高阶变系数线性微分方程
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
高阶常系数线性微分方程【精选】
特征方程的根
微分方程通解中的对应项
单实根r
给出一项: Cerx
一对单虚数根r1,2 i 给出两项: e x (C1 cos x C2 sin x)
k重实根r
给出k项: ( C1 C2 x Ck xk1 ) er x
一对k重虚数根
r1,2 i
给出2k项:
e x[ ( C1 C2 x ( D1 D2 x
Ck xk1 )cos x Dk xk1 )sin x ]
15
例6 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程为 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
10
总之 y py qy 0， r 2 pr q 0
特征根情况
通解的表达式
实根r1 r2
y C1e r1x C2e r2 x
实根 r1 r2 r y (C1 C2 x)erx
复根r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
4
10-5 高阶常系数线性微分方程
定义 在n阶线性方程y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y f ( x)中,
如果未知函数y及其各阶导数y, y, , y(n)的系数全都是常数时,
则称该方程为常系数线性微分方程. 一般形式 : y(n) p1 y(n1) p2 y(n2) pn1 y pn y f ( x),
练习：设y e x (C1 sin x C2 cos x) (C1、C1为任意常数)
常微分方程论文_高阶变系数微分方程的求解
高阶变系数微分方程的求解探讨摘要：本文探讨了高阶变系数微分方程的求解方法，通过对系数的变化和一些巧妙方法的运用，使得变系数方程也能求得通解，补充了我们所学的空白之处。
关键词：常微分方程；通解；变系数方程；高阶方程； 前言：我们已经学习了二阶及高阶常微分方程的求解，其中包含了可降阶的微分方程求解，线性微分方程的通解结构和求通解的方法，不过在实际应用的时候，我们会发现大多数要求解通解的方程都是变系数的，这个带给我们新的思考，如何才能求解高阶变系数微分方程。
本文从二阶线性变系数微分方程说起，通过一定的变量代换将二阶变系数微分方程的通解求出，然后扩展到三阶，四阶以及更高阶的变系数微分方程求解，文章的最后还给出了一种在解题过程中的小窍门供各位参考一用。
一 二阶变系数线性微分方程的探讨首先，我们知道二阶非变系数齐次线性微分方程的基本形式形如012'''0a x a x a x ++=,所以我们可以将变系数的二阶线性微分方程的表达式先粗略地归类为012()''()'()0a t x a t x a t x ++=。
我们自然而然地会去想如何才能将()a t 这些变系数化为常系数，这样方程就能解出来了。
这里采用的方法的是变量代换的方法，将()a t 通过变量代换转化到x 中去，从而得到一个新的变量z 。
下面给出具体的代换方法：首先，我们给出这样的变换：()x z t ϕ=。
而我们之前想要的式子形式是012'''0a z a z a z ++=，所以我们将()x z t ϕ=代入原方程中。
得到00()''()(())''a t x a t z t ϕ=00()((())')'()('()'())'a t z t a t z t z t ϕϕϕ==+0()(''()2''()''())a t z t z t z t ϕϕϕ=++同理可得11()'()(())'a t x a t z t ϕ=1()('()'())a t z t zt ϕϕ=+22()()()a t x a t z t ϕ=分别关于/'/''z z z 进行整理可得00()()''''a t t z a z ϕ=011[2()'()()()]''a t t a t t z a z ϕϕ+=0122[()''()()'()()()]a t t a t t a t t z a z ϕϕϕ++=由上面三个式子左右两侧同时约去z 我们可以得出00()()a t t a ϕ=011[2()'()()()]a t t a t t a ϕϕ+=0122[()''()()'()()()]a t t a t t a t t a ϕϕϕ++=所以只要通过上述的变化，将变量换成z ，并得到三个系数，便可以将原来的那个方程化为我们所熟悉的线性非变系数微分方程012'''0a z a z a z ++=，然后通过这个式子解出来关于z 的通解，之后再讲x 代入式子中，便能得到关于x 的通解，至此问题就被解决了，而对于二阶变系数非齐次线性微分方程而言，只要先利用上述方法求出对应的齐次方程的通解，然后按照我们之前所学利用常数变易法得出方程的解即可。
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
高阶线性微分方程
"丿第51讲高阶线性微分方程一一线性方程解的结构
二阶齐次线性微分方程
y" + p(x)y' + q(x)y = 0
(*)
定理1若函数和y2(x)是二阶齐次线性方程(*)的两个解, 则它们的线
性组合y =。1无3) +。2光3 )也是该方程的解，其中 和C2是任意常
数.--叠加原理
(CM ++ P(Gyi + C2y^ + q(Ciyi + C2y-^
例1 (1)函数1, COs2的sin2%在整个实轴冊上是线性相关的函数.
