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复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案

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7.2 复数的四则运算(解析版) (人教A版2019必修第二册)-人教版高中数学精讲精练必修二

7.2 复数的四则运算(解析版) (人教A版2019必修第二册)-人教版高中数学精讲精练必修二

7.2复数的四则运算考法一复数的加减运算【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数1123i z =-，29i z =-+，则12z z +的实部与虚部分别为（）A ．3，2-B ．3，2i-C ．2，3-D ．2，3i-【答案】A【解析】因为1123i z =-，29i z =-+，所以1232i z z +=-，其实部与虚部分别为3，2-.故选：A【例1-2】（2024·内蒙古）复数13z a i =+，24i z b =-+，其中a ，b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．7-B ．6-C ．6D ．7【答案】A【解析】由题意()1243i z z a b +=-++，()1243i z z a b -=++-，因为12z z +为实数，12z z -为纯虚数，所以3040b a +=⎧⎨+=⎩，得34b a =-⎧⎨=-⎩，所以7a b +=-.故选：A.【一隅三反】1．（2023·四川眉山）复数(12i)(34i)+--对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由复数(12i)(34i)26i +--=-+，可得复数在复平面内对应的点()2,6-位于第二象限.故选：B.2．（2023·全国·模拟预测）若复数1213i,2i z z =+=-+，则12z z -=（）A ．5BC ．25D【答案】A【解析】由1213i,2i z z =+=-+，有22i z =--，则1234i z z -=+，所以125z z -==，故选：A ．3．（2024·内蒙古）复数124i,3i z a z b =+=-+，其中,a b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．6B ．6-C ．7-D ．7【答案】C【解析】复数124i,3i z a z b =+=-+，,a b 为实数，则12(3)(4)i z z a b +=-++，由12z z +为实数，得40b +=，解得4b =-，又12(3)(4)i z z a b -=++-，显然40b -≠，由12z z -为纯虚数，得30a +=，解得3a =-，所以7a b +=-.故选：C4．（2021·高一课时练习）设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（）A ．1+iB ．2+iC ．3D ．2i--【答案】D【解析】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨=-⎩，，故i 2i a b +=--.故选：D.考法二复数加减运算的几何意义【例2-1】（2023上海）若向量,AB AC分别表示复数122i,3i z z =-=+，则BC uu u r =（）A ．5BC ．D ．【答案】B【解析】因为BC AC AB=-，又向量,AB AC 分别表示复数122i,3i z z =-=+，所以BC表示复数2112i z z -=+，所以12i BC =+= 故选：B【例2-2】（2023·江苏常州）已知12,z z ∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -=（）A ．0B ．1C D【答案】B【解析】在复平面中，设12,z z 分别与向量12,OZ OZ对应，由题意可得121OZ OZ ==uuu r uuur ，12OZ OZ +=uuu r uuur因为22221212122OZ OZ OZ OZ OZ OZ ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即()21232114OZ OZ +-=+=uuu r uuur ，解得121OZ OZ -=uuu r uuur ，即121z z -=.故选：B.【一隅三反】1．（2023·河南郑州）复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA的复数为（）A ．39i +B ．28i+C ．9i--D ．9i+【答案】D【解析】复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB，因为BA OA OB =- ，所以表示向量BA的复数为(65i)(34i)9i +--+=+.故选：D.2．（2023·高一课时练习）复平面上有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2i +，BA对应的复数为12i +，BC对应的复数为3i -，则点C 的坐标为．【答案】()4,2-【解析】因为BA对应的复数是12i +，BC 对应的复数为3i -，又AC BC BA =- ，所以AC 对应的复数为()()3i 12i 23i --+=-，又OC OA AC =+ ，所以点C 对应的复数为()()2i 23i 42i ++-=-，所以点C 的坐标为()4,2-．故答案为：()4,2-．3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若点A ，C 分别对应于复数1i -+，43i --，则A ，C 两点间的距离为．【答案】5【解析】依题意得AC对应的复数为()()43i 1i 34i ----+=--，所以A ，C 两点间的距离为34i 5AC =--==．故答案为：5．考法三复数的乘除法运算【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()312i -；(2)()323i -；(3)1122⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(4)1i ；(5)2i 1i -；(6)1i 13i ++．【答案】(1)112i -+(2)469i --(3)1(4)i -(5)1i -+(6)21i55-【解析】（1）()()()()()()()23212i 12i 12i 14i 4i 12i 34i 12i ==----+-=---236i 4i 8i 112i=-+-+=-+（2）()()()()()()()23223i 23i 23i 412i 9i 23i 512i 23i ==----+-=---21015i 24i 36i 469i=-+-+=--（3）2221111313i 12224444⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-+-=--=-=+= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）211i ii i i 1⋅===--（5）()()()222i 1i 2i 2i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 1i 2++-====-+--+-（6）()()()()221i 13i 1i13i i 3i 42i 21i 13i 13i 13i 19i 1055+-+-+--====-++--【一隅三反】1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()i 34i ++；(2)()()1i 1i --+；(3)()()2i 3i --+；(4)()()14i 2i -+-．【答案】(1)35i +(2)2i -(3)12i --(4)35i -【解析】（1）()i 34i 35i ++=+（2）()()1i 1i 2i --+=-（3）()()2i 3i 12i --+=--（4）()()14i 2i 35i-+-=-2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)i23i +；(2)4i 3i 2i 2i +-+-+；(3)12i 2i 32i 1i ---+；【答案】(1)32i 1313+(2)121i 55+(3)13i 2--(4)12【解析】（1）i i(23i)32i 32i 23i (23i)(23i)131313-+===+++-（2）4i 3i (4i)(2i)(3i)(2i)76i 55i 121i 2i 2i (2i)(2i)555+-+++--++-+==+-+-+（3）12i 2i 3(12i)(i)(2i 3)(1i)2i 15i 13i 2i 1i 2i (i)(1i)(1i)222---------+-=-=-=--+⋅-+-（42212=；3.（2023湖北）计算：122i(1i)i 22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）50820028i 1i ⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭．（3）()2020222i1i 1i ⎛⎫++⎪ ⎪+-⎝⎭；（4）22021i i i +++ ．【答案】（1）513；（2）247+．（3）2i -+；（4）i .【解析】（1）由于3211111((i)(i)(i)(i)12222222222-=-⨯-=--⨯-=-2(1i)2i-=-故61562155615926612(1(12(1)2(1)221251312112i (2i)i 2i(1i)i 222-⨯--⨯-+===+=⎛⎫⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由于2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，41i =，31(122-=-故50820028i+-+⎝⎭25885004248502i 2(1i)(1i)⨯+=++--25844425212(2i)i (2i)i)22=-+-++-4441122i i 2(i)247822=-+⨯-++-=+（3）()2222i22i 1i i i 1i 2i i i 1i ++---+====-+-- )()())1i 1i 1i 1i -==-+-，所以，()2211i i 1i 2⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，因此，原式()()210104252202022i 2i1i 21i i ⨯+=-++- =-+=⎛⎫++ ⎪⎪+-⎝⎭+-+-=-+；（4）因为()()12323*i i i i i i i i 10n n n n n n N +++=++++++=∈，所以原式()()()234567820172018201920202021i i i i i i i i ii i i i =+++++++++++++ ()50520214505i i i 1i i ==⋅=⋅=．考法四在复数的范围内解方程【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)250x +=；(2)23210x x ++=；(3)2460x x ++=.【答案】(1)1,2x =(2)1,231x -=(3)1,22x =-【解析】（1）∵200∆=-<，∴由求根公式得1,22x ==.（2）∵224380∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,2x =（3）∵244680∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,22x =-.【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)230x +=；(2)210x x ++=．(3)240z +=；(4)210400z z -+=．【答案】(1)x =(2)x =(3)2i z =或2i z =-．(4)5z =或5z =．【解析】（1）230x +=即为223i x =，故x =.（2）210x x ++=即为22133i 244x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故12x +=，所以12x =-.（3）240z +=，则24z =-，则2i z =±.（4）配方，得()2515z -=-．5z -=或5z -=，所以5z =或5z =．2（2024上海）已知2z i =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p、q 的值及方程的另一个根．【答案】4p =-，5q =，另一个根2i -．【解析】因为2z i =+是方程20x px q ++=的一个根，所以()()2220i i p q ++++=，即()3240q p p i ++++=，所以32040q p p ++=⎧⎨+=⎩，解得45p q =-⎧⎨=⎩，所以方程为2450x x -+=，因为124x x +=，所以方程的另一个根是2x i =-.3（2024江苏）已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位.（1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【解析】（1） 复数55(12)1112(12)(12)i z i ii i i -=++=++++-1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2） 复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩，解得4m =-，5n =．考法五复数模的最值【例5】（2023·浙江）已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围为．【答案】[]2,4【解析】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点，2z -的几何意义表示单位圆上的点和(之间的距离，2z -的取值范围转化为点(到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，14=12-=，所以2z -的取值范围为[]2,4.故答案为：[]2,4.【一隅三反】1．（2024·上海）已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是．【答案】8【解析】因为C z ∈且i 3z +=，所以，根据复数模的几何意义，z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，所以，33i z --表示圆上的点和点(3,3)的距离，因为圆心(0,1)-到点(3,3)5=，max 35833i z =-+-=，故答案为：82．（2023·全国·模拟预测）设z 是复数且12i 1z -+=，则z 的最小值为（）A ．1B 1C 1D【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，12i 1z -+=表示复平面内以()1,2-为圆心，1为半径的圆，而z 表示复数z 到原点的距离，由图可知，min 11z =-=.故选：C3．（2024北京）（多选）已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足i z -=z 在复平面内对应的点在以()1,0B ．若复数z 满足28i z z +=+，则复数158iz =+C ．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．非零复数z 1对应的向量为1OZ，非零复数z 2对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥ 【答案】CD【解析】对于A 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则()i 1i z a b -=+-，由i z -=可得，()2215a b +-=，所以满足i z -=的复数z 在复平面内对应的点在以()0,1A 错误；对于B 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则z =，由28i z z +=+可得，i=2+8i a b +，根据复数相等的条件可得28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩，所以158i z =-+，故B 项错误；对于C 项，由复数的模的定义知C 正确；对于D 项，由1212z z z z +=-的几何意义知，以12OZ OZ，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D 正确.故选：CD .考法六复数的综合运用【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（）A ．2211z z =B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+【答案】BC【解析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.对于选项A:()222222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,所有12z z ==因为11z z =，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=12z z +=,故选项D 错误；故选：BC.【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多选）已知z 是复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A ．2z z z ⋅=B ．若||1z =，则1z =±C ．||||||z z z z ⋅=⋅D ．若|1|1+=z ，则|1|z -的最小值为1【答案】CD【解析】对于A ，设()i ,R z a b a b =+∈，则()()222i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，但()()()2222i i i 2i z a b a b a b a ab b =+=++=+-，故A 错误；对于B ，令i z =，满足i 1z ==，故B 错误；对于C ，设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-所以()()22i i z z a b a b a b ⋅=+-=+，则2222z z a b a b ⋅=+=+22z z a b ⋅==+，所以||||||z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，设()i ,R z a b a b =+∈，则11i 1z a b +=++==，即()2211a b ++=，表示以()1,0-为圆心，半径为1的圆，1z -=()1,0的距离，故1z -11=，故D 正确.故选：CD2（2023湖北）（多选）设1z ，2z 是复数，则（）A．1212z z z z -=-B．若12z z ∈R ，则12z z =C．若120z z -=，则12z z =D．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC【解析】设1i z a b =+，2=+z x yi ，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立；()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC3．（2024甘肃（多选））设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若120z z -=，则12z z =B．若12z z =，则12z z =C．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D．