最新二阶变系数线性微分方程的一些解法
二阶微分方程求解方法总结
二阶微分方程求解方法总结
嘿，朋友们！今天咱来唠唠二阶微分方程求解方法。
这玩意儿啊，就像是一道有点难啃的骨头，但别怕，咱慢慢嚼。
你想想看，这二阶微分方程就像是个调皮的小怪兽，你得找到合适的办法来降住它。
那怎么降呢？
一种常见的办法就是特征方程法，这就好比是找到小怪兽的弱点。
通过解这个特征方程，咱就能得到一些关键的信息，然后顺藤摸瓜把解给找出来。
比如说，特征根是实数，那这解就有了大致的模样；要是特征根是复数呢，也别慌，咱照样有办法对付它。
还有一种方法叫常数变易法，这就好像是跟小怪兽斗智斗勇。
咱先假设一个大概的解，然后根据具体情况去调整、去变化，让这个解越来越接近正确答案。
这过程就像是在黑暗中摸索，一点点找到光明。
有时候，咱还得结合一些其他的知识和技巧，这就像是给降伏小怪兽加上了各种法宝。
比如和一些函数的性质结合起来，或者利用一些特殊的定理。
咱再打个比方，求解二阶微分方程就像是搭积木，每一块积木都有它的位置和作用。
你得小心翼翼地把它们放好，才能搭出漂亮的城堡。
这过程中可能会遇到一些难题，比如积木放不上去啦，或者位置不对啦，但咱不能气馁，得耐心调整。
那有人可能会问了，这二阶微分方程求解方法难不难呢？当然难啦！但咱不能因为难就退缩呀，是不是？就像爬山一样，虽然累，但爬到山顶看到的风景那可太美啦！
总之，面对二阶微分方程，咱得有勇气，有耐心，还得有智慧。
别怕犯错，错了咱就改，就当是积累经验。
相信自己，一定能把这个小怪兽给收服！这就是我对二阶微分方程求解方法的一点小总结，希望能对大家有帮助呀！。
二阶变系数齐次微分方程通解的求法
假设 2 （ * %） &" ( （ + %） & (（ , %）5 $ ， ， 即 " %& . " （ % ( !） & ( ( 5 $， （ & . "） （ &% . " ）5 $ 6 因为 & 为常数， 所以 & # " ， 由此得方程的一个特解 !! # #"% ，
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参考文献
+ 张清芳， 库在强0 用观察法求某些二阶系数齐次方程的通解 ［ ,］ ， 高等数学研究， "’’- ， . （&） ： /0 —/. ［!］
-----------------------------------------（ 上接第 !. 页） + 所以原方程组的通解为： " & 2 0 & $ ! $ &20 $ " - 2 0 $ " "20 (!! ("! (&! (!! ("! (&! 1 %（ !! !" ） # ’ # ’ ’ % ! ’ (!" ("" (&" (!" ("" (&" ’ % 2 0 ’ ! -20 ’ ’ ’ ’ ! " % & ("! $ ("" & 2 0 % & (&! $ (&" $ & 2 0 % & (!! $ (!" " 2 0 $ - (!! % " (!" $ " $ - ("! % " ("" - 2 0 $ -& (&! % " (&" (!! ("! (&! - 2 0 % (!" ("" % 2 0 % (&" (!" ("" (&"
二阶线性微分方程及其解法
n 阶微分方程的一般形式为：F(x,y, y',y",L ,y(n)) 0，一般情况下，求n阶微分方程的解是困难的.作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.一、二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程y'' F(x,y,y')的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为y'' p(x)y' q(x)y f (x). ()如果f (x) 0 ，则方程()成为y'' p(x)y' q(x)y 0. ()方程()称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程()称为二阶非齐次线性微分方程.定理齐次线性微分方程解的叠加性定理•设y1和y2是二阶齐次线性微分方程()的两个解，则y c1y1 c2 y2也是微分方程()的解，其中c1,c2为任意常数•证：将y qy i C2『2代入方程()的左端，可得(c1y1 c2y2)'' p(x)(c1y1 c2y2)' q(x)(c1y1 c2y2)(C1y1'' C2y2'') p(x)(C1y1' C2y2') q(x)(C1y1 C2y2)=C1(y1'' p(x)y1' q(x)y1) C2(y2'' p(x)y2' q(x)y2)=0，所以，y c1y1c2 y2也是微分方程()的解• 口定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加• 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解y i和y，很容易得到含有任意常数C i, C2的解，y c i y i 5^2.