3图论-图基本概念9-14

3) 推论
4) 结点的度数序列 (1) 设G＝<V，E>为一个n阶无向图，V＝{v1，v2，…，vn} 称d(v1)，d(v2)， …，d(vn) 为G的度数列 注：由于推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的度数列。 条件：奇度数的结点个数应该是偶数个 （2）序列的可图化： d=(d1,d2,…dn) 对一个整数序列d,若存在以n个顶点的n阶无向图G，有d(vi)=di 称该序列是可图化的 （3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且仅当 ∑di = 0 (mod 2) (序列之和必须是偶数) （4）由于简单图中没有平行边及环 结论：n个结点的简单图中结点的最大度数（△（G)）应小于等于n-1 每个结点至多与其他n-1个结点相邻 例：给定5个序列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？ d1={5,5,4,4,2,1} d2={5,4,3,2,2} d3={3,3,3,1} d4={4,4,3,3,2,2}
边集合E＝｛<v1,v2>,<v1,v2>,<v2,v3>,<v3,v2>,<v2,v2> ,<v1,v3>,<v3,v1>｝ 尖括号 （与前面的关系的图表示相当）
3、有关图的术语 1）用G表示无向图，D表示有向图。 有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集， 2）用 ｜V(G)｜ ，｜E(G)｜分别表示G的顶点数和边数(有向图类似） 若｜V(G)｜ ＝n，则称G为n阶图。对有向图可做类似规定。 3）在图G中，若边集E(G)＝ø ，则称G为零图 若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图 4) 常用ek表示无向边(vi，vj)( 或有向边<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E， 则称vj，vj为ek的端点， ek与vi、vj是彼此相关联的． 起终点相同的边称为环 不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向向图) 5）邻接： 边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的 顶点的相邻： 若∃et∈E，使得et = < vi，vj>， 则称vi为et的始点，vj为et的终点， 并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点， 也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。
6）平行边： 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边， 平行边的条数称为重数． 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点与 终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边为平行边． 7）多重图和简单图：含平行边的图称为多重图 既不含平行边也不含环的图称为简单图．（主要讨论简单图） 4、结点的度 1）定义4 设G＝<V，E>为无向图，∀ v ∈V，称v作为边的端点次数之和为v 的度数，简记为度记作d G(v)， 简记为dG(v)即为：结点v 所关联的边的总条数 关于有向图D＝<V，E> 有： ∀v ∈V，称v 作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d- (v)， 称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d+ (v)， 称d+(v) + d-( v)为 v的度数，记作dD (v) 2) 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边 根据结点的度数可将结点分为： 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点.
有环的结点提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）
3）定义：ᅀ(G)=max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为ᅀ、 δ 定义：ᅀ＋(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ᅀ－(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度 δ＋(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ-(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度 5、握手定理（欧拉） 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m， 则 ∑d(vi) ＝ 2 m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数 之和时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ， 则 ∑d+(vi) ＝ ∑ d-(vi) = m． 且∑d(vi)＝2 m 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系f 这种对应关系又保持了结点间的邻接关系，那么这两个图就是同构的 在有向图的情况下，f不但应该保持结点间的邻接关系，还应该保持边的方向
注：1) 互为同构的两个图（必要条件） 有相同样的阶数（结点）和同样数量的边数及顶点的度数序列 但这对于形成图的同构来说，三个条件并不是充分条件（仅是必要条件） 2)图之间的同构关系可看成全体图集合上的二元关系 具有自反性，对称性和传递性，是等价关系． 同构的图为一个等价类，在同构的意义之下都可以看成是一个图。 例 (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图． 结点个数与边数相同，只需找出顶点度数序列不同的图（2＊3＝6）：
度数分配 1 2 1 按出度与入度分配： 度数分配 2 2 0 按出度与入度分配： 入度列 1 出度列 1 1 1 0 0 这只是对较为简单的情 况给出的非同构图，对 于一般的情况（n,m)图 到目前为止还没有解决
入度列 1
出度列 0 入度列 0 出度列 1 入度列 1 出度列 0
1
1 2 0 0 2
2） 性质：设G是n阶k-正则图，证明G的补图G也是正则图 对图中任何结点v的度有 d G(v) + d G(v) = d Kn(v)= n-1
d G(v) = n-1 －d G(v)＝n-1-k = n-(k+1） 3）自补图：若图 G ≌ G (同构) 则称G为自补图
作业：p291
1、3、5、7、8、9、14、15、16、25
0
1 0 1 1 0
三、特殊图－完全图与正则图
