具有非线性中立型项的二阶非线性差分方程非振动解的存在性
一类二阶非线性变时滞差分方程解的振动性
本文只讨论方程（ ） １ 的非平凡解．方程（ ） １ 的解 ｛（ ） 称为是最终正解（ ／｝ ２ 或最终负解 ） 如果存在整数 ，
Ⅳ≥ｎ ， 。 使得 当 ≥Ⅳ 时 ， Ｉ ０ 或 （ ）＜ ） 方程 （ ） （， （ １ ）＞ ｎ ０ ； １ 的解 ｛ ／ ｝ 为是 振 动的 ， （， 称 ７ ） 如果 它既 不最 终 为正
（ ： ≤Ｐ（ ） ； （ ） ０； （ ）＞ ， △ （ ） ０； Ｈ ）０ ｎ ≤１ 曰 ｎ ｉ Ａ ｎ ０ 且 Ａ ｎ ＞ ＞ １
（ ： ｎ ０是 整数 ， Ｈ ） （ ）＞ 且 （ ） ，ｌ 丁 ｎ ｎ≤ ｉ （ ）＝＋∞ ； ｍ
（） Ｅ
（ ）ｏ（ ）＞ Ｈ２ ：－ｎ ０是整 数 ， ｎ ≤ｎ ｌ （ ）：＋。 且 △ ｎ ＞ ； （ ） ， ｉ ａ ｒ 凡 。， （ ） ｔ０ （ ： Ｈ ） 存在 常数 ＞０ ＞ ， 得 ， ０ 使 ≥ ， ≤ 且 Ｑ ）一 （ ）＞ 卢， （ 凡 ０最终成 立 ；
ｎ ｎ ／ 、
（） ２
ｚ ） ｘ（ ｎ１ （ ＝ｅ ∑ｌ ＋ ｎ ｐ ［
５ ｎ ＝ ｏ
＼。／
］， ）
（） ３
则 方程 （ ） １ 可写 为
收稿 日期 ： ０ １ｏ ＿ ６ ２ １－ ４ｏ
基金项 目： 湖南省教育厅科研基金重点 资助项 目（０ Ａ ８ ） ９ ０２ ． 作 者简 介 ： 甲山（９ ３ ） 男 ，湖南城步人 ， 杨 １６ 一 ， 副教授 ， 研究方 向为微分差分方程
中 图分类 号 ： １５ Ｏ ７ 文 献标 志码 ： Ａ
随着计算机科学、 数值分析 、 生物数学及边缘科学 的不断发展 ， 在科学研究和社会实践 中提出了很多由
二阶非线性中立型微分方程解的振动准则
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
t =
及正 数 M
:
,
使得 0 < 双 卜 叻 ( M
0
,
,
, 艺 少乙
.
从 (1 ) 有 (8)
歹1
口( ) f 〔 (
,
t
一
,
) ]>
t> t
;
从 夕( t ) 的 定 义 知 今(约必 有 界
夕` l i m 即( t
一 今。 , 心
从 而 容 易导 出
,
( )<
t
0
t> t
,
及
lim y ’
,
p”的
,
Q(t ) 为 常数 及 f ( 幻
。 ,
=
劣
的 意 义 下 该 条件 也 是 必 要 的
。 ,
。
我 们 也 给 出 了 方程
(l ) 的 线 性 化极 限 振 动 准 则 如 一 般 文 献一 样 振 动的
,
所 得 这 些 结果都 是 新 的 的 一 个解 为振 动 的
。
称 方程 ( 1 )
、
(
1 1 )两式 应用 歹 y
"
于 方程
具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程的有界振动性
数学物理学报
２ ０ １ ３ ， ３ ３ Ａ（ １ ） ： ９ ８ — １ １ ３
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
具 有振 动 系数 的二 阶 非线 性 中立型 时 滞 动 力方程 的有界振动性
陈大 学
（ 湖 南工程学院理 学院 湖南湘潭 ４ １ １ １ ０ ４ ）
摘要：研 究时标 上具有振动系数的二 阶非线性 中立型时滞动力方程
／ ， ｒ ］△ 、 、 Ａ
（ 、 ｒ （ ￡ ） （ 、 １ （ ｔ ） ＋ ｐ （ ） （ ７ － （ ｔ ） ） １））＋ ／ ， （ ｔ ， （ ） ） ） ＝０
的有界 振动性，其中 Ｐ是一个 定义于 ｒ Ⅱ ’ 上的振动函数， ＞ ０是两个正奇数之比．利用一种
的有 界振 动性 ，假设 具备 以下条件
（ １ ． １ ）
（ Ｈ １ ）Ｐ ∈ Ｃ ｒ ｄ （ Ｔ ， ） ， Ｐ 是一个振动函数， ｊ ｍ ｉ ｐ （ ｔ ） ＝０ ；
