一类非线性变系数中立型微分方程振动的充分条件

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非线性中立型差分方程振动的充分条件

Ｋｅｒｓ：ｎｕｔａｉｅｅｃｑａｉｎ；ｏｃｌａｏｙｗｏｄｅｒｄｆｒｎｅｅｕｔｓｓｉｔｎ；ｓｆｃｅｔｃｎｉｉｎｌｏｌｉｕｆｉｎｏｄｔｓｉｏ
）ｗｓｎｎｅｒａｉｇｈｎｔｅｎｎｉｅｒａｏｄｃｅｓ，ｔｅｈｏｌａｎｎ
ｎｎｉｅｒｎｕｔａｉｅｅｅｅａｉｎｏｌｎａｅｒｌｄｆｒｎｃｑｕｔｏｓ
ＣＨＥＮｎ— ｎＸｉｍｉｇ，ＳＵＮｈａ — ｏｇＺｏｈｎ
（ｅａｔｅｔｆｏｐｔｔｎｌｃｅｃｈｎｋｌＵｉｅｉｆｇｃｌｒｎｅｈｏｏｙＧａｇｈｕ５０２ＣｉａＤｐｒｎｍｕａｏａＳｉｅＺｏｇａｎｖｒｔｏｒｕｔｅａｄＴｃｎｌ，ｕｎｚｏ２５，ｈｎ）ｍｏＣｉｎｓｙＡｉｕｇ１
非线性中立型差分方程振动的充分条件
陈新明，昭洪孙
（恺农业技术学院计算科学系，东广州５０２）仲广１２５
摘要：出了在比较弱的条件下非线性中立型差分方程振动的几个充分条件．即若记（。：给Ｈ）Ｉ）Ｉｃ ‘ ， ≥ ＩＩ
ｎｕｒｌｉｅｅｃｑａｉｓ（－一）＋ｇ＾一）＝０ｎ≥ ｒｏｌｅｏｃｌｔｒ，ｈｒｅｔｆｒｎｅｅｕｔｎｘｐＩａｄｆｏＡ √（（）ｗｕｄｂｓｉａｏｙｗｅｅｍ，ｌ）ｗｓｏｔｕｕ，（）＝０ｎ ≠ ０ｈｅａｎｉｏｓｆｏｃｎ，ａｄｉｆ，ｔｎ
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一类非线性中立型时滞双曲微分方程系统的振动性

（ｆ，）∈ ｎ × ［＋。］ｔ＞ｔ，ｕｘｆ＞０ “ ， — ）０ｕｘ，Ｊｆ）＞０和ｕｔＡ（）＞０ｉ，。，。有（，），（ｔ＞，（ｇ（，）（，），一
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第３ｕ喜第Ｌ期２００２年２月
河南师范走晕学报（自然科学版）ＪｕｎｌｙＨ㈨ｔＮ￣ｎｌｔ？（ｔ＇ｃｅｏｒａｏｌｌｌｋｒ＇ａＵ，Ｎａｍａ５ｔ、ｌｅ
（）ｆＨ７（）∈ ｃ（阳，非减，［Ｒ）方程‘）中的积分是ｓｅｔｓ分．１ｔｌｅ积ｉｊ
定义问题（）ｔ）（）３１，２或１）的解 “ ，（，为在Ｇ内振动，对Ｖ卢＞０存在点（。ｔ）蒋若，，）∈ ｏ
“
Ｏ有，
（）６
＞，
０
）≥ 。
ｒｒ（）一Ａ毋。）ｄ一。ｑ｛［。，］）＋。，１｝（出
则问题（）（）Ｇ内所有解振动．１，２在证明
（７）
用反证法．ｕｘ，）是（）（）的一个非振动解，妨设 “ ＇，设（ｆ１，２不（ｆｒ）最终为ｉ，么存在ｔ＞０使Ｆ那＿ｏ，
．
，
（）ｓ）∈ Ｃ（Ｒ）＞ｏＨ５ｆ（ “ Ｒ，，，（），
ｏ／（，一）一ｆ（）且在Ｒ＋内／（）凸函数，１２ … ，＝，是＝，，
（）ｔＨ６ｐｃ）∈ Ｃ（Ｒ＋，，【）≤ ，Ｒ）￡Ｐ（）是不减函数且ｉ，ｌｐ（）＝＋。，一１２，，｛ｍ。， …

