(完整版)平面向量应用举例练习题含答案

平面向量应用举例练习题

一、选择题

1．一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为5N ，则两3个力的合力的大小为( )

A ．10N

B ．0N

C ．5N D.N

3656

22．河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对

岸，则小船在静水中的速度大小为( )

A ．10m/s

B ．2m/s

C ．4m/s

D ．12m/s

2663．(2010·山东日照一中)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则的值为( )

x 1＋y 1

x 2＋y 2A.

B ．－

C.

D ．－232

35

6564．已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移

S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )

A ．lg2

B ．lg5

C ．1

D ．2

5．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足＋＋＝，则△PBC 与

PA

→ PB → PC → AB → △ABC 的面积之比是( )

A. B. 131

2C.

D.

233

46．点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( )

A ．(－2,4)

B ．(－30,25)

C ．(10，－5)

D ．(5，－10)

7．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，

则( )

A ．a ⊥e

B ．a ⊥(a －e )

C ．e ⊥(a －e )

D ．(a ＋e )⊥(a －e )

8．已知

||＝1，||＝，⊥，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OA → OB → 3OA

→ OB → ＝m ＋n ，则＝( )

OC → OA → OB

→ m

n A. B ．3

C ．3

D.133332

二、填空题

9．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值

范围是________．

10．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，且

|AB |＝2，则·＝________.

3OA

→ OB → 三、解答题

11．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一

点，且AE ＝2EB .

求证：AD ⊥CE .

12．△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，

垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连结DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .

13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t 满足(－t )·＝0，求t 的值．

AB

→ OC → OC → 14．一条宽为km 的河，水流速度为2km/h ，在河两岸有两个码头A 、B ，3已知AB ＝km ，船在水中最大航速为4km/h ，问该船从A 码头到B 码头怎样安3排航行速度可使它最快到达彼岸B 码头？用时多少？

15．在▱ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝BD ，求证：1

3M ，N ，C 三点共线．

16．如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，

用向量方法证明PA ＝EF .

17．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，E 是垂

足，F 是DE 的中点，求证AF ⊥BE

.

平面向量应用举例参考答案

1．[答案]　C

[解析]　根据向量加法的平行四边形法则，合力f 的大小为×5＝5(N)．2362. [答案]　B

[解析]　设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1.∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，

∴|v 2|＝＝＝＝2.v 2－2v ·v 1＋v 21100－0＋4104263．[答案]　B

[解析]　因为|a |＝2，|b |＝3，又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，可

得cos 〈a ，b 〉＝－1.即a ，b 为共线向量且反向，又|a |＝2，|b |＝3，所以有3(x 1，y 1)

＝－2(x 2，y 2)⇒x 1＝－x 2，y 1＝－y 2，所以＝

＝－，从而选B.

232

3x 1＋y 1x 2＋y 2－2

3

(x 2＋y 2)

x 2＋y 2

2

34．[答案]　D

[解析]　W ＝(F 1＋F 2)·S ＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)

＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.

5．[答案]　C

[解析]　由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点PA → PB → PC → AB → PA → PB → BA → PC → PC

→ AP

→ P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故＝＝.

S △PBC

S △ABC PC

AC 2

36．[答案]　C

[解析]　5秒后点P 的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．

7[答案]　C[解析]　由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2a ·e ·t ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝4(a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成

立．∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0.

即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．8．[答案]　B