（ Ｈ２ ） ＞０是两个 正奇 数之 比；
（ Ｈ ３ ）ｔ ０∈， Ⅱ ＇ ， Ⅱ： ＝［ ｔ ｏ ， ∞） 是ｒ Ⅱ ＇ 内的一个时标区间，即 Ⅱ： 一｛ ： ｔ∈ ， ｔ ｔ ｏ ｝ ， ｒ∈
ｄ （ Ⅱ ， （ ０ ， 。 。 ） ） ， （ ） Ａ ｔ ＝∞；
（ ｔ ） ＝ｏ ｃ ； （ Ｈ４ ）７ － ∈ ｄ （ ， ｒ Ⅱ ’ ） ， ｔ ｌ ｉ ａ７ ｒ
。。
（ Ｈ ５ ） ∈Ｃ ￣ ｄ （ Ｙ ， ｒ Ⅱ ’ ） ， 当ｔ ∈Ⅱ 时５ （ ｔ ） ｔ ， ｌ ｉ ｍ （ ） ＝∞；
一
此，我们最感兴趣于那些对于初值 问题能够建立解的全局存在性和惟一性定理的方程．然 而，对 于具有 复杂偏 差变 元 的方 程来说 ，迄 今 为止 ，人 们还 没有 获得关 于全 局解 的存在性 和 惟 一性 定理 ．事 实上 ，这种 方程 的初值 问题 的公 式并 非总是 清楚 的 ．因此 ，如通 常那样 ，在 这 些情 形 我们不 在乎 初值 问题 的公式 Ｌ ３ ０ ＿ ． 时标上 的动力方 程 的研 究是 一个 非常新 的主 题 ， 并 且发 展迅速 ，其最 初 的 目的是 为了统 离散和连续分析 ［ ７ ］ ＿ 关于微分方程的许多结果能够很容易地平移到相应的差分方程， 而其 它 结果 则似 乎完全 不 同 ．动力 方程 的研 究揭示 了这 种差 异 ，有助 于避 免提 供结果 两次 一 一 次 为 微分 方程 提供 而 另一 次 为差分方 程提 供 ．其通 常 的想 法是 为 一个 动 力方 程提供 一个 结 果 ，其未 知 函数 的定义 域是 一个 所谓 的 时标 ，即实 数集 的任意 一个 非空 的闭子 集 ．这样 就 获 得 了不但 与实数 集或 整数 集有关 而且 与更 一般 的 时标 有关 的结果 ． 在生物 学 、工程 技术 、经济 学、物 理学 、神 经 网络和社 会科 学等 方面 ，时标上 的动 力方 程有 着 巨大 的应 用潜 力 Ｉ ｓ － ９ ］ ． 例如 ，可用 动 力方程 来建 立 昆虫数 量模型 ．昆虫 数量在 繁殖季 节是 连续变 化 的．进入 冬季 ，昆虫 逐渐 消失 了 ，而 它 们的卵正 在孵 化或 处于蛰 伏状 态，然后 在 新 的繁殖季 节，卵孵化 出来 了，这 样导 致 了不相 重叠 的数 量 Ｂ ｏ ｈ ｎ ｅ ｒ 和 Ｐ ｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ的一
高阶中立型差分方程非振动解的存在性
考虑 差分方程
△ ｒ（ １ ＋似 ）］＋ ｎ ｌ 一 … ，ｎａ）＝ ０ ｎ∈ Ｎ ［ｎ△ Ｉ（ 一） ，ｎ— ， ， Ｘ－ ，
以 及
一
（） ４
≤（ １＋ｅ ， ） ｎ≥ ｎ ０
并且 ： 一 Ｃ为连 续 的凝聚映射 ， 中 （ ） 其 有界 。 下列之 一必成 立 ： 则
（１ Ａ） 在 中存在一个不动点 ； （２ 存在 ∈ ａ Ａ） Ｕ和 ∈ （，）其中 ＝ （ 一 Ｐ ＋ ０ １， １ ） 。 定理 曰 ］ 设 为 Ｂｎｃ 空间 Ｂ Ｎ） ［’ － ａａｈ （ 的一致有界子集 。 如果 在 Ｏ 远处一致收敛， ０ 那么它也是相
式 的非振 动解并得 到 了如 下结论 。
定理 １ 假 设 Ｉ ≠ １取个 固定 的数 卢 其 中 ０＜卢 ＜１固定 的正数 ， 口Ｉ ， ， ， 固定 的非负序 列 ｛ ｝， 中 其 一 ０和 Ａ， ／ 一 １以及 固定 的映 射 ｇ Ｎ— Ｊ。 ，ｒＡ － ， ： ７ 如果对 于任意 的 卢 １ ｉ｛ 口Ｉ１ 口Ｉ）ｍｎ Ｉ ｖ （ 一ｍｎ Ｉ ，／Ｉ ｝／ ｉ｛ 口 Ｉｌ 口Ｉ ，／Ｉ ｝＞￡＞Ｏ 则存在 ｎ ≥ ， 中 ＝ｍ ｘ ｒ ｌ ， ， ｝使得 对于 Ｋ ２≤ ‰ ≤ Ｋ中的每个 ｉ ｝ ０ 其 ａ｛， ， … ， ２ ／ 和 Ｉ ｎ 一 Ｉ ， 中 ／≥ ／ ， ＋（） ≤ Ｘ 其 １ １ ， ， ０一 有