一阶非线性中立型微分方程的振动性定理

一阶非线性中立型微分方程的振动性定理摘要论证一类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。

关键词非线性中立型微分方程;振动;变系数;变偏差1引言泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展。

这一领域已有多本专著[1]和许多研究论文,例如本文比较关注的[2-3],等等。

本文考虑一阶非线性中立型微分方程:(1.1)其中在本文中,将给出这类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。

2基本定理定理1.在(1.1)中,假设最终不恒等于0,设(1)最终成立;或(2)τi(t)=τi>0,每个Pi(t)有界,存在一个τ>0,自然数ki(i=1,2,…,n)和t*≥t0,使得τi=kiτ,若x(t)是(1.1)的最终正解,且,(2.1)则有。

证明由(1.1)和(2.1)易得y’(t)≤0且最终不恒等于0。

下面证明y(t)>0。

假设y(t)最终为负,那么,存在一个充分大的T,对t≥T,有y(t)T使得t1-τi(t1)≥T,且当s∈[T,t1]时,有x(s)≤x(t1)-β。

特别地,β+max{x(t1-τi(t1)):i=1,2…,n}≤x(t1) (2.3)显然,(2.3)和(2.2)是矛盾的。

由(2)根据[4,引理1]的证明,我们可得x(t*+kτ)→—∞(k→+∞),这与x(t)最终为正相矛盾。

证毕。

3应用定理 2.在(1.1)中, 设(1)成立,且(3)存在的非空子集J和Nj>0,使得xfj(x)≥Njx2,x∈R,j∈J。

若微分不等式没有最终正解,则(1.1)所有的解都是振动的。

证明设(1.1)有一个最终正解x(t),由(2.1)和定理1,有,且,即。

在定理2的条件下,上述不等式没有最终正解,与y(t)>0相矛盾。

具有强迫项的一阶中立型非线性微分方程的振动性

Ｏ引言
考虑具有强迫项的一阶中立型非线性时滞微分方程：
动的判定准则．方程的解如果任意大的零点，称这个解则
是振动的，否则称为非振动．如果方程的一切解都振动，称该方程振动．则对于方程（）设（。１，Ｈ）Ｐ（）￡ ∈Ｃ（，）ＯＪＲ，＜
ＶＯ．１２ｌＮＯ．６
ＮＯＶ２Ｏ７Ｏ
文章编号：１７ —９Ｘ（０７０ —０７０６２６１２０）６００ —３
具有强迫项的一阶中立型非线性微分方程的振动性
邑健志
（安徽建筑工业学院数理系，徽合肥２０２）安３０２
Ｉ（）ｘｔ３／）ｚｚ￡ｘｔ一（一￣２／］＋（一／）２＋
ｘ（一）２一（￣／ｔ／ｅ２＋ｅ／２＋ｅ｛一１ｅｔ）
，
Ｉ ∑Ｑｓｓ＋× ．（ｄ一ｃ。）。，
‘ ０ｉ１一
则（）ｚ（）方程（）最终正解，当ｔ分ｉ若￡是１的则充
ｔ１
推广了无强迫项的中立型微分方程的情形，得了方程振动的充分性判定准则，中立型泛函微分方程的振动获为性研究提供了一个新的理论判据．关键词：中立型；动性；终正解；迫项振最强中图分类号：７０１５文献标识码：Ａ
ｏ（ ≥ ｔ）ｌｆ（）ｆｓＯ。￡ｏ，ｉＩ — ．ｍｅｄ