若12=z z ，则2212z z =【答案】ABC【解析】对于A，因12|0|z z -=，则120z z -=，即12z z =，则12z z =为真，A 正确；对于B，因12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，则12z z =为真，B 正确；对于C，设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b =+=+∈R ，因12||||z z ==22221122a b a b +=+，于是得22221111111122222222z (i)(i)(i)(i)z z a b a b a b a b a b a b z ⋅=+⋅-=+=+⋅-=⋅=+，则1122z z z z ⋅=⋅为真，C 正确；对于D，当121,i z z ==，有12||||z z =，而22121,1z z ==-，即2212z z =为假，D 不正确.故选：ABC一．单选题1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）A ．2(1i)+B ．2(1i)-C ．1i1i-+D ．4(1i)+【答案】D【解析】对于A ，22(1i)=1i 2i 2i +++=，故A 正确；对于B ，22(1i)=1i 2i 2i -+-=-，故B 正确；对于C ，()()()21i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2---=-++-，故C 正确；对于D ，4222(1i)(1i)(1i)2i 2i 4i 4+=++=⋅==-，故D 错误.故选：D.2．（2024·云南昆明）复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i +在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，它在第一象限.故选：A.3．（2024上·山东枣庄）若z 是方程210x x ++=的一个虚数根，则2z z -=（）A ．0B ．-1C 3iD ．-13i【答案】A【解析】方程210x x ++=化为：213(24x +=-，依题意，1322z =-+或1322z =--，显然1z z +=-，又210z z ++=，即21z z =--，所以21(10z z z z z z -=---=-+-=.故选：A4．（2023·安徽）若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A ．B ．2C ．i 2D ．2【答案】D【解析】由()1i 1i z +=+=)()()1i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以i 22z =+，即z 的虚部为2故选：D ．5．（2024·湖北武汉）已知复数z 满足23i23i z z+=-，则z =（）A ．3BC ．7D ．13【答案】B【解析】由题设2()()1323i 23i z -+==，令i z a b =+，且,R a b ∈，则222(i)2i 13a b a b ab +=-+=所以22130a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2213a b ⎧=⎨=⎩，故z ==故选：B6．（2023·广东中山）复数z 满足i i (1)2+=z ，其中i 为虚数单位，则（）A ．20z z +=B ．0z z +=C ．0z z -=D ．220z z -=【答案】A【解析】由i i (1)2+=z ，得2i 2i (1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z ⋅-+====+++-，1i z =-，对于A ，2222(1i)(1i)2i 2i 0z z +=++-=-=，A 正确；对于B ，(1i)(1i)2z z +=++-=，B 错误；对于C ，(1i)(1i)2i z z -=+--=，C 错误；对于D ，2222(1i)(1i)2i 2i 4i z z -=+--=+=，D 错误.故选：A7．（2024·河北保定）已知复数z 满足()727282i 3i 4i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由()727282i 3i4i z +=+，得()2i 43i z -=-，所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-===---+，所以112i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A.8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数12nz ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，n *∈N 且0z >，则n 的最小值为（）A ．1B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】因为21131i i 2244222⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，311131122222244⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4111i 222222⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，51111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，611113122244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当6n =时，0z >，故n 的最小值为6.故选：C.二．多选题9（2023福建）若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则（）A．1i y +的共轭复数为1i -B．1xy =C．|i |y +D．32y x -=-【答案】BCD【解析】因为(i)(3i)(3)(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+.所以32x y -=，34xy +=，即32y x -=-，1xy =，则32y y-=-.解得1y =或3y =-，故A 错误，B，C，D 均正确.故选：BCD.10．（2024河北邢台）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 是虚数单位），则（）A．z 的实部是2B．z 的虚部是2i C．12i z =-D．|z |=【答案】CD【解析】依题意i 2i z =-+，两边乘以i 得12i,12i z z -=--=+，所以z 的实部为1，虚部为2，所以AB 错误.12i z =-，所以C正确.z =，所以D 正确.故选：CD11．（2024·河南南阳）设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（）A ．22cos i sin 33z ππ=+B ．212z z =C ．1z z=D ．222z z +=【答案】AC【解析】对于A，122i=cos isin2233z ππ=-+，故A 正确；对于B，2211222112z z -+-+===⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，21122122z z ⎛⎫-+ ⎪-+=--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21z z +=-，故D 错误.故选：AC12．（2023·湖南衡阳）在复平面内，复数z =，正确的是（）A ．复数z 的模长为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．复数z 是方程210x x -+=的解D ．复数ω满足max 1,1z ωω-==则【答案】AC【解析】由z =得2112z ==，则12z =对于A,1z =，故A 正确，对于B,复数z 在复平面内对应的点为1,2⎛⎝⎭，故该点位于第四象限，故B错误，对于C,211131i i 1i i 10222242422⎛⎫⎛⎫---+=---++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故12z =是210x x -+=的复数根，故C 正确，对于D ，设复数ω对应的向量为(),OW x y = 到,复数z 对应的向量为1,22OZ ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭,由1z ω-=得1ZW = 的距离为1，故复数ω对应点的(),x y 在以1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆上，故ω的最大值为112OZ r +=+=，故D 错误，故选：AC 三．填空题13．（2023·上海黄浦）复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则12z z +=；【答案】5i【解析】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则1212i z 13i z =+=-+，，则1205i=5i z z +=+故答案为：5i14．（2023·上海宝山）已知复数1z ，2z 满足11z =，22z =，312z z z =-，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】8π【解析】11z = ，1z ∴是以复平面内点()0,0为圆心，以1为半径的圆，312z z z =- ，213z z z ∴=-2132z z z ∴=-=，13132,2z z z z ∴+≥-≤，即313z ∴≤≤，∴复数3z 以复平面内点()0,0为圆心，半径为1和3的两圆构成的圆弧，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为：()22318S ππ=⨯-=故答案为：8π.15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.【答案】2i±【解析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050a c b d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i±16．（2023上海）已知i 为虚数单位，则集合{}23*i i i i ,n A x x n N ==+++⋅⋅⋅+∈中元素的个数为___________.【答案】4【解析】当*4,n k k N =∈时，23i i i i 0n x =+++⋅⋅+=⋅；当41,n k k N =+∈时，23i i i i i n x =+++⋅⋅+=⋅；当42,n k k N =+∈时，232i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+==-+；当43,n k k N =+∈时，2323i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+++==-，所以集合A 中元素的个数为4．故答案为：4．四．解答题17．（2023·浙江·）已知复数z 满足1i 1i12z +-=-（i 是虚数单位）(1)求z 的值；(2)若复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12i +；(2)7(,4)2.【解析】（1）由1i 1i12z +-=-，得()()()()()21i 21i 1i 1112i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.（2）由（1）知，222)512i)512i)(1)94(1)i 10i(((z m z m m m --=-+--=--+-+228)272)i ((m m m =--+-，由复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，得22802(72)0m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得742m <<，所以实数m 的取值范围为7(,4)2.18．（2023·浙江）已知复数4i z a =+，其中a 是正实数，i 是虚数单位．(1)如果()3i z a a +为纯虚数，求实数a 的值；(2)如果2a =，11izz =-是关于x 的方程20(,R)x bx c b c ++=∈的一个复根，求b c +的值．【答案】(1)12a =；(2)8.【解析】（1）解：因为()()()223i 4i 3i 12(34)i z a a a a a a a a a +++==-++，由()3i z a a +为纯虚数，可得22120340a a a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得12a =；（2）解：因为2a =，所以42i z =+，142i (42i)(1i)(2i)(1i)13i 1i (1i)(1i)z +++===++=+--+，将113i z =+代入方程20(,R)x bx c b c ++=∈，得2()(013i i)13b c +++=+，即有8(63)i=0b c b +-++，所以80b c +-=，8+=b c .19．（2023·广东东莞）已知i(,),2i z a b a b z =+∈+R 和i1z-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若117i 12z z m m =+--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)22i;z =-(2)132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】（1）()i ,R z a b a b =+∈ ，()2i 2i z a b ∴+=++，()()()()()i 1i i i i 1i 1i 1i 1i 222a b a b a b z a b a b a b++-+++-+====+---+，由题意，200b a b +=⎧⎨+=⎩，可得2,2a b ==-，则22i;z =-（2）117172123i 22i i i 121212m m z z m m m m m m --=+-=++-=+-+-+-+，由题意，21012302m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩，解得122m -<<或312m <<.∴实数m 的取值范围是132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20．（2023·辽宁沈阳）在①复数z 满足i z +和2iz-均为实数；②z 为复数z 的共轭复数，且()1i 1z z +=+；③复数()i ,0z a b a b =+∈<R 是关于x 方程2450x x -+=的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：(1)求复数z ；(2)在复平面内，若()2113i z z m m m=+++-对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U 【解析】（1）若选①：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b +=++，()()()()i 2i 22i 2i 2i 2i 55a b za b a b ++-+==+--+，若i z +和2i z -均为实数，则10205b a b +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选②：设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为()1i 1z z +=+，则()()i 1i i 1a b a b ++=-+，整理得()()()i 1i a b a b a b -++=+-，则1a b a a b b -=+⎧⎨+=-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选③：因为2450x x -+=，则()221x -=-，解得2i x =±，且()i ,0z a b a b =+∈<R ，所以2i z =-.（2）由（1）可得2i z =+，则()()()22211113i 2i 3i 22i z z m m m m m m m m m ⎛⎫=+++-=++++-=+++- ⎪⎝⎭，若1z 对应的点在第四象限，则212020m m m ⎧+>⎪⎨⎪+-<⎩，解得122m -<<-或01m <<，所以实数m 的取值范围为()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U .21．（2023上·广东深圳）已知复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，其中i 为虚数单位，且满足2z =，且1z -为纯虚数.(1)若复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z ；(2)(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，求实数m ，n 的值.【答案】(1)1=+z (2)答案见解析(3)2m =-，4n =【解析】（1）因为复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，所以11i z x y -=--，又1z -为纯虚数，所以1x =，又2z ==，所以y =又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，所以y =1=z .（2）由（1）可知1z =当1=z时，2i 12i 3i 2i 1i 444z -++===-，当1z =时，)()2i 12i 5i 444z ===-+.（3）法一：由（1）可知1=+z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以把1=+z ，代入20x mx n ++=得()()2110m n ++⋅++=，化简得2i 0m n +-++=，即200m n +-=⎧⎪+=，解得：2m =-，4n =法二：由（1）可知1=z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以此方程的另一根为：1z =，则24z z m z z n +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2m =-，4n =22．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=．(1)当θ为何值时，这个方程有一个实根？(2)是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)()ππ4k k θ=+∈Z (2)不存在，理由见解析【解析】（1）设0x 是方程的一个实根，则()()200tan i i 20,x x θ-+-+=即()()2000tan 2i 10.x x x θ-⋅--+=根据复数相等的意义知2000tan 2010x x x θ⎧-⋅-=⎨+=⎩解得：()0π1,tan 1,π4x k k θθ=-==+∈Z ．所以，当()ππ4k k θ=+∈Z 时，原方程有一实根01x =-．（2）假定方程有纯虚数根i b （b ∈R ，且0b ≠），代入原方程得()()()2i tan i i i 20,b b θ-+⋅-+=即()22tan 1i 0.b b b θ-+--+=由复数相等意义知220(tan 1)0b b b θ⎧-+-=⎨-+=⎩但方程220b b -+-=即220b b -+=无实数解，即实数b 不存在．所以，对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根．。