ｕ
（） １
其 中 ａ为正奇 数 的商 ， ｕ为大 于等于 ２的整数 ，ｎ＞ ｒ 中 ｎ∈ Ｎ， ｍ， ｒ 其 口∈ Ｒ， ， （ １２ … ， ）≥０ ｒ ｉ＝ ，， ｕ 为 固定 的大 于等于 ０的整数 以及 ∈ Ｃ（ ｎ， ［ ０∞］×Ｒ ×Ｒ ×… ×尽， ） Ｒ。 当 （） 的解终 正或 终负 的时候 ， １式 此解 为非振 动解 ， 否则为振 动解 。 迄今为 止很少 有 （） 的非振 动解 出现 。 文 通过使 用 和改进 文献 ［ １式 本 １—２ 证 明中 的方 法 ， 论 了 （） ］ 讨 １
一类二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性
［ （） ￡ ｆ ］ ＋ （，（ 一 ） ｐ （ ） ｘｔ ＋ｃ（ 一 ） ” ｇ ￡ ｔ ） ＝ （） １ 的周期解 存在 性 问题 ， 中 Ｃ ， 均 为 常数． 艳玲 其 ， ｒ 朱 和鲁世平 － 利用 重 合 度 理 论 研 究 了一 类 变 时 滞 微 ２ 分 方程 ［ ｆ ｃ（ 一 ］ ＋ （， ｔ ｒ ） ｐ ￡ （ ） （）一 ｔ ） ” ｇ ￡ （ — （） ）＝ （） ２ 周 期解 的存 在 性 问题 ， 中 Ｃ 为 常数 ， （） Ｒ 其 ， ｒ ｔ为 上 连续 周 期 函数． 然 ， 程 （ ） 方 程 （ ） 显 方 ｉ是 ２ 当 ｆ ｔ退 化 为常数 时 的特 殊 情况 ． （） 上述 方 程 的共 同特
周期解 的存在 性 问题 的研究 也 非 常 活跃 ， 有 了一 并 些很好 的研究 成 果 ¨ ］如 王 根 强 和燕 居 让 … 利 用 ．
重 合度理 论研究 了一类二 阶非 线性 中立型方 程
算子 Ⅳ：— ｌ Ｄ ， 连续、 有界 ， 如果存在常数 ｋ ０ 使对 １ ＞ ，
任何 有界集 Ｓ ｃＤ， 有 Ｏ （ Ｓ ） 都 ｔ Ⅳ（ ） ≤ （ ）则 称 Ｓ ， Ⅳ是 Ｄ上 的 一 集压 缩映射． 如果 己 Ｄ ｍＬｃ ： ｏ — ｙ是 指 标 为 零 的 Ｆｅｈｌ ｒｄｏｍ
（ 】 ＃ ￣ ｘ＋ ，Ｖ Ｒ） ７ Ｎ ） ∈ａ ， 力，Ｖ ∈（ ， ） ０１ ；
压缩算子的抽象连续性定理及一些分析技巧研究 以
下 一类变 时滞 的二 阶非线性 中立 型微 分方程 周期解 的存在性 问题
［ （） （ — ） ＝ ｔ 一 ｔ ｒ］
ｔ ｔ ｒ ） （ 一 ｆ ） ｐ ， （ ） ， — （ ） ， ｔ （ ） ）＋ （ ） ３ （
二阶非线性中立型微分方程的区间振动性
二阶非线性中立型微分方程的区间振动性米玉珍;卢燕娜;罗雪梅【摘要】利用平均函数技巧.对二阶非线性中立型微分方程建立了一些区间振动准则,这些振动准则不同于已知依赖于整个[t0,∞)的性质的结果.而是仅依赖于[t0,∞)上的子区间列的性质.【期刊名称】《湛江师范学院学报》【年(卷),期】2009(030)006【总页数】4页(P9-11,21)【关键词】区间振动;中立型微分方程;非线性;平均函数【作者】米玉珍;卢燕娜;罗雪梅【作者单位】湛江师范学院数学与计算科学学院,广东,湛江,524048;湛江师范学院数学与计算科学学院,广东,湛江,524048;湛江师范学院数学与计算科学学院,广东,湛江,524048【正文语种】中文【中图分类】O175.2本文,我们将讨论如下的二阶非线性中立型微分方程的振动性[a(t)(x(t)+p(t)x(τ(t)))′]′+q(t)f(x(σ1(t))，x(σ2(t))，…x(σm(t)))g(x′(t))=0 t≥t0 (1)以下我们总假设Ⅰ)a∈C(I,R+))(其中R+=(0,∞),I=[t0,∞),t0∈R=(-∞,∞))且a-1(s)ds=∞；Ⅱ) p∈C(I,[0,1)),q∈C(I,[0,∞)),且q(t)不最终恒为0；Ⅲ) g∈C(R,R)且g(y)≥k1>0(y≠0),k1为常数；Ⅳ) τ∈C(I,R),τ(t)非减且Ⅴ) 存在函数σ∈C1(I,R) ，使得且σ′(t)>0，其中i∈Im={1,2,…,m}.