(2)函数1, x, x2在任何区间QM)都是线性无关的.
＞两个函数在区间/上线性相关与线性无关的充要条件： %3)，，2(乂)线性相关 存在不全为0的k 1, k2,使
313) + *2,2 3)三 0
% 3) 短 ，亠
布三—稣(无妨设* 1葺)
1)+ …+ Qn_i(x)y' + Qn3)y = f(x) 二阶
线性微分方程
y〃 + p(x)y' + q(x)y = f(x)
— 「 、 「一阶线性方程y' + p(x)y = q(x)的通解为：
[p(X)dX -[p(X)dX
/
[p(X)dX y =
Ce， + q(X)e dX
ft
____
齐次方程通解丫 非齐次方程特解y *
=(。1无"+。2,2〃) + 0(Ciyi' +。2、2‘) + q(Cl、l +。2、2)
B=+ py/ + qyi) + py^ + q，2)= o
微分方程要点概要
4、 全微分方程（恰当方程 ）
M N M x, y dx N x, y dy 0, 其中 y x
必存在 F x, y 满足 dF x, y M x, y dx N x, y dy 可得解： F x, y c
或选折线 x0 , y0 x, y0 x, y 积分，得
x M x, y0 dx y N x, y dy c
0 0
x
y
若存在 x, y 使 (M )dx (N )dy 0 为全微分方程, 则称 ( x, y) 为积分因子。
由 M N , 得 y M M y x N N x y x
a1 x b1 y c1 dy 2、 f dx a2 x b2 y c2 a1 b1 若 , 令 u a2 x b2 y c2 a2 b2 a1x b1 y c1 0 a1 b1 若 , 先解 得唯一解 x0 , y0 a2 b2 a2 x b2 y c2 0 x X x0 dY Y 再令 , 原方程化为 g dX X y Y y0
(1) ( 2) y x k ex [ Rm ( x) cosx Rm ( x) sin x]
0 , 若 i 不是特征根； 其中k １ ， 若 i 是特征根．
R ( x) , R ( x) 为两ｍ次多项式， m maxl , n
(1) m ( 2) m
６、特殊代换
二、可降阶的高阶微分方程
一般 F x, y, y, y 0, 其中可求解形式为 y f x, y, y
1、 yn f x : 积分 n 次.