高中数学(人教A版)必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习(含答案解析)

高中数学(人教A版)必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习(含答案解析)

试卷第1页，共35页高中数学（人教A 版）必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习（含答案解析）一、填空题1．已知复数1z ､2z 满足123,1==z z ，若1z 和2z 的幅角之差为π3，则1212-=+z z z z ___________.【分析】分别设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，可得()()1121223cos isin z z θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ ，由题意可得12π3θθ-=或12π3θθ-=-，即可得12z z ，再代入1121221121221111z z z z z z z z z z z z ---==+++计算即可求解.【详解】 因为123,1==z z ，设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+， 所以()()()()()111122122222223cos isin 3cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin z z θθθθθθθθθθθθ++-==++- ()1212121222223cos cos sin sin i sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ++-⎡⎤⎣⎦=+ ()()12123cos isin θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦1122112211z z z z z z z z --=++ 由题意可知12π3θθ-=或12π3θθ-=-， 当12π3θθ-=时，12ππ33cos isin 332z z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1122112211z z z z z z z z --=====++，当12π3θθ-=-时，12ππ33cos isin 332z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1122112211z z z z z z z z --====++综上所述：1212z z z z -+2．化简：366384500i i i ++=___________.【答案】1【分析】根据复数的乘方法则计算可得.【详解】解：因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以3663845004912941265421i i 1i i i 1i i ⨯⨯+⨯++=+=++=+ 故答案为：13．已知复数21iz =+，则z =__________．【分析】根据复数的除法运算可得1i z =-，结合复数的几何意义即可求出模.【详解】 由21i z =+，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以z ==4．已知2i z =+，则z =________【答案】2i -##【分析】直接根据共轭复数的概念得答案.【详解】i 2z =+试卷第3页，共35页2i z ∴=-故答案为：2i -.5．复数13i 3i+-的虚部是__________． 【答案】1【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】 因为()()()13i 3i 13i 10i i 3i 3i 3i 10+++===--+（），所以虚部为1. 故答案为：16．已知复数z 为纯虚数，若()2i i z a -=+（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为___________. 【答案】12##【分析】 先利用复数的除法运算化简i 2i a z +=-，再根据实部等于0虚部不等于0即可求得a 的值. 【详解】由()2i i z a -=+可得()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a z ++-+++-+====+--+， 若212i 55a a z -+=+为纯虚数，则2105205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ 可得12a =， 故答案为：12.7．若关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，则m 的取值范围是________．【答案】()4,8【分析】根据关于x 的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由∆<0求解.【详解】因为关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，所以()()24380m m ∆=---<，即212320m m -+<，即 ()()480m m --<，解得 48m <<，所以m 的取值范围是()4,8，故答案为：()4,88．i 是虚数单位，复数52i=-___________. 【答案】2i +##【分析】分子分母同时乘以2i +即可得解.【详解】()()()52i 52i 2i 2i 2i +==+--+. 故答案为：2i +9．若复数z 满足()1i 3i z +=+，则=z ___________.【答案】2+i +2【分析】根据复数的除法运算先求出z ，进而求出z .【详解】 由题意，()()3i 1i 3i 42i 2i 2i 1i 22z z +-+-====-⇒=++. 故答案为：2i +.10．已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答.【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-， 由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，试卷第5页，共35页于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =， 所以m 的值是52. 故答案为：5211．已知()12i i z +=（i 为虚数单位），则z =___________.【答案】1i +##【分析】根据复数代数的四则运算计算即可.【详解】()i 12i z +=,()()()()212=1111i i i i i i i i i 1z -∴==-=+++-. 故答案为：1i z =+. 12．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则i a +的模为________．【分析】 根据复数的乘除法运算求出i 2i a -+，再根据i 2i a -+为实数求出a ，从而可得出答案. 【详解】 解：()()()()()i 2i 212i i 2i 2i 2i 5a a a a ----+-==++-， 因为i 2i a -+为实数，所以20a +=，所以2a =-，则i 2i a +=-+=13．已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________．【答案】1-或6【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +，若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =．故答案为：1-或6.14．若i 是虚数单位，则12i 2i++的虚部为___________. 【答案】35## 【分析】 先化简12i 2i++，然后可求虚部. 【详解】 因为()()()()12i 2i 12i 43i 2i 2i 2i 5+-++==++-， 所以虚部为35. 故答案为：35##0.6. 15．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________.【答案】28i --##【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--.故答案为：28i --16．写出一个同时满足下列条件的复数z =________.①5z =；②复数z 在复平面内对应的点在第四象限.【答案】34i z =-（答案不唯一）【分析】根据复数的几何意义以及模长公式得出答案.【详解】不妨令34i z =-，则5z ==，复数z 在复平面内对应的点()3,4-位于第四象限，满足①②，故34i z =-符合题意（答案不唯一）.故答案为：34i z =-（答案不唯一）试卷第7页，共35页17．已知复数2i 2iz -=+（i 为虚数单位），则z 的模为______． 【答案】1【分析】 利用复数的除法运算求出复数z 即可计算作答.【详解】 依题意，2(2i)34i 34i (2i)(2i)555z --===-+-，则||1z =， 所以z 的模为1.故答案为：118．已知i为虚数单位，复数11z =，在复平面中将1z 绕着原点逆时针旋转165°得到2z ，则2z =______.【答案】【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】解：11z =在复平面内对应的点为(A ，所以2OA =，且OA 与x 轴正方向的夹角为60︒，将其逆时针旋转165︒后落在第三象限，且与x 轴负半轴的夹角为6016518045︒+︒-︒=︒，所以对应的点为(，所以2z =．故答案为：．19．设i 为虚数单位，则3i 1i+=+________. 【答案】2i -##【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；【详解】解：()()()()2223i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 1i +-+-+-===-++-- 故答案为：2i -20．已知复数2i 1iz +=-，则复数z 的虚部为________【答案】32##【分析】根据复数除法运算得13i22z=+，进而得答案.【详解】解：()()()()2i1i2i13i13i 1i1i1i222 z++++====+ --+所以复数z的虚部为3 2故答案为：3 221．已知复数1i3iaz+=+为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数=a______．【答案】3-【分析】应用复数的除法化简z，再根据其为纯虚数可得30310aa+=⎧⎨-≠⎩，即可求参数a.【详解】由题设，1i(1i)(3i)(3)(31)i3i(3i)(3i)10a a a az++-++-===++-为纯虚数，∴30310aa+=⎧⎨-≠⎩，可得3a=-.故答案为：3-.22．复数i1i-（i是虚数单位）的共轭复数是________．【答案】11i 22 --【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的共轭复数概念求解.【详解】因为复数()()()i1ii11i1i1i1i22+==-+--+，所以复数i1i-（i是虚数单位）的共轭复数是11i22--，故答案为：11i 22 --23．若复数i(1i)z=-，则||z=___________.试卷第9页，共35页【分析】根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得【详解】2i(1i)=i i 1i z =--=+，所以||z24．一颗标有数字16~的骰子连续郑两次，朝上的点数依次记为a b ､，使得复数()()i 4i a b b a +-为实数的概率是___________. 【答案】112【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有66⨯种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，进行复数的乘法运算，得到2b a =的结果，列举出所有情况，得到概率．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有6636⨯=种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，()()22i 4i 5(4)i a b b a ab a b +-=--，要使()()i 4i a b b a +-是一个实数，有2240a b -=，224a b ∴=，2b a ∴=，或2b a =-，因为0a >，0b >，所以2b a =有1a =，2b =；2a =，4b =；3a =，6b =，共有3种结果，∴由古典概型得到概率313612P ， 故答案为：112． 25．已知复数z 满足(2i)12i z ⋅+=+，则z =_______.【答案】43i 55+ 【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】由(2i)12i z ⋅+=+可得()()()()212i 2i 12i 23i 2i 43i 43i 2i 2i 2i 5555z +-++-+=====+++-， 故答案为：43i 55+. 26．已知复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数=a _______．【答案】2【分析】根据题意得2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数所以2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，解得2a = 故答案为：227．已知复数32i z =+（i 为虚数单位），则2z 的虚部为______．【答案】12【分析】先求出2z ，然后可得其虚部，得到答案.【详解】由复数32i z =+，则()2232i 912i 4512i z +=+-=+=所以2z 的虚部为12故答案为：1228．已知i 是虚数单位，若()2i i ,1ia b a b +=+∈+R ，则()lg a b +的值为______. 【答案】0【分析】运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.【详解】 因为()()2i 212i i i 312i +-+-==+i i 3122a b =-=+， 所以31,,122a b a b ==-+=，()lg 0a b +=. 故答案为: 0试卷第11页，共35页29．已知a ∈R ，复数3(3i)(12i)z a =+--+的实部与虚部相等，则=a ___________.【答案】2【分析】根据复数的相关概念列式，解方程.【详解】因为3(3i)(12i)(31)7i z a a =+--+=++，所以317a +=，解得2a =，故答案为：2.30．设i 是虚数单位，若复数()i 1ia z a =+∈+R 是实数，则a 的值为______． 【答案】2【分析】根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可.【详解】 复数()()()1i i=i 1i 1i 1i a a z -=++++- 1i 22a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为原复数是实数，故得到1022a a -=⇒= 故答案为：2 31．