Ⅵ) f(x1,x2,…,xm)∈C(Rm,R)，且当x1,x2,…,xm具有相同符号时，f(x1,x2,…,xm)与x1,x2,…,xm同号,并且存在常数k2>0及i0∈Im，使得到目前为止,关于中立型非线性微分方程振动性及区间振动性的研究已得到许多结果,参见文献[1-6]及其参考文献.本文中，将文献[6]的方程作了进一步的推广，并利用广义Riccati变换，得到了方程(1)的新的振动准则，这些振动准则同样不同于已知依赖于整个[t0,∞)的性质的结果,而是仅依赖于[t0,∞)上的子区间列的性质，具有更广泛的意义.定义函数H=H(t,s),H∈C(D,R+),D={(t,s):-∞<s≤t<∞}H(t,s)满足H(t,t)=0,H(t,s)>0 t>s时设ρ∈C1(I,R+)，定义如下函数首先引入如下两个引理.引理1 假设x(t)是方程(1)最终正解,即存在充分大的T0≥t0使得t≥T0时x(t)>0,则对任意的区间[c,b)⊂[T0,∞)及任一ρ∈C1(I,R+)和H∈C(D,R+)有下式成立,(2)其中而z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)).证明因为x(t)是方程(1)的最终正解,则由已知易知存在T0≥t0,使t≥T0时x(t)>0，进而由假设知x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,x(σi(t))>0(其中i∈Im),f(x(σ1(t)),x(σ2(t)),…,x(σm(t)))>0.显然在[c,b)⊂[T0,∞)上,以上各不等式依然成立.令z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))易明a(t)z′(t)为减函数且(a(t)z′(t))′+k1k2q(t)[1-p(σi0(t))]z(σ(t))≤0(3)令在[c,b)w′(t)所以(4)将上式中的t换为s,两边同乘以H(t,s)并对s从c到t(t∈[c,b))积分得H(t,s)Ψ(s)dsH(t,c)w(c)-h2(t,s)w(s)ds-H(t,s)w2(s)ds≤对上式令t→b-,则(2)式成立.引理2 假设x(t)是方程(1)最终正解,即存在充分大的T0≥t0使得t≥T0时x(t)>0,w(t)如引理1所定义,则对任意的区间[c,b)⊂[T0,∞)及任一ρ∈C1(I,R+)和H∈C(D,R+)有下式成立,(5)证明类似于引理1的证明,略去.通过如上两个引理,立刻可得以下定理.定理1 假设Ψ、v、h1、h2如前所定义,若对任一t≥l≥t0,存在H∈C(D,R+)及ρ∈C1(I,R+)满足以下两式：(6)(7)则方程(1)是振动的.证明假设x(t)是方程(1)的最终正解,即不妨设存在充分大的T0≥t0使得对所有t≥T0有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(σ(t))>0，x(σi(t))>0(i∈Im)，令a=T0.在(6)式,令l=a则存在c>a满足(8)在(7)式,令l=c则存在b>c满足(9)综合(8)、(9)两式可得，(10)而(2)除以H(b,c)、(5)除以H(c,a)所得两式相加得下式：显然此式与(10)式矛盾,定理1得证.令H(t,s)=H(t-s),H如前所定义,则有h1(t-s)=h2(t-s)并记为h(t-s),则得如下定理. 定理2 若对任一t>t0,存在a,c∈R使t≤a<c且存在H∈C(D,R+)、ρ∈C1(I,R+)满足则方程(1)振动.又令H(t,s)=(t-s)λ，λ>1常数.此时,则得如下定理.定理3 若对任一t≥l≥t0,存在ρ∈C1(I,R+)及一常数λ>1满足：则方程(1)是振动的.