式()()21f x f x >-的解集为（） A ．113⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．1111322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，C ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．(),1-∞答案：B根据解析式，可知函数()f x 为偶函数.结合解析式可判断函数()f x 在0x >时单调递增，因而由对称性可解不等式组，求得不等式()()21f x f x >-成立的解集. 解：()f x 的定义域为{}|0x x ≠，∵()()f x f x =-， ∴()f x 为偶函数， 当0x >时，()21ln 1f x x x =-+单调递增， 由()()21f x f x >-，可得0210?21x x x x ⎧≠⎪-≠⎨⎪>-⎩，解得113x <<且12x ≠，即1111322x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 故选：B ． 点评：本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，由单调性由奇偶性解不等式，属于基础题. 9．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,4AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是（）A ．21B ．13C ．22D ．7答案：B过点B ′作B E CD '⊥于点E ，连接,BE AE ，根据折叠性质设BCD B CD α∠=∠'=，用α表示出,,2B E CE ACE πα'∠=-，在AEC ∆中由余弦定理表示出2AE ，再在Rt AEB ∆'中，由勾股定理即可求得'AB 的最小值. 解：过点B ′作B E CD '⊥于点E ，连接,BE AE ，如下图所示：设BCD B CD α∠=∠'=，则有4sin 4cos 2B E CE ACE πααα'==∠=-，，，在AEC ∆中，由余弦定理得，2222cos 2AE AC CE AC CE πα⎛⎫=+-⋅⋅-⎪⎝⎭2916cos 24cos sin ααα=+-，在Rt AEB ∆'中，由勾股定理得，22222916cos 24cos sin 16sin AB AE B E αααα'+'+-+== 2512sin 2α=-， ∴当4πα=时，AB '故选：B ． 点评：本题考查了立体几何中折叠问题的综合应用，余弦定理表示出边长，并由三角函数值域的有界性确定最值，属于中档题.10．设P 为双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>上且在第一象限内的点，1F ，2F 分别是双曲的左、右焦点，112PF F F ⊥，x 轴上有一点A 且1AP PF ⊥，E 是AP 的中点，线段1EF 与2PF 交于点M .若22PM MF =，则双曲线的离心率是（） A．1B．2+C．3D．4+答案：A由题意得2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴122F P b k ac =，∴直线PA 的方程为()222b ac y x c a b -=--， 令0y =，可得422222b a c x a c +=，∵E 是AP 的中点，线段1EF 与2PF 交于点M ，22PM MF =，∴4222232b a c c a c+=，∴42610e e -+=，∵1e >，∴1e =故选A. 11．已知函数()24,0,0x x x x f x e x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，方程()0f x ax -=有4个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A ．2,44e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,44e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭答案：A可采用构造函数法，令()g x ax =，方程()0f x ax -=有4个不同的实数根转化为当()()f x g x =时，两函数图像有四个交点，再分别分析临界点所对应的a 值，即可求出范围 解：由图像分析可知，当0x ≤时()0f x ax -=应有两解，即240x x ax +-=，解得120,4x x a ==-，此时应满足440a -<-<，解得()0,4a ∈当0x >，若()g x ax =与()f x 图像相切，设切点坐标为()00,x y ，由000200x x y ax ax e e y x=⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩①，又()00201'x e x f x a x -==，即()02001xax e x =-②联立①②可得02x =，24e a =，24e a ∴>综上所述，2,44e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭答案选A 点评：本题考查函数零点的求法，采用构造函数法，再根据交点个数是零点的具体体现来进行转化，同时利用导数来研究函数零点，本题中解法也是解决函数问题中常用解法12．已知数列{}n a 满足：12a =，()()2110,*n n n a S S n N +-∈=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有()()()12111n S S S kn ++⋯+≥恒成立，则k 的最大整数值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B根据所给条件，结合11n n n a S S ++=-，代入后展开化简，构造数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭，由等差数列性质可知11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，进而由首项与公差求得n S .将不等式化简可得，()()()12111()n minS S S k n+++≤，代入后构造函数()()()()12111n S S S f n n+++=，并求得()()1f n f n +后可证明函数()f n 为单调递增数列，求得()min f n ，即可确定k 的最大整数值.解：当1n ≥时，由条件()()2110,*n n n a S S n N +-∈=+，可得21(1)n n n nS S S S +--=-，整理得221(21)n n n n n S S S S S +-=--+，化简得：121n n n S S S +=-， 从而111n n nS S S +--=-， 故111111n n S S +-=--，由于1111S =-， 所以数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列，则11n n S =-， 整理得1n n S n+=， 依题只须()()()12111()n minS S S k n+++≤，令()()()()12111n S S S f n n+++=，则()()()()()121123111n f n n S n n f n n n ++++==>++，所以()f n 为单调递增数列， 故()11()131nin S f n f +===， ∴3max k =， 故选：B ． 点评：本题考查了数列递推公式的应用，构造数列法求通项公式，并构造函数证明数列的单调性，综合性强，属于难题. 二、填空题13．()3621)x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 答案：180根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 解：62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式363216622kkkkk k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=， 解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=．故答案为：180． 点评：本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题. 14．随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻亮一次红灯与亮一次绿灯的时间之和为90秒，其中亮红灯的时间不超过60秒，亮绿灯的时间不超过50秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为_____． 答案：14根据题意，设亮绿灯的时间为t 秒，表示出亮红灯的取值范围；进而求得亮绿灯时间的间隔取值范围，再由几何概型概率公式即可求解.解：设亮绿灯的时间为t 秒，则50t ≤， 则亮红灯的时间为90t -秒， 则9060t -≤，所以3050t ≤≤， 则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间， 即90t t ≥-，解得45t ≥，由几何概型中的线段型可得亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为5045150304P -==-，故答案为：14． 点评：本题考查了长度型几何概率的求解，属于基础题.15．在三棱锥A BCD -中，60ABC ABD ∠=∠=︒，22BC BD ==，4CD =，2AB =．则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为_____． 答案：20π根据条件及余弦定理，可求得,AD AC .由勾股定理可得BAD BAC ∆∆，为直角三角形．则三棱锥A BCD -的外接球的球心在过ACD ∆的外心E 垂线上，根据余弦定理可求得cos CAD ∠，结合同角三角函数关系式求得sin CAD ∠.由正弦定理求得ACD ∆外接圆的半径，可求得三棱锥A BCD -外接球半径，即可得外接球的表面积.解：根据题意，可得几何关系如下图所：根据条件，结合余弦定理可得222cos AD BA BD BA BD ABD =+-⋅⋅∠()()222222222cos606=+-⨯⨯⋅︒=222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅⋅∠==所以222222,AC AB BC AD AB BD ++==， 故BAD BAC ∆∆，为直角三角形．所以三棱锥A BCD-的外接球的球心在过ACD ∆的外心E 垂线上设为点O ．由余弦定理可得22222241cos 23ACAD CDCAD AC AD+-+-∠===-⋅根据同角三角函数关系式可得sin 3CAD ∠===． 故ACD ∆外接圆的半径112sin 23CD r AE CAD ==⋅==∠．则三棱锥A BCD -外接球的半径2222R OA OE AE==+2212AB AE ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22522⎛⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故外接球的表面积为244520S R πππ==⨯=． 故答案为：20π 点评：本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三棱锥的外接球表面积求法，注意球的几何性质应用，属于中档题.16．已知平面四边形ABCD 中，23ABC π∠=，AC =23,2AB BC AD BD ==，BCD ∆的面积为CD =_____． 答案：2在ABC ∆中由余弦定理并结合23AB BC =，23ABC π∠=，即可求得,AB BC 的值.设DBC θ∠=，BD x =.由BCD ∆的面积用x 表示出sin θ；再在ABD ∆中应用余弦定理x 表示出cos θ，由22sin cos 1θθ+=可求得x .在BCD ∆中由余弦定理即可求得CD 的长.