1、变系数线性微分方程的求解
微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解
微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解高阶变系数线性偏微分方程的求解方法之一是分离变量法。
我们以二阶变系数线性偏微分方程为例进行说明。
设二阶变系数线性偏微分方程为：\[ a(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} +2b(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y) \]其中，\(a(x,y)\)，\(b(x,y)\)，\(c(x,y)\)为已知函数，\(f(x,y)\)为已知的具有连续二阶偏导数的函数。
设\(u(x,y)\)是该方程的解，根据分离变量法的思想，我们假设可以通过分别定义两个函数\(X(x)\)和\(Y(y)\)来求解该方程，即：\(u(x,y)=X(x)Y(y)\)。
将\(u(x,y)=X(x)Y(y)\)代入原方程，得到\[ a(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial x^2}} +2b(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial y^2}} = f(x,y) \]将上式展开，得到\[a(x,y)X''(x)Y(y)+2b(x,y)X'(x)Y'(y)+c(x,y)X(x)Y''(y)=f(x,y) \]再将上式变形，得到\[ \frac{{a(x,y)X''(x)}}{{X(x)}} +2\frac{{b(x,y)X'(x)}}{{X(x)}}\frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\frac{{c(x,y)Y''(y)}}{{Y(y)}} = \frac{{f(x,y)}}{{X(x)Y(y)}} \]观察上式，可以发现等式左边的第一项和第三项只与\(x\)有关，而第二项只与\(y\)有关。
变系数线性齐次微分方程
变系数线性齐次微分方程一、引言在微积分学中，微分方程是一类重要的数学工具，用于描述变量之间的关系以及变量随时间或其他自变量的变化规律。
其中，线性齐次微分方程是一种特殊的微分方程形式。
本文将讨论一类特殊的线性齐次微分方程，即变系数线性齐次微分方程。
二、定义与性质变系数线性齐次微分方程可以表示为如下形式：\[y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\]其中，\(p(x)\)和\(q(x)\)是关于自变量\(x\)的函数，\(y\)是因变量。
这里的齐次表示方程右侧为零。
相比于常系数齐次微分方程，变系数齐次微分方程的系数\(p(x)\)和\(q(x)\)是自变量\(x\)的函数，因此解的形式更复杂，解的求解方法也会发生变化。
三、解的求解方法对于变系数线性齐次微分方程，解的求解方法可以通过变量分离、变量代换等方式来求解。
具体的求解步骤如下：步骤1：将变系数线性齐次微分方程变形为标准形式，即将\(y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\)转化为\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0\]其中，\(P(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\)和\(Q(x) = \frac{q(x)}{q(x)}\)。
步骤2：采用变量代换的方法，令\(y = e^{\int{P(x)dx}}u(x)\)，将变系数线性齐次微分方程转化为\[u''(x) + [Q(x) - P'(x)]u(x) = 0\]。
步骤3：根据步骤2得到的微分方程来求解\(u(x)\)。
步骤4：将求解得到的\(u(x)\)和步骤2中的变量代换公式\(y =e^{\int{P(x)dx}}u(x)\)代入原方程，得到最终的解。
四、示例分析考虑变系数线性齐次微分方程\(y'' + 2xy' + x^2y = 0\)，我们来一步步求解该微分方程。
变系数微分方程的概念
变系数微分方程的概念一、引言微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，它们在物理、化学、生物等领域都有广泛的应用。
而变系数微分方程是一类特殊的微分方程，它的系数随着自变量而变化。
本文将从基础概念、解法方法、应用等方面对变系数微分方程进行全面详细的介绍。
二、基础概念1. 变系数微分方程定义变系数微分方程是指微分方程中的系数不仅与未知函数有关，还与自变量有关。
2. 常见形式常见的变系数微分方程包括但不限于以下几种：（1）Bernoulli型变系数微分方程：$$ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n $$（2）Riccati型变系数微分方程：$$ \frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x) $$（3）Bessel型变系数微分方程：$$ x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0 $$其中，$p(x),q(x),r(x)$为$x$的函数，$n$为常数，$\alpha$为常数。