【相关文献】[1]GRACE S R.Oscillation theorems for nonlinear differential equations of second order[J].J Math Anal Appl,1992,171:220-241.[2]LI HORNG JANN.Oscillation criteral for second order linear differential equations[J]. J Math Anal Appl,1995, 194:217-234.[3]ROGOVCHENKO Y V. Oscillation criteral for certian nonlinear differential equations[J]. J Math Anal Appl,1999,229:399-416.[4]米玉珍，余秀萍，王培光.二阶非线性中立性时滞微分方程的振动定理[J].河北师范大学学报：自然科学版，2005,29(1):14-17.[5]KONG Q .Interval Criteria Oscillation of Second order Linear Ordinary Differential Equation[J].J Math Anal Appl,1999,229:258-270.[6]米玉珍，马玲.二阶非线性中立性时滞微分方程的振动定理[J].湛江师范学院学报，2008,29(1):14-17.。
二阶Volterra型积分微分方程非线性边值问题解的存在性与惟一性
二阶Volterra型积分微分方程非线性边值问题解的存在性与
惟一性
金丽
【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(029)002
【摘要】利用微分不等式理论研究了二阶Volterra型积分微分方程非线性边值问题的解的存在性和惟一性.以上下解为基础,建立了解的惟一性定理,在适当条件下,构造具体的上下解,得到了解的存在性和惟一性.结果表明这种技巧为奇摄动边值问题的存在性和惟一性研究提出了新的思路.
【总页数】4页(P156-159)
【作者】金丽
【作者单位】大连交通大学,数理系,辽宁,大连,116028
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.二阶Volterra型积分微分方程非线性边值问题的奇摄动 [J], 王国灿;金丽
2.二阶Volterra 型积分微分方程奇摄动非线性边值问题解的惟一性 [J], 王国灿;丁传华
3.Volterra型积分微分方程非线性边值问题解的存在性和唯一性 [J], 王国灿
4.二阶Volterra-Hammerstein型积分微分方程非线性边值问题 [J], 王国灿
5.Banach空间中二阶Volterra型积分微分方程边值问题解的存在性 [J], 侯婷;张超
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时标上具有振动系数的中立型动力方程非振动解的存在性
Ｉ （）丁 一 （，） 广（，） （） ｓ ｌ Ｉ（）一 Ｉ ｆ ｔ，） 厂ｓｔ 一 ｔ （ ｔ 一 ） ≤ ｔ ｓ， （ ｒ ７ 其中广 表示对第一个变量求导 ， 则
（ 若ｇ￡： ￡ ）ｒ ￡＝ 广（ △ ＋ （ ， ； ｉ （ ＝ｆ ， △， （ ｆ ｆ ）７ ｔ ｔ ） ） ｒ 则ｇ ） ， ））
时 标 上 具 有 振 动 系 数 的 中 立 型 动 力 方 程 非 振 动 解 的存 在 性
邸聪 娜 李 民 良 ， ， 郭雅 彩 何 尚琴 王 莹 ， ，
（ １河北科 技师范学 院 数学 与信 息科技学院 ， 河北 秦皇 岛，６ ０ ４ ２上海海洋大学 信息学 院） ０ ６０ ；
ｆ（ （） ｔＩ （）Ａ ＜ ｉ １ ， 凡 盯 ｓ 一 ） ｌｓ ∞， ＝ ， …， Ａ ｓ ２