高阶微分方程的解法
描述经济系统的动态变化 分析经济政策的传导机制 预测经济周期和通货膨胀 研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分 方程可以用来描 述各种物理现象， 如振动、波动、 电磁场等。
工程：高阶微分 方程在许多工程 领域都有应用， 如机械、航空航 天、电子等。
经济：高阶微分 方程可以用来描 述经济系统的动 态变化，如预测 股票价格、分析 市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分 方程在生物学中 也有应用，如描 述生态系统中的 种群动态、分析 生物体内的生理 过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软 件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解 器，可根据不同的方程类型选择合 适的求解方法。
添加标题
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汇报人：XX
PART TWO
适用范围：常微 分方程中，当方 程中只有一个变 量时，可以考虑 使用分离变量法。
解题步骤：将方 程中的变量分离 到等号的两边， 然后对两边同时 积分，得到解的 表达式。
注意事项：在使 用分离变量法时， 需要注意初始条 件和边界条件， 以确保解的正确 性和完整性。
举例说明：例如， 对于一阶常微分 方程 dy/dx = y， 通过分离变量法 可以得到解为 y = Ce^x。
高阶变系数线性微分方程可解的充分条件
Ｐ１
—
３ ） （ ＋ ２
） ＋ Ｐ３＋
ｃ －
Ｃ２Ｃａ
鲁 （） ） 鲁 ＋ Ｐ 一 ）ｃ３ 。 ＋ ＋ 一
则方 程 （ ）可通过 变换 — 一 （。 Ｐ ） 转化 为 ５ ｃ 一
４பைடு நூலகம்
＋ ｆ ＋ ３
４ ｆ 一ｆ（ ） Ｐ （ ≠ Ｏ －ｌ ｘ ／ ４ Ｐ４ ）
Ｙ 一 ＋ “
（） １
１ ２， ） ， …
＋ （ ｕ ４ ） ４ （ ４ ５ ｕ ４ 。 ４ ［ ４ ３ 甜） － ４ ｕ － ６ ４ ／ ］ ３ － － ３ － ｕ － ） － 甜 － （ ４ ｕ ４ ｕ － Ａ ４
、 ”、 、 、 ｚ … ｚ 、 Ｙ线性 表示 ， 表示 规 律如 下 ：
．
（ ）在 Ａ ｊ ２ ）中： 一０（ 日 ＞ ） ＋） — ｆ Ｉ （ 一 １ ２ … ， ， 定 ｃ ； Ｊ 一ｆ ｌ ｆ ， ， ） 规 一１ 一ｏ ， ． （ ）由 ａ （ ３ ｉ 一１ ２ … ， Ｊ一 １ ２ … ， ） 成一 个 ｎ阶方 阵 Ｂ ｊ ， ， ； ，， ， 构 ｚ 一 （ ， 方阵关 于 副对 角线对 称． ｎ） 该
过 变 换 ＝ 一 （一 一 ＝ ＝ ｃ
ｚ一 ＋ ｆ （
） ． 化 为 ｙ转
＋… ＋ｆ ＋ｆ ２ １ — ｆ ｘ） Ｐ （ ／ （ Ｐ ≠ Ｏ （ ） 忌一 ０， ， ， ， １ 一 １ ２ … ， （ ０ １ ２ … ”一 ； ， ， ） １ ）
以 下陈 述 被 （ ｎ１ ｃ ＿ ）… 与常数 １ Ｐ 线性 表 出 的表 示 系数要 求 满足 的规 律 （ 一ｏ １ ２ … ， ｌｍ＝ｌ 志 ， ， ， — ； ，
系数 线 性 微 分 方 程 的 一 个 新 的 可 积 类 型 ， 后 给 出 了相 应 的 实例 ． 最
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y1v1 y2v2 0
③
ห้องสมุดไป่ตู้
于是 y y1 v1 y2 v2 y1v1 y2v2
将以上结果代入方程 ①:
y1, y2 是对应
齐次方程的解
y1v1 y2v2 (y1 P y1 Q y1 )v1
( y2 P y2 Q y2 )v2 f (x)
得
y1v1 y2v2 f (x)
④
因 y1, y2 线性无关, 故③, ④的系数行列
作代数运算后，得
D3 y 2D2 y 3Dy 3e2 ，t
即
d3 y dt3
2
d2 dt
y
2
3dd
y t
3e2 ，t
(1)
这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且
特征方程 3 22 3 0， 特征根 1 0， 2 1， 3 3 ,
方程 (1) 对应的齐方程的通解为
y C1 C2e t C3e3t。 由于 f (t ) 3e2 ，t 2， n 0，且 2 不是 特征根，故
只有一个必须满足的条件即方程①, 因此必需再附加 一 个条件, 方程③的引入是为了简化计算.