在复平面上，A 、B 表示复数α、β)(0α≠对应的点，若)(1i βα=+，则AOB ∠=______． 【答案】4π 【分析】利用三角形式的复数除法表示即可得出答案.【详解】0α≠，)(1i βα=+，1i cos sin 44βππα⎫∴=+=+⎪⎭， ∴AOB ∠=4π.故答案为：4π 32．若1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=______．【答案】4-【分析】将1i -代入方程可得()()2i 0p q p +-+=，即可求出.【详解】因为1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，所以()()21i 1i 0p q -+-+=，即212i i i 0p p q -++-+=，整理得()()2i 0p q p +-+=， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，则4p q ⋅=-. 故答案为：4-.33．已知i 是虚数单位，若复数()i 1i z =⋅+，则z =____________.【分析】化简复数，再代入模长计算公式即可.【详解】化简原式，得()2i 1i i i 1i =⋅+=+=-+z ，所以z =34．()()12i 34i +÷-=______. 【答案】12i 55-+ 【分析】根据复数的四则运算规则计算即可.【详解】根据复数的四则运算规则得，原式=()()()()12i 34i 12i 12i 12i 34i 34i 34i 555+++-+===-+--+ 故答案为：12i 55-+.试卷第13页，共35页 35．复数()i 1i +的虚部为______．【答案】1【分析】利用复数乘法计算公式化简后，即得复数的虚部.【详解】()2i 1i i i 1i +=+=-+，所以复数()i 1i +的虚部为1.故答案为：136．若复数z 满足：22240z az a -++=，且|z |a ＝_____．【答案】±1【分析】设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根，由复数的性质可得i z x y =-是另外一个根，进而可得22||4z z z a =⋅=+，即可求a 的值．【详解】设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根， ∴i z x y =-是22240z az a -++=的另一个根， 由22||4z z z a =⋅=+＝5，即a 2＝1，解得a ＝±1；故答案为：±1．37．已知复数z 满足：2i i 0z ++=（i 为虚数单位），则||z =___________.【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出z ，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为2i i 0z ++=，所以2i i z +=-，所以()22i i 2i 12i i i z ++===-+--，所以12i z =--，所以z ==38．已知i 是虚数单位，复数3i 1i++＝______． 【答案】2i -##【分析】利用复数的除法法则化简复数3i 1i++即可求解. 【详解】 ()()()()23i 1i 3i 3i 3i i 2i 1i 1i 1i 2+-++--===-++-. 故答案为：2i -.39．设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______【答案】5π【分析】 依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解；【详解】 解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，试卷第15页，共35页所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π40．若|2|2z +=，则|14i |z --取值范围是______【答案】[3，7]【分析】根据复数的几何意义z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，求出z 对应的点到()1,4的距离的最值即可.【详解】根据复数的几何意义可得|2|2z +=表示z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，则|14i |z --表示z 对应的点到()1,4的距离，设为d ，则()2,0-到()1,4-5=，所以min 523d =-=，max 527d =+=，所以|14i |z --取值范围是[]3,7.故答案为：[]3,7.41．在复数范围内因式分解：41x -=______【答案】()())1i ((1i )x x x x +-+-【分析】利用二倍角公式及2i 1=-计算可得；【详解】解：()()()()()()()()422222111i 111i i x x x x x x x x x -=+-=--=+-+-故答案为：()()()()11i i x x x x +-+-42．设a ∈C ，a ≠0，化简：i 1i a a -+=______ . 【答案】－i【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()()22221i i 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a -+------====-++-++，故答案为：－i.43．设m R ∈，如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则m =______【答案】1-【分析】根据复数代数形式的乘法及复数为实数的充要条件得到方程，计算可得；【详解】解：复数223(i)(1i)()(1)i m m m m m ++=-++是实数，310m ∴+=，解得1m =-，故答案为：1-．44．设a R ∈，复数134i z =-，22i z a =+，若12z z是纯虚数，则a =______ 【答案】83 【分析】 利用复数的除法运算化简求出12z z ，再根据纯虚数的定义即可求出. 【详解】因为134i z =-，22i z a =+， 则()()()()21222234i 2i 34i 36i 4i 8i 3846i 2i 2i 2i 444a z a a a a z a a a a a a -----+-+====-++-+++， 因为12z z 是纯虚数，所以2238044604a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+-≠+⎩=+，解得83a =. 故答案为：83. 45．设a ∈R ，若(3a 2-2a -1)＋(9a 2-1)i 是纯虚数，则a ＝______.【答案】1【分析】纯虚数实部为零，虚部不为零，据此可求a 的值.【详解】由题知2232101910a a a a ⎧--=⇒=⎨-≠⎩， 故答案为：1.46．已知复数(23)z i i =-，则复数z 的虚部为______【答案】3试卷第17页，共35页【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数z 的值，然后求出复数z 的共轭复数z ，最后写出z 的虚部.【详解】(23)23z i i i =-=--，23z i ∴=-+， 所以复数z 的虚部为3.，答案为：3.47．已知z C ∈，若()i 2z z z z +=-=，则z =______【答案】1i -##【分析】设i z a b =+，根据已知可求出,a b .【详解】设i z a b =+，则i z a b =-， 则22z z a +==，解得1a =， 由()i 2i i 22z z b b -=⋅=-=，解得1b =-.所以1i z =-.故答案为：1i -.48．计算：12i +=_______【分析】根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：12i =+49．复数512i 2i z -=+的实部为______. 【答案】0【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：512i 12i (12i)(2i)5i i 2i 2i (2i)(2i)5z -----=====-+++- 所以复数512i 2i z -=+的实部为0； 故答案为：050．已知复数z 满足()1i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z =________【分析】 将式子变形再运用复数的运算法则得到341712i i z i ---==+，根据复数模的公式求得结果即可.【详解】复数z 满足()1i 34i z +=-，变形得到()()()()134********i i i i z i i i -----===+-+||z =51．设i 为虚数单位，若复数()()12i 2i z =+-，则z 的实部与虚部的和为___________.【答案】7【分析】利用复数的乘法化简复数z ，即可求得结果.【详解】因为()()12i 2i 43i z =+-=+，因此，复数z 的实部与虚部之和为437+=. 故答案为：7.52．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=___________.【答案】2i -+【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+53．已知复数z 的虚部为1，且||2z =，则z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离为试卷第19页，共35页 ___________.【分析】由题意设z 对应点为(,1)x 且22||1z x =+，结合已知可得||=x ，即知z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离.【详解】由题意，设z 对应点为(,1)x ，则22||14z x =+=，∴23x =，则||=x∴z 在复平面内所对应的点z54．在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误. 设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()12i z z ac bd ad bc⋅=-++=12z z ⋅2）正确. 222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）55．设复数z 满足1z z =+，且11z z -+是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：z =___________.【答案】12- 【分析】设出复数z 的代数形式，由1z z =+求出z 的实部，然后由11z z -+是纯虚数列式即可计算作答.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R ，由1z z =+，可得2222(1)x y x y +=++，解得12x =-， 又11z z -+是纯虚数，设1i(1z t t z -=∈+R 且0)t ≠，则31i i 22y ty t -+=-+，则3212ty y t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得y =所以12z =-或12z =-.故答案为：12z =- 56．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是______． ①如果12z z R +∈，则12,z z 互为共轭复数；②如果复数12,z z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=； ③如果2z z =，则||1z =； ④1212z z z z =．【答案】④【分析】根据复数的概念，复数的模的定义判断．【详解】12i z =+，23i z =-时，125z z R +=∈，但12,z z 不是共轭复数，①错； 如11z =，2i z =，则可得1212z z z z +=-120z z ≠，②错； 当0z =时，20z z ==，③错；只有④正确（可证明如下：设12i,i z a b z c d =+=+（,,,a b c d R ∈）．12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++===12z z=）故答案为：④．57．设m、n∈R，且2i1i1imn+=--（i为虚数单位），则im n+=_________．【答案】5【分析】利用复数相等可求得实数m、n的值，再利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得()()()()2i1i1i11im n n n+=--=--+，得()112n mn-=⎧⎨-+=⎩，解得43mn=⎧⎨=-⎩，故i43i5m n+=-==.故答案为：5.58．设2i1iz-=+，则z=___________.【分析】根据题意，结合复数的乘除运算，以及模长公式，即可求解.【详解】根据题意，()()()()2i1i2i13i13i1i1i1i222z-⋅---====-++⋅-，故z=.59．已知复数z满足i1iz⋅=+(i是虚数单位)，则复数z的模等于_______.【分析】利用复数乘法运算求得z，进而求得z的模.【详解】i1iz⋅=+，()()()i i1i i,1i,z z z⋅⋅-=+⋅-=-60．设i是虚数单位，复数2i1iz=-，则z对应的点位于第_____象限【答案】二【分析】试卷第21页，共35页先利用复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义求解.【详解】因为()()()2i 1i 1i 1i 1i z +==-+-+， 所以z 对应的点位于第二象限，故答案为：二61．复数(2i)1i z +=-，则z 的虚部是_________________． 【答案】35## 【分析】根据复数的运算求出复数z ，从而求复数z 的虚部.【详解】因为(2i)1i z +=-，所以()()()()1i 2i 1i 13i 13i 2i 2i 2i 555z ----====-++-， 所以z 的虚部是35. 故答案为：35. 62．若复数 z 满足13i 1i z +=-， 则 z =________．【分析】根据复数的运算法则，化简复数为12i z =-+，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】 由复数的运算法则，可得13(13)(1)24121(1i i i i i i i i )(1)2z ++⋅+-+====-+--⋅+，则z63．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则c =_______．【答案】3【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可．【详解】1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，试卷第23页，共35页可知1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴(1＝c ，∴c ＝3．故答案为：3．64．复数51i +的虚部是___________.【答案】1【分析】利用2i ＝－1即可计算﹒【详解】∵5221i 1i i i 1i ⋅⋅＋＝＋＝＋，∴51i +的虚部为1．