二阶变系数线性微分方程的一些解法
微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解
微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解高阶变系数线性偏微分方程的求解方法之一是分离变量法。
我们以二阶变系数线性偏微分方程为例进行说明。
设二阶变系数线性偏微分方程为：\[ a(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} +2b(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y) \]其中，\(a(x,y)\)，\(b(x,y)\)，\(c(x,y)\)为已知函数，\(f(x,y)\)为已知的具有连续二阶偏导数的函数。
设\(u(x,y)\)是该方程的解，根据分离变量法的思想，我们假设可以通过分别定义两个函数\(X(x)\)和\(Y(y)\)来求解该方程，即：\(u(x,y)=X(x)Y(y)\)。
将\(u(x,y)=X(x)Y(y)\)代入原方程，得到\[ a(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial x^2}} +2b(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial y^2}} = f(x,y) \]将上式展开，得到\[a(x,y)X''(x)Y(y)+2b(x,y)X'(x)Y'(y)+c(x,y)X(x)Y''(y)=f(x,y) \]再将上式变形，得到\[ \frac{{a(x,y)X''(x)}}{{X(x)}} +2\frac{{b(x,y)X'(x)}}{{X(x)}}\frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\frac{{c(x,y)Y''(y)}}{{Y(y)}} = \frac{{f(x,y)}}{{X(x)Y(y)}} \]观察上式，可以发现等式左边的第一项和第三项只与\(x\)有关，而第二项只与\(y\)有关。
二阶变系数线性微分方程求解法探究
二阶变系数线性微分方程求解法探究
李雷民
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2015(000)017
【摘要】二阶线性齐次微分方程是微分理论的重要组成部分,在现代科技、工程等领域中都有广泛应用,这其中很多的应用情况都归属于二阶线性常微分方程的范畴中。
在微分理论中常系数微分方程可以利用线性常微分的理论求解,但变系数类型的求解则相对较难,至今都很难找到有效的求解方法。
本文以二阶边系数线性微分方程的求解意义作为出发点,对一般与特殊的二阶变系数线性微分方程的解法进行探讨,希望能为相关研究人员提供些许参考作用。
【总页数】1页(P99-99)
【作者】李雷民
【作者单位】河南化工职业学院,河南郑州450042
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法
2.高阶变系数线性微分方程的一种求解法
3.关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究
4.某类—阶变系数线性齐次微分方程组的求解法
5.二阶变系数线性微分方程的解法探讨
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变系数微分方程的概念
变系数微分方程的概念一、引言微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，它们在物理、化学、生物等领域都有广泛的应用。
而变系数微分方程是一类特殊的微分方程，它的系数随着自变量而变化。
本文将从基础概念、解法方法、应用等方面对变系数微分方程进行全面详细的介绍。
二、基础概念1. 变系数微分方程定义变系数微分方程是指微分方程中的系数不仅与未知函数有关，还与自变量有关。
2. 常见形式常见的变系数微分方程包括但不限于以下几种：（1）Bernoulli型变系数微分方程：$$ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n $$（2）Riccati型变系数微分方程：$$ \frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x) $$（3）Bessel型变系数微分方程：$$ x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0 $$其中，$p(x),q(x),r(x)$为$x$的函数，$n$为常数，$\alpha$为常数。
三、解法方法1. 变量可分离法对于形如$y'=f(x)g(y)$的变系数微分方程，可以利用变量可分离法求解。
具体步骤为：（1）将微分方程写成$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的形式。
（2）将方程两边同时除以$g(y)$，得到$\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)$。
（3）对上述等式两边同时积分，得到$\int\frac{1}{g(y)}dy=\intf(x)dx$。
（4）对上述等式进行积分即可得到最终解。
2. 线性微分方程法对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的二阶线性微分方程，可以利用线性微分方程法求解。
具体步骤为：（1）先求出一阶齐次线性微分方程的通解$y_1(x)$和$y_2(x)$。
（2）设特解为$y_p(x)$，代入原微分方程中求出特征值$\lambda$和特征向量$\boldsymbol{v}$。
二阶变系数线性微分方程的积分因子解法
二阶变系数线性微分方程的积分因子解法
张凤然;马金江
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2008(028)006
【摘要】通过寻求积分因子,求解某些类型的二阶变系数线性微分方程,给出通解公式.该方法也适于求解二阶常系数线性微分方程和二阶Euler方程.