解：在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 76AC BC AB BC AB ABC -+⋅⋅∠==，又23AB BC =，23ABC π∠=， 即222222cos 76333AB AB AB AB π⎛⎫+⨯⋅⋅-= ⎪⎝⎭解得6,AB =所以4BC =， 设DBC θ∠=，203πθ<<，BD x =，则2AD x =，又1sin 2BCD S BD BC θ∆=⋅=∴sin xθ=； 在ABD ∆中，由余弦定理可得22222cos 3AD BD AB BD AB πθ⎛⎫=+-⋅⋅-⎪⎝⎭， 整理得262cos 0x x θ-=-，即26cos 2x xθ-=，由22sin cos 1θθ+=，即222612x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4216480x x +=-， 解得212x =或24x =，又203πθ<<，261cos 22x x θ-=>-，所以212x =，解得x =在BCD ∆中由余弦定理可得，CD =2==． 故答案为：2 点评：本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，同角三角函数关系式的应用，属于难题. 三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，且满足()*231n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log n n na b a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的最小值． 答案：（1）13n n a -=．（2）2（1）根据递推公式及1n n n a S S --=，代入后可证明数列{}n a 为等比数列，即可求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）中所得{}n a 的通项公式表示出2n a +，代入后求得数列{}n b 的通项公式，结合错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和n T ，根据n T 的单调性即可确定n T 的最小值． 解：（1）()*231n n S a n N=-∈．∴2n ≥时，()()11223131n n n n n a S S a a --=-=--- 化为13n n a a -=，1n =时，11231a a =-，解得11a =．∴数列{}n a 是等比数列，首项为1，公比为3， ∴13-=n n a ． （2）123n n a ++=， ∴3211log 3n n n n a n b a +-+==， ∴数列{}n b 的前n 项和213412333n n n T -+++++=． ∴21123133333n n n n n T -+=++++， ∴2121111233333n n n n T -+++++-＝ 111311313nn n -+=+--，化为11525443n n n T -+=-⨯． 因为11525443n n n T -+=-⨯为单调递增数列， 所以n T 的最小值是12T =．点评：本题考查了递推公式在求通项公式中的应用，由等比数列定义求等比数列通项公式，错位相减法求和的应用，属于中档题.18．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD ，AB=BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值. 答案：（1）见解析；（2）77. 试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D –AE –C 7. 试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO,BO,则DO ⊥AC,DO=AO. 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故90DOB ∠=.所以平面ACD ⊥平面ABC.（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得310,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()311,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,310.22x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩可取31,3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n .设m 是平面AEC 的法向量，则00m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取(0,3=-m .则7cos ,⋅==n m n m n m . 所以二面角D-AE-C 7. 【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等，故有cos cos ,m nm n m nθ⋅==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．答案：（1）22143x y +=（2）见解析（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出//AN AQ ，且向量AN 和AQ 有公共点A ，即可证明． 解：（1）不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>.由题意可得2222211914c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程22143x y +=.（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得22(34)690m y my ++-=223636(34)0m m ∆=++>122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， 直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =成立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -， 22(2,)AN x y ∴=+，112(6,)2y AQ x =-， ()()()211212211622226222y x y x y y x x x --+-+=--()()()2112161221212y my y my my ⎡⎤⎡⎤+--++⎣⎦⎣⎦=+- ()22121211964()6()463434011mm my y y y m m my my ----+++===--，//AN AQ ∴，向量AN 和AQ 有公共点A ，A ∴，N ，Q 三点在同一条直线上．点评：本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．20．红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中711ln ,7i i i z y z z ===∑）平均温度/x C ︒21 23 25 27 29 32 35平均产卵数y /个7 11 21 24 66 115 325x yz()()1niii x x zz =--∑()21nii x x =-∑27.429 81.286 3.612 40.182147.714（1）根据散点图判断，y a bx =+与dxy ce =（其中e 2.718=自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为()01p p <<. ①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率p.②当()f p 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==-⋅-==--∑∑. 答案：（1）dx y ce =更适宜，0.272 3.849ˆx ye -=；（2）①()max 216625f p =，35p =；②()3E X =，6()5D X =（1）根据散点图选择合适函数模拟，利用变量z ，构造线性回归方程，利用已知量求解出z 关于x的线性回归方程，即可求解出y 关于x 的回归方程；（2）①先表示出()f p ，然后根据()f p '分析出()f p 的最大值以及p 的值； ②根据p 的值以及二项分布的均值与方差的计算方法求解出结果即可. 解：解：（1）根据散点图可以判断，dxy ce =更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度x 的回归方程类型；对dxy ce =两边取自然对数，得ln ln y c dx =+； 令ln ,ln ,z y a c b d ===，得z a bx =+；因为()()()7121740.182ˆ0.272147.714iii ii x x zz bx x ==--==≈-∑∑，ˆˆ 3.6120.27227.429 3.849az bx =-=-⨯≈-； 所以z 关于x 的回归方程为ˆ0.272 3.849zx =-； 所以y 关于x 的回归方程为0.272 3.849ˆx ye -=；（2）（i ）由5332()(1)f p C p p =⋅⋅-，得()325(1)(35)f C p p p p '=⋅--，因为01p <<，令()0f p '>，得350p ->，解得305p <<； 所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f p 有唯一的极大值为35f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，也是最大值；所以当35p =时，()max32165625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （ii ）由（i ）知，当()f p 取最大值时，35p =，所以3~5,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以X 的数学期望为3()535E X =⨯=， 方差为326()5555D X =⨯⨯=.点评：本题考查线性回归方程的求解、独立重复试验的概率与函数的综合应用、二项分布的均值与方差计算，难度较难.已知()~,X B n p ，则()()(),1E X np D X np p ==-. 21．已知函数()12ln f x x a x x=-+⋅. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点()1212,x x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g +⎛⎫'=-⋅⎪⎝⎭的范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，求实数a 的取值范围. 答案：（1）当1a ≤时，单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当1a >时，单调递减区间为(()0,,a a +∞；单调递增区间为(a a ；（2）,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭（1）求解导函数，根据导函数的分子（二次函数）分类讨论()f x '与0的关系，从而可分析出函数的单调性；（2）根据已知条件构造关于12x x 的新函数，根据新函数的单调性分析出12x x 的取值范围，然后根据a与12x x 的关系即可求解出a 的取值范围. 解：解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22212211a x ax f x x x x--+'=-+=-. （i ）若1a ≤，则()0f x '≤，当且仅当1a =，1x =时，()0f x '= （ii ）若1a >，令()0f x '=得12x a x a ==当(()20,x a a a ∈++∞时，()0f x '<；当(x a a ∈时，()0f x '>，所以，当1a ≤时，()f x 单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间； 当1a >时，()f x 单调递减区间为(()0,,a a +∞；单调递增区间为(a a . （2）由（1）知：1a >且12122,1x x a x x +==. 