如果解y i和y有一定关系，那么，解y C i y i C2『2中的任意常数C i,C2可以合并成一个任意常数•因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解• 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解y i和y2要满足哪些条件才能使解y C i y i C2y2成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念定义设函数y i和y2是定义在某个区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数C1 ,C2，使cy C2 y2 0在区间上恒成立，则称函数y1和y2在区间上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数y1和y2在区间上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比0是y2否为常数.如果业等于常数，则y i与y线性相关；如果上等于函数，则y i与y线性无y2 y2关.例如,匹3,则y i与y2线性相关.出 x,则y i与y线性无关•y2 y2定理二阶齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y i和y2是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则y c i y i C2 y2是微分方程（）的通解，其中c i,c2为任意常数•例如，y i e x, y2 2e x, y a e x y°2e x都是二阶齐次线性微分方程y i 0的解,C i,C2是任意常数，则下列哪些选项表示微分方程y i 0的通解：A.c i y i C2y2B. c i y i C2y4C.C i y i C2D.C i y a C2y4E.c i y i y aF.y i c i y4G.C i(y i y2)C2W3y4)由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理，可知：选项B,G为该方程的通解• 本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程•定理非齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y*是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则y Y y*是二阶非齐次线性微分方程（）的通解•证：将y Y y*代入方程（）的左端，可得(Y y*)'' P(X)(Y y*)' q(x)(Y y*)(Y'' y*' ') p(x)(Y' y*' ) q(x)(Y y*)=(Y'' p(x)Y' q(x)Y) (y*' ' p(x)y*' q(x)y*) = f (x) ，所以，y Y y*是微分方程()的解，又 Y 是二阶齐次线性微分方程()的通解，它含有两个任意常数，即解中 y Y y* 含有两个任意常数，因此 y Y y* 是二阶非齐次线 性微分方程()的通解 . □上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础 . 根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为： (1)求对应的二阶齐次线性微分方程()的两个线性无关的特解 y 1和y 2，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数 Y c 1y 1 c 2y 2；(2)求二阶非齐次线性微分方程()的一个特解 y* ；则，二阶非齐次线性微分方程() 的通解为 y Y y*.上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解 .二、 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y'' py' qy 0.()其中p ，q 为常数•根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程()的通解，只要求出 该方程的任意的两个线性无关的特解y 1和y 2即可•注意到方程()的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数 y ，其导数 y'' ， y' 和 y则有q)e x 0 ，即 q0为二阶常系数齐次线性微分方程()的 特征多项式 ，特征方程的根之间只相差一个常数，该函数就可能是方程()的特解 . 而基本初等函数中的指数函数恰好具有这个性质. 因此， 设方程()的解为 y，其中 为待定常数， 将 yx、ye x 和 y" 2ex x代入微分方程 ()，我们称方程 ()为二阶常系数齐次线性微分方程)的特征方程 ，而称 F( )2p q称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的 特征根•因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别 讨论并给出微分方程（）的通解 .2（1） 当p 4q 0时，特征方程有两个相异的实根i 和2，因此，微分方程有两个特解y i e ix,y 2 e 2X由于 上 e（ 1 2）x，所以y i , y 线性无关•故二阶常系数齐次线性微y 2分方程（）的通解为y c 1e ix c 2e 2X（ G ,C 2为任意常数）（）（2）当p 2 4q 0时，特征方程有重根12，因此，微分方程只有一个特解XXy 1 e .