如果下列 条件之 一成立 ： （ ）０ （） ａ ≤ｐ ｔ ≤ｐ＜ｌ （ ）一１＜ ≤ｐ ｔ ＜ ｃ ｐ （） ０ （ ）１ ｐ ≤ （ ） ２ ｂ ＜ １ ｐ ｔ ≤ｐ ＜∞ （ ） 一∞ ＜ ｌ （） ２ ｄ ｐ ≤ｐ ｔ ≤ｐ ＜一１
摘要 ： 考虑 时标 上 的具有 振动 系数 的二 阶中立 型动力 方程 非振 动解 的存 在性 ， 通过 构造适 当的映射 ， 用
Ｋ ａｎｓｌ ｉ压 缩 映 射 原 理 得 到 其 非 振 动 解 存 在 的 充 分 条 件 。 ｒ ｏｅ ｋｉ ｓ ｓ
关键词 ： 时标 ； 动力方程 ； 振动系数 ； 非振动解
ｔ ｔ｝ ０ ＞０ ＞ 。
１ 引
引理 １
ＥＵ， 有
理
设 Ⅱ∈Ｔ ｂ ， ： ， ∈Ｔ ｆ Ｔ×Ｔ Ｒ 在 （，） 连续 ， 中 ｔ ，＞ａ 且 ， ｔ・） ［ ， ｔ￡点 其 Ｔ ｔ ， （， 在 ｎ Ｅ
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文章编号： １７ －０ ５２ １）４ ０ １ ４ ６ ４８ ８ （０ ２０ — ０ 卜０
具 有 非 线 性 中立 型 项 的二 阶 非 线 性 差 分 方程
非振 动解 的存在性
王志伟 ，邓 志云
（ 冈山大 学数 理学 院 ，江西 ，吉安 井 ３ ３０ ） ４ ０９
摘
要 ：主要讨论含非线性 中立型项 的二阶非线性差分方程 非振 动解 的存 在性 。我们利用 Ｂ ｎｃ ａａｈ压缩映射原理
注 ：若 本文 中不 等式 没有特 别指 明成立 范 围 ， 均 指对 充分 大 的 自然 数成 立 。
｛ ） ｃ （ ｝为 正 整 数 序 列 ， 且 ｌ ） ｒ ｉ （ ＝∞ ， ｍｖ 刀
ｌ ｉ （） ｍ ｆ， ＝∞ 。 ？ 本文 中总 是假 设 ： （ ） （， 关 于 连 续 ， 且 当 ≠０时 ，有 ） ｘｐ（） ｃ ＞０，ｉ ，， ， ＝１ …，： ２
不 带 自伴 差分 方程 正解 的存 在性 。本文 将 要讨 论带
Ａａ （ 一 ｐ ））∑ （ （ａｘ ∑ｔ ， ）＋ ）
ｎ 力０
）０ ） ， ＝
自伴 的二 阶差 分方 程非 振动 解 的存 在性 。另外 ，文
收稿 日期：２ １—３ ２ ；修 改 日期 ：２ １—４ ３ ０ ２０ —２ ０ ２０ —０ 基金 项 目： 吉市 科计 字［０ ９４ ２ ０ ］０号 ３ 作 者简 介： ＋ 志 伟（９ ７ ） 王 １７ 一，男 ，江 西 吉水人 ，讲 师 ，硕 士 ，主 要从事 动 力系 统 与稳定 性 的研 究（— ｉ ｗ ｚｗ ２ ０ ＠ １ ６ ｏ ； Ｅｍａｌ ｈｈ ｈ ０ ３ ２ ． ｍ） ： ｅ 邓志 ￣（９ ５ ） １７ 一，男 ，江西 吉水 人 ，副教 授 ，硕士 ，主要从 事 应用 数 学研究 （— ｉ ｄｎｃｕｘａ １８ ＠１３ｃｒ） Ｅｍａｌ ｉｇｈ ｎｉｏ９ ７ ６ ． ｎ ． ： ｏ
由条件 （ ．） 存在 正整 数 １ ， ４ 有
５ （， 一 ，） ｌ ） 玄∑（ｃ （ ） ¨ｊ ｌ ｔ ， ｏ ＝ ｔ ＜
∑ ｌ ） ｐ
０ ０
０ ｏ
Ｘ￣ Ｘ／ ， ｍ ≤ ’ Ｘ （ （） ｃ ｚ ）
－
… ２ ， ・ ７
～
～
㈤ Ｉ ＋
ＴＨ Ｅ ＥＸＩ ＴＥＮＣＥ Ｆ Ｅ Ｓ ｏ ＴＨ Ｎｏ Ｎ． ＳＣＩ ｏ ＬＬＡＴｏ ＲＹ ｏ ＬＵＴＩ Ｓ ｏＮ Ｒ Ｆｏ ＴＨＥ
Ｓ ＣｏＮＤ ＤＥ ＮｏＮＬ ＮＥ Ｅ ｏＲ Ｒ Ｉ ＡＲ Ｆ ＥＲ ＤＩ Ｆ ＥＮＣＥ Ｅ ＱＵ ｒ ｏＮ、 Ｔ Ｉ Ｍ Ｈ
Ｎｏ ＮＬＩ ＮＥＡＲ ＮＥＵＴＲＡ Ｌ ＴＥＲＭ Ｓ
＿ ＿
１ ２
井冈山大学学报（ 自然科学版）
其 中 “Ａ”表 示 向前差 分算 子 ，即
，
＝Ｘ＋一 ； ｎ 。
的 解 ｛ 存 在 正 整 数 Ⅳ ， 使 得 当 ）
Ｎ 时 ， 有
， 为给定 自 ， ｆ 然数； ａ ｝ ｛ 是正实数序列；｛ （） ， １ ｝ 『