又()12g x b cx x '=--，∴()12121222x x g b c x x x x +⎛⎫'=--+ ⎪+⎝⎭， 由()()120g x g x ==得()()22112122ln x b x x c x x x =-+-， ∴()()()()()121222121112121212121212222122ln ln 21x x x x x x x x x y x x g b x x c x x x x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪--+⎛⎫⎝⎭'=-=----=-=- ⎪++⎝⎭+. 令12(0,1)x t x =∈，∴2(1)ln 1t y t t -=-+， ∴22(1)0(1)t y t t --'=<+，所以y 在()0,1上单调递减. 由y 的取值范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，得t 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦， ∵122x x a +=，∴()222222211221212112212212(2)242x x x x x xa x x x x x x a x x x x ++=+=++===++，∴2122119422,2x x a t x x t ⎡⎫=++=++∈+∞⎪⎢⎣⎭， 又∵1a >，故实数a的取值范围是4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 点评：（1）含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论；（2）利用导数求解双变量问题，多数情况下需要构造关于12x x （或21x x ）的新函数，借助新函数的单调性分析问题. 22．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos2a ρθ=（a R ∈,a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =+，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．答案：（1）222x y a -=2(12x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）；（2）2.（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程，根据点斜式得直线l的普通方程，代入2x =+解得112y t =+，即得参数方程.（2）将直线参数方程代入曲线C方程，根据参数几何意义得1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，解得a ，再根据1212PA PB t t t t -=-=+，利用韦达定理解得结果.解：（1）由22cos2a ρθ=得()2222cos sin aρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为)213y x =-+，由2x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为2212x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（2）将2212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得()()2221230t t a ++-=，依题意知()()2221830a ⎡⎤∆=-->⎣⎦则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵()21223t t a⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()1221t t +=-，∴2PA PB -=． 点评：本题考查直线的参数方程的标准形式的应用，考查基本分析应用求解能力，属基本题. 23．设函数()1,()2f x x g x x a =-=+．（1）当1a =时，求不等式((1))g f x x ->的解集；（2）若关于x 的不等式22()()(1)f x g x a +≤+有解，求a 的取值范围． 答案：(1)2(2,)3--;(2)(,3][1,){1}-∞-+∞-.（1）当1a =时，不等式1211x x --+>，零点分段可得不等式的解集为22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）由绝对值三角不等式的性质可得()()2|22|f x g x a +≥+，则原问题等价于()2|22|1a a +≤+，据此可得a 的取值范围是][(),31,{1}-∞-⋃+∞⋃-． 解：（1）当1a =时，()()1f x g x ->，即1211x x --+>，即()11211x x x ≤-⎧⎨-+++>⎩或()111211x x x -<≤⎧⎨-+-+>⎩或()11211x x x >⎧⎨--+>⎩，所以21x -<≤-或213x -<<-， 所以原不等式的解集为22,3⎛⎫--⎪⎝⎭； （2）()()2212f x g x x x a +=-++2222x x a =-++2222x x a ≥---|22|a =+，因为不等式()()()221f x g x a +≤+有解，所以()2|22|1a a +≤+，即|1|2a +≥，所以a 的取值范围是][(),31,{1}-∞-⋃+∞⋃-． 点评：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【精准解析】广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月月考数学(理)试题
深圳外国语学校高三数学（理）试卷本试卷分必做题和选做题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.客观题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.主观题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.2.选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效.3.考试结束后，监考员将答题卡收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x N x *=∈≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()UA B =（ ）A. {}2,3,4,5,6,8B. {}2,8C. {}1,7D. {}3【答案】B 【解析】 【分析】先确定全集中元素，然后根据集合运算的定义计算． 【详解】由题意{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，又{1,3,7}A =， ∴{2,4,5,6,8}U C A =， ∵{2,3,8}B =，∴(){2,8}U C A B =．故选B ．【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的定义是解题基础，同时一定要明确集合中的元素．2.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．3.为考察某种药物对治疗一种疾病的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对治疗该种疾病有效果的条形图是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】选项D 中不服药样本中患病的频率与服药 样本中患病的频率差距离最大.所以选D. 4.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，4i ie π表示的复数位于复平面内（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据新定义，化简即可得出答案．【详解】∵4i e π=cos 4π+isin 422π=+i ，∴4i(2222iieπ==-i)=+，）位于第一象限， 故选A ．【点睛】本题考查了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于基础题． 5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，且3a =，b 为单位向量，则2a b +=（ ）C. 19D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算2219a b +=，得到答案. 【详解】()222222=4496419a b a b a a b b +=++⋅+=++=，故219a b +=.故选：B .【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.6.已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） B.53C.52【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程0bx ay -=，再由圆C ，求得圆心为(0,5)C ，半径2r ，利用直线与圆相切，即可求得52c a =，得到答案． 【详解】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay -=，又由圆22:10210C x y y +-+=，可得圆心为(0,5)C ，半径2r ，则圆心到直线的距离为2255()a a d c b a -==+-，则52a c =，可得52c e a ==， 故选C ．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x x ex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而t y e =是增函数 所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.8.已知x ，y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则a b ca++=（ ） A. 2 B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：画出可行域，2z x y =+，则2y x z =-+，z 表示直线与y 轴的截距，计算交点为()3,1和()1,1-，代入直线方程得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域，2z x y =+，则2y x z =-+，z 表示直线与y 轴截距. 27z x y =+=与4x y +=交点为()3,1，21z x y =+=与1x =的交点为()1,1-，故0ax by c过点()3,1和()1,1-，代入得到30a b c ++=，0a b c -+=，解得2c a =-，=-b a ，故2a b ca++=-. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术；蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息，现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A. 332πB.(322)2-πC.(22)4π-D.8π【答案】B【解析】【分析】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，求出圆的面积，根据概率公式计算即可【详解】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BE ＝O 2E ＝O 2O ＝r ， ∴BO 22=r ，∵BO 2+O 2O ＝BO 12=BD 2=， ∴2r +r 2=， ∴r 222-=， ∴黑色部分面积S ＝π（222-）23222-=π，正方形的面积为1， ∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为3222-π， 故选B ．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，确定面积为测度是关键． 10.