【总页数】3页(P13-15)
【作者】张凤然;马金江
【作者单位】南通大学,理学院,江苏,南通,226007;南通大学,理学院,江苏,南
通,226007
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.二阶变系数线性微分方程的解法 [J], 王莉
2.一类二阶变系数线性微分方程的新解法 [J], 张道祥;李亭亭
3.一类二阶线性变系数微分方程解法的探讨 [J], 赵临龙
4.一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法 [J], 宁荣健;唐烁;朱士信
5.二阶变系数线性微分方程的解法探讨 [J], 郑华盛
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二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解【序言】在数学领域中，偏微分方程是一类重要的数学方程，它们在物理学、工程学、经济学等学科中具有广泛的应用。
其中，二阶偏微分方程是一类形式特殊的方程，它们具有一定的数学难度和挑战性。
在本文中，我们将探讨二阶偏微分方程的求解方法，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。
【概述】二阶偏微分方程是指具有二阶导数的偏微分方程。
通常表示为：(1) A(x, y)∂²u/∂x² + 2B(x, y)∂²u/∂x∂y + C(x, y)∂²u/∂y² + D(x,y)∂u/∂x + E(x, y)∂u/∂y + F(x, y)u = G(x, y)其中，u是未知函数，A(x, y), B(x, y), C(x, y), D(x, y), E(x, y), F(x, y)是已知的函数，G(x, y)是给定的函数。
解出u(x, y)是我们求解二阶偏微分方程的目标。
【求解方法】在求解二阶偏微分方程之前，我们先来了解一下常见的求解方法。
1. 特征值法特征值法是求解一类特殊形式的二阶偏微分方程的有效方法。
对于形如：(2) A∂²u/∂x² + 2B∂²u/∂x∂y + C∂²u/∂y² = 0的方程，我们可以通过求解其特征方程来求得解。
特征方程一般形式为：(3) Aλ² + 2Bλ + C = 0其中λ是未知参数。
通过求解特征方程所得到的特征根λ可以帮助我们确定对应的解形式。
具体的讨论和求解方法可以见附录一。
2. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解二阶偏微分方程的方法，它的基本思想是将未知函数表示为两个独立变量的乘积形式，然后分别对每个变量求解常微分方程。
具体步骤如下：(4) 假设u可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，即u的形式可以分离变量。
(5) 将假设的形式代入原方程，得到两个关于X和Y的常微分方程。
一类二阶变系数线性微分方程的新解法
~ ,方程(4)就变为伯努利方程,因而可 解。 即设 z ~ ( x ) 是方程(4)的一个特解,则做变换: ~ z
可将(4)化为:
dz ~ ( x ) p ( x )) z z 2 (2 dx
(5)
①作者简介:张道祥(1979,3—),男,汉,安徽天长人,博士,副教授,研究方向:微分方程理论及其应用。 李亭亭(1992,3—),女,汉,安徽人,本科,在读博士,研究方向:环论与同调代数。
New Method on Solving a kind of Second-order Linear Differential Equations With Variable Coefficients
Zhang Daoxiang Li Tingting
(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu Anhui, 241002, China) Abstract: The second order linear differential equation plays an important role in the theory of ordinary differential equations. There have several methods on solving second order linear differential equation with constant coefficients, such as eigenvalue method, comparative coefficient method, Laplace