情形2. 仅知①的齐次方程的一个非零特解
y1(x).令 y u(x) y1(x) , 代入 ① 化简得
y1 u (2 y1 P y1)u ( y1 P y1 Q y1)u f 令 z u
y1 z (2y1 P y1 ) z f (一阶线性方程)
y* b0e2 t
为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得
( 8 b 8b 6b )e2 t e2，t
0
0
0
从而
b0
1， 2
y* 1 e2 t。 2
故原欧拉方程的通解为
y y y* C C e t C e3 t 1 e2 t
1
2
3
C1
C
2
1 x
C3
x
3
1 2
x2。
2
由观察可知它有特解: y1 x , 令 y xu( x), 代入非齐次方程后化简得
u u x (二阶常系数非齐次方程) 此题不需再作变换. 特征⑤根: r 0, r 1,
设⑤的特解
u x( Ax B)
为 代入⑤可 得: 于是得⑤的通 解: 故原方程通
A
1 2
,
B 1
u C1 C2ex (12x2 x)
高阶变系数线性微分方程
一、常数变异法 二、欧拉方程
一、常数变易法
复习: y p(x) y f (x)
y1(x) e p( x) d x
对应齐次方程的通解: y C y1(x)
常数变易法: 设非齐次方程的解为 y y1(x) u(x)
代入原方程确定 u(x).
对二阶非齐次方程
y P(x) y Q(x) y f (x)
设其通解为 z C2Z (x) z (x)
积分得
u C1 C2U (x) u (x)
由此得原方程①的通解:
y C1y1(x) C2U (x) y1(x) u (x) y1(x)
例1. 已知齐次方程 (x 1) y x y y 0 的通解为
Y C1x C2ex , 求(x 1) y x y y (x 1)2 的通解. 解: 将所给方程化为: y x y 1 y x 1 x 1 x 1 令 y xv 1( x) e xv2(x), 利用③, ④建立方程 xv1 exv2 0 组: v1 exv2 x 1 解得 v1 1, v2 x ex , 积分得
①
一、常数变易法
情形1. 已知对应齐次方程通解: y C1 y1(x) C2 y2 (x)
设①的解 为
y y1(x) v1(x) y2 (x) v2 (x) ② (v1(x),v2 (x)待定)
由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:
y y1v1 y2v2 y1 v1 y2 v2
为使 y中不含 v1,v2 , 令
Dk dk ( k 1, 2,) 。 d tk
Dk
y
dk dt
y
k
令 x et，则有
y d y d y d t 1 d y ， dx dtdx xdt
xy Dy
y d2 y 1 d2 y d y ， d x2 x2 dt2 dt
x2 y D(D 1) y
y d3 y 1 d3 y 3 d2 y 2 d y ， d x3 x3 d t3 d t2 d t
v1 C1 x, v2 C2 (x 1)e x
故所求通解为 y C1x C2ex (x2 x 1) C1x C2ex (x2 1)
例2. 求方程 x2 y ( x 2)( x y y) x4 的通解. 解: 对应齐次方程为 x2 y ( x 2)( x y y) 0
y xu C1x C2 x ex (21 x3 x2)
二、欧拉方程
形如
xn y( n) p xn1 y( n1) 1
p n1
xy
pn y
f (x)
的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中 pi ( i 1, 2,,n ) 为常数。
令 x et
关于变量 t 的常系数线性微分方程 。
引入算子记号：
式
W
y1 y1
y2 y2
0
于是得
v1
1 W
y2
f
,
v2
1 W
y1 f
积分得:
v1 C1 g1(x), v2 C2 g2 (x)
代入② 即得非齐次方程的通解:
y C1y1 C2 y2 y1g1(x) y2 g2 (x)
说明: 将①的解设为
y y1(x) v1(x) y2 (x) v2 (x)
由数学归纳法可以证明：
x3 y D(D 1)(D 2) y
xn y(n) D(D 1)(D 2)(D n 1) y 。
例1 求方程 x3 y x2 y 4xy 3x2 的通解.
解 这是三阶欧拉方程，令 x e，t 原方程化为
D(D 1)(D 2) y D(D 1) y 4Dy 3e2t，