故答案为：1．65．复数13i 3i-+的虚部是___________. 【答案】−1【分析】利用复数的除法运算计算即可.【详解】()()()()1331310i i 33310i i i i i i ----===-++- 复数13i 3i-+的虚部是−1 故答案为，−166．已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的最大值为___________．【答案】3【分析】设i z a b =+，结合已知条件求出点(,)a b 在221x y +=上运动，然后将问题转化为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，再利用圆的性质即可求解.【详解】不妨设i z a b =+，由||1z =可得，221a b +=，故点(,)a b 在221x y +=上运动，又因为22i z a b -=-+，所以|2|z -=(,)a b 与点(2,0)之间的距离，从而|2|z -的最大值为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，又因为221x y +=是以圆心(0,0)，半径为1的圆，故圆心(0,0)与点(2,0)之间的距离2d ==，从而|2|z -的最大值为13d +=.故答案为：3.67．若复数z 满足1z z ⋅=，则|2i |z -的最大值是______.【答案】3【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，从而求得最大值.【详解】设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，则最大值为213+=，故答案为：368．复数i 1ia -在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()0,+∞【分析】根据复数除法运算化简即可得出.【详解】 因为()2i 1i i 1i i i i 1a a a a ----===+-，又在复平面上对应的点位于第一象限，所以0a >. 故答案为：()0,+∞.69．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是12,z z ，则12=z z +__________．【答案】2试卷第25页，共35页【分析】由已知求得12,z z ,进一步求得12z z +.【详解】由题意可知,12i,2i z z ==-.所以()12i 2i 2z z +=+-=故答案为:2.70．若复数12z i =-（i 是虚数单位）是关于x 的方程()20x px q p q R ++=∈，的一个根，则p q +=__________.【答案】3【分析】把12i x =+代入方程20x px q ++=，化简方程，利用相等复数的概念得到p q 、的值，即得p q +的值.【详解】由复数12z i =+（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++= 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，故3p q += 故答案为：371．已知复数z 满足i i z z+=，则z =_________. 【答案】11i 22- 【分析】利用给定等式用i 表示出复数z ，再进行复数除法运算即可得解.【详解】因复数z 满足i i z z+=，则i i z z =+，整理得(1i)i z -+=， 则i i (1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z ⋅---====--+-+--， 所以11i 22z =-.故答案为：11i 22- 72．i 为虚数单位，若复数()()1i i 2m ++是纯虚数，则实数m 等于________．【答案】2【分析】计算求出复数，根据纯虚数的定义可得.【详解】()()()()2i 2i 2i 221i 1i i 2m m m m m =+-++++++=，因为()()1i i 2m ++是纯虚数，所以20210m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =. 故答案为：2.73．设i 是虚数单位，计算：43i 12i +=-__________.【答案】12i +##【分析】 计算出43i +，再利用复数的运算法则进行计算【详解】()()()512i 43i 12i 12i 12i 12i ++===+--+ 故答案为：12i +74．i 是虚数单位，复数74i 12i+=+______ 【答案】32i -##【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2274i 12i 74i 714i 4i 8i 1510i 32i 12i 12i 12i 14i 5+-+-+--====-++--， 故答案为：32i -.75．已知i 为虚数单位，则复数()()2i 1i z =+-的虚部为__________.【答案】1-.【分析】应用复数乘法化简复数，即可知虚部.试卷第27页，共35页【详解】由题设，()()2i 1i 3i z =+-=-，∴虚部为1-.故答案为：1-.76．设复数2cos isin 66z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么z 的共轭复数z 的代数形式是______．i【分析】计算i z =，再计算共轭复数得到答案.【详解】2cos isin i 6π6πz ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故i z .i .77．复数12的三角形式是______． 【答案】cos i 33πsin π+ 【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.【详解】1cos isin 233ππ+=+. 故答案为：cos i 33πsin π+. 78cos isin 3cos isin 121266ππππ⎫⎛⎫+⋅+⎪ ⎪⎭⎝⎭． 【答案】33i +##【分析】直接利用复数的三角运算性质求解即可【详解】原式cos isin 33i 126126ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 故答案为：33i +79．设12cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2sin icos 66z ππ⎫=+⎪⎝⎭，则12z z ⋅的三角形式为___________.22cos isin33ππ⎫+⎪⎭【分析】先将12,z z化简，然后计算12z z⋅，再转化为三角形式即可【详解】因为12cos isin133zππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，21sin i cos662zππ⎫⎫+==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12(1z z⎫⋅=⎪⎪⎝⎭2=+=12⎫-⎪⎪⎭22cos isin33ππ⎫=+⎪⎭，22cos isin33ππ⎫+⎪⎭80．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．【答案】86i±+【分析】若复数iz a b+＝【详解】设6iz a+＝，则1010886iz a z⇒⇒±⇒±+＝＝＝﹒故答案为：86i±+81．设复数iz x y=+，x，y∈R，且x y=，则满足1z=的复数z共有______个．【答案】4【分析】方法一(代数运算)：联立方程组求解；方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒试卷第29页，共35页【详解】方法一(代数运算)：由1z ＝，得221x y ＋＝．又x y ＝，联立，解得z ±＝， 故答案为：4方法二(几何意义)：由1z ＝，知复数z 在复平面内对应的点构成一个单位圆．又x y ＝，故复数z 在复平面内对应的点落在直线y x ±＝上，显然直线y x ±＝与单位圆有四个交点， 故答案为：482．若复数cos 1isin z θθ=++，则z 的最大值为______．【答案】2【分析】根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】z =cos 1θ=时，max 2z =，故答案为：2 83．已知复数z 的实部为1，2z =，则z =______．【答案】1【分析】利用复数的模的概念即得.【详解】由题可设1i z b =+，又2z =，2，解得b =∴z =1.故答案为：1.84．已知复数z 满足实部为3，虚部为2-，则复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．【答案】32i --＃＃2i 3--【分析】由题可得32i z =-，结合条件即得.【详解】由题可得32i z =-，∴复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为32i --.故答案为：32i --.85．已知z C ∈，且i 1z +≤，则z 的取值范围为______.【答案】[]0,2【分析】将问题转化为到定点(0,1)的距离小于或等于1的动点所成图形，再应用数形结合法求z 的取值范围.【详解】若i z x y =+且,x y R ∈，则问题转化为到(0,1)的距离小于或等于1的动点(,)x y 所在区域， ∴(,)x y 在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上或内，如下图示：∴z 的取值范围为[]0,2.故答案为：[]0,286．若复数z 满足：()3i i 2i z z z z -⋅++=+，则z =______.试卷第31页，共35页【答案】12-± 【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩求a 、b ，写出复数z .【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，原式化为222i 1i a b a ++=-，则221,21,a b a ⎧+=⎨=-⎩解得1,2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴12z =-.故答案为：12-± 87．当实数m =______时，复数()()223i 456i z m m m m =-+-++⎡⎤⎣⎦为纯虚数.【答案】4【分析】由纯虚数的概念可得22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，求解即可. 【详解】由()223456i z m m m m =--+--为纯虚数，∴22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得4m =. 故答案为：488．已知复数153i z =-，242i z =-+，那么12z z +的共轭复数为______.【答案】1i +##【分析】应用复数的加法及共轭复数的概念，即可得12z z +的共轭复数.【详解】1253i 42i 1i z z +=--+=-，∴12z z +的共轭复数为1i +.故答案为：1i +89．已知复数12i z =+，212i z =+在复平面内对应的点分别为A 、B ，则向量AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第______象限.【答案】二【分析】由题设写出A 、B 的点坐标，进而得到AB 的点坐标，即可判断其对应点所在象限.【详解】由题意，(2,1),(1,2)A B ，故(1,1)AB =-，∴AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第二象限.故答案为：二90．复数31i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的值等于______. 【答案】i -【分析】根据复数的运算直接化简即可.【详解】 由()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2+++===--+， 故331i 1i i i +⎛⎫⎪⎭= ⎝=--， 故答案为：i -.91．复数()52i 34i -+的模为______.【答案】10【分析】由复数的乘法运算可得()52i 34i 2(3i 4)-+=--，再求模即可.【详解】()52i 34i 2(3i 4)-+=--，∴|2(3i 4)|210--==.故答案为：1092．在复平面内，复数53i z =--对应的点的坐标为______.【答案】()5,3--【分析】试卷第33页，共35页复数z ＝a ＋b i 对应的点为(a ，b )【详解】∵53i z =--，∴对应的点的坐标为(－5，－3)，故答案为：(－5，－3)93．复数isin 200cos100z =-︒+︒在复平面上对应的点在第______象限．【答案】二【分析】判断复数的实部和虚部的正负后可得．【详解】由已知cos100sin100︒=-︒<，sin 200sin 200-︒=︒>，实部小于0，虚部大于0，对应点在第二象限．故答案为：二．94．1001i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______.【答案】1【分析】根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.【详解】根据复数的运算规则知，()()()()100100100251i 1i 1i i 111i 1i 1i ⎡⎤+++⎛⎫====⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：1.95．()()()1i 2i 33i -+-=______.【答案】612i -##【分析】根据复数的运算规则计算.【详解】根据复数的运算规则得，()()()()()1i 2i 33i 3i 33i 612i -+-=--=-故答案为：612i -.96．23i ÷=______.【答案】2i 3-## 【分析】根据复数的除法运算即可得出答案.【详解】 解：26i 2i 23i 3i 93-÷===-. 故答案为：2i 3-. 97．()()2i 12i +-+=______.【分析】利用复数的乘法运算即可求解.【详解】()()()()22i 12i 2i 4i 2i 2241i 43i +-+=--++=--+-=-+， 故答案为：43i -+.98．()()()2i 62i 56i +--++=______.【答案】19i +##【分析】直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.【详解】解：()()()()()2i 62i 56i 265126i 19i +--++=-++++=+. 故答案为：19i +.99．()()53i 53i -++=______.【答案】10【分析】根据复数的加法运算，即可求出结果.【详解】()()()()53i 53i 553i 3i 10-++=++-=.故答案为：10.100．已知1i +为方程20ax x b ++=（a ，b 为实数）的根，则a b +=____________. 【答案】32- 【分析】试卷第35页，共35页 利用根与系数关系求得,a b ，由此求得a b +.【详解】依题意1i ±是方程20ax x b ++=的根， 所以111i 1i 22a a ++-==-⇒=-， ()()1i 1i 21bb a +-==⇒=-， 所以32a b +=-. 故答案为：32-。