transform method. While it has no normal method to solve second order linear differential equation with variable coefficients. By using the variable substitution method, the general solutions of secondorder linear differential equations with variable coefficients are obtained. Moreover, two examples are given to illustrate the results. Key Words: Second-order linear differential equation with variable coefficients; General solution; Riccati Equation
二阶微分方程通解的求法
二阶微分方程通解的求法一、一阶微分方程一阶微分方程也称为线性微分方程，它是与时间有关的一类微分方程，它的求解比较简单，常用的求解方法有积分法、特征值法等。
1、积分法积分法是最常用的求解一阶微分方程的方法，即：根据给定条件，利用积分，求出关于时间的函数的变化规律。
设y=f (t) 是特定条件下的一阶微分方程：dy/dt=f (t)若f (t)可以积分，则有：∫f(t)dt=∫dy=y+C即：y=∫f(t)dt+C其中C是积分常数，它的值取决于初始条件。
2、特征值法特征值法是将一阶微分方程变换成矩阵形式的求解方法，即：将一阶微分方程的解表示为一个特征值和一个特征向量的线性组合。
特征值是一个根，特征向量是相应的自由向量。
设y=f (t) 是特定条件下的一阶微分方程：dy/dt=f (t)变换成向量形式：dY/dt=A×Y其中Y是一个n维向量，A是一个n × n的矩阵，A的特征值特征向量分别为λj, xj，Y的原函数解为：Y=c1x1+c2x2+…+cnxn其中ci=Y(0)xij二、二阶微分方程二阶微分方程是一类非线性微分方程，它的求解比较复杂，常用的求解方法有解析方法、特征值法等。
1、解析方法解析方法是用简单的数学工具从方程本身求出其解的方法。
设y=f (t) 是特定条件下的二阶微分方程：d2y/dt2=f (t)化简得：y″=f (t)设其通解为：y=c1sinωt+c2 cosωt将它带入二阶微分方程，两边同时积分，设积分常数为c，有：ω^2y=f(t)+c令ω^2=α，则：αy=f(t)+c解出y：y=∫f(t)/αdt+c2、特征值法特征值法也可以用来求解二阶微分方程。
设y=f (t) 是特定条件下的二阶微分方程：d2y/dt2=f (t)变换成向量形式：d2Y/dt2=A×Y其中Y是一个n维向量，A是一个n×n的矩阵，A的特征值和特征向量分别为λj, xj，Y的原函数解为：Y=c1x1exp(λ1t)+c2x2exp(λ2t)+…。
一类二阶变系数线性微分方程的解法
Ｖ ｛ ） １ ． ２ ９ ． Ｎｔ Ｊ ． ３
Ｊ ｕ ｎ ２ ０ｌ ３
一
类 二 阶变 系数 线 性 微 分 方 程 的解 法
王 丽 霞
（ 山 西 大 同 大 学数 学 与 计 算机 科 学 学 院 ， 山西大同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
摘 要： 研 究 了利 用常数 变 易法求一 类二 阶 变 系数线 性微 分方程通 解的解 法 ，给 出通解公 式
定 理 设 二 阶 变 系 数 齐 次线 性 微 分 方 程
将 Ｙ ，ｙ ，ｙ 代 人 （ ４ ） 得 （ ） ［ ｒ ｆ ＇ （ ） ｅ ㈨ ＋ ｒ ２ 厂 （ ） ｅ ｉ ） ］ ＋
［ ｋ （ Ⅳ ） ＋ ｐ（ ） ］ ｒ 厂 （ ） ｅ （ ＋ ｇ（ ） ｅ ∥（ ） ＝ ０ ，（ ５ ）
＝
ｒ 厂 ” （ ） ｅ ＋ ｆ ’ 吃 （ ） ｅ ，
其 中 Ｐ，ｑ是 常数 。当 ｆ １ ） 的 特征 方 程 ｒ ２ ＋ ｐ ｙ ＋ ｑ ＝ ０的 两 个 根 ｒ 为 两 个 相 等 的 实 根 ，即 ｒ 。 － ｒ ： ＝ ｒ时 ， （ １ ） 的 通 解 为 ＝ （ Ｃ ＋ Ｃ ２ ｘ ） ｅ ， 其 中（ １ ） 的两 个 特 解 分 别为ｙ ｌ － ｅ ， ｙ ｚ ＝ ｘ ｅ 。 对 于 一 类 二 阶 变 系数 齐 次 线 性 微 分 方 程 ［ 后 （ ） Ｙ ］ ＋ ｐ（ ） ＋ ｇ （ ） ｙ ＝ ０ ， （ ２ ） 其中ｋ （ ｘ ） ， Ｐ （ ） ， ｑ （ ） 是关 于 的函数 ， 利 用上 述结 果¨ ｌ 。 】 ， 通过 常 数变 易法 给 出了其 通解 的表 达式 。
