变系数线性常微分方程的求解

变系数线性常微分方程的求解张慧敏，数学计算机科学学院摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。

幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。

关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法Solving linear ordinary differential equations with variablecoefficientsHuimin Zhang , School of Mathematics and Computer ScienceAbstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation.Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.前言随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。

此外，微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，他们往往互相联系，互相促进，例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具，对微分方程的发展产生了深刻的影响。

反过来，微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。

众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍方法。

因此，变系数二阶线性微分方程的求解在微分方程理论之中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。

第一部分 二阶线性微分方程的解法探究一、幂级数解法⑴一般微分方程的幂级数解法二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题可归结为寻求它的一个非零解。

由于方程的系数是自变量的函数，我们不能用之前的代数方法去求解。

但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。

因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解，下面先以两个例子来探讨一下。

例1.1.1 求方程04'2''=--y xy y 的满足初值条件0)0(=y 及1)0('=y 的解。

【2】解 设+++++=n n x a x a x a a y 2210 为方程的解。

首先，利用初值条件，可以得到1,010==a a ，因而 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=nn x a x a x a x y 3322⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-1232321'n n x na x a x a y⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+⋅+=-232)1(232''n n xa n n x a a y将'',',y y y 的表达式代入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅===-,12,,0,1,02432n n a n a a a a 因而⋅⋅⋅======,!41,0,!3161,0,!2198765a a a a a最后得 ,0,!1)!1(11212==-⋅=+k k a k k k a 对一切正整数k 成立。

将),2,1,0(⋅⋅⋅=i a i 的值代回（1.1）就得到⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+!!21253k x x x x y k ,)!!21(2242x k xe k x x x x =⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++= (1.1)这就是方程的满足所给初值条件的解。

在上例中方程显然满足定理的条件，系数x 2-和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。

但有些方程却未必，例如n 阶贝塞尔方程()022222=-++y n x dxdy x dx y d x 这里n 为非负常数,不一定是正整数。

在此()().1,122xn x q x x p -==⑵n 阶贝塞尔方程例1.1.2 求解n 阶贝塞尔方程（1.2）。

【2】解 将方程改写成,0122222=-++y x n x dx dy x dx y d 易见，()(),,1222n x x q x x xp -==按x 展成的幂级数收敛区间为,+∞<<∞-x 从而方程有形如∑∞=+=0k k k x a y α的解，这里，00≠a 而k a 和α是待定常数。

将（1.3）代入（1.2）中，得()()()()，0102211122=-+++-++∑∑∑∞=+∞=-+∞=-+k kk k k k k kxa nx xa k x xa k k xkαααααα把x 同次幂项归在一起，上式变为()()()[].010202=+-++-++∑∑∞=+++∞=k k k kk k x a xa n k k k ααααα令各项的系数等于零，得一系列的代数方程[]()[]()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-+=-+=-- ,3,2,0,01,0222221220k a n k a n a n a k k ααα因为,00≠a 故从（1.4）的第一个方程解得α的两个值n =α和.n -=α 先考虑n =α时方程（1.2）的一个特解。

这时我们总可以从（1.4）中逐个地确定所有的系数.k a 把n =α代入（1.4），得到()⋅⋅⋅=+-==-,3,2,2,021k k n k a a a k k或按下标为奇数或偶数，我们分别有(1.2)(1.3)(1.4)()()()⋅⋅⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+++-=--+,2,1,222122122221212k k n k a a k n k a a k k k k从而求得()()()()()()()(),321!321,21!221,112,2,1,0603602422124+++⋅-=++⋅-=+⋅-=⋅⋅⋅==-n n n a a n n a a n a a k a k 一般地()()()()⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++⋅-=,2,1,21!21202k k n n n k a a k kk将各k a 代入（1.3）得到方程（1.2）的一个解()()()().21!21212001n k k k k nx k n n n k a xa y +∞=∑+⋅⋅⋅++⋅-+=既然是求（1.2）的特解，我们不妨令(),1210+Γ=n a n而（1.5）变为()()()().211!1201nk k k x n n k n k y +∞=∑⎪⎭⎫⎝⎛+Γ+⋅⋅⋅+-=注意到Γ函数的性质，即有()()(),21!1201x J x k n k y n n k k k≡⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=+∞=∑ ()x J n 是由贝塞尔方程（1.2）定义的特殊函数，称为n 阶贝塞尔函数。

因此，对于n 阶贝塞尔方程，它总有一个特解()x J n 。

为了求得另一个与()x J n 线性无关的特解，我们自然想到，求n -=α时方程（1.2）的形如∑∞=+-=02k k n k x a y的解，我们注意到只要n 不为非负整数，像以上对于n =α时的求解过程一样，我们总可以求得(1.5)()()()()⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅+-+-⋅-=⋅⋅⋅==-,2,1,21!21,2,1,020212k k n n n k a a k a k kk k使之满足（1.4）中的一系列方程，因而()()()()∑∞=--+-⋅⋅⋅+-+-⋅-+=12200221!21k n k k k nx k n n n k a xa y是（1.2）的一个特解。

此时，若令(),1210+-Γ=-n a n则（1.6）变为()()(),21!1202x J x k n k y n nk k k--∞=≡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-Γ-=∑()x J n -称为n -阶贝塞尔函数。

利用达朗贝尔判别法不难验证级数（1.5）和（1.6）对于任何x 值（在（1.6）中0≠x ）都是收敛的，因此，当n 不为非负整数时，()x J n 和()x J n -都是方程（1.2）的解，而且是线性无关的，因为它们可展开为x 的不同次幂的级数，从而它们的比不可能是常数。

于是方程（1.2）的通解可写为()(),21x J c x J c y n n -+=这里21,c c 是任意常数。

⑶其它类型的特殊函数解法【1】幂级数在特殊函数的解法上也有很多的应用，比如勒让德方程的求解. 我们在这里着重讨论勒让德方程的求解，通过此方程的求解展现特殊函数法的特点。

勒让德方程的求解在0=x 的领域求解l 阶勒让德方程()()0121222=++--y l l dxdyx dx y d x 解 令∑∞==0k k k x a y ，则()()kk k k k k x ka x xy xka x y ∑∑∞=∞=-==111','()()()()()()∑∑∑∞=∞=+∞=--=++=-=222221'',211''k k k k kk k k k x a k k x y x x a k k xa k k x y(1.6)代入勒让德方程，并比较k x 的系数，()()()()[].121212⋅⋅⋅+++---+++k k k k k k x a l l x ka a k k a k k因为x 为0的领域内的任意点，上式恒成立，则k x 的系数恒为0， 得展开系数的递推公式：()()()()k k a k k l k l k a 1212++++-=+ 特别地， ()()()1302!321,!21a l l a a l l a +-=+-=若给定0a 和1a （初始条件），则利用递推公式，则可得各阶系数：()()()()kk a k k l k l k a 1212++++-=+因此方程的通解为：()()()x y a x y a x a a x a a x a a a x a x a a x a x y n n k k k 11002024020202210041+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++==∑∞=其中，()()121012112020,1+∞=+∞=∑∑+=+=k k k k k k x a a x x y x a ax y收敛半径为()()()()1112limlim2=++-++==∞→+∞→l k l k k k a a R k k kk . 收敛区域为1<z .这样我们就初步了解了二阶线性微分方程的幂级数解法。