设 y h （x ）y 1 h （x ）e 是微分方程（）另一个特解，求导得：y\ h'（x ）e X h （x ）e X ， y= h"（x ）e x 2 h'（x ）e x 2h （x ）e x . 将2Py 2, y'2, y"2代入微分方程（），注意到方程 p q 0和，化简后得：2h"（x ） 0.满足这个条件的函数无穷多，取最简单的一个 h （x ） x ，则微分方程（）另一个特解为y 2 xe x ，且y 1, y 线性无关•故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为找两个线性无关的实数解ix.由欧拉公式e cosx i sin x 可得XXy 1 e (cos x i sin x), y 2e (cos x isin x),根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理，有1 x1X2(% y 2)e X cosx2(y 1y ?) e x sin x.1,2P . P 2 4q"2(3)其中因为 yy 2xy (C 1 C 2x)e（C 1, C 2为任意常数）()2p 4q 0时，特征方程有一对共轭复根1丄也—.因此，微分方程有两个特解2y 1e ()x,y 2e ( i )xe 2i x ，所以y 「y 2线性无关.为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式xxe cos x e cos x 和e sin x 均为微分方程（）的解•而 xcot x .故二阶常系数齐e sin x次线性微分方程（）的通解为Xy （C i cos x C 2 sin x ）e（ 为任意常数）• （）综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的 根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：(1) 写出的特征方程； (2)求出特征根；(3) 根据特征根的三种不同情况，分别用公式（） 、（）或（）写出微分方程（）的通解特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解解: 特征方程为234 0,特征根i 4，21,所求通解为解： 特征方程为2 ,1 0,B f 特征根1 . 1,2,所求通解为22例4求方程y" 4y' 4y 0的满足定解条件y （0） 1，y'（0） 4的特解.例1求方程y" 3y' 4y 0的通解•y C i ec ?e（C i ,C 2为任意常数）例2 求方程 y" 2y' y 0的通解•解： 特征方程为221 0,特征根121,所求通解为y (C 1 c 2x)e x（c 1, c 2为任意常数）例3 求方程 y"y' y 0的通解•(C i cos 空x2c ? sinx)e 2（C 1, c 2为任意常数）4xx4 0,特征根 1 2 2, 所求通解为y (c 1 c 2 x)e 2x对上式求导，得由定解条件 y(0) 1， y'(0) 4代入： c 1 1， c 2 2, 因此，所求特解为2xy (1 2x)e 2x .三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y'' py' qy f (x). ( p , q 为常数)由定理可知，如果 y* 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分 方程的通解为yY y*其中Y 为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得•当f (x)为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐 次线性微分方程一个特解y*，代入公式()即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解•现就 f (x) 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解 y* 的方法 . 1、当f (x) m (x)e x ，其中为常数，m (x)为m 次多项式：m(x) b 0x m b 1x m 1 b m 1x b m ， m 0 .因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程()的一个特解为y* z(x)e x ， z(x)x k m (x)其中 m (x) 为 m 次待定多项式 .2 例如,(x) 3,则设 0(x) B 0; 1(x) x, 1(x) B 0x B 1; 2(x) x 21,则设2(x) B o x 2 B i X B 2.