三、解法方法1. 变量可分离法对于形如$y'=f(x)g(y)$的变系数微分方程，可以利用变量可分离法求解。
具体步骤为：（1）将微分方程写成$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的形式。
（2）将方程两边同时除以$g(y)$，得到$\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)$。
（3）对上述等式两边同时积分，得到$\int\frac{1}{g(y)}dy=\intf(x)dx$。
（4）对上述等式进行积分即可得到最终解。
2. 线性微分方程法对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的二阶线性微分方程，可以利用线性微分方程法求解。
具体步骤为：（1）先求出一阶齐次线性微分方程的通解$y_1(x)$和$y_2(x)$。
（2）设特解为$y_p(x)$，代入原微分方程中求出特征值$\lambda$和特征向量$\boldsymbol{v}$。
变系数线性微分方程的求解
变系数线性微分方程的求解[摘要] 本文针对变线性微分方程的求解进行集中讨论，通过变量代换或将其转化为常系数线性微分方程，或者把高阶方程化为较低阶的方程. 举例说明运用变动任意常数法、幂级数法求解变系数线性微分方程.[关键词]变系数线性微分方程欧拉方程变易常数幂级数通解中图分类号：j523 文献标识码：a 文章编号：1009-914x（2013）20-176-02微分方程是众多学科中表述基本规律与各种问题的主要工具之一，在数量上是建立变量之间的函数关系，或建立自变量、未知函数及其导数或微分之间的等式关系. 一般在高等数学教学中我们只讨论常系数线性微分方程的求解问题，然而变系数线性微分方程也是解决问题的常见模型，对于这类微分方程的求解方法主要有两类：对非齐次线性微分方程采用变动任意常数法；对某类型的变系数线性微分方程采用变量变换法，如通过变量代换或将其转化为常系数线性微分方程，或者把高阶方程化为较低阶的方程.在一定条件下用幂级数方法求解也是可行的.变系数线性微分方程的一种特殊情形是欧拉方程.它的特征是方程各项系数中的次数与导数的阶数恰好相等.它可以作自变量的替换，把欧拉方程化为原来的因变量关于新的自变量的常系数线性微分方程.特别，齐次的欧拉方程有形如的解，其中为待定的常数.以代入齐次欧拉方程得到关于的代数方程，当求得时便可得到齐次欧拉方程的通解.例1求解微分方程 .解法1 在该微分方程两边乘以得欧拉方程.令，则上述方程化为常系数线性方程 .容易求得齐次方程的通解为，其非齐次方程的一个通解为，则它的通解为 .于是原微分方程的通解为.解法2 令，其中为待定的常数，把它代入原方程的齐次方程得，，则得原方程的齐次方程的通解为，于是原方程的通解为.解法3①原方程的齐次方程经分离变量有，两边积分得，再积分得该齐次方程的通解为 .或由积分得该齐次方程的通解.于是原方程的通解为.一、变动任意常数法考虑二阶变系数线性非齐次微分方程，其中在区间内连续.设其对应的齐次方程的两个线性无关解已经求得，则该齐次方程的通解为 .令原非齐次方程具有形如的解，其中与是两个待定的函数.把它们代入原非齐次方程可得关于与的代数方程组它的系数行列式比不为零，由此解得与后积分，取其一组与即得非齐次方程的一个特解，从而根据解的结构可得原非齐次方程的通解.例2求微分方程的通解.解易求得对应的齐次方程的通解为，令原非齐次方程的解为，则有由此解得 .积分后取，于是原非齐次方程有一特解 .则原非齐次方程的通解为.二、幂级数法二阶变系数线性非齐次微分方程，其中都可以展开成在内收敛的的幂级数，则该线性微分方程存在内收敛的幂级数解.先假设次微分方程有幂级数解 .因幂级数在其收敛域内可逐项求导，故把此幂级数及其各阶导数代入原微分方程得一幂级数的恒等式，比较各次幂的系数，可取的待定的系数 .在形式地得到幂级数的解后，再研究它的收敛性.在收敛区间上求得的这个幂级数不仅在形式上满足该微分方程，而且它的和就是所求的解.有可能用上述待定系数法无法取的幂级数解的系数，也可能形式上得到的幂级数解释发散的.例3求解线性微分方程 .解法一设该非齐次方程的幂级数解为 .把它及其导数代入原非齐次方程，则有，，， . 即有，，，，…，，，…于是，原非齐次微分方程的通解为，其中，与是任意常数，由幂级数的收敛性判别法知它们后面两个幂级数在内收敛.解法二设对应齐次方程的幂级数解为 .把它及其导数代入原非齐次方程②，则的各次幂系数，即得，，，，…，，，…于是，原非齐次微分方程的通解为.其中，与是任意常数，它们后面两个幂级数在内收敛.显然，原非齐次方程有一个特解，因此原非齐次方程的通解为.参考文献：[1] 大学生数学竞赛试题解析选编. [m].机械工业出版社，2011，62-67.[2] 高等数学专题梳理与解读 [m].同济大学出版社，2009，546-558.注释：①高等数学专题梳理与解读 [m].同济大学出版社，2009，547.②高等数学专题梳理与解读 [m].同济大学出版社，2009，553.。