一类三阶非线性中立型微分方程的振动性

有，，．
２
引理２．４假设在【， ∞ ）上，ｚ（）＞。，ｚ）＞０，ｚ）＞。，ｚ（）。．则有蚤，ｆ．
引理２．５在（， ∞）上，假设ｆ）＞。，ｚ）＞０，ｚ，．ｒ（） ≤０，则。一）
一；（＞０．
Ｂａｃｕｌｆｋｏｖ丘，Ｄ￣ｕｒｉｎａ ¨ 研究了方程
【口（ｆ）（（（ｆ）＋ｐ（ｆ）ｘ（（ｆ））））】＋ｇ（ｆ）（ｆ））＝０，ｔｔｏ，的振动性，其中，，为两个正奇数的商．本文在文献［４］的基础上，研究方程（１．１）的振动性．所得结果改进和推广了文献［４］中的结果．
［口（ｆ）（６（ｆ）（（ｆ）＋ｐ（ｆ）（（ｆ））））】＋ｇ（ｆ）（（（ｆ）））＝０，ｔｔｏ
１
（１．１）
的振动性．在这里，首先记ｏ＝二．
假设方程（１．１）满足以下条件
的振动性，其中是两个正奇数的商．利用泰勒中值定理和函数的单调性，进一步完善和补充了已有的结果
关键词：非线性微分方程；中立型；振动性中图分类号：Ｏ１７５．１２文献标识码：Ａ
１引
言
本文考虑一类三阶非线性中立型微分方程的振动性．近年来，三阶非线性微分方程的振动性理论已经得到了许多学者的广泛关注和研究［１－１２］．本文研究三阶中立型微分方程

一类高阶非线性中立型微分方程的振动性

（Ｏ５６１００００）１１１０５１００３
作者简介：红叶（９５一）女，南桃江人，师，究方向为常微分方程及应用。吴１７，湖讲砌
・
２４・
惠州学院学报（自然科学版）
２１０１年第３卷１
引理３若ｙｔ是方程（）的非振动解，（）１则存在ｔ ≥ ｔ，ｔｔ时，。当 ≥ 有（）＞０ｚ（）＞０ｚ（）＞０ｔ，ｔ，ｔ，
＝
这里
ｔ１ｎｕＩ
）ｌ，
０２（一＝－１÷ 一￣
收稿日期：Ｏ１２— ０２ｌ —０３
基金项目：州学院自然科学基金项目（２ｏｏ１；点学科经费资助项目（２８００）；东省自然科学基金项目惠ｃ１．２９）重ｃｏ．２３广
（）２
由方程（）２及条件（知，（） ’ ｔ是区间［。＋∞）Ａ）ｒｔｚ。（）ｔ，上的不增函数且在任何区间上不恒为常数，而可推从知存在ｔ，ｔ ≥ ｔ时，（）‘ （）＞０或者ｒ￡ｚｔ２当２１ｒ￡ｚ￡（）‘ （）＜０即当ｔ ≥ ｔ时，。，２ｌｚ（）＞０或者（）＜０ｔ ‘ ｔ．
第３１卷第３期
２１０１年６月
惠州学院学报（自然科学版）
ＪＲ￣ＡＬＯＩＨＯＵＵＮＩＲＳＴＯＵＦＨＵＺＶＥＩＹ
Ｖｏ．．Ｎｏ３１３１．
Ｊｎ２１ｕ．０１

非线性中立型微分方程的振动准则

摘要：讨论一类二阶非线性中立型微分方程，通过引入参数函数，结合完全平方技术，给出了该类方程解振动的
０Ｕ贝．另准０
关
键
词：线性；中立型微分方程；振动非文献标识码：Ａ
中图分类号：０７．１５１
于是由（）２，我们有
（）＞０￡ｔ≥ ｔａ
由（）条件（，有１及Ｈ）ｒ（）（）－￡￡］一一Ｆ（，（１￡）ｘｇ（），… ，（￡）ａｔｘｇ（），（２￡）ｘｇ（））
≤ 一ｑ￡－（ｇ（），ｘ（（）（）ｚ（１￡）厂ｇ２￡），… ，ｘ（（））≤ ０ｇ￡）ｔｔ ≥ ａ
下面证明（）ｏ￡￡￡＞， ≥ １．
事实上，存在ｔｔ，得Ｙ（）０则当ｔｔ，￡ ≤ （ｚ ≤ ０若 ≥ 使￡ ≤ ， ≥ 时Ｙ（）￡）．再由ｑ￡不恒为零知，（）存在ｔ ≥ ｔ，使得Ｙ（。＜ｏ且有。￡），
的解的振动性．
ｔｔ＞０ ≥ ｏ
本文考虑如下更广泛的二阶非线性中立型微分方程［（）（）ｐｔｘｔｒ）］＋Ｆｔｘｇ（），ｘｇ（），… ，（￡））一０ａ￡（￡＋（）（ — ）（，（ｌ￡）（２￡）ｘｇ（）广了已有文献的部分结果．
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第１期
ｚ（）＞０￡
林丹玲：线性中立型微分方程的振动准则非