以 y*" [z"(x) 2 z'(x)2z(x)]e x ，代入微分方程()，整解： 特征方程为y' 2xc 2e2x2(c 1 c 2 x)e ,理后可得 待定系数平衡公式( 2 p q)z(x) (2 p)z'(x) z''(x) m (x)或F( )z(x) F '( )z'(x) z''(x) m (x). ()m 1 个联立方程：( 2 p ( 2pq)B 0q)B 1b 0,2( p)mB 0 b 1,确定 B i (i 0,1,2,,m) ，就可以确定待定多项式z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* xz(x)e .(2)当 F( )2pq 0 ，即 是特征方程的单根时， F'( )0.要使平衡公式() 的两端恒等，z'(x)与m( x )为同次多项式，设z(x) x m (x)x(B 0x m B 1x m1 B m1x B m ).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* z(x)e x .(3) 当 F( )2pq 0 ， F'( ) 2 p 0 ，即 是特征方程的重根时，要使平衡公式()的两端恒等，z''(x)与m (x)为同次多项式，设z(x) x 2 m (x)x 2(B 0x m B 1x m 1 B m1x B m ).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解 y* z(x)e由此，通过比较两端 x 的同次幂的系数确定待定多项式 kz(x) x k m (x) 中的待定系数 . 因为特征方程的根不同，z(x) 的次数也不同，分别讨论之 1) 当 F( ) 2p q 0 ，即 不是特征方程的根时，要使平衡公式()的两端恒等， z(x) 与m(x) 应为同次多项式，即z(x)x 0 m (x) B 0 x mB 1x m 1B m 1x B m代入平衡公式()，比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数B 0,B 1, ,B m 的上述讨论可归纳如下：当f(x)m(x)e x ，其中常数 ，m 次多项式m(x)已知，微分方程的特解形式为y* z(x)e x x k m (x)e x ，即 z(x) x k m (x)，其中：m(x)与m (x)为同次多项式；k 0,1,2，分别根据不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定2、当f(x) e x (acos x bsin x)，其中a,b,,为常数时，可得复数 分方程的特解形式为y* x k (A 1 cos x A 2 sin x)e x ，对共轭复根而确定•以y*, y*' ,y*"代入原方程，比较同类项的系数，解得 A 1, A 2.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为y Y y*其中Y 为余函数， 2,，1(x) 7x 2可用待定系数平衡公式确定7B °x (5B Q 7B I ) 7x 2.比较系数，7B Q 7, 5B Q 7B I2,得 B Q 1,B I1,即y (x 1)e 2x .其特征根为1 3i ，余函数为1,22Y (C 1 3 cos- x 23 -xc 2 sin x)e 2 c 1, c 2为任意常数特征多项式为F( )21，且 F ( ) 2 1,解：特征方程为21 0,2不是特征方程的根i .设微其中：A ?为待定常数；k 0,1,分别根据i 不是特征方程的根或是特征方程的一例5 求方程y" y' y(7x 2)e 2x 的通解.设 y* z(x)e 2x , z(x)B o x B.根据待定系数平衡公式F(2)z(x) F (2)z(x)z (x) 7(B o X B) 5B Q2x ,比较等式两端x 同次幕的系数，可得B 。
二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法+题型和题法系统讲座
二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法 题型和题法系统讲座一、二阶变系数微分方程常数变易法已知()()()0y x p x y q x y '''++=的通解()1122Y x c y c y =+，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：令()()()()y x p x y q x y f x '''++=【例1】已知20x y xy y '''-+=的通解为()12ln Y x c x c x x =+，求2x y xy y x '''-+=的通解y 。