＜ ；差分方程的解 ｛ 称为非振动的，如果 ０ ） 最终为正或最终为负；否则，称 ｛ 为振动的，即 ） 即不最终为正，也不最终为负。
关于 中立 型差 分方 程 的研 究 ，除 了在 理论 上 具
献 ［］ 论 了该 类 具有 非 线性 中立 型 项 的二 阶 非 线 ４讨
有 非常 重要 的意 义外 ，在 实 际应 用 中也有 着 非常 重
性 差 分方 程解 的振 动性 ，文献【】 用 Ｂ ｎｃ ６利 ａａｈ压 缩 映射 原 理 讨 论 了带 单 滞 量 自伴 二 阶 差 分 方 程 正 解 的存 在性 ，本 文将 利 用 Ｂ ｎｃ ａａｈ压 缩 映射 原理 和离
第３ ３卷第 ４期 ２１ ０ ２年 ７ 月
Ｖ １ ３ Ｎｏ ｏ． ． ３ ４ Ｊ ｌ． ０ ２ ｕｙ ２ １
井 冈山大 学学报 （ 自然 科学 版）
Ｊｕｎ ｌｏ ｉｇ ａ ｇｈ ｎ Ｕｎｖｒｉ Ｎａ ｒｌＳ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｆＪ ｇ ｎ ｓａ ｉｅｓｙ（ ｔ ａ ｃｅ ｅ ｎ ｔ ｕ ｎ １ １
件
证 明 设 Ｂ 为 所 有 有 界 实 序 列 ＝ ＝ Ｃ
｛一。 Ｘｏ构成的 Ｂｎｈ空间，ｌ＝ｕｌｌ ｏ ａｃ ａ Ｉ ｓ ｘ 。取 ｘ ｐ ｌ ｌ
，
Ｍ２ ０，使得 Ｍ。 １ ） ，且 Ｍ２ ｂ ＞ ＜（ 一ｐ Ｍ２ ≤ 。
ＢＣ的一个 子集， ， ｎ｝ ０
阶差 分方 程非 振 动解 的存 在性 ，推 广 了文献 【】 ６。下 面 我 们 将 研 究 带 多 滞 量 的 自伴 差 分 方 程 非 振 动 解 的存 在性 问题 。
， ｔ
立 型差 分 方程 的正解 存 在性和 振 动 性 ，文献 ［．，］ ３４７ 讨 论 了差 分方 程 的解 的振 动 性 ，文 献 ［．１讨 论 了 ８１］
（ｘ（） ａ＋ｐ ＋ｃ ｒ） ｎ ＾
井 冈山大学学报（ 然科 学版） 自
ｌ ３
Ｊｘ ｎ一 ） ） （ Ｘ）（ （ ｌ ｒ
ｃ ＝
｛
，
｝
。 使得 当 ，
（． ２） ６
时，
Ｉ（ ， ） 仍 ， ）一 ∑ ） ） ， 一 ）
ｌ＝ ｌ ｉ
ｉ ｅ ｅ ｃ ｑ ａｉ ｙｍ ｉ ｇｆ ｆ ｄ ｆ ｒ ｎ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ｂ ｋ ｎ ｔ ｌ ｐ ｉ ｇ ｏ ａ ｉ ｕ ｍ ｐｎ ． ａ Ｋｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｅ ｔａ ｒ ｏ ｃｌ ｔ ｎ ｎ ｎ ｏ ｃ ｌ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｌ ａ ｎ ｉ ｒ ｎ ｅｅ ｕ ｔ ； ｏ ｎ ａ ｕ ｒ ｌ ｅ ｍ； ｓ ｉ ａ ｉ ； ｏ － ｓ ｉ ａ ｉ ｏ ｌ ｎ ｔ ｌ ｏ ｌ ｏ
（） （，） ２ 关于 单调不减， 且存在 ｂ ，使 ＞０
ｏ ｏ
∑ ， ） Ｍ ｐ ２ 制
一
（２ ２） ．
（． ２３ ）
，
＜
２… ，
：
刀＋ ） １
ａ
≤
如 通常 一样 ，方程 （ ．）的最 终正 解是指 方程 １１ （ ．）的解 ｛ 存 在 正整数 Ⅳ ，使得 当 １１ ） Ｎ时，
Ｐ（ ＞ ，０ ｉ）０ ∑Ｐｎ ＜ ； ｉ） １ （ ｐ
（ ） ｊｎ ） ３ ｆ （， 关于 连续 ，且 当 ≠０时，有
（ ＞０， Ｊ＝１ ， ， ， …，； ２ 对 于方程 （．）假 设有 如下 条件之 一 １ １ （ ）在 Ⅳｏ ［，】 ，其 中 ｂ＞０满足 Ｌｐ条 １ × ０ｂ 上 ｉ 一
１ 主要 结 果
定理 ２１ 设对 于方 程（．） ． １ 条件 （ ） （ ） １ Ｈ ， Ｈ： ， （ ）和 （ ）成 立 ，则方程 （． 存在 一个 有界 正 Ｈ １ １１ ）
解。
（ ） 刀 ）￣ ） Ｐ（ ｖ 且 （ｕ－ ，ｌ ｉ）一Ｉ ， ｏ Ｖ （ 刀 ，
