高阶变系数线性微分方程的解

合集下载

微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解

微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解高阶变系数线性偏微分方程的求解方法之一是分离变量法。

我们以二阶变系数线性偏微分方程为例进行说明。

设二阶变系数线性偏微分方程为：\[ a(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} +2b(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y) \]其中，$a(x,y)$，$b(x,y)$，$c(x,y)$为已知函数，$f(x,y)$为已知的具有连续二阶偏导数的函数。

设$u(x,y)$是该方程的解，根据分离变量法的思想，我们假设可以通过分别定义两个函数$X(x)$和$Y(y)$来求解该方程，即：$u(x,y)=X(x)Y(y)$。

将$u(x,y)=X(x)Y(y)$代入原方程，得到\[ a(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial x^2}} +2b(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 (XY)}}{{\partial y^2}} = f(x,y) \]将上式展开，得到\[a(x,y)X''(x)Y(y)+2b(x,y)X'(x)Y'(y)+c(x,y)X(x)Y''(y)=f(x,y) \]再将上式变形，得到\[ \frac{{a(x,y)X''(x)}}{{X(x)}} +2\frac{{b(x,y)X'(x)}}{{X(x)}}\frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\frac{{c(x,y)Y''(y)}}{{Y(y)}} = \frac{{f(x,y)}}{{X(x)Y(y)}} \]观察上式，可以发现等式左边的第一项和第三项只与$x$有关，而第二项只与$y$有关。

高阶线性微分方程

高阶线性微分方程高阶线性微分方程是微积分中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将对高阶线性微分方程的定义、解法以及应用进行探讨。

一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)$ 的微分方程，其中 $y^{(n)}$ 表示 $y$ 的$n$ 阶导数，$a_i(i=0,1,\cdots,n-1)$ 为常数项，$f(x)$ 为已知函数。

二、高阶线性微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于齐次线性微分方程 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$，我们可以先求其特征方程 $r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0$ 的根 $r_1,r_2,\cdots,r_n$，然后根据根的性质得到通解 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\cdots+C_ne^{r_nx}$，其中 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ 为待定常数。

2. 非齐次线性微分方程的解法对于非齐次线性微分方程 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)$，我们首先求其对应的齐次线性微分方程的通解 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\cdots+C_ne^{r_nx}$。

然后，我们需要根据待定系数法，假设特解形式为 $y^*=P(x)e^{mx}$，其中$P(x)$ 为多项式，$m$ 为特征方程的根的重数。

将特解 $y^*$ 代入原方程，确定多项式的系数，进而求得特解。

最后，将齐次解和非齐次解相加，即得到原方程的通解。

三、高阶线性微分方程的应用高阶线性微分方程在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

举例来说，振动系统可以通过高阶线性微分方程进行建模。

高阶变系数线性微分方程

y1v1 y2v2 0
③
ห้องสมุดไป่ตู้
于是 y y1 v1 y2 v2 y1v1 y2v2
将以上结果代入方程 ①:
y1, y2 是对应
齐次方程的解
y1v1 y2v2 (y1 P y1 Q y1 )v1
( y2 P y2 Q y2 )v2 f (x)
得
y1v1 y2v2 f (x)
④
因 y1, y2 线性无关, 故③, ④的系数行列
作代数运算后，得
D3 y 2D2 y 3Dy 3e2 ，t
即
d3 y dt3
2
d2 dt
y
2
3dd
y t
3e2 ，t
(1)
这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且
特征方程 3 22 3 0，特征根 1 0， 2 1， 3 3 ,
方程 (1) 对应的齐方程的通解为
y C1 C2e t C3e3t。由于 f (t ) 3e2 ，t 2， n 0，且 2 不是特征根，故
只有一个必须满足的条件即方程①, 因此必需再附加一个条件, 方程③的引入是为了简化计算.
情形2. 仅知①的齐次方程的一个非零特解
y1(x).令 y u(x) y1(x) , 代入 ① 化简得
y1 u (2 y1 P y1)u ( y1 P y1 Q y1)u f 令 z u
y1 z (2y1 P y1 ) z f (一阶线性方程)
y* b0e2 t
为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得
( 8 b 8b 6b )e2 t e2，t
0
0
0
从而
b0
1， 2
y* 1 e2 t。 2

高阶线性微分方程的解法

高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。

高阶线性偏微分方程及变系数偏微分方程

高阶线性偏微分方程及变系数偏微分方程高阶线性偏微分方程是微分方程中的一类重要方程。

在许多科学和工程领域中，高阶线性偏微分方程广泛应用于模拟现实问题、描述自然现象以及解析和数值解决科学问题等。

本文将介绍高阶线性偏微分方程的基本概念、解法和一些实际应用。

1. 高阶线性偏微分方程的基本概念高阶线性偏微分方程是指方程中含有高阶偏导数的线性微分方程。

一般形式为：$$A(x,y,u,u_{x},...,u_{n})u_{xx}+B(x,y,u,u_{x},...,u_{n})u_{xy}+C(x,y,u,u_{x},...,u_{n})u_{yy}+...+F(x,y,u,u_{x},...,u_{n})=0$$其中，$u_{xx}$, $u_{xy}$, $u_{yy}$分别表示对$u$进行两阶x偏导、一阶x偏导和两阶y偏导，$A(x,y,u,u_{x},...,u_{n})$等为给定的函数。