已知函数2()sin cos 3f x x x x =+，且函数()y f x ω=在,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正数ω的最大值为（ ） A.12B.23C.32D. 1【答案】D 【解析】 【分析】化简得到3()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据单调区间与周期关系得到302ω<≤，再根据单调区间得到21232πππω⎛⎫+≤⎪⎝⎭，解得答案.【详解】21()sin cos sin 22sin 222232f x x x x x x x π⎛⎫==++=++⎪⎝⎭， 又函数()y f x ω=在,412ππ⎢⎥-⎢⎥⎣⎦上单调递增，121243222T ππππω⎛⎫∴--=≤=⋅ ⎪⎝⎭，302ω∴<≤， ,412x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，3322224332123x πππππω⎛⎫⎛⎫∴⋅-+≤+≤⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即57212312x πππω-≤+≤，21232πππω⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，得1ω≤.综上所述：正数ω的最大值为1. 故选：D .【点睛】本题考查了根据三角函数单调性求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11.已知点(1,0), (1,0)M N -，动点(, )P x y 满足：4||||1cos PM PN MPN⋅=+∠，直线y kx =与点P 的轨迹交于A ，B 两点，则直线PA ，PB 的斜率之积PA PB k k ⋅=（ ）A. 23-B. 32-C.23D. 不确定【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理化简得到||||PM PN +=22132x y +=，设()11,A x kx ，()22,B x kx ， 联立方程得到121220632x x x x k +=⎧⎪⎨=-⎪+⎩，代入计算得到答案.【详解】4||||1cos PM PN MPN⋅=+∠，故222||||||||||||42||||PM PN MNPM PN PM PN PM PN +-⋅+⋅=⋅，化简整理得到||||PM PN +=a =1c =，故椭圆方程为：22132x y +=.设()11,A x kx ，()22,B x kx ，则22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得到()223260k x +-=， 故121220632x x x x k +=⎧⎪⎨=-⎪+⎩，222221212221212226223326332PA PBk x y kx y kx y k x x k k k x x x x x x x x k ----++⋅=⋅===---+-+. 故选：A .【点睛】本题考查了轨迹方程，斜率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 12.已知正四面体A BCD -的棱长为M ，N 分别是AC ，AD 上的点，过MN 作平面α，使得AB ，CD 均与α平行，且AB ，CD 到α的距离分别为2，4，则正四面体A BCD -的外接球被α所截得的圆的面积为（ ） A. 11π B. 18πC. 26πD. 27π【答案】C 【解析】 【分析】将正四面体A BCD -补形成棱长为6的正方体APBQ ECFD -，计算球O 的半径2R ==α被球O所截圆半径r =，得到答案. 【详解】将正四面体A BCD -补形成棱长为6的正方体APBQ ECFD -，则A BCD -的外接球球心O 即为正方体的中心，故球O的半径2R == 且α与面APBQ ，ECFD 平行，α到面ECFD 的距离分别为2和4，此时O 到α的距离为1，故α被球O 所截圆半径22126r R =-=，从而截面圆的面积为26π.故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知一组鞋码与身高的数据（x 表示鞋码，(cm)y 表示身高），其中360m n +=.x40 41 42 43 44 y172 175 m n183若用此数据计算得到回归直线ˆ 2.25yx a =+，则由此估计当鞋码为40时身高约为__________cm . 【答案】173.5 【解析】 【分析】计算42,178x y ==，将(),x y 代入回归直线可得83.5a =，计算得到答案.【详解】根据题意：42,178x y ==，将(),x y 代入回归直线可得83.5a =，故ˆ 2.2583.5yx =+. 故当鞋码为40时身高约为2.254083.5173.5(cm)⨯+=. 故答案为：173.5.【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.14.已知03sin m xdx π=⎰，则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 .【答案】6480- 【解析】试题分析：03sin 6m xdx π==⎰，二项式6(23)a b c +-的展开式中23ab c 的系数为()312265236480C C ⋅⋅-=-.考点：二项式定理.15.ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知22sin 3cos A A =，a =b =B =__________【答案】π4. 【解析】 【分析】化简得到(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，3A π=，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】22sin 3cos A A =，即22cos 3cos 20A A +-=，(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，cos 20A +≠，故1cos 2A =，3A π=，sin sin 2b A B a ==，b a <，故4B π=. 故答案为：4π. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 16.若不等式()2ln 1xx ea x x -≥++恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】 变换得到2ln 11x x e a x+--≥，证明1x e x ≥+恒成立，故ln 21ln 1()11x x x f x x++--≥-=，得到答案.【详解】()2ln 1xx ea x x -≥++，即2ln 11x x e a x+--≥， 现证明1x e x ≥+恒成立，设()1xg x e x =--，取()'10xg x e =-=，则0x =， 当0x ≤时，函数单调递减，当0x >时，函数单调递增，故()()min 00g x g ==， 故1x e x ≥+恒成立.设22ln 1ln 1()11x xx xe x f x e x x +--=--=-ln 2ln 11x x e x x+--=-ln 21ln 111x x x x++--≥-=，当且仅当ln 20x x +=时取等号，所以1a ≤.故答案为：(,1]-∞.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，放缩1x e x ≥+是解题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知递增等差数列{}n a 满足1510a a +=，2421a a ⋅=，数列{}n b 满足22log 1,*n n b a n N =-∈.（1）求{}n b 的前n 项和n S ；（2）若12(1)n n T nb n b b =+-+⋯+，求数列{}n T 的通项公式.【答案】（1）21nn S =-（2）122n nT n【解析】 【分析】（1）根据等差数列公式计算得到21n a n =-，12n n b -=，得到答案.（2）化简得到12n n T S S S =+++，代入数据计算得到答案.【详解】（1）设数列{}n a 公差为(0)d d >，由1112410()(3)21a d a d a d +=⎧⎨++=⎩，解得：111922a a d d ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（舍去），所以21n a n =-，12log 1,2n n n b n b -=-=.212121n n n S -==--.（2）12(1)...n n T nb n b b =+-++，11212312()()()n n T b b b b b b b b b =++++++++++212(21)(21)+21)n n S S S =+++=-+-+-（212(21)(22+22221n nn n n n +-=++-=-=---）.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，等比数列求和，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，2BAD π∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE △沿BE 折起到图2中1A BE 的位置，使得11A C =，得到四棱锥1A BCDE -.（1）证明：平面1A BE ⊥平面BCDE ；（2）若直线1A D 与平面1A BC 所成角为θ.求sin θ. 【答案】（1）证明见解析（2）2sin θ=【解析】 【分析】（1）证明1A OC ∠为平面1A BE 与平面BCDE 所成二面角的平面角，根据勾股定理得到12A OC π∠=，得到证明.（2）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，平面1A BC 的法向量为1(1,1,1)n ，122(2,A D =-，计算夹角得到答案. 【详解】（1）在图1中，易证四边形ABCE 为正方形，所以BE AC ⊥，即在图2中，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，从而1A OC ∠为平面1A BE与平面BCDE 所成二面角的平面角，又由22211A C A O OC =+知12A OC π∠=，所以平面1A BE ⊥平面BCDE .（2）由（1）知由，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDEBE ，又1A O BE ⊥，所以1A O ⊥平面BCDE . 如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 得：2(,0,0)B ，2(,0,0)E ，12(0,0,)A ，2(0,,0)C ， 由CD BE =得2(2,,0)2D -，22(,,0)22BC ，122(0,,)22AC ， 设平面1A BC 的法向量1111(,,)n x y z ，则1110n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n ，又122(2,,)22A D =--，从而1112sin |cos ,|||3||||n A D n A D n A D θ⋅=〈〉==⋅.【点睛】本题考查面面垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y -+=相外切，又与定直线1: 1l x =-相切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程，（2）过点()12,0C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2: 2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F .求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点.【答案】（1）22:8C y x =（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）易知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =-的距离相等，得到轨迹方程.