解：22111x y xy y x y y y x x x''''''-+=⇒-+= 令 ()()()12ln Y x v x x v x x x =+代入2111y y y x x x'''-+=，求得()1212212ln 11ln ln ln ln ln 11ln 11ln 1ln ln 2y c x c x x Y x x x x x x c x c x x x dx x x dx xxxxx xxxc x c x x x x =++⋅⋅=+-+++=++⎰⎰ 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：()()()()y x p x y q x y f x '''++=可求得通解y 。
【例2】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。
【例3】已知1y x =是()2220x y x xy y '''-+=的一个特解，求()23222x y x xy y x '''-+=的通解y 。
二阶微分方程解法总结
二阶微分方程解法总结二阶微分方程是数学中的重要内容，特别是在物理学、工程学等领域中经常涉及到，因此掌握其解法十分重要。
本文将围绕二阶微分方程解法进行总结，详细介绍其解法步骤和要点。
一、分类讨论首先，对于二阶微分方程，需要根据其系数是否恒为零来进行分类讨论。
具体而言，二阶微分方程可分为齐次方程和非齐次方程两类。
对于齐次方程，其系数为常数，且自由项恒为零，此时可通过代入试探解法或特征方程解法求解；对于非齐次方程，其系数同样为常数，但自由项非零，因此需要运用常数变易法求解。
二、代入试探解法代入试探解法是求解齐次方程的常用方法。
具体而言，我们先根据已知条件猜测一个特殊的解，然后再通过验证来确定是否正确。
以一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0为例，设其特殊解为y=ce^(λx)，其中c和λ为待定系数。
将这个解代入方程中，得到λ^2+ pλ+ q=0，解出λ1和λ2，即可得到通解y=c1e^(λ1x)+c2e^(λ2x)。
三、特征方程解法特征方程解法也是求解齐次方程的一种方法。
对于一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0，可以通过设y=e^(mx)得到其特征方程m^2+pm+q=0。
解出m1和m2，则通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
需要注意的是，在特征方程的求解过程中，方程的两个解m1和m2可能相等，此时通解应为y=(c1+c2x)e^(mx)。
因此，在解题时需要特别注意此类情况的处理。
四、常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的基本方法。
具体而言，首先求出其对应的齐次方程的通解，然后特殊解通过试探法求得。
以一般的非齐次二阶微分方程y''+py'+qy=f(x)为例，首先求出其对应的齐次方程的通解y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
然后，我们猜测特殊解为y*=Ax+B，其中A和B为待定系数。
将y*代入方程中，可得到A=f'/m2，B=[f/(m2^2)]-[(p/m2)A]，从而得到非齐次方程的通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)+y*。
二阶变系数线性微分方程的一些解法
2
积分得 x2 ＋ y2 ＝C2 42
即抛物线族 y＝Cx2 的正交轨线是一个椭圆族，如
图 6-4。
三、追迹问题
例 3. 开始时，甲、乙水平
距离为 1 单位，乙从 A 点沿垂
直于 OA 的直线以等速 v0 向正
比行走；甲从乙的左侧 O 点出
发，始终对准乙以 nv0(n＞1)
的速度追赶，求追迹曲线方程，
就是所要求的正交轨线。 例 2 求抛物线族 y＝Cx2 的正交轨线。 解 对 y＝Cx2 关于 x 求导，得
y′＝2Cx 与原方程联列
y Cx 2
消去 C
y' 2Cx
图 6-4
得微分方程
y′＝ 2y x
将－ 1 代入 y′得所求抛物线的正交轨线微分方程 y'
－ 1 ＝2y y' x
即
ydy＝－ x dx
第九节 二阶变系数线性微分方程
的一些解法
常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数 线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变 系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍 处理这类方程的二种方法
§9.1 降阶法
在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而
求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方
线族。例如 y＝Cx2为一抛物线族。
图 6-3 如果存在另一族曲线 G(x,y,C)＝0，其每一条曲线 都与曲线族 F(x,y,C)＝0 的每条曲线垂直相交，即不 同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称 G(x,y,C)＝0 为 F(x,y，C)＝0 的正交轨线。 将曲线族方程 F(x,y,C)＝0 对 x 求导与 F(x,y,C) ＝0 联列并消去常数 C，得曲线族上任一点的坐标(x,y) 和曲线在该点的斜率 y′所满足的微分方程