各类变系数微分方程的解法
各类变系数微分方程的解法在数学中，微分方程是一类重要的方程，用于描述某一未知函数与它的导数之间的关系。
变系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在方程中是变量，随着自变量的变化而变化。
本文将介绍几种常见的变系数微分方程的解法。
1. 变量可分离的变系数微分方程的解法变量可分离的变系数微分方程是指方程中的未知函数和自变量可以分开计算导数的方程。
其解法步骤如下：1. 将方程化为标准形式，即将未知函数和自变量分开；2. 对方程两边分别积分，得到两个方程；3. 求解得到的两个方程。
2. 全微分的变系数微分方程的解法全微分的变系数微分方程是指方程可以表示为一个函数的全微分形式的方程。
其解法步骤如下：1. 将方程化为全微分形式，即将方程两边进行整理得到全微分的形式；2. 求解全微分得到的方程。
3. 齐次的变系数微分方程的解法齐次的变系数微分方程是指方程中的函数和其各阶导数的次数相同。
其解法步骤如下：1. 将方程化为齐次形式，即将方程两边进行整理得到齐次的形式；2. 进行变量代换，令齐次形式中的未知函数为新的变量；3. 求解代换后的方程。
4. 可降阶的常系数线性微分方程的解法可降阶的常系数线性微分方程是指方程中的未知函数的导数可通过多次积分得到的方程。
其解法步骤如下：1. 通过多次积分，将方程中的未知函数的导数降阶，得到最低阶数的方程；2. 求解降阶后的方程。
需要注意的是，不同类型的变系数微分方程可能需要不同的解法。
以上仅是几种常见的解法，实际问题中可能还有其他解法。
希望本文对变系数微分方程的解法有所帮助。
参考文献：1. 张全董，高等微积分学教程，北京：高等教育出版社，2005.2. 侯世和，数学分析，北京：高等教育出版社，2004.。
常微分方程的变系数线性齐次方程
常微分方程的变系数线性齐次方程常微分方程在数学和理工科学中都具有重要的地位，它们是描述系统动力学和其他物理现象的基本工具。
其中，变系数线性齐次方程（Variable Coefficient Linear Homogeneous Equations, VCLHEs）是常微分方程中的一类重要工具，涉及到许多实际问题的分析和求解。
在本文中，我将介绍VCLHEs的基本概念、解法和应用，并对其在科学研究和工程应用中的重要性进行探讨。
一、VCLHEs的基本概念VCLHEs是指一类常微分方程，其系数是时间的函数，形如：$$y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=0$$其中，$y(t)$为未知函数，$p(t)$和$q(t)$为已知函数，且$p(t)$和$q(t)$在一定条件下具有较好的性质。
VCLHEs可以看作是ODE（Ordinary Differential Equations，常微分方程）的一类，但与常微分方程的其他类型相比，其变系数的性质使得其解法更为复杂和多样化。
因此，对VCLHEs的理解和研究对于解决涉及到VCLHEs的实际问题有着重要的意义。
二、VCLHEs的解法根据VCLHEs的定义，我们可以将其转化为常微分方程组，得到：$$\begin{cases} y_1'(t)=y_2(t)\\ y_2'(t)=-q(t)y_1(t)-p(t)y_2(t)\\\end{cases}$$其中，$y_1(t)=y(t)$，$y_2(t)=y'(t)$。
我们可以使用矩阵的方法求解该方程组，也可以使用其他的解法，比如微分方程的变分法和之前介绍过的Laplace变换法。
对于一些特殊的VCLHEs，我们也可以使用一些特定的技巧和公式求解。
比如，对于形如$y''(t)+\omega^2(t)y(t)=0$的方程，我们可以使用复数方法求解，得到：$$y(t)=C_1\cos\Theta(t)+C_2\sin\Theta(t)$$其中，$\Theta(t)=\int \omega(t)dt$，$C_1$和$C_2$为待定系数。
一类变系数微分方程通解公式的求法
一类变系数微分方程通解公式的求法一类变系数微分方程通解公式的求法是一个重要的数学问题，它在应用数学和物理学中具有广泛的应用。
这类微分方程的特点是方程中的系数是随着自变量的变化而变化的。
为了解决这类微分方程，我们可以使用一种叫做常数变易法的方法。
常数变易法的基本思想是假设微分方程的解可以表示为一个未知函数乘以一个待定的常数，然后通过对常数的求导来消去未知函数，从而得到一个只含有常数的代数方程。
最后，通过求解这个代数方程来确定常数的值，从而得到微分方程的通解。
具体而言，假设我们要求解的微分方程为：[y'' + p(x)y' + q(x)y = 0]其中，(p(x))和(q(x))是给定的函数。
我们将解设为：[y(x) = u(x) cdot v(x)]其中，(u(x))是未知函数，(v(x))是待定的常数。