（2），设直线l 方程为：2x my =+，联立方程得到12128,16y y m y y +=⋅=-，EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y --+--=，计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：根据题意知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =-的距离相等，所以M 的轨迹方程为：22:8C y x =.（2）显然直线l 不与x 轴重合，设直线l 方程为：2x my =+， 与2:8C y x =联立消x 得：28160y my --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,16y y m y y +=⋅=-， 直线OA 方程为：11y y x x =，所以112(2,)y E x ，即116(2,)E y ， 同理216(2,)F y ，所以以EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y --+--=，令0y =得：212256440x x y y -++=，即24120,26x x x x --==-=或， 以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点1(2,0)G -和2(6,0)G .【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 【答案】（1）0.155（2）应选方案二． 【解析】【详解】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=， ()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ， 所以()()()1230.1,0.2,0.6P B P B P B ===． 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B ．则()()()()()()()()()()112233112233P B P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++ 0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155． （2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（1）知()()115000.650.90.300.750.0500.81,1000.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-= ()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=．1X 的分布列为则该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（1）知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=，2X 的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元） 选择方案三，则该企业在8月份的利润为：()3500100400E X =-=（万元）由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二．21.已知函数()(sin cos )2xf x e x x ax x ππ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭有两个不同的极值点1x ，2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）设()()g x f x '=，求证1202x x g a +⎛⎫'<< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）3242e a e ππ<<（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）求导得到()()2e sin xg x f x x a '==-，再求导得到函数单调区间，得到02g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()0g π<，304g π⎛⎫>⎪⎝⎭，解得答案. （2）不妨假设12x x <，则12324x x πππ<<<<，根据单调性得到1232x x π+<，设33()(),224F x g x g x x πππ⎛⎫⎛⎫=--<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算()F x 的单调性得到()0F x >，得到证明. 【详解】（1）设()()2e sin xg x f x x a '==-，则1x ，2x 为()g x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭的两个不同的零点，且()2e (sin cos )sin 4xxg x x x x π⎛⎫'=+=+⎪⎝⎭， 故当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '<， 所以当3,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()g x 单调递增，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()g x 单调递减. 故当()g x 在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有两不同的实根时，02g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，()0g π<，304g π⎛⎫>⎪⎝⎭， 解得3242e a e ππ<<.（2）不妨假设12x x <，则12324x x πππ<<<<，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()4cos 0x g x e x ''=<所以()sin 4xg x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故要证123024x x g g π+⎛⎫⎛⎫''>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，只要证123224x x ππ+<<，即证1232x x π+<， 即213342x x πππ<<-<()()21113322g x g x g x g x ππ⎛⎫⎛⎫⇔>-⇔>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设33()(),224F x g x g x x πππ⎛⎫⎛⎫=--<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3()()2F x g x g x π⎛⎫'''=+- ⎪⎝⎭327e sin e sin 44x x x x πππ-⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦32e e 4x x x ππ-⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为324x ππ<<时sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，333324240x x e e e e ππππ---<-=，故()0F x '<，所以()F x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故有3()04F x F π⎛⎫>=⎪⎝⎭， 即()1132g x g x π⎛⎫>-⎪⎝⎭成立，即1232x x π+<，从而121233224422x x x x g g g ππππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''<<⇒<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即12202e 2x x g a π+⎛⎫'<<< ⎪⎝⎭.综上所述1202x x g a +⎛⎫'<<⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x 2t(t y 23t =--⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数)，直线l 与曲线C ：22(y 2)x 1--=交于A ，B 两点()1求AB 的长；()2在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为3π22,4⎛⎫⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 【答案】（1）214；（2）.【解析】试题分析：（1）把直线参数方程代入曲线C 的方程，得12124,10t t t t +=-=-，即可求解；（2）根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为1222t t +=-，由t 的几何意义，可运算结果.试题解析：（1）直线的参数方程化为标准型（t 为参数） 代入曲线C 方程得设对应的参数分别为，则，， 所以 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标， 所以点在直线，中点M 对应参数为，由参数t 几何意义，所以点到线段AB 中点M 的距离考点：直线的参数方程；极坐标方程的应用.23.已知函数()11f x x x =+--的最大值为M .（1）求M 的值；（2）已知a ，b ，c 为正数，且a b c M ++=，证明：2228a b c b c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）2M =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用绝对值三角不等式得到答案.（2）计算得到22a bc b b-≥，2b ac c c -≥2c ba a a -≥. 【详解】（1）()|1||1||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤++-=，当1x ≥时等号成立，所以2M =.（2）2a b c ++=，故2a b c bc b b b -+=≥， 同理22b a c ac c c c -+=≥，22c b a ba a a a -+=≥ 则2222228a b c bc ac ba b c a ---⋅⋅≥=，即2228a b c b c a ---⋅⋅≥，当且仅当23a b c===时等号成立.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.。
广东省深圳市外国语学校2020届高三数学第一次测试试题理【含答案】
an t 【解析】（1）设等差数列{an}的公差为 d ．因为 a1,a2 ,a5 是数列{bn}的前 3 项，且 S4 16 ，
(a1 d )2 a1 (a1 4d )
所以
4a1
43 2
d
16
,因为 d
0
，所以解得
产品各年的销售情况．下列叙述： （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下 去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌； （3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增． 你认为较合理的是 A．（1），（2），（3） B．（1），（3），（4） C．（2），（4） D．（2），（3）
15. 已知关于 x 的方程| x | (x a) 1在 (2, ) 上有三个相异实根， 则实数 a 的取值范围是____．
16. 如图，在杨辉三角形中，斜线 1 的上方，从 1 开始箭头所示的数组
成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前 n 项和为 Sn ，则 S21 =_________．
A.