ｒ
时， 其 中 （ ） ， Ｐ（ ） ， ｑ （ ） 是 关 于 的 函 数 ，则
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第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法
在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程
22dxyd＋p(x) dxdy＋q(x)y＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y１，作变量替换，令 y＝uy1 (9.2) 其中u＝u(x)为未知函数，求导数有
dxdy＝y1dxdu＋udxdy1
求二阶导数有22dxyd＝y122dxud＋2dxdudxdy1＋u212dxyd 代入(9.1)式得 y122dxud＋（2dxdy1＋p(x)y1）dxdu＋(212dxyd＋p(x) dx
dy1
＋q(x)y1)u＝0 (9.3) 这是一个关于u的二阶线性齐次方程，各项系数是x的已知函数，因为y1是(9.1)的解，所以其中
212dxyd＋p(x) dxdy1＋q(x)y1≡0 故(9.3)式化为 y122dxud＋(2dxdy1＋p(x)y1) dxdu＝0 再作变量替换，令dxdy＝z得 y1dxdz＋(2dxdy1＋p(x)y1)z＝0 分离变量 z1dz＝－[1y2＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z＝212yCe－∫p(x)dx 其中C2为任意常数
积分得u＝C2∫21y1e－∫p(x)dxdx＋C1代回原变量得(9.1)的通解 y＝y1［C１＋C2∫21y1e－∫p(x)dxdx］ 此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville)公式。 综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换y＝y1∫zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。 对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。
例1. 已知y１＝xxsin是方程22dxyd＋x2dxdy＋y＝0的一个解，试求方程的通解 解 作变换 y＝y1∫zdx
则有 dxdy＝y1z＋dxdy1∫zdx
22dxyd＝y1dxdz＋2dxdy1z＋212dxyd
∫zdx
代入原方程，并注意到y1是原方程的解，有 y1dxdz＋(2dxdy1＋dxdy1)z＝0
即 dxdz＝－２ctanx·z 积分得 z＝xsinC21 于是 y ＝y1∫zdx＝xxsin［∫xsinC21dx＋C2］ ＝xxsin (－C1ctanx＋C2) ＝x1 (C2sinx－C1cosx) 这就是原方程的通解。 §9.2 常数变易法
在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。对于二阶线性非齐次方程
22dxyd＋p(x) dxdy＋p(x)y＝f(x) (9.4) 其中p(x),q(x)，f(x)在某区间上连续，如果其对应的齐次方程
22dxyd＋p(x) dxdy＋q(x)y＝0 的通解 y＝C1y１＋C２y2已经求得。 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。 设非齐次方程(9.4)具有形式
~y＝u1y1＋u２y2 (9.5) 的特解，其中u1＝u1(x)，u2＝u(x)是两个待定函数，对~y求导数得 ~'y＝u1y′1＋u2y′2＋y1u′１＋y2u′2 由于用(9.5)代入(9.4)，可确定u1，u2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：y１u′１＋y2u′2＝0
这样 ~'y＝u1y′1＋u2y′2 "y~＝u′1y″1＋u′2y″2＋u1y′1＋u2y′2
代入方程(9.3)，并注意到y1，y2是齐次方程的解，整理得 u′１y′1＋u′２y′２＝f(x)
与补充条件联列得方程组)x(f'u'y'y'u'y0'uy'uy222112211 因为y1，y2线性无关，即
12yy≠常数，所以(12y
y)′＝211221y'yy'yy≠0
设w(x)＝y1y′2－y2y′1，则有w(x)≠0所以上述方程组有唯一解。 解得