人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(包含答案解析)(2)

人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(包含答案解析)(2)

一、选择题1．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 2．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 3．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i -- 4．若复数(1a i z i i +=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．25．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i6．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26B ．24，26C ．12，0D ．6，87．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i --B ．122-+C ．122i +D ．122- 8．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z =（ ）A B ．2 C D ．12 9．已知z 是纯虚数，21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i10．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -11．复数z 满足(1i)2i z -=，则z =A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i + 12．复数11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.14．设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______.15．已知集合{}11M z z =+=，{}i N z z i z =+=-，则MN =______.16．若12ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 17．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；18．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 19．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 20．关于x 的不等式mx 2-nx+p>0(m ,n ,p ∈R)的解集为(-1,2),则复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第____象限.三、解答题21．已知复数z 满足(1)z i m i +=-(其中i 是虚数单位).（1）在复平面内，若复数z 的共轭复数对应的点在直线70x y +-=上，求实数m 的值；（2）若||1z ，求实数m 的取值范围.22．计算下列各式：（1）32322323i i i i+-+-+；（2）()3111i i i i +++-； 23．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.24．已知复数1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，且125121313z z i -=+，其中i 为虚数单位，求cos()αβ+的值.参考答案25．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．26．已知复数()2122315,52z i z i i =-=-+．求：（1）21z z +； （2）12·z z ； （3）12z z ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.2．B解析：B【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B解析：B【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果.【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复向量、复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ．【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．4．C解析：C【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i z i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】 ()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数， 1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．B解析：B【分析】利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z 满足21i i z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．A解析：A【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值.【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=， 即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.7．C解析：C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得122z z i +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有11122z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.8．C解析：C【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质1122z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．D解析：D【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)，则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴z ＝－2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．A解析：A【分析】根据欧拉公式求出2cossin 22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值. 【详解】∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .11．B解析：B【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i 111iz i i i ==+=-+-,选B. 12．A解析：A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11i i+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事； （3）进而求得a b +的值.二、填空题13．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题 解析：二【分析】 先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案.【详解】由()cos sin cos sin n x i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限. 故答案为：二.【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.14．6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这 解析：6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹，再求z 的最大值.详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=， 所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，所以z 1516=+=.故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi r ++=表示以点(a,b)为圆心r 为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然. 15．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-【分析】 根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果.【详解】11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆.i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-.【点睛】本题考查复数的几何意义，属中档题.16．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及 解析：-1【分析】先把122ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.【详解】解：复数122ω=+对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=， 所以arg 3z π=，所以1cos isin 2233i ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：-1.【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.17．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】 利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】 因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-.【点睛】 结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.18．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出.【详解】解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 19．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.20．二【解析】分析：先根据x 的不等式mx2-nx+p>0(mnp ∈R)的解集为(-12)得到再分析出m<0p>0再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限详解：∵mx2-nx+p>0(mnp ∈R解析：二.【解析】分析：先根据x 的不等式mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2)得到0,n -12,m p -12,m m ⎧⎪<⎪⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩（）（）再分析出m<0,p>0,再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.详解：∵mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2),0,n (-1)2,m p (-1)2,m m ⎧⎪<⎪⎪∴+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩即m<0,p>0.故复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.故答案为二.点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理.三、解答题21．（1）7m =；（2）[1-，1].【分析】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案.【详解】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =； （2）由||1z1，解得：11m -.∴实数m 的取值范围[1-，1].【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.22．（1）0；（2）8i -【分析】利用复数的乘除运算法则求解.【详解】计算下列各式：（1）()()23233232023232323i i i i i i i i i i i i--++-+=+=-=-+-+；（2）()())3338111i i i i i i i i i+++=-++-=-=-.【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．12【分析】将复数12,z z 代入等式125121313z z i -=+中，得22cos()1αβ-+=，即可得答案； 【详解】 因为复数1cos sin z i αα=+，2cos sin z ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ-=-++=+ 所以5cos cos 13αβ-=，12sin sin 13αβ+=， 所以2222512(cos cos )(sin sin )11313αβαβ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos()1αβ-+=， 所以1cos()2αβ+=. 【点睛】本题考查复数与三角函数知识同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.25．1【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-=1211k k ⇒==．所以1k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题. 26．（1）3；（2）79i --；（3）1131010i +． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得2z ，（1）求出2z ，由复数代数形式的加法运算求21z z +;（2）由复数代数形式的乘法运算求12·z z ； （3）由复数代数形式的除法运算求12z z . 【详解】221551555(3)(34)(2)34(34)(34)i i i i z i i i i ----===+++- 515135i i -==-． （1） 12(23)(13)3z z i i +=-++=．（2） ()()12·231329979z z i i i i =--=--=--． （3） 1223(23)(13)13(13)(13)z i i i z i i i --+==--+ 293113101010i i ++==+． 【点睛】 本题主要考查复数的代数形式的加法、乘法、除法运算法则，复数的共轭复数，属于中档题.。

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)(5)

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)(5)