时标上一类非线性中立型微分方程的振动性

Value Engineering1研究背景自1988年Stefan Hilger 在他的博士论文中首次提出测度链上的微分方程理论以来，测度链上时滞动力方程的研究成为目前国际上关注的一个新课题，对其研究具有重要的理论价值和实际应用价值。

而对于许多情况，只需考虑测度链的一种特殊情形———时标，时标指的是实数R 的任意一个非空闭子集，以符号表示。

详细的有关时标的理论见文献[2,5,6]。

本文考虑时标上二阶非线性中立型微分方程(x(t)+n i =1∑p i (t)x(τi (t)))ΔΔ+mj =1∑q j (t)f j (x(r j (t)))=0,t ⩾t 0>0（1）的振动性，其中p i (t)，q j (t)∈C rd ([t 0，∞)，R +），0⩽τi （t）<t ，0⩽r j (t)<t,r j (t)非减，q j (t)不最终恒为零，f j (x)/x ⩾εj >0，i=1,2,…n ，j=1,2,…m,本文中记ε=min{εj }，r(t)=min{r j （t）}，z(t)=x(t)+ni =1∑p i(t)x(τi (t))。

2主要结果引理1设x(t)为(1)的非振动解，若x(t)最终为正(负)，则最终有z Δ(t)>0(z Δ(t)<0)。

证明假设x(t)为(1)的最终正解(最终负解同样可证)，即存在充分大的t 1⩾t 0>0，当t ⩾t 1时，x(t)>0,x(τi (t))>0，x(r i (t))>0，易知z(t)=x(t)+ni =1∑p i (t)x(τi (t))⩾0且z ΔΔ(t)=-m j =1∑q j (t)f j (x(r i (t)))⩽0（2）故知z Δ(t)单调递减，且z Δ(t)>0。

若不然，则z Δ(t)⩽0，因为q j (t)不最终恒为零，故z Δ(t)不最终恒为零，故存在t 2，当t ⩾t 2⩾t 1，有z Δ(t)⩽z Δ(t 2)（3）对(3)式从t 2到t 积分，有z(t)-z(t 2)⩽t t ∫z Δ(t 2)ΔS=z Δ(t 2)(t-t 2)，当t→∞时，得z(t)→-∞。