将这个解代入微分方程中，我们可以得到：[u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + p(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = 0]我们再对上式两边关于(x)求导数，可以得到：[u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + p(x)u'(x)v(x) + p'(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = 0]将上述两个式子相减，可以消去(u''(x)v(x))和(u'(x)v(x))两项，得到：[2u'(x)v'(x) + p'(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) = 0] 将上式整理，可以得到：[u'(x)v'(x) = -frac{p'(x)}{2}u(x)v(x)]我们可以看出，上式左边只含有(u'(x))和(v'(x))，而右边只含有(u(x))和(v(x))。
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
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本科毕业论文题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院专业：信息与计算科学班级：信计081姓名：张倩学号：2008121191指导教师：庞常词完成日期：2012年6月1日目录摘要.ⅡABSTRACT (Ⅲ)1前言1.1微分方程的发展和应用 (1)1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2)1.3本文的研究内容及意义 (2)2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系2.1基本概念 (3)2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3)2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5)3 微分方程的恰当方程解法3.1恰当方程的概念 (8)3.2恰当微分方程解法 (10)4 微分方程的积分因子解法4.1积分因子的概念 (14)4.2积分因子解法 (14)5二阶变系数微分方程可积的条件结论 (22)谢辞 (23)参考文献 (24)摘要微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。
在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。
如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。
本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。
关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子S olve For Varied Coefficient Second OrderLiner Differential EquationABSTRACTSecond order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard.If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition.This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation.Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation1前言1.1 微分方程的发展和应用数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。
但是在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易的建立这些变量和它们的导数间的关系式。
这种联系着自变量、未知函数及它的倒数的关系式，数学上称为微分方程。
微分方程是研究自变量、未知函数及它的导数之间的关系的数学科学。
它是伴随着微积分的产生和发展而形成的一门历史悠久的学科，至今已有300多年的历史了。
微分方程来源于生产实践，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动的解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学方法。
牛顿在研究天体力学和经典力学的时候，利用了微分方程这个工具，证实了地球绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。
此后，法国天文学家勒维烈利用微分方程计算出海王星的位置，这些都是表面微分方程在自然科学领域和社会科学领域有着广泛的应用。
在常微分方程发展的初期，人们主要是针对各种实际问题列出方程，用积分得方法求其准确的解析表达式，也就是初等积分法。
这种方法一直沿用到十九世纪中期，直到法国数学家刘维尔与1841年在他的一篇论文中提到大多数常微分方程不能用初等积分法求解，由此促使人们放弃这种方法。