1）完全图 定义 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相邻， 则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)． 设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶点， 又邻接于其余的n—1个顶点，则称D是n阶有向完全图． 可画图表示（无向图5阶、有向图3阶和4阶） 2)完全图的性质： n阶无向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n-1)/2 n阶有向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n-1) 3)正则图 定义 设G为n阶无向简单图，若∀ v ∈V(G)，均有d(v)＝k， 则称G为是 k-正则图 k-正则图的边数与结点个数的关系 ： m = k n /2 可画 3－正则图和4－正则图
边集合E＝｛(v1,v2), (v2,v3),(v3,v2), (v3,v1),(v2,v2),(v2,v2), (v1,v2),｝ 园括号表示无向边
2） 定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 V ⅹ V的有穷多重子集，其元素称为有向边， 简称边(弧)． 有向图D=<V，E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝
2、简单通路和初级通路的关系
有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。 反之不成立 回路也可分为简单回路和初级回路。 3、通路的表示：可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek 也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v3…vk
4、性质： 1）定理 在n阶图D中，若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路，则从vi到vj存在 长度小于或等于(n—1)的通路 若大于n-1，则存在相同节点（有回路），将回路删去可得 2）在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等 于n—1的初级通路(路径) 3）定理 在一个n阶图D中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长 度小于或等于n的回路． 4）在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等 于n的初级回路．
四、子图、生成子图、导出子图 1、定义 设G＝<V，E>，G‘＝<V’，E’>为两个图(同为无向图或同为有向图)， 若V’⊆ V 且E’⊆ E ，则称G‘是G的子图，G为G‘的母图，记作G’⊆G， 又若V‘⊂V或E’ ⊂ E，则称G‘为G的真子图 若V’＝V(且E’⊆ E),则称G‘为G的生成子图． 2、设G＝<V，E>为图，V1⊂V 且V1≠ ø ，称以V1为顶点集，以G中两个端点都 在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出的子图，记作G[V1]． 可画图表示 G 及 G［V1］ （按书上的例）结点导出的子图 又设E1 ⊂ E且 E1 ≠ ø ，称以 E1为边集，以E1中边关联的顶点为顶点集 V1的图为G的E1导出的子图，记作G[E1]． 边导出的子图 3、补图 1）定义 设G＝< V，E >为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完 全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G
§14.2
通路、回路
一、通路与回路 1、通路 1）定义：给定有向图D中的任何一个边序列L，如果其中的任何一条边的终点， 都是继之出现的边(如果存在的话)的始点，则称这样的边的序列是图G的通 路。 若序列中首尾结点相同，则称L为回路。 2）定义：有向图D中，边序列中的各条边全都是互不相同的通路，称为简单通 路。 3）定义：有向图D中，序列中的每一个结点仅出现一次的通路，称为初级通路 若序列中首尾结点相同，则称通路为初级回路或圈。 4）定义：序列中边的条数称为它的长度
例
(1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图． 非同构的图但结点个数与边数相同 只需找出顶点度数序列不同的图 结点总度数： 2＊3＝6 如何将度数6分配给4个结点 1 1 1 3 相应的图 2 2 1 1 2 2 2 0 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图 结点个数与边数相同，只需找出顶点度（出度及入度）数序列不同的图 结点总度数： 2＊2＝4
3、无向图的连通图 定义14．13 若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G 为连通图，否则称G为非连通图或分离图 4、结点之间的距离 1）定义：设u，v为无向图G中任意两个顶点 若u ～ v，称u，v之间长度最短的通路为u，v之间的短程线 短程线的长度称为u，v之间的距离，记作 d(u，v) 当u，v不连通时，规定d(u，v)＝ ∞ ． 2）无向图结点的距离有以下性质： 1．d(u，v) ≥ 0，u = u时，等号成立． 2．具有对称性：d(u，v )＝d( v，u)． 3．满足三角不等式：∀ u,v ，w ∈ V(G)，则 d(u，v)+d(v，w) ≥ d(u，w) 二、有向图的连通性 1、结点的可达性 定义： 设D＝<V，E>为一个有向图．∀ vi,vj ∈V，若从vi到vj存在通路 则称vi可达vj, 记作vi → vj 。 规定vi总是可达自身的，即vi → vi．
第四部分 图论 第 十四 章 图的基本概念
一、图的概念 1、无序积定义：设A，B为任意的两个集合， 称 ｛｛a，b｝ ┃ a∈A ∧b∈B ｝为A与B的无序积，记作A & B 2、图的定义 1） 定义1 一个无向图是一个有序的二元组 < V，E >，记作G，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2) E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边， 简称为边． 无向图G = < V，E > 其中 V＝｛v1,v2,v3,v4 ｝
二、图的同构 定义 设G1＝<Vl，E1> ，G2=<V2，E2>为两个无向图(两个有向图)， 若存在双射函数f：V1 → V2 顶点的一一对应 对于∀ vi，vj∈V1，(vi，vj) ∈E1 (<vi，vj>∈ E1) 当且仅当(f(vi)，f(vj))∈E2 (<f(vi)，f(vj)> ∈E2)， 边的对应 并且(vi，vj) (<vi,vj>)与(f(vi),f(vj))(<f(vi),f(vj)>)的重数相同， 则称G1与G2是同构的，记作Gl ≅ G2
以上概Leabharlann Baidu均可用在无向图G中 §14.3 图的连通性
一、无向图的连通性 1、结点的连通： 设无向图G＝<V，E>，∀ u,v ∈V，若u，v之间存在通 路，则称u,v是连通的，记作u ～ v，∀ u ∈V，规定u～u 2、结点的连通关系是等价关系 若定义：～ ＝{<u，v> ┃u，v∈V且 u与v之间有通路} 此关系是自反，对称的，传递的，因而～是V上的等价关系