2. 高阶线性偏微分方程的一些常见解法高阶线性偏微分方程的解法可以分为分离变量法、常系数特殊方程法、特征线法等。

(1) 分离变量法分离变量法是指将方程中的变量分离，然后分别对各个变量进行积分。

通过适当选择变量的分离形式，可以将高阶线性偏微分方程转化为一系列常微分方程。

(2) 常系数特殊方程法常系数特殊方程法是指通过假设方程的解具有某种特殊形式，如指数函数、正弦函数、余弦函数等，然后代入原方程进行求解。

由于高阶线性偏微分方程的解具有叠加性，可以通过线性组合得到通解。

(3) 特征线法特征线法是指通过引入新的变量，将方程转化为特征线上的常微分方程，从而求得高阶线性偏微分方程的通解。

这种方法常见于一维波动方程、一维热传导方程等。

3. 变系数偏微分方程的基本概念及解法变系数偏微分方程是指方程中的系数随自变量而变的偏微分方程。

这类方程在实际问题中很常见，如非线性传热方程、变系数波动方程等。

变系数偏微分方程的解法相对较复杂，常见的解法有分组展开法、变系数的特殊解法等。

高阶变系数线性微分方程的特解求法

一
` 1 4)
对任意自然数
/ 1 1 1
|
m镇 C
O
n
,
归纳可证
m
一
m
乙 m K
=
一
些
二土工
:
K `
x
) 二 ( K ’(
x
)
+
:
_
_
1
{二 (
\
x
)
,
、
(x ) …
,
,
2 ,
l 胜
二土
1一
l
} J
x
甲 ( x ),
甲, (
x
)
,
…
,
甲 ( t n
一
1 ) (x )
`
!
e
、 (X ) d 、
是方程
( 2 1 )
.
(
x
“ )y
+
(
(
x
)丁
的解的充要条件是
a
。
r (x ) ( p
`
(x )
+
甲“ (x )
)
+
a
,
(x )甲 (
x
)
+
a
:
(X )
二
0
( 2 2 )
。
成立
。
如果存在某常数
义
Z
久 )
,
使
+
a
:
a
。
(
2
.
x
)
+
又
a
:
(
x
(x )~

高阶微分方程的解法

描述经济系统的动态变化分析经济政策的传导机制预测经济周期和通货膨胀研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分方程可以用来描述各种物理现象，如振动、波动、电磁场等。
工程：高阶微分方程在许多工程领域都有应用，如机械、航空航天、电子等。
经济：高阶微分方程可以用来描述经济系统的动态变化，如预测股票价格、分析市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分方程在生物学中也有应用，如描述生态系统中的种群动态、分析生物体内的生理过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解器，可根据不同的方程类型选择合适的求解方法。
添加标题
添加标题
汇报人：XX
PART TWO
适用范围：常微分方程中，当方程中只有一个变量时，可以考虑使用分离变量法。
解题步骤：将方程中的变量分离到等号的两边，然后对两边同时积分，得到解的表达式。
注意事项：在使用分离变量法时，需要注意初始条件和边界条件，以确保解的正确性和完整性。
举例说明：例如，对于一阶常微分方程 dy/dx = y，通过分离变量法可以得到解为 y = Ce^x。

高阶变系数线性微分方程可解的充分条件

Ｐ１
—
３）（＋２
）＋Ｐ３＋
ｃ－
Ｃ２Ｃａ
鲁（））鲁＋Ｐ一）ｃ３。＋＋一
则方程（）可通过变换 — 一（。Ｐ）转化为５ｃ一
４பைடு நூலகம்
＋ｆ＋３
４ｆ一ｆ（）Ｐ（ ≠ Ｏ－ｌｘ／４Ｐ４）
Ｙ一＋ “
（）１
１２，）， …
＋（ｕ４）４（４５ｕ４。４［４３甜）－４ｕ－６４／］３－－３－ｕ－）－甜－（４ｕ４ｕ－Ａ４
、 ”、、、ｚ … ｚ、Ｙ线性表示，表示规律如下：
．
（）在Ａｊ２）中：一０（日＞）＋） — ｆＩ（一１２ … ，，定ｃ；Ｊ一ｆｌｆ，，）规一１一ｏ，．（）由ａ（３ｉ一１２ … ，Ｊ一１２ … ，）成一个ｎ阶方阵Ｂｊ，，；，，，构ｚ一（，方阵关于副对角线对称．ｎ）该
过变换＝一（一一＝＝ｃ
ｚ一＋ｆ（
）．化为ｙ转
＋… ＋ｆ＋ｆ２１ — ｆｘ）Ｐ（／（Ｐ ≠ Ｏ（）忌一０，，，，１一１２ … ，（０１２ … ”一；，，）１）
以下陈述被（ｎ１ｃ＿）… 与常数１Ｐ线性表出的表示系数要求满足的规律（一ｏ１２ … ，ｌｍ＝ｌ志，，， — ；，
系数线性微分方程的一个新的可积类型，后给出了相应的实例．最