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摘要给出一类非线性变系数中立型微分方程在弱条件下振动的几个充分条件．关键词中立型微分方程；动；振充分条件
０１５７７．文献标识码Ａ文章编号１０－３９２１）４０１ — ３０８１９（０２０ —０９０
２（）＜０，￡
当ｔ分大时，方程（）的解（）Ｏ＜０，充若１＞（）则称之为最终正（）解；解ｚ￡负若（）既不最终为正，也不最终为负，则称之振动．方程（）的任一解都若１是振动的，则称方程（）振动．１设有常数ａ＞０记，
中图分类号
设非线性中立型微分方程为
（￡ｚ（）一Ｐ（）一ｒ）￡ｚ（）＋
的四个简便的充分条件．引理１若ｚ为方程（）的最终正（解，（）１负）且
（）１０＜（）≤ １，
Ｑ（）（￡￡－ｚ（一）厂）一０（ ≥ ｒ，￡）
证明只证明ｚ￡（）为方程（）的最终正解的１
情形．在此情形下，然成立显
２（＜ｏ，）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
算数学研究．ｍａｌ￣ｆ０６７１３ｔｍＥｉ２００＠６．ｏ：
２０
高等数学研究
２１０２年７月
并且存在ｔ ≥ ｒ当ｔｔ，（）＞ｏ假设， ≥ 时ｚ￡．
收稿日期：０００ — ５修改日期：０２０ — ４２１ — ６０；２１ — ５１
引理２若ｚ（）为（）的最终正（）解，１负（） ≥ １且条件（１，Ｃ）与条件（２成立，最终有Ｃ）则
（）＜０（Ｏ，￡＞）（）＜０（０．＞）
ｚ一（）一Ｐ（）（（）ｆ一ｒ，）
并存在ｔ ≥ ｒ当ｔｔ时，￡＞０假设， ≥ ｚ（）．
ｚ￡（）≤ ０，
由于Ｑ（）不最终为零，￡又（）＜０所以存在常￡，
数ｂ＞０与ｔｔ，ｔｔ， ≥ １当 ≥ 时（）＜一ｂ于是．
＋ｏ）ｏ，
这与ｚ（）为方程（）的最终正解矛盾．据反证法１根可知假设不成立，而有ｚ从（）＞０．
型微分方程（）文［］给出了几个充分条件，条１，６但件复杂不方便应用．本文将给出微分方程（）振动１
于是
ｚ（＋珩）＜一（ｆｎ＋１６＋ｘ（ — ｒ，）ｔ）
成立，则微分方程（）振动［；１如果
ｊｔｐ］。 ’Ｑｅ［胁ｚ。７（ｘｒ￣
成立，则微分方程（）动对非线性变系数中立１振引．
ｚ（＋珩）一一 ∞ （ｔ
作者简介：陈新明（９４，，南攸县人，士，教授，要从事１５一）男湖硕副主基础数学研究．Ｅｉ：ｈｉｍ＠１３ｃｒｍａｃｘｎｌ６．ｏｎ
杨逢建（９４）男，南醴陵人，士，授，要从事计１５－，湖硕教主
厂（ｚ）∈ Ｃ（，），（）一０嗯，Ｏ，
证明只证明ｚ（）为方程（）的最终正解的１
且当ｚ≠ ０时，有
ｘ）＞０ｆ（．
情形，为最终负解的情形类似可证．若ｚ为方程（）的最终正解，显然成立（）１则
（）＞ｏ，
Ｄ（）一Ｉｄ，Ｑ（）ｔ则有
则有
ｚ（）≥ ｐ（）ｔｒ￡ｔｘ（ — ）＞ｘ（ — ｒ，ｔ）
当（）一１时，￡如果条件（２Ｃ）成立，微分方则
程（）振动［；果１卜如
ｘ（＋ｒｔ）＜一ｂ＋ｚ（）＜一２＋ｘ（ — ｒ，ｂｔ）
… …
●
Ｊｒ
Ｉ￡￡ＪＱ（）ｓｔ。Ｑ（Ｉ）ｔｓｄｄ一。
第１５卷第４期
２１０２年７月
高等数学研究
ｓＴＵＤＩＥＳＮＩＣｏＬＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ．５Ｎｏ４１１，．Ｊ１ｕ．，２１０２
一
类非线性变系数中立型微分方程振动的充分条件
陈新明，杨逢建
（恺农业工程学院计算科学学院，东广州５０２）仲广１２５
其中Ｑ（）不最终为零，ｆ而
ｒ ∈ ＋，ｒ— ｍａｒ），ｘ｛，，
则最终有
２（）＜ｏ（Ｏ，＞）ｚ￡（）＞０（Ｏ．＜）
（）Ｑ（）∈ Ｃ（ｒ＋ｏ）Ｅ，ｃ），￡，［，ｏ，ｏ＋ｏ）
ｚ（）一ｘ（ — ｒ￡ｔ）≤ ｚ（）一ｐ（）ｔｒ￡ｔｘ（ — ）一
给定条件（１Ｉ（）ｉＣｌＣ）厂ｚ ≥ ｌ常数Ｃ０．（＞）
ｚ￡（）＜一ｂ，
（２ＩＱ（）一ｏ．ｃ）￡出ｏ
’
也即
ｚ（）＜一ｂ＋ｘ（ — ｒ￡ｔ），