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法
１ ８ ４ １ 年， 法 国数 学 家刘维 尔证 明 了著名 的 Ｒｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程
ｙ 一 ｐ（ ｘ） ｙ 。＋ ｑ （ ｘ） ｙ＋ ｒ （ ）
一
（ ４ ）
般是 不可 积 的 ， 即不 能用 我们 熟知 的初 等积分 法来求 解 ．
引 理１ ［ ｓ ３ １ ４ ］ 对 方程（ ４ ） ， 若系 数 满足（ ＼ 今芒）一 们 ‘ Ｊ ， 一 ｒ （ ｚ ） ， 则是 可积 的， 且通 积分 是：
在理 论较 充分 、 应用 较广 泛 的线性 变系 数微 分方 程却 没有通 用 的求解 方法 ， 于是 二阶 变系数齐 次线
性微分 方 程 的解 的问题是 人们 比较 感 兴趣 的课题 ． 文 章对 系数满 足特 定条 件 的二 阶变 系数微 分方 程 ， 通
过 常数变 易法 ， 化 为恰 当方程 ， 化为 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程来 求 解．
分离变量得：
（ ３ ）
方程 （ ３ ） 可降阶， 故令 “ （ ｚ ）一 ｃ （ ｚ ） ， 方程（ ３ ）化为 ：
（ ｚ ） Ｙ （ ｚ ） ＋（ ２ ｙ （ ） ＋ｐ （ ｘ ） ｙ （ ） ） “ （ ） 一０ ，
＋
“ ＼ｚ ，
三 ±
一
！ ： ： 一一 ． 一旦 兰 ＿ ）
ｃ— Ｉ ｐ（ ｘ） ｅ － Ｉ ｑ （ ｘ ） ｄ ｘ ｄ ｘ ｐ（ ｚ）
、
其中 Ｃ 为 任意 常数．
２ ． ２ 定 理 及 其 证 明
定理 １ ｃ பைடு நூலகம்
若方 程 （ １ ）的系数 满足 Ｐ （ ｚ ）一 ｑ （ ． ｚ ）时 ， 则 方程 （ ４ ）是可 积 的 ， 且通 积分是 ： Ｙ： Ｃ ２ ｅ 叫 ｊ 酉 ¨
二阶变系数线性微分方程的求解问题--本科毕业论文
目录一、论文正文摘要 (1)1引言 (1)2构造系数函数法 (1)2.1第一种构造系数函数法 (1)2.1.1应用举例 (4)2.2第二种构造系数函数法 (5)2.2.1应用举例 (5)3常数变异法 (5)3.1求二阶变系数齐次线性微分方程的通解 (6)3.2求二阶变系数非齐次线性微分方程的解 (6)3.3.1 应用举例 (8)4 总结 (9)致谢 (9)参考文献 (9)二、附录开题报告 (11)中期检查报告 (12)结题报告 (14)答辩报告 (15)答辩过程记录 (16)指导教师：贾化冰二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜 （宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013 ）摘 要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。
关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。
对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法.无论是在中国还是在外国现行的《高等数学》[1]中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在《常微分方程》中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。
如果()p x ,()q x 为连续且非常数的函数，那么方程()()()y p x y q x y f x '''++=，被称为二阶变系数线性微分方程。
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二阶变系数线性微分方程的一些解法第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。
本节介绍处理这类方程的二种方法§9.1 降阶法在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。
考虑二阶线性齐次方程22dx y d ＋p(x) dxdy＋q(x)y ＝0 (9.1)设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2)其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dxdy 1＋u 212dx y d代入(9.1)式得y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dx y d ＋p(x)dxdy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中212dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dxdu ＝0再作变量替换，令dxdy＝z 得y 1dxdz ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1)z ＝0分离变量 z 1dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx两边积分，得其通解z ＝212y C e－∫p(x)dx其中C 2为任意常数积分得u ＝C 2∫21y 1e －∫p(x)dxdx ＋C 1代回原变量得(9.1)的通解y ＝y 1［C １＋C 2∫21y 1e －∫p(x)dxdx ］此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville )公式。
