归纳二次函数的图像与性质
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二次函数
的图像和性质
函数 开口方向
对称轴 顶点坐标
最值 增减性 图像
a >0
向上 Y 轴 (x=0)
(0,0)
当自变量x=0时,函数y 有最小值0
在对称轴的左侧(x <0),y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧(x >0),y 随x 的增大而增大
a <0
向上 Y 轴 (x=0)
(0,0)
当自变量x=0时,函数y 有最小值0
在对称轴的左侧(x <0),y 随x 的增大而增大;在对称轴的右侧(x >0),y 随x 的增大而减小
的绝对值越大,抛物线的开口越小; 的绝对值越小,抛物线的开口越大。 的绝对值相同,抛物线的形状相同。
二次函数+C 的图像和性质
该类函数是由y=ax 2的函数顺着y 轴上下平移得到的,当C >0时,顺着y 轴向上平移∣c ∣个单位,此时顶点坐标为(0,c );当c <0时,顺着y 轴向下平移∣c ∣个单位,顶点坐标为(0,c )。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 的绝对值越小,抛物线的开口越大。 的绝对值相同,抛物线的形状相同。
函数
开口方向 对称轴
顶点坐
标
最值
增减性 图像
a >0
c >0
向上 Y 轴
(x=0)
(0,c ) 当自变量x=0
时,函数y 有
最小值c
在对称轴的左侧(x
<0),y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧(x >0),y 随x 的增大而增大
c <0 a <
c >0
向下 Y 轴
(x=0)
(0,c ) 当自变量x=0
时,函数y 有
最大值c
在对称轴的左侧(x <0),y 随x 的增大而增大;在对称轴的右侧(x >0),y 随x 的增大而减小
c <0
二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
该类函数是由y=ax2的函数顺着x轴左右平移得到的,当h>0时,顺着x轴向右平移∣h∣个单位;当h<0时,顺着x轴向左平移∣h∣个单位。顶点坐标都为(h,0)
函数开口
方向
对称轴
顶点坐
标
最值增减性图像
a>0 h>0
向上x=h (h,0)
当自变量
x=h时,函
数y有最
小值c
在对称轴的左
侧(x<h),y随
x的增大而减
小;在对称轴
的右侧(x>h),
y随x的增大而
增大
h<0
a<
h>0
向下x=h (h,0)
当自变量
x=h时,函
数y有最
大值c
在对称轴的左
侧(x<h),y随
x的增大而增
大;在对称轴
的右侧(x<h),
y随x的增大而
减小
h<0
的绝对值越大,抛物线的开口越小。的绝对值相同,抛物线的形状相同。
二次函数y=a(x-h)2+k 的图像和性质
该类函数是由y=ax2的函数顺着y轴、x轴上下左右同时平移得到的,顶点坐标(h,k)
①h>0,k>0时,由函数y=ax2向右平移∣h∣个单位,再向上平移平移∣K∣个单位得到的;
②h>0,k<0时,由函数y=ax2向右平移∣h∣个单位,再向下平移平移∣K∣个单位得到的;
③h<0,k>0时,由函数y=ax2向左平移∣h∣个单位,再向上平移平移∣K∣个单位得到的;
2
函数开口
方向
对称轴
顶点坐
标
最值增减性图像
a>0 向上x=h (h,k)
当自变量
x=h时,函
数y有最小
值k
在对称轴的左侧(x<
h),y随x的增大而减
小;在对称轴的右侧
(x>h),y随x的增大
而增大
a<0 向下x=h (h,k)
当自变量
x=h时,函
数y有最大
值k
在对称轴的左侧(x<
h),y随x的增大而增
大;在对称轴的右侧
(x<h),y随x的增大
而减小
二次函数y=ax 2+bx+c 的图像和性质
我们把这类函数称为一般式。这类函数通过配方都可以配成a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=的形式。 函数
开口
方向
对称轴
顶点坐标
最值 增减性
图像
a >0
向上
x=a
b 2-
(a
b 2-
,a
b a
c 442
-)
当自变量x=
a
b 2-时,函数y 有最小值
a
b a
c 442
-
在对称轴的左侧(x <
a
b
2-
),y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧(x >a
b
2-),y 随x 的增大而增大
a <0
向下
x=a
b 2-
(a
b 2-
,a
b a
c 442
-)
当自变量x=
a
b 2-时,函数y 有最大值
a
b a
c 442
-
在对称轴的左侧(x <
a
b
2-
),y 随x 的增大而增大;在对称轴的右侧(x <a
b
2-),y 随x 的增大而减小
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 的绝对值越小,抛物线的开口越大。 的绝对值相同,抛物线的形状相同。
二次函数y=a(x-x 1)(x-x 2)的函数图像和性质
这类函数我们称它为交点式,可以直接得出该类函数与x 轴的交点坐标(x 1,0)、(x 2,0)。