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高阶变系数线性微分方程的解
贾庆菊
（西财经大学应用数学学院，山西太原山０００）３０６
摘
要：本文给出了广义全微分方程的定义，到了高阶变系数线性微分方程化为全微分方程的充要条件得
工作．
第２期
贾庆菊：高阶变系数线性微分方程的解
ｂ
一
１
（，＝ｔ
一（一０（；ｌｔｔ
ｂ（）＝口（）￡
证明：假设高阶变系数线性微分方程（）一个全微分方程，１是则存在函数 “ ｔ，（）使得：
引
高阶变系数线性微分方程８（）ｔ
言
（）＋。一（） ¨（）＋… ＋。（）（）＋口（）ｔｔ ‘ 一ｔｔｔ０￡（）＝／ｔ）
（）１
其中：）ｉ＝０１２ … ；ｔ、（）在区间Ｉ的连续，ａ（，，，，（）厂上且有连续的阶导数．虽然理论上证明了解的存在惟一性，具体求解尚无通法．仅有观察法［］变量代换法［］常数变易法［］积分因子法但１、２、３、［］大多数对方程的系数仍有严格要求，解的类型极其特殊，程比较繁琐．由于全微分方程求解４，求过方便快捷，因此，若将方程（）化为全微分方程，可通过首次积分将方程降低一阶求出它的通解．这１转则是一种重要和有效地求解方法．本文从全微分方程人手，出判断方程（）导１为全微分方程的充要条件和
其中：ｔｂ（）＝０（）一Ⅱ （）＋０３ｔ … ＋（）一： ” ｔ；ｔｔ２ ” ）（一１（）０一
ｂ（）＝０（）一０３ｔ２ｔ２ｔ（）＋０４ｔ … ＋（）一ｎ（） ”（）一１一ｔ； ’
（）４
收稿日期：０２２２２１－．４０
通解计算公式．定义：系数齐线性微分方程：变
ｔ ‘ ｘ＋ｎ一
＝
０
（）２
方程（）为ｎ阶（２称广义）全微分方程。约定的零阶导数结论
定理１高阶变系数线性微分方程（）：１为全微分方程的充要条件是：
［ｎ￡ｎ（）（）＋㈤￡
（）
（）＋．￡．。＋。（）（）＋ｎ（）ｆｆ￡。（）
＝
￡＋ｃ）
（）５
这里Ｃ任意常数．上式左端各项分部积分得：是
Ⅱ （）ｄｎ（）￡ｄ。（）ｆ＝。（）
ｄｕ
～
（）ｎ（）＋。（） ’ ｆｆ￡ ‘ （）＋… ＋。（）
）＋。（），。ｆ（）
由题设ｏ（）ｉ＝０１２ … １ｔｔ，，，，７（）ｔ，；）在区间Ｉ的连续，有连续的ｎ阶导数，边积分：上且两
— —
ｎｔｘ（）＋０（） ‘ （）（）一ｆｔｘ ’ ｆ一
两边相加得：
『ｏ）（＋ｌ）（＋２）ｆ＋ｂ ’ ）ｄ＝）＋［（ｂｂ） …＋）（］ｄｃｂ）（）（（（ｆｔｔ
ｆ（（ｄ＝。）￡￡。￡（ｏ￡ｔｆ一（（ｄ）ｆ，））１ｔ）＋（）
Ｊ（ ” ｄＪ（（ｅ。ｆ（＋（（．￡（＾ｆ，）￡。ｔ￡ｎ）ｆ＝。））一：）：））：） Ⅳ ｌ（Ｊ（ ‘ｆ＝一）：（（１ｌ一ｆ（．￡ｎ）（１＿（＋一）。１）￡ｎ）ｅ（ｌ￡））ｆｄ。：（） ’
２１０２年５月第２１卷第２期
中央民族大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＭ（ｔｒｌｃｎｅｄｔｎｏｒａｏＵＥＮａａＳｉｃｓＥｉｏ）ｕｅｉ
Ｍａ．，２２ｙ０１
Ｖｏ．１ＮＯ２１２．
和通解计算公式．关键词：变系数线性微分方程；微分方程；要条件；解公式全充通中图分类号：１５Ｏ７文献标识码：Ａ文章编号：０５８３（０２０－３ —４１０ —０６２１）２０２００
ｂ（）＝ｎ（）一ｎ１ｔ。ｔ。ｔｔ（）＋。２ｔ … ＋（）０“（）：０（）一１ｔ
（３）
通过首次积分将方程降低一阶求出它的通解：
ｂ（） ‘ ” ｔｔ（）＋…ｂ（）（）＋ｂ（）ｔＩｔｄ＋ｃ一２ｔｔ１ｔ）：－）ｔ（厂（
基金项目：山西财经大学２１０１数学教育改革研究项目（ｏ２１１１．Ｎ．０１３）作者简介：庆菊（９６～）女（族）山西临汾人，西财经大学应用数学学院副教授，事常微分方程教学贾１５，汉，山从