综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换y ＝y 1∫zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。
对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。
例1. 已知y １＝x xsin 是方程22dx y d ＋x 2dxdy ＋y ＝0的一个解，试求方程的通解解 作变换 y ＝y 1∫zdx则有 dxdy ＝y 1z ＋dx dy 1∫zdx22dx y d ＝y 1dxdz ＋2dx dy 1z ＋212dx y d ∫zdx 代入原方程，并注意到y 1是原方程的解，有y 1dxdz ＋(2dx dy 1＋dx dy 1)z ＝0即 dxdz＝－２ctanx ·z积分得 z ＝xsin C 21于是 y ＝y 1∫zdx ＝xxsin ［∫x sin C 21dx ＋C 2］＝x x sin (－C 1ctanx ＋C 2)＝x1(C 2sinx －C 1cosx) 这就是原方程的通解。
§9.2 常数变易法在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。
对于二阶线性非齐次方程22dx y d ＋p(x) dxdy＋p(x)y ＝f(x) (9.4)其中p(x),q(x)，f(x)在某区间上连续，如果其对应的齐次方程22dx y d ＋p(x) dxdy＋q(x)y ＝0的通解 y ＝C 1y １＋C ２y 2已经求得。
那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。
设非齐次方程(9.4)具有形式 ~y ＝u 1y 1＋u ２y 2 (9.5)的特解，其中u 1＝u 1(x)，u 2＝u(x)是两个待定函数，对~y 求导数得~'y ＝u 1y ′1＋u 2y ′2＋y 1u ′１＋y 2u ′2由于用(9.5)代入(9.4)，可确定u 1，u 2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：y １u ′１＋y 2u ′2＝0 这样~'y ＝u 1y ′1＋u 2y ′2"y ~＝u ′1y ″1＋u ′2y ″2＋u 1y ′1＋u 2y ′2代入方程(9.3)，并注意到y 1，y 2是齐次方程的解，整理得u ′１y ′1＋u ′２y ′２＝f(x)与补充条件联列得方程组⎩⎨⎧=++=+)x (f 'u 'y 'y 'u 'y 0'u y 'u y 222112211因为y 1，y 2线性无关，即12y y ≠常数，所以(12y y )′＝211221y 'y y 'y y -≠0设w(x)＝y 1y ′2－y 2y ′1，则有w(x)≠0所以上述方程组有唯一解。
解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)x (w )x (f y 'y y 'y y )x (f y 'u )x (w )x (f y 'y y 'y y )x (f y 'u 11221122122121积分并取其一个原函数得 u 1＝－∫)x (w )x (f y 2⋅dxu ２＝∫)x (w )x (f y 1⋅dx则所求特解为 ~y ＝y 1∫)x (w )x (f y 2⋅-dx ＋y 2∫)x (w )x (f y 1⋅dx所求方程的通解 y ＝Y ＋~y ＝C 1y 1＋C 2y 2＋y 1∫)x (w )x (f y 2⋅-dx ＋y 2∫)x (w )x (f y 1⋅dx上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。
例1. 求方程22dx y d －x 1dxdy ＝x 的通解解 先求对应的齐次方程22dx y d －x 1dxdy ＝0的通解，由 22dx y d ＝x 1dxdydxdy 1·d(dx dy )＝x 1dx得 ln ｜dxdy｜＝ln ｜x ｜＋ln｜C ｜即 dxdy ＝Cx 得通解y ＝C 1x 2＋C 2所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x 2和1。