B. 0,1
C. (0,1)
D. (1, )
2. 若命题“ x0 R, 使得 x02 mx0 2m+5 0 ”为假命题，则实数 m 的取值范围是
A. [10, 6]
B. (6, 2]
C. [2,10]
D. (2,10)
3. 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴，终边过点 P(1, 3) ，则 cos 2 的值为
A. 4 5
4
B.
5
C. 3 5
2020届广东省深圳市外国语学校高三第一次测试数学(理)试卷
2020届广东省深圳市外国语学校高三第一次测试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，集合{}|1B y y x ==+，那么()U A C B = A. ∅ B.(]0,1 C.(0,1) D.(1,)+∞2. 若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题，则实数m 的取值范围是A. [10,6]-B.(6,2]-C.[2,10]-D.(2,10)-3. 已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边过点(1,3)P -，则cos 2α的值为 A. 54-B. 45C. 35-D. 354. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
”则下列说法错误的是A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第三天走的路程占全程的18C. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D. 此人后三天共走了42里路 5. 数列{}n a 满足11=a ，对任意*n ∈N 都有11n n a a n +=++，则122019111a a a ++⋅⋅⋅+= A ．20202019 B. 20191010 C. 20171010 D. 403720206. 在同一直角坐标系中，函数x y a -=，1log ()2ay x =+(0a >，且1a ≠)的图象可能是7. 设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c b a <<8．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增． 你认为较合理的是 A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）9 . 若函数()y f x =的图像和sin()4y x π=+的图像关于点(,0)4P π对称，则()f x 的表达式是A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x10. 设()f x 是定义在上的奇函数,且,当时,有()()f x xf x '>恒成立,则不等式()0xf x >的解集为 A ．B ．C ．D ．11. 若仅存在一个实数(0,)2t π∈，使得曲线C ：sin()(0)6y x πωω=->关于直线x t =对称，则ω的取值范围是A ．17[,)33B ． 410(,]33 C ．17(,]33 D ． 410[,)3312. 已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是A. (0,e)B. (e,+)∞C. (0,2e)D. (2e,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tan()4πθ+＝_____.14. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(,1)e -- (e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.15. 已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a的取值范围是____．16. 如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则21S =_________．三、解答题： 本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a 的前n 项和．若125,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且416S =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）是否存在常数t ,使得{}41n n S a t-+为等差数列？并说明理由.18．（本小题满分12分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，其厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．） （1）用表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时的值．19.（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，30.CAD BAD ∠=∠=（1）若75,10ABC AB ∠==，且//AC BD ，求CD 的长；（2）若10BC =，求AC AB +的取值范围.20. （本小题满分12分）已知函数()ln x f x ae b x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)1y x e=-+.(1) 求,a b ；(2) 证明：()f x 无零点.21. （本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x ax x =-+- （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围.22.（本小题满分12分） 已知函数()sin xf x e x ax =-．（1）若()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当1a ≤时，求证：对于任意的x ∈30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，均有()0f x ≥．理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是12.【解析】 因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2xm f x mx -=-+，所以方程可以化为：e e e 02x x xm mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)xg x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )t t t ，则切线方程为e e (1)()t ty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13. 7 14. (e, 1) 15. 16. 36116.【解析】根据杨辉三角形的生成过程， 当n 为偶数时，42n n a +=，当n 为奇数时，1=1a ，3=3a ，2-132n n n n n a a a a ++=+=+， 312a a -=，533a a -=，212n n n a a -+-=，2438n n n a ++=，11102113212420(...)(...)S a a a a a a =+++++个个136...66(345...12)28675361=+++++++++=+=（）三、解答题： 本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a 的前n 项和．若125,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且416S =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）是否存在常数t ,使得{}41n n S a t-+为等差数列？并说明理由.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为125,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且416S =，所以21111()(4)434162a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨⨯+=⎪⎩,因为0d ≠，所以解得112a d =⎧⎨=⎩． 所以，1(1)21n a a n d n =+-=-．又11221,3,b a b a ====故数列{}n b 的公比3q =，所以1113n n n b b q --==．（2）由（1）可知2n S n =． 若数列{}41n n S a t-+是等差数列，则312123414141,,S S S a t a t a t---+++成等差数列，所以3212134141412S S S a t a t a t ---⨯=++++，即153352315t t t⨯=++++，解得0t =或2t =．令41n n n S c a t-=+，①当0t =，41210n n n S c n a -==++．因为12n n c c +-=，所以{}n c 是等差数列．②当2t =，41212n n n S c n a -==-+．因为12n n c c +-=，所以{}n c 是等差数列．综上，实数t 为0或2．18．（本小题满分12分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，其厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）（1）用表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时的值． 解（1）作于点，则在直角三角形中，因为，所以， 因为四边形是等边圆柱的轴截面，所以四边形为正方形，所以．（2）由余弦定理得：，因为，所以，所以当，即时，取得最大值 ， 所以当时，的最大值为．答：当时，观赏效果最佳．19.（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，30.CAD BAD ∠=∠=（1）若75,10ABC AB ∠==，且//AC BD ，求CD 的长；（2）若10BC =，求AC AB +的取值范围.20. （本小题满分12分） 已知函数()ln x f x ae b x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)1y x e=-+.(1)求,a b ；(2)证明：()f x 无零点.解 (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞．()x b f x ae x '=-，由题意得1(1)f e =，1(1)1f e'=-， 所以111ae e ae b e ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得211a e b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. (2)证明：由(1)知21()ln (0)xf x e x x e=->． 因为21()x f x e x-'=-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '<，(2)0f '>， 所以()0f x '=在(0,)+∞上有唯一实根0x ，且0(1,2)x ∈． 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 从而当0x x =时，()f x 取极小值，也是最小值．由0()0f x '=，得0201x e x -=，则002ln x x -=-. 故0200000000111()()ln ln 2220x f x f x e x x x x x x x -≥=-=-=+->=， 所以()0f x >，即()f x 无零点.21. （本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x ax x =-+- （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围.