在 Ｑ上定义映射 ：Ｑ Ｂ ：Ｑ Ｂ Ｃ， Ｃ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｗ ｅ ｍａｎ ｙ ｄ ｓ ｕ ｓ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｈ ｏ － ｓ ｉ ａ ｏ ｙ ｓ ｌ ｔ ｎ ｆ ｒ ｔ ｅ ｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｏ ｌ ｅ ｒ ｉ ｌ ｉｃ ｓ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆ ｔ ｅ ｎ ｎ ｏ ｃｌ ｔ ｒ ｏ ｕ ｉ ｏ ｈ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ｌ ｏ ｎ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉ ｏ ｉ ｅ ｒ ｎ ｕ ｒ ｌｔｒ ． ｓ ｄ ｏ ｈ ｎ ｃ ｏ ｔａ ｔｏ ｐ ｉ ｇ ｐ ｉ ｃ ｐ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｒ ｎ ｅ ｅ ｕ ｔ ｔ ｎ ｎ ｎ ａ ｅ ｔａ ｅ ｍｓ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅ Ｂａ ａ ｈ ｃ ｎ ｃｉ ｎ ｍ ｐ ｎ ｒｎ ｉ ｌ ｎ ｈ ｏ ｈ ｌ ｒ ａ
散 的 Ｋ ａｎ ｓｌ ｉ不 动 点定理 讨 论带 多滞 量 自伴二 ｒｓｏ ｅ ｋｉ ｓ
要的意义。例如在高速计算机连接开关电路的无损 耗传输 网络 以及弹性体 上质 点振 动 问题中都有着
其 实 际应 用背 景 。近 年来 ，对 于差 分方 程解 的振 动
性 和 非振 动性 的研 究引起 了人们 的广 泛关 注 ，并 且 得 到 了许 多好 的结果 。文献 ［， ， ２讨 论 了二 阶中 １ ５ １］
ｉ ｃｅｅ Ｋｒ ｓ ｏ ｅｓ ｉ’ ｆ ｅ ｏ ｎ ｏ ｅ ｄｓｒ ｔ ａ ｎ ｓ ｌｋｉ ｘ ｄ ｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ，ｗｅ ｏ ｔｉ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆ ｅ ｅ ｔａ ｌ ｏ ｉｖ ｏｕｉｎ ｏ ｈ Ｓｉ ｈ ｂａｎ ｔｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｖ ｎ ｕ ｌ ｐ ｓ ｉ ｅ ｓ ｌｔ ｆｔ ｅ ｙ ｔ ｏ
【 （ （１ ） ）
＋ － ｔ 一
ｎ≤ ＜ ｌ ０ 刀
：
ｘ￣ － ＋ ｘ∈Ｑ ，当 ｎ ０ Ｃ ，由 （ ．）和 （ ．）和 ２１ ２２
（． ２ ），有 ４
（ ： 一 ，
，
ｌ ‘
Ｍ、
所 以 ＱｃＱ 。
以下 证 明 是 Ｑ 内 的一 个 压 缩 映射 。对 任 意 Ｙ∈Ｑ ， 由 （ ）和 （ ．）得 Ｈ２ ２３
其中 ａ ， ｒｎ ｄ ｝ ｉ｛
由条 件 （ ） ２ ，（ ）及 （．） １ ） Ｈ１，（ ） Ｈ３ １ 、（． ，所 ２ ３ 以存 在正 整数 ｎ ≥ｎ ，使得 当 １≥ 有 ｌ ｏ ， １ ＝ｍｉ｛， 刀， （） ＝１ ， ， Ｊ＝１ ， ， ｎ ｎｆ（） ； ， … ， Ｊ ｆ ２ ， ，… ｔ ２ ｝
Ｗ ＡＮＧ Ｚ ｉ ｉ ＤＥＮＧ Ｚ ｉｙ ｎ ｈ． ， ｗｅ ｈ． ｕ
（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔｅ ａｉ ｄＰ ｙｉｓＪｎ ｇ ｎ ｓａ ｉ ｒ ｔ， ’ｎ ｉｎ ｘ ４ ０ ９Ｃ ｉａ） Ｓ ｈ ｏ Ｍａ ｍ ｔ ｓ ｎ ｈ ｓ ）ｉｇ ａ ｇ ｈ ｎ ｏ ｈ ｃａ ｃ Ｕｎｖ ｓｙＪ ａ ，ａ ｇ ｉ ３ ０ ， ｈ ｅｉ ｉ Ｊ ３ ｎ