一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ） A ．2B ．10C ．2D ．44．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i --5．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．26．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A 2B ．2C ．22D 58．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝ A ．2 B ．2C ．4D 210．复数z 满足(1i)2i z -=，则z =A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +11．若i 为虚数单位，复数z 满足33z i ≤，则2z i -的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．23D ．3312．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．()172,172-+ B ．()171,171-+ C ．()32,32-+D ．()31,31-+二、填空题13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．14．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.15．计算：88112i i -⎛⎫-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭______________. 16．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.17．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 18．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 19．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______. 20．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____三、解答题21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=. （1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值. 22．化简下列复数（1）()()6532i i -++ （2）()()()56234i i i -+---+23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．24．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-． （Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ．25．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位） （1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．26．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =. （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确， 对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误， 对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确，综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④， 故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案． 【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ， 所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =， 所以(0,2)AB OB OA =-=，则22022AB AB ==+=，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．4．B解析：B 【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果. 【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+， 根据复数与复平面内的点一一对应， 可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-， 根据复向量、复数与复平面内的点一一对应， 可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ． 【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．5．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.7．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+, 因此5,z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi8．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.9．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y=⎧⎨=⎩， 则2x y ==，224422x yi i +=+=+=. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B 【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i111iz i i i ==+=-+-,选B. 11．D解析：D 【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--=故选：D. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -， 又因为22(22)(30)5AB =--+-=，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.14．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74-【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320axax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=. 所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74- 【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .15．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为： 解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．16．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案. 【详解】2019201633i i i i i =⋅==-， ()1010202010102101010082222i 2i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43ii n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等.17．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到 解析：51+【分析】根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解. 【详解】解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，点Q 到圆心C 的距离为5CQ = 所以|3|z -的最大值为51CQ r +=. 51. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.18．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的 解析：12- 【分析】 先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解.【详解】 因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以()()11210,2055a a +=-≠， 解得12a =-， 所以a 的值为12-. 故答案为：12-【点睛】 本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.19．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：4π或54π. 【解析】【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案.【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 20．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分： 则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．三、解答题21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i+-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++， 因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =+或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1）93i -；（2）11i -.【分析】利用复数的加减运算法则求解.【详解】（1）()()6532i i -++，()()6325i =++-，93i =-.（2）()()()56234i i i -+---+，()()523614i =--+---，11i =-.【点睛】本题主要考查复数的加减，相等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）1z =2）13a > 【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-. （1）13251122i z i i -+==---，∴12z =； （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．24．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a＝4，z1＝2＋4i，∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；（Ⅱ）∵()() 126438 23425a a iz aiz i-+++==-是纯虚数，∴133,222a z i==+，故195442z=+=．【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.25．（1）23z i=-；（2）11m-<<【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i=-代入得()()23123Z m m m i=--+--，由复数的概念和几何意义得()210230mm m⎧-->⎨--<⎩，解得11m-<<.试题（1）1255z z i=-+，21555532i iz iz i-+-+===--+（2）()()()2323231z z m m m i⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i⎡⎤=--+-⎣⎦()()2123m m m i=--+--由于3z所对应的点在第四象限，，所以实数m的取值范围是26．（1）132z=-+.(2）33ABCS∆=.【解析】分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b=+<>，则z a bi=-，由题2z z=，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z，2z，3z在复平面上对应点A，B，C，利用三角形的面积公式，即可求解.详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b=+，则z a bi=-，故2222z a b abi z a bi=-+==-.所以22a b a -=，2ab b =-.又0a <，0b >，解得12a =-，3b =，132z i =-+. （Ⅱ）由（Ⅰ），得132z i =-+，2132z i =--，31z =. z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：故1233311sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(包含答案解析)(2)

(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 2．若复数(1a i z i i +=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．2 3．复数()211i z i +=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z =（ ）A B ．2 C ．2 D ．127．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 8．设复数()()2cos sin z a a i θθ=+++（i 为虚数单位）.若对任意实数θ，2z ≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．55⎡-⎢⎣⎦D ．11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i - 10．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 11．若(),a bi a b i+∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．3- D ．312．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．定义运算a cad bc b d =-，复数z 满足z 1i 1i i =+，则复数z =______.14．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．15．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 16．若复数z满足5z z +=，则复数z =________________.17．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________；18．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．19．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足i 1i 1i z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________.20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________. 三、解答题21．已知复数1212,34z i z i =-=+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数z . 22．实数m 取什么值时,复数22(56)(215)z m m m m i =+++--(1)与复数212i -相等(2) 与复数1216i +互为共轭复数(3)对应的点在x 轴上方.23．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 24．复数()()212510,1225,z a a i z a a i =++-=-+-，其中a R ∈ .（1）若2a =-，求1z 的模；（2）若12z z +是实数，求实数a 的值.25．设复数z ：满足432243z i z i +--=-+-，求z 的最大值和最小值．26．已知z 为虚数，42z z +-为实数． （1）若2z -为纯虚数，求虚数z ； （2）求|4|z -的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值.【详解】 由()()()()11711768341112i i i i z i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=.故选：D【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．C解析：C【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i z i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】 ()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．C解析：C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案．【详解】 ()()()()212121,1,1111i i i i z i z i ii i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C.【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．B解析：B【分析】利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z 满足21i i z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．B解析：B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．C解析：C【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质11222z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 8．C解析：C【分析】由1212z z z z +≤+可知()()cos sin 2cos sin 2i a ai i a ai θθθθ+++≤+++，令max 2z ≤，即可求出a 的范围.【详解】 因为对任意θ，2z ≤，则max2z ≤, ()()cos sin 2cos sin 21z i a ai i a ai θθθθ=+++≤+++=，12∴≤，解得a ≤≤ 故选：C.【点睛】本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题. 9．B解析：B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 10．B解析：B【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B. 11．A解析：A【分析】 把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论．因为()2i a bi a bi b ai i i++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ．12．A解析：A【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】根据新运算定义得到即运算化简即得解【详解】由得得故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生新概念理解数学运算的能力属于基础题解析：2i -【分析】 根据新运算定义，得到z 1i 1i i =+，即i i 1i z -=+，运算化简即得解. 【详解】 由z 1i 1i i =+，得i i 1i z -=+，得12i 2i iz +==-. 故答案为：2i -【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生新概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 14．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=， 所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，6.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .15．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为：解析：0 【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和22化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及82的值，然后得出88112i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()842284881111101122i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．16．【分析】由一定为实数由题可知的虚部为设进而求解即可【详解】因为所以的虚部为设则解得所以故答案为:【点睛】本题考查相等复数考查复数的模的应用解析：115【分析】由z 一定为实数,由题可知z 设()a a R z =∈,进而求解即可【详解】因为5z z +=+,所以z设()a a R z =∈,则5a =,解得115a =,所以115z =,故答案为:115【点睛】本题考查相等复数,考查复数的模的应用 17．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 18．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 19．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),因为|z|=3,所以a 2+b 2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．（1）11(,)32-；（2）1255z i =-+. 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+，则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<， 即实数a 的取值范围11(,)32-.（2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-，所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.22．（1）m ＝－1（2）m ＝1（3）m<－3或m>5.【解析】解：(1)根据复数相等的充要条件得 22562{21512m m m m ++=--=-解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612{21516m m m m ++=--=-解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15>0，解得m<－3或m>5. 23．（1）5；（2）22i -或22-+. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，z =或. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.24．（1）（2）5a =-或3a =.【解析】（1）2a =-，则136z i =+，则1z ===， ∴1z的模为.（2）()()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()26215a a a i =-++- 因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =故5a =-或3a =.25．最大值7；最小值3．【分析】先根据绝对值定义得不等式，再根据绝对值三角不等式求最值.【详解】由已知等式得()4320z i --+-≤ ()|||43|4322||523||7z i z i z z ∴--+≤--+≤∴-≤-≤∴≤≤ 所以z 最大值为7； z 最小值为3．【点睛】本题考查复数模、绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.26．（1）22z i =+或22z i =-；（2）()0,4.【分析】（1）由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，根据2z -为纯虚数，求得x 的值，再由42z z +-为实数求出y 的值，即得虚数z ； （2）由42z z +-为实数且0y ≠，可得22(2)4x y -+=，根据2204(2)y x =-->，求得x的范围，根据复数的模的定义，化简为4z -=的范围，即可得出|4|z -的取值范围．【详解】解：由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，（1）则22z x yi -=-+，由2z -为纯虚数，得2x =，2z yi ∴=+， 又因为42z z +-为实数， 则(442)242z yi y i R z yi y +=++=+-∈-， 得40y y-=，2y =±， 所以22z i =+或22z i =-. （2）2222(4442)4[]22(2)(2)x y z x yi x y i R z x yi x y x y -+=++=++-∈-+--+-+， 因为42z z +-为实数， ∴2240(2)y y x y -=-+， 0y ≠，22(2)4x y ∴-+=，224(2)0y x =-->∴，则2(2)4x -<，解得：(0,4)x ∈，∴|4||4|z x yi -=+-由于(0,4)x ∈，则016416x <-<，所以04<<，即0|4|4z <-<，所以|4|z -的取值范围为()0,4.【点睛】本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力．。

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)(4)

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 2．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 3．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -5．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --7．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -8．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = )A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．3210．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 11．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2B ．12CD ．212．若i 为虚数单位，复数z满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C．D．二、填空题13．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 14．若z a bi =+，21z R z ∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 15．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.16．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 17．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.18．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 19．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 20．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________. 三、解答题21．已知复数()12251z a i a =+--，()223105z a i a =+-+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若21z z +是实数（2z 是2z 的共扼复数），求1z 的值.22．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值；(2)若11iz z =-，求复数z 的模||z .24．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z ；(2)求()()2134i i z++的值. 25．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．26．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．4．A解析：A【解析】 令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==5．A解析：A【分析】 利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-， 由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--， 所以Z 的共轭复数为2i +.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解. 7．A解析：A【分析】根据欧拉公式求出2cos sin 22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .8．C解析：C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi10．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝， ()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题11．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝， 22112222z ⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝．故选A ． 12．D解析：D【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--= 故选：D.【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆； （4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线. 二、填空题13．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：23- 【分析】 先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b ---=即得解. 【详解】 由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b i i i i -----+==++-， 因为复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数， 所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．或【分析】根据复数的运算得出再由复数是实数的条件得出实数应满足的条件【详解】因为故有所以或即或是ab 应满足的条件故答案为：或【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念属于中档题解析：0b =或221a b +=【分析】 根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件.【详解】()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14a b abi a bi a b a b+--=++--()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=， 即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.故答案为：0b =或221a b +=.【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.15．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：(1)cos sin 33z i i ππ⎛⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭，故填1122++..【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.16．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到 解析：51+【分析】根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解.【详解】解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆， |3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，点Q 到圆心C 的距离为5CQ =所以|3|z -的最大值为51CQ r +=.51.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 17．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+= 【分析】 设复数(,)z x yi x y R =+∈2222(2)(2)x y x y +=++-简即可求解.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22z x y =+2222(2)(2)(2)(2)z i x y i x y +-=++-=++-=20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.18．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基 解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值.【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①② 22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=. 故答案为：12【点睛】 本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性 解析：-2【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+． ∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=，∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+． ∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=， ∴122110x x x x ++=， 取12x x ω=， 则210ωω++=，∴31ω=． 则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.20．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z 为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和 解析：6【分析】利用立方差公式，由38z =，得()2(2)240z z z -++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z +++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 三、解答题21．（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1z = 【分析】（1）根据复数1z 对应点所在的象限得出关于实数a 的不等式组，解出即可；（2）根据12z z +是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数a 的值，再利用复数的模长公式可计算出1z 的值.【详解】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则201250a a ⎧<⎪-⎨⎪-<⎩，解得152a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即512a <<.故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()223105z a i a =+-+，()223105a i a z =--+∴， ()()()2212233225102151551z z a i a i a a i a a a a∴+=+-+--=+++--++-. 12z z +是实数，2215015a a a a ⎧+-=⎪∴≠⎨⎪≠-⎩，解得3a =， ()122511z a i i a∴=+-=-+-，1z ∴= 【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.22．（1）5；（2）22i -或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值； （2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++，由2510z z +=+得()()222225410x y x y ++=++，化简得2225x y +=， 因此，225z x y =+=； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得1023102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1023102x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，10310i z =-或10310i -+. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数，所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．12-【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1212,12k k ⇒==．所以12k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题. 26．112m =【解析】 分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=，由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.。