综上可知，①当22a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当22a >时，()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递减；在12(,)x x 上单调递增. （2）对函数求导得. 因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根. 设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知， 由得，即这些极值的和的取值范围为．22.（本小题满分12分） 已知函数()sin xf x e x ax =-．（1）若()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当1a ≤时，求证：对于任意的x ∈30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，均有()0f x ≥．解析：（1）因为()sin xf x e x ax =-，所以()sin()4x f x x a π'=+-函数()f x 在[0,]4π上单调递增⇔()f x '在[0,]4π上恒有()0f x '≥.sin()4x x a π+≥恒成立.令()sin()4x g x x π=+则min ()g x a ≥又因为()g x 在[0,]4π上单调递增，所以min ()(0)1g x g ==，所以1a ≤.（2）证明： 因为()sin xf x e x ax =-，所以()sin x f x '=（4x π+）a -．令()sin x g x =（4x π+），则()2cos xg x e x '=．①当x ∈ [0,2π]时， ()0g x '≥， ()g x 递增，有()()()min 01g x g x g ≥==，因为1a ≤，此时， ()()0f x g x a '=-≥， ()f x 递增， 有()()()min 00f x f x f ≥==成立． ②当x ∈（3,24ππ]时， ()0g x '≤， ()g x 递减，有()()min 304g x g x g π⎛⎫≥==⎪⎝⎭， 若0a ≤，此时()()0f x g x a '=-≥， ()f x 递增， ()0f x ≥显然成立． 若a ∈（0,1]，此时记()00f x '=，则()f x 在（0,2x π]上递增，在（03,4x π]上递减．此时有()002f f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，3344333444f e a e πππππ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭，构造()x t x x =-，则()1xt x ='-，令()0t x '=，求得x =．故()t x 在（,-∞上递减，在（+∞343104e ππ-≥-=-，所以304f π⎛⎫⎪⎝⎭＞，此时满足()0f x ≥， 综上所述，当1a ≤时，对于任意的x ∈ [30,4π]，均有()0f x ≥．。
2020年广东省深圳外国语学校高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2020年广东省深圳外国语学校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集*{|8}U x N x =∈„，集合{1A =，3，7}，{2B =，3，8}，则()(U A B =I ð)A ．{2，3，4，5，6，8}B ．{2，8}C ．{1，7}D ．{3}2．（5分）设α是平面，m ，l 是空间两条不重合的直线，且l α⊥则“m l ⊥”是“//m α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，4i ie π表示的复数位于复平面内( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（5分）平面向量a r与b r 的夹角为60︒，且||3a =r ，b r 为单位向量，则|2|(a b +=r r ) A ．3B ．19C ．19D ．236．（5分）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( ) A ．2B ．53C ．52D ．57．（5分）函数cos 1(),1(),1x ln x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪⎩„的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．8．（5分）已知x ，y 满足140x x y ax by c ⎧⎪+⎨⎪++⎩…„„且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则(a b ca++= ) A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-9．（5分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为( )A (322)π- B ．16πC (322)π- D ．8π10．（5分）已知函数2()sin cos 3f x x x x =，且函数()y f x ω=在[4π-，]12π上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A ．12B ．23C ．32D ．111．（5分）已知点(1,0)M -，(1,0)N ，动点(,)P x y 满足：4||||1cos PM PN MPN=+∠g ，直线y kx =与点P 的轨迹交于A ，B 两点，则直线PA ，PB 的斜率之积(PA PB k k =g ) A ．23-B ．32-C ．23D ．不确定12．（5分）已知正四面体A BCD -的棱长为62M ，N 分别是AC ，AD 上的点，过MN 作平面α，使得AB ，CD 均与α平行，且AB ，CD 到α的距离分别为2，4，则正四面体A BCD -的外接球被α所截得的圆的面积为( )A ．11πB ．18πC ．26πD ．27π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知一组鞋码与身高的数据(x 表示鞋码，()y cm 表示身高），其中360m n +=．x40 41 424344 y172175mn183若用此数据计算得到回归直线ˆ 2.25y x a =+，则由此估计当鞋码为40时身高约为 cm ．14．（5分）已知03sin m xdx π=⎰，则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 ．15．（5分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知22sin 3cos A A =，3a =2b B = ．16．（5分）若不等式2()1x x e a x lnx -++…恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知递增等差数列{}n a 满足1510a a +=，2421a a =g ，数列{}n b 满足22log 1n n b a =-，*n N ∈．（Ⅰ）求{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若12(1)n n T nb n b b =+-+⋯⋯+，求数列{}n T 的通项公式． 18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，2BAD π∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中△1A BE 的位置，使得11AC =，得到四棱锥1A BCDE -． （Ⅰ）证明：平面1A BE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若直线1A D 与平面1A BC 所成角为θ．求sin θ．19．（12分）已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y -+=相外切，又与定直线1:1l x =-相切， （Ⅰ）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程．（Ⅱ）过点1(2,0)C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2:2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F ．求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点．20．（12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲)所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙)所示．（Ⅰ）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（Ⅱ）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应。
【附20套高考模拟试题】2020届【全国百强校】广东省深圳外国语学校高考数学模拟试卷含答案
2020届【全国百强校】广东省深圳外国语学校高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()0,απ∈，且15cos 17α=-，则()sin tan 2ααπ⎛⎫+⋅π+= ⎪⎝⎭( ) A ．1517-B ．1517 C ．817-D ．8172．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2sin a B b C =，3b =，1cos 4B =，则ABC △的面积为（ ）A ．915B ．91516C ．315D ．9163．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数()1f x -为奇函数；④函数()3f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．若变量满足约束条件则的最小值为（ ）.A ．B ．C ．D ．5．若对,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，求221()()1xf xg x x -=++的最大值与最小值之和是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．106．我们可以用随机数法估计π的值，如图，所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()0,1内的任何一个实数），若输出的结果为784，则由此可估计π的近似值为( )A ．3.119B ．3.124C ．3.136D ．3.1517．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A ．B ．C ．D ．8．已知函数()sin()(0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ） A ．[,]36ππ-B ．7[,]412ππC ．[0,]3πD ．5[,]26ππ9．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u rr，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（ ）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b+r r D ．23a b +r r 10．记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．811．在平行四边形ABCD 中，120,2,1DAB AB AD ∠===o，若E 为线段AB 中点，则DE AC ⋅=u u u r u u u rA ．12 B ．1 C ．32 D ．212．已知函数22(1)()x x e x g x e-=，若实数m 满足515(log )(log )2(2)g m g m g -≤，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,25] B ．[5,25] C ．[25,)+∞ D ．1[,5]5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年深圳外国语学校高考数学综合能力测试试卷(文科)(4月份) (含解析)