从此常微分方程进入了基础定理和新型方法的研究阶段。
随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。
此外，微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，他们往往互相联系，互相促进，例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具，对微分方程的发展产生了深刻的影响。
反过来，微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。
1.2 二级变系数线性常微分方程的重要性常微分方程作为其他自然科学和偏微分方程的基础，一直以来受到很多学者们的重视，很多专家发表相关著作和论文，从而使微分方程的理论发展的了比较完善的程度。
众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍方法，但是幂级数解法计算了大，而且不能得到解析解，不便于理论上的分析。
因此，变系数二阶线性微分方程的求解在微分方程理论中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。
1.3 本文的研究内容及意义变系数二阶线性微分方程的求解基本理论已发展到了一定程度，很多学者也提出了很多不同的特殊方法解决一些具体某种特点的变系数方程，特别是在利用积分因子及恰当方程的方法领域取得了显著成就。
但是大家对于如何判断方程是否可积及如何确定积分因子和恰当方程仍然存在疑惑，感觉无从下手。
论文正是在这种情况下通过对有关变系数二阶微分方程的教材和文献的研究，总结了前人的成果，从本质上阐述了确定积分因子和恰当方程的思想和方法，同时给出了判断方程是否可积的条件。
通过积分一种法和恰当方程法，进一步从整体上阐述了变系数二阶线性微分方程的基本思想和步骤。
2 二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系2.1 基本概念如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种方程为常微分方程。
若()p x 、()q x 为连续非常数的函数，方程''()'()()y p x y q x y f x ++=则称为二阶变系数线性微分方程。
其中()p x 、()q x 及()f x 都是某区间上的连续函数。
如果()f x 恒等于零，那么该方程称为二阶变系数齐次线性微分方程；如果()f x 非恒等于零，那么该方程称为二阶变系数非齐次线性微分方程。
我们把含有2个独立的任意常数12,c c 的解 12(,,)y x c c ϕ=称为二阶方程22'(,,,,)'dx d x d x F x y dy d y d y的通解。
为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须的条件这就是所谓的定解条件，常见的定解的条件是初值条件和边值条件。
所谓二阶微分方程的初值条件通常是指以下两个条件：当0x x =时，00,dy y y y dx==这里001,,x y y 是给定的3个常数。
2.2 二阶变系数线性微分方程的求解定理已知 变系数二阶常微分方程''()'()()y a x y b x y f x ++=，在相对应Riccati 方程2'()()z z a x z b x =-+可知一个特解的情况下，给出了方程''()'()()y a x y b x y f x ++= (2.1)求解的积分公式。
引理1 设(),()a x b x 及()f x 是连续函数，且()z x 是Riccati 方程2'()()z z a x z b x =-+ 的一个特解，则方程(2.1)的通解积分公式为()(2()())(()())12((()))f x dx b x a x dx a x z x dx y e e f x e dx c dx c ---⎰⎰⎰=++⎰⎰ 。
引理 2 设(),()a x b x 及()f x 是连续函数，且211()'()()24b x a x a xc --≡（常数），则方程(2.1)的通解可求出。
定理 2.1 若211()'()()24b x a x a x c --≡（常数），则方程(2.1)相对应的Riccati 方程的特解是：（i ）当 0c = 时， 11()2z a x x =-； （ii ）当0c >时，1()tan 2z a x =+ ；（iii ）当0c <时，1()2z a x =+ 。
推论2.1.1 设(),()a x b x 及()f x 是连续函数，且211()'()()24b x a x a xc --≡（常数），则方程（2.1）对应其次方程 (''()'()0y a x y b x y ++=的通解是：（i ）当0c =时， 1()221()a x dx y e c x c -⎰=- ； （ii ）当0c >时，1()22cos )a x dx y e c -⎰=+ ； （iii ）二阶变系数线性微分方程(2.1)(()0)p x ≠能化为常系数线性微分方程的充要条件是：224()2'()4p q x p x k l -+=-（,k l 为常数）。