为求非齐次方程的一个解~y 将C 1，C 2换成待定函数u 1，u 2，且u 1，u 2满足下列方程⎩⎨⎧=⋅+=⋅+x'u 0'xu 20'u 1'u x 21212解上述方程得 u ′1＝21 u ′2＝－21x2积分并取其一原函数得 u 1＝21x ，u 2＝－6x 3于是原方程的一个特解为~y ＝u 1·x 2＋u 2·1＝2x 3－6x 3＝3x 3从而原方程的通解为y ＝C 1x 2＋C 2＋3x3第十节 数学建模(二)——微分方程在几何、物理中的应用举例一、镭的衰变例1. 镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。
由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t 的质量。
解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的现存物质，则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表示为dtdx＝－kx 这是一个以x 为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。
其中k ＞0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。
方程右端的负号表示当时间t 增加时，质量x 减少，即t ＞0时，dtdx＜0。
解这个方程得通解x ＝Ce－kt若已知当t ＝t 0时，x ＝x 0，即x ｜0t t =＝x 0代入方程可得 C ＝x 0e 0kt 得特解 x ＝x 0e )t t (k 0--它反映了某种放射性元素衰变的规律。
二、正交轨线已知曲线族方程F(x,y,C)＝０，其中包含了一个参数C ，当C 固定时就得到一条曲线，当C 改变就得整族曲线，称为单参数曲线族。
例如y ＝Cx 2为一抛物线族。
图6-3如果存在另一族曲线G(x,y,C)＝0，其每一条曲线都与曲线族F(x,y,C)＝0的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。
则称G(x,y,C)＝0为F(x,y ，C)＝0的正交轨线。
将曲线族方程F(x,y,C)＝0对x 求导与F(x,y,C)＝0联列并消去常数C ，得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率y ′所满足的微分方程f(x,y,y ′)＝0这就是曲线族F(x,y,C)＝0所满足的微分方程。
因为正交轨线过点(x,y)，且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正交轨线在点(x,y)处的斜率k ＝－'y 1于是可知曲线族F(x,y,C)＝0的正交轨线满足方程f(x,y,－'y 1)＝0这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族(通解)，就是所要求的正交轨线。
例2 求抛物线族y ＝Cx 2的正交轨线。
解 对y ＝Cx 2关于x 求导，得y ′＝2Cx 与原方程联列⎩⎨⎧==Cx2'y Cx y 2消去C图6-4得微分方程 y ′＝xy2将－'y 1代入y ′得所求抛物线的正交轨线微分方程－'y 1＝x y2即 ydy ＝－2xdx积分得 4x 2＋2y 2＝C 2即抛物线族 y ＝Cx 2的正交轨线是一个椭圆族，如图6-4。
三、追迹问题例3. 开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速v 0向正比行走；甲从乙的左侧O 点出发，始终对准乙以nv 0(n ＞1)的速度追赶，求追迹曲线方程，并问乙行多远时，被甲追到。
图6-5解 如图6-5建立坐标系，设所求追迹曲线方程为 y ＝y(x)经过时刻t ，甲在追迹曲线上的点为p(x,y)，乙在点B(1,v 0t)。
于是有tan θ＝y ′＝x1yt v 0-- (10.1)由题设，曲线的弧长OP 为 ∫x 02'y 1+dx ＝nv 0t解出v 0t 代入(10.1)得(1－x)y ′＋y ＝n1∫x02'y 1+dx两边对x 求导，整理得(1－x)y ″＝n12'y 1+这就是追迹问题的数学模型。
这是一个不显含y 的可降阶的方程，设y ′＝p ，y ″＝p ′代入方程得(1－x)p ′＝n 12p 1+或 2p 1dp +＝)x 1(n dx-两边积分得 ln(p ＋2p 1+)＝－n1ln ｜1－x ｜＋ln ｜C １｜即 p ＋2p 1+＝n 1x1C -将初始条件 y ′｜x ＝0＝p ｜x ＝0＝0代入上式，得C 1＝1，于是y ′＋2'y 1+＝n x11- (10.2)两边同乘 y ′－2'y 1+，并化简得y ′－2'y 1+＝－n x 1- (10.3)(10.2)与(10.3)两式相加，得y ′＝21 (n x11-－n x 1-)积分，得 y ＝21［－1n n - (1－x)n1n -＋1n n + (1－x)n1n +］＋C 2代入初始条件 y ｜x ＝0＝0得C 2＝1n n2-，所求追迹曲线方程为y ＝2n ［1n )x 1(n1n +-+－1n )x 1(n1n ---］＋1n n2-(n ＞1)甲追到乙时，即曲线上点P 的横坐标x ＝1，此时y ＝1n n2-即乙行走至离A 点1n n2-个单位距离时即被甲追到。