2020年深圳外国语学校高考数学综合能力测试试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|3x−4≥x}，B={1,3，5，7}，若A∩B=()A. {3,5}B. {5,7}C. {3,5，7}D. {1,3，5，7}2.若复数z满足z+2i=2i1−i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,−1)D. (1,1)3.平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，且a⃗=(3,0)，|b⃗ |=1，则|a⃗+2b⃗ |=()A. √3B. √19C. 19D. 2√34.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则双曲线离心率为()A. 32B. 2 C. 52D. 35.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入没有变化D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3a1+a2，则S4S2=()A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(√2+1)，且，则a =( )A. √2B. 2C. 4D. 2√2 8. 函数，x ∈(−π,0)∪(0,π)的图象大致为 ( )A. B.C. D.9. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 若a =3，b =√3，A =π3，则B =( )．A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π3 10. 已知函数f(x)=ln 1+x 1−x +x ，且f(a)+f(a +1)>0，则a 的取值范围为( )A. (−1,−12)B. (−12,0)C. (−12,1)D. (−12,+∞) 11. 设函数f(x)=sin(2x +π6)，则下列结论正确的是( )A. f(x)的图象关于直线x =π3对称B. f(x)的图象关于点(π6,0)对称C. f(x)的最小正周期为π，且在[0,π12]上为增函数D. 把f(x)的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象12. 设m ，n 是平面α外的两条直线，给出下列三个论断： ①m//n; ②m//α; ③n//α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题： ① ②⇒ ③; ② ③⇒ ①; ① ③⇒ ②，其中正确命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为______ ．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数在定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围为_____．16. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支分别交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1=2r 2，则直线l 的斜率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }满足a n =3a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)，且a 1=2，b n =log 3(a n +1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n ．18. 如图，三棱锥P −ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA =90°，PB =BC =CA =2，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF =FA ．(1)求证：BE ⊥平面PAC ；(2)求三棱锥P −BEF 的体积．19.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：方案一：每台机器售价7000元，三年内可免费保养2次，超过2次每次收取保养费200元；方案二：每台机器售价7050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元．扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得下表：记x表示1台机器在三年使用期内的保养次数．(1)用样本估计总体的思想，求“x不超过2”的概率；(2)若y表示1台机器的售价和三年使用期内花费的费用总和(单位：元)，求选用方案一时y关于x的函数解析式；(3)按照两种销售方案，分别计算这50台机器三年使用期内的总费用(总费用=售价+保养费)，以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？20.已知函数f(x)=e x(Ⅰ)当x>0时，设g(x)=f(x)−(a+1)x(a∈R).讨论函数g(x)的单调性；(Ⅱ)证明当x∈[12,1]时，f(x)<x2+x+1．21.已知定点F(0,1)，定直线m：y=−1，动圆M过点F，且与直线m相切．(1)求动圆M的圆心的轨迹C的方程；(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，分别过点A，B作轨迹C的切线l1，l2，l1与l2相交于点P，求△PAB外接圆的面积的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，M(0,−3)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√22．(1)写出曲线C的普通方程，直线l的直角坐标方程；(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值．23.已知函数f(x)=2sinx−1，g(x)=2sinx−√3．(1)若|f(x)+g(x)|=|f(x)|+|g(x)|，求满足条件的x的范围；(2)若|f(x)|+|g(x)|的最小值为M，0<m<M，求1M−m +1m的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了交集及其运算．利用交集的运算得结论．解：因为集合A={x|3x−4≥x}={x|x≥2}，B={1,3，5，7}，所以A∩B={3,5，7}．故选C．2.答案：A解析：本题考查复数的基本运算，复数的几何应用，考查计算能力．化简复数为a+bi的形式，即可求解复数的对应的点的坐标．，解：复数z满足z+2i=2i1−i−2i=−1+i−2i=−1−i．则z=2i(1+i)(1−i)(1+i)复数对应点为(−1,−1)．故选：A．3.答案：B解析：本题考查了平面向量的数量积、向量模长的计算，属于基础题．根据题意|a⃗+2b⃗ |=√(a⃗+2b⃗ )2，再结合向量数量积计算即可；解：∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(3,0)，|b⃗ |=1，则|a⃗|=3，，故选B．解析：解：∵双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为：y=±bax，即bx±ay=0，圆x2+(y−2)2=1的圆心(0,2)，半径为r=1，∴由双曲线的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，得√a2+b2=1，又c=2+b2，∴c=2a，∴e=ca=2．故选：B．先求出渐近线方程，根据直线与圆相切利用圆心到直线的距离等于半径找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，由离心率公式，计算可得答案．本题考查双曲线的渐近线方程以及直线与圆的位置关系、双曲线的离心率，属于基础题．5.答案：AC解析：本题主要考查事件与概率，概率的应用，考查发现问题解决问题的能力，属较易题．设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入37%×2a−60%a=14%a>0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故(10%a)÷(4%a)=2.5>2，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故(60%a)÷(30%a)=2，故C项错误．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入占总收入的比例为30%+28%=58%>50%，故D项正确．故选AC．解析：本题考查等比数列的通项公式和等比数列的求和，属于基础题型，由S 3=3a 1+a 2可得a 3=2a 1，所以q 2=2，又因为S 4S 2=a 1+a 2+a 3+a 4a 1+a 2=1+q 2=3，即可求解；解：由S 3=3a 1+a 2可得a 3=2a 1，所以q 2=2，又因为S 4S 2=a 1+a 2+a 3+a 4a 1+a 2=1+a 3+a4a 1+a 2=1+q 2=3， 故选B ．7.答案：C解析：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于属于基础题．利用正弦定理可得b +c =√2a ，结合三角形的周长即可计算得解a 的值．解：∵已知△ABC 的周长为4(√2+1)，且sinB +sinC =√2sinA ，∴由正弦定理得到b +c =√2a ，∴b +c +a =√2a +a =4(√2+1)，∴解得：a =4．故选C ．8.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性、单调性，属于中档题．利用函数的奇偶性排除选项B ，通过特殊点的位置排除选项A ，结合函数的单调性，判断选项即可． 解：函数，x ∈(−π,0)∪(0,π)， 因为， 所以函数f(x)为奇函数，排除B ；当x ∈(0,π)时，sinx >0，e x +e −x >0，所以，故排除A ；。
(2020.4)语深圳外国语学校高三数学(理)试卷
深圳外国语学校高三数学（理）试卷本试卷分必做题和选做题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．客观题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x x *=∈N ≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()U A B =I ð（ ）A. {}3B. {}1,7C. {}2,8D. {}2,3,4,5,6,82.设α是平面，,m l 是空间两条不重合的直线，且l α⊥则“m l ⊥”是“//m a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ）4．欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，i ei 4π表示的复数位于复平面内（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5.平面向量a r 与b r 的夹角为60°，且3a r =，b r为单位向量，则2a b +=r r （ ）A. 3B. 19C. 19D. 36.已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A.2B.53 C.52D.5 7.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=1,1),1ln()(cos x ex xx x f xπ的图像大致是( )8．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则=++acb a （ ） A.2 B.2- C.1 D.1-9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。