赵近芳版《大学物理学上册》课后答案[1]

1

习题解答 习题一

1-1 ｜r ∆｜与r ∆ 有无不同

?

t

d d r 和

t

d d r 有无不同?

t

d d v 和

t

d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明．

解：（1）

r ∆是位移的模，∆

r 是位矢的模的增量，即r ∆1

2r r -=，12r r r

ϖϖ-=∆；

（2）

t

d d r 是速度的模，即

t d d r =

=v t s d d .t

r

d d 只是速度在径向上的分量.

∵有r

r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则t

ˆr ˆt r t d d d d d d r r

r += 式中t r

d d 就是速度径向上的分量，

∴

t

r

t d d d d 与r 不同如题1-1图所示.

题1-1图

(3)

t

d d v 表示加速度的模，即t v a d d ϖ

ϖ=，t

v

d d 是加速度a 在切向上的分量.

∵有ττϖ

ϖ(v =v

表轨道节线方向单位矢）

，所以 t v

t v t v d d d d d d ττϖϖϖ+= 式中dt

dv

就是加速度的切向分量. (t

t r d ˆd d ˆd τϖϖΘ与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =

y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝2

2y x +，然后根据v =

t

r

d d ，及a ＝

2

2d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

v =

2

2d d d d ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =

2

22222d d d d ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r

ϖ

ϖϖ+=，

j

t

y i t x t r a j

t

y i t x t r v ϖϖϖϖϖϖϖ

ϖ22

2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为

2

2

222

22222

22

2d d d d d d d d ⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y

x

y x

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

22d d d d t

r a t

r

v ==

其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t

r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，

2

2d d t r

也不

是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2

2

2d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r ϖ在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r ϖ及速度v ϖ

的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =

2

1

t 2

+3t -4.

式中t 以 s 计，x ,

y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒

内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、

平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1） j t t i t r ϖϖϖ

)432

1()53(2-+++=m

(2)将1=t

,2=t 代入上式即有

j i r ϖϖ

ϖ5.081-= m

j j r ϖϖϖ

4112+=m j j r r r ϖϖ

ϖϖϖ5.4312+=-=∆m

(3)∵ j i r j j r ϖϖϖϖϖϖ

1617,4540+=-=

∴ 104s m 534

201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j

i r r t r v ϖϖϖϖϖϖϖϖ (4) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i t

r

v ϖϖϖϖ

则 j i v ϖϖϖ734+= 1

s m -⋅

(5)∵ j i v j i v ϖϖϖϖϖϖ

73,3340

+=+=

204s m 14

44-⋅==-=∆∆=j v v t v a ϖϖϖϖϖ