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(有答案解析)(2)

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1CD ．2 2．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i 5．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 6．设313i z i +=-，则232020z z z z ++++=（ ） A ．1B ．0C ．1i --D ．1i + 7．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i - 9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23D ．3210．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ）A ．15i +B ．1i -C ．15i -D ．1i +11．复数z 满足(1i)2i z -=，则z =A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i + 12．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）A1 BC ．3D ．2 二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．15．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 16．已知1i z z -=-+，则复数z =______.17．若z 为复数，且22z z -=+，则|z －1|的最小值是________．18．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．19．若复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点位于第二象限，则z 的取值范围是_______.20．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.三、解答题21．已知复数1212,34z i z i =-=+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数z . 22．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标；（2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.23．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.24．已知复数1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，且125121313z z i -=+，其中i 为虚数单位，求cos()αβ+的值.参考答案25．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =.（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 26．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 2．D解析：D【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z = 所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ， 所100501++=-z z i ，故选：D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题. 3．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.4．C解析：C【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.5．C解析：C【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ， 因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ， 因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.6．B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解．【详解】3(3)(13)1013(13)(13)10i i i i z i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---． 故选：B ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．7．B解析：B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 8．A解析：A【分析】根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值. 【详解】∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .9．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi10．D解析：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论.【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11．B解析：B【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i 111iz i i i ==+=-+-,选B. 12．A解析：A【分析】 根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=，故选：A ．【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题. 二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】 根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-， 则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以z ==.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解.【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=， 故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为5AB ==，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9.故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x和y关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.15．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：2 3 -【分析】先化简222(4)125bi b b ii---+=+，再解方程224+055b b---=即得解.【详解】由题得2(2)(12)22(4) 12(12)(12)5bi bi i b b ii i i-----+==++-，因为复数212bii-+的实部和虚部互为相反数，所以2242+0,553b bb---=∴=-.故答案为：2 3 -【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解解析：i-【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z = 因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-. 故答案为：i -【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.17．【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上再设出计算的最小值即可【详解】因为复数满足所以在复平面内复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上设所以的最小值为故答案为：【点睛】本题 解析：1【分析】首先根据题意得到复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等，即复数z 在虚轴上.再设出z bi =，计算1z -的最小值即可.【详解】因为复数z 满足22z z -=+，所以在复平面内，复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等.即复数z 在虚轴上，设z bi =，b R ∈.111z bi -=-+=≥， 所以1z -的最小值为1.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数代数式的形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题. 18．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算 解析：0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根， 1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.19．【分析】根据复数的几何意义可知复数对应的点的坐标为再根据该点位于第二象限得即而再用二次函数法求其取值范围【详解】因为复数对应的点的坐标为又因为该点位于第二象限所以解得所以因为所以故答案为：【点睛】本解析：2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据复数的几何意义，可知复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为21a a -+（,），再根据该点位于第二象限，得2010a a -<⎧⎨+>⎩即1a 2-<< ，而||z ===范围. 【详解】因为复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为()21a a -+,， 又因为该点位于第二象限， 所以20,10,a a -<⎧⎨+>⎩解得1a 2-<<.所以||z ===因为1a 2-<<，所以||,32z ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的模，还考查运算求解的能力，属于中档题.20．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】 【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值.【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）11(,)32-；（2）1255z i =-+. 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解； （2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+，则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++- 因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限， 所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<，即实数a 的取值范围11(,)32-.（2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-，所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解. 22．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可. 【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=--（1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-，所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限，则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a >所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞. 【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.23．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值； （3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值． 【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--， （1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =； （2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0，由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．24．12【分析】将复数12,z z 代入等式125121313z z i -=+中，得22cos()1αβ-+=，即可得答案； 【详解】因为复数1cos sin z i αα=+，2cos sin z ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ-=-++=+ 所以5cos cos 13αβ-=，12sin sin 13αβ+=， 所以2222512(cos cos )(sin sin )11313αβαβ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos()1αβ-+=，所以1cos()2αβ+=. 【点睛】本题考查复数与三角函数知识同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.25．（1）12z =-+.(2）ABC S ∆=. 【解析】分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b =+<>，则z a bi =-，由题2z z =，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，利用三角形的面积公式，即可求解.详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b =+，则z a bi =-， 故2222z a b abi z a bi =-+==-. 所以22a b a -=，2ab b =-. 又0a <，0b >，解得12a =-，3b =，132z i =-+. （Ⅱ）由（Ⅰ），得132z i =-+，2132z i =--，31z =. z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：故1233311sin 234ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.26．56-或76 【分析】若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，由题意可得，2121212122()4x x x x x x x x =+=+=+-，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求. 【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩， ①0∆≥，即m ≤m ≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=；②∆<0，即331212m -+<<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==，解得m = 综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题.。

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-专题强化练5-复数四则运算的综合应用(含答案)

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-专题强化练5-复数四则运算的综合应用(含答案)

人教A版高中数学必修第二册专题强化练5　复数四则运算的综合应用1.(2024山东菏泽月考)已知i为虚数单位,复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为( )A.-1B.1C.iD.-i2.(2024福建福州期中)已知复数z满足|z|=2,则|z+3+4i|的最小值是( )A.3B.4C.5D.68.(2024河北张家口期中)已知在复数范围内,关于x的一元二次方程x2-2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2,若|z1-z2|=2,且z1的虚部为正数.(1)求实数k的值;(2)求z1z2+的值.答案与分层梯度式解析专题强化练5　复数四则运算的综合应用1.B2.A3.ACD4.BCD5.BC1.B 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi,因为|z+2i|=|z|,所以|a+(b+2)i|=|a+bi|,可得a 2+(b+2)2=a 2+b 2,解得b=-1,所以复数z 的虚部为-b=1.故选B.2.A |z|=2表示复数z 在复平面内对应的点的集合是以原点O 为圆心,2为半径的圆,|z+3+4i|=|z-(-3-4i)|表示圆上的点到点(-3,-4)(记为A)的距离,易得|OA|=32+42=5>2,所以|z+3+4i|的最小值是|OA|-2=3.故选A.3.ACD ∵-2<b<2,∴Δ=b 2-4<0,∴方程x 2+bx+1=0的根为x=-b ±4−b 2i2,不妨设z 1=-b2+4−b 22i,z 2=-b 2-4−b 22i,则z 1=z 2,A正确;|z 1|=|z 2正确;易得z 1z 2=1,∴z 1z 2=z 21z1z 2=z 21=b 2-22-b 4−b22i,当b≠0时,z 1z 2∉R,B 错误;当b=1时,z 1=-12+32i,z 2=-12-32i,计算得z 21=-12-32i=z 2,z 22=z 1,∴z 31=z 1z 2=1,z 32=z 1z 2=1,D 正确.故选ACD.4.BCD 设z 1=a+bi,z 2=c+di,a,b,c,d ∈R,则z 21=(a+bi)2=a 2-b 2+2abi,|z 1|2=a 2+b 2,当b≠0时,z 21≠|z 1|2,A 不正确;因为z 1·z 2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以z 1·z 2=(ac-bd)-(ad+bc)i,又z 1·z 2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z 1·z 2=z 1·z 2,B 正确;|z 1z 2|=|(a+bi)(c+di)|=|(ac-bd)+(ad+bc)i|=(ac -bd )2+(ad +bc )2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,|z 1|·|z 2|=a 2+b 2·c 2+d 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,所以|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,C 正确;z 1z 1=a +b i a -b i =(a +b i)2(a -b i)(a +b i)=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,z 21|z 1|2=(a +b i)2a 2+b 2=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,所以z 1z 1=z 21|z 1|2,D正确.故选BCD.规律总结　关于复数有以下几个常用结论,在小题中可以直接使用,提高解题速度.(1)z1·z2=z1·z2=z1z2(z2≠0);(3)|z1z2|=|z1||z2|;(4)zz=z2|z|2(z≠0).5.BC　设z=a+bi(a,b∈R),由z2+z+1=0得(a+bi)2+(a+bi)+1=0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0,所以a2-b2+a+1=0,2ab+b=0,解得a=−12,b=32或a=−12,b=−32, z=-1+3i z=-1-3i,6.7.z1因为∠AOB∈[0,π],所以∠AOB=π4.8.解析　(1)设z1=a+bi(a,b∈R,b>0),则z2=a-bi,故z1+z2=2a=2,所以a=1,因为|z1-z2|=2,所以|2bi|=2,即4b2=4,解得b=1或b=-1(舍去).故z1=1+i,z2=1-i,所以k=z1z2=2.(2)因为z1z2=1+i1−i=i,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N,所以z1z2+=i+i2+i3+…+i2 025=(i-1-i+1)×506+i=i.。

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专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。

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