)x(w)x(fy'yy'yy)x(fy'u)x(w)x(fy'yy'yy)x(fy'u11221122122121 积分并取其一个原函数得 u1＝－∫)x(w)x(fy2dx
u２＝∫)x(w)x(fy1dx 则所求特解为 ~y＝y1∫)x(w)x(fy2dx＋y2∫
)x(w)x(fy1dx
所求方程的通解 y＝Y＋~y＝C1y1＋C2y2＋y1∫)x(w)x(fy2dx＋y2∫)x(w)x(fy1dx
上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。
例1. 求方程22dxyd－x1dxdy＝x的通解 解 先求对应的齐次方程 22dxyd－x1dxdy＝0
的通解，由 22dxyd＝x1dxdy dxdy1·d(dxdy)＝x1dx 得 ln｜dxdy｜＝ln｜x｜＋ln｜C｜ 即 dxdy＝Cx得通解y＝C1x2＋C2 所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1。
为求非齐次方程的一个解~y将C1，C2换成待定函数u1，u2，且u1，u2满足下列方程
x'u0'xu20'u1'ux21212
解上述方程得 u′1＝21 u′2＝－21x2 积分并取其一原函数得 u1＝21x，u2＝－6x3 于是原方程的一个特解为 ~y＝u1·x2＋u2·1＝2x3－6x3＝3x3 从而原方程的通解为 y＝C1x2＋C2＋3x3 第十节 数学建模(二)——微分方程在几何、物理中的应用举例 一、镭的衰变 例1. 镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量。 解 用x表示该放射性物质在时刻t的现存物质，
则dtdx表示x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表示为
dtdx＝－kx
这是一个以x为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。其中k＞0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。方程右端的负号表示
当时间t增加时，质量x减少，即t＞0时，dtdx＜0。
解这个方程得通解 x＝Ce－kt 若已知当t＝t0时，x＝x0，即x｜0tt＝x0 代入方程可得 C＝x0e0kt 得特解 x＝x0e)tt(k0 它反映了某种放射性元素衰变的规律。 二、正交轨线 已知曲线族方程F(x,y,C)＝０，其中包含了一个参数C，当C固定时就得到一条曲线，当C改变就得整族曲线，称为单参数曲线族。例如y＝Cx2为一抛物线族。
图6-3 如果存在另一族曲线G(x,y,C)＝0，其每一条曲线都与曲线族F(x,y,C)＝0的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称G(x,y,C)＝0为F(x,y，C)＝0的正交轨线。 将曲线族方程F(x,y,C)＝0对x求导与F(x,y,C)＝0联列并消去常数C，得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率y′所满足的微分方程 f(x,y,y′)＝0 这就是曲线族F(x,y,C)＝0所满足的微分方程。 因为正交轨线过点(x,y)，且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正交轨线在点(x,y)处的斜率 k＝－'y1 于是可知曲线族F(x,y,C)＝0的正交轨线满足方程
f(x,y,－'y1)＝0 这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族(通解)，就是所要求的正交轨线。 例2 求抛物线族y＝Cx2的正交轨线。 解 对y＝Cx2关于x求导，得y′＝2Cx与原方程联列
Cx2'yCxy
2
消去C
图6-4 得微分方程 y′＝xy2
将－'y1代入y′得所求抛物线的正交轨线微分方程
－'y1＝xy2 即 ydy＝－2xdx 积分得 4x2＋2y2＝C2 即抛物线族 y＝Cx2的正交轨线是一个椭圆族，如图6-4。 三、追迹问题 例3. 开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正比行走；甲从乙的左侧O点出发，始终对准乙以nv0(n＞1)的速度追赶，求追迹曲线方程，并问乙行多远时，被甲追到。 图6-5 解 如图6-5建立坐标系，设所求追迹曲线方程为
y＝y(x) 经过时刻t，甲在追迹曲线上的点为p(x,y)，乙在点B(1,v0t)。于是有
tanθ＝y′＝x1ytv0 (10.1) 由题设，曲线的弧长OP为 ∫x02'y1dx＝nv0t 解出v0t代入(10.1)得