离散数学 图论优秀课件
合集下载
离散数学教学课件-第8章 图论
解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理 设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素
离散数学树ppt课件.ppt
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
根树的分类
(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树。
(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序 r叉树——每个分支点至多有r个儿子
r叉有序树——r叉树是有序的 r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子
r叉正则有序树——r叉正则树是有序的 r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶 点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
例16.2
例题
例题 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余 顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构 的无向树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
根树的分类
(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树。
(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序 r叉树——每个分支点至多有r个儿子
r叉有序树——r叉树是有序的 r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子
r叉正则有序树——r叉正则树是有序的 r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶 点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
例16.2
例题
例题 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余 顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构 的无向树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
离散数学图论2PPT教学课件
（1）欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，
且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
2020/12/11
6
（2）欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点；(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4．(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
，表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
2020/12/11
2
3．(有向图)关联矩阵
设D＝<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行，边为列).
具有性质： 1 vi为终， 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0）； i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1．（无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：
m
① mij 2(列元素之和为2)；
i1
m
② mij degv,(i若)
且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
2020/12/11
6
（2）欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点；(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4．(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
，表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
2020/12/11
2
3．(有向图)关联矩阵
设D＝<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行，边为列).
具有性质： 1 vi为终， 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0）； i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1．（无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：
m
① mij 2(列元素之和为2)；
i1
m
② mij degv,(i若)
【精品】离散数学PPT课件(完整版)
一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
最新离散数学-图论说课讲解精品课件
图10.1.7 图G以及(yǐjí)其真子图G 1和生成子图G2
第三十二页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
的入度， 记d为 ( v ) ;以v为始点的边数称为结点v 的出 度， 记为 d ( v ) 。结点v的入度与出度之和称为结点v
的度数，记为 d(v)或deg(v)。
第二十四页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
定义: 在无向图中，图中结点(jié diǎn)v所关联 的边数(有环时计算两次)称为结点(jié diǎn)v 的度 数，记为d(v)或deg(v) 。
图 10 .1. 4
第十五页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点(jié diǎn)都邻接的简单图称为 完全图。n 个结点(jiédiǎn)的无向完全图记为Kn。
图10.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。 容易证明Kn有
1.图的定义(dìngyì) 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些 点和一些连接两点间的连线所组成。 【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛(bǐsài)。 为了表示４个队之间比赛(bǐsài)的情况， 我们作出图10.1.1 的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之 为结点。如果两队进行过比赛(bǐsài)，则在表示该队的两个 结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图 形使各队之间的比赛(bǐsài)情况一目了然。
第三页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
如果图 10.1.1中的４个结 点a， b， c， d分别 (fēnbié)表示４个人，当 某两个人互相认识时， 则将其对应点之间用边连 接起来。 这时的图又反 映了这４个人之间的认识 关系。
第三十二页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
的入度， 记d为 ( v ) ;以v为始点的边数称为结点v 的出 度， 记为 d ( v ) 。结点v的入度与出度之和称为结点v
的度数，记为 d(v)或deg(v)。
第二十四页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
定义: 在无向图中，图中结点(jié diǎn)v所关联 的边数(有环时计算两次)称为结点(jié diǎn)v 的度 数，记为d(v)或deg(v) 。
图 10 .1. 4
第十五页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点(jié diǎn)都邻接的简单图称为 完全图。n 个结点(jiédiǎn)的无向完全图记为Kn。
图10.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。 容易证明Kn有
1.图的定义(dìngyì) 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些 点和一些连接两点间的连线所组成。 【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛(bǐsài)。 为了表示４个队之间比赛(bǐsài)的情况， 我们作出图10.1.1 的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之 为结点。如果两队进行过比赛(bǐsài)，则在表示该队的两个 结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图 形使各队之间的比赛(bǐsài)情况一目了然。
第三页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
如果图 10.1.1中的４个结 点a， b， c， d分别 (fēnbié)表示４个人，当 某两个人互相认识时， 则将其对应点之间用边连 接起来。 这时的图又反 映了这４个人之间的认识 关系。
离散数学图论路与连通PPT课件
第18页/共26页
7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
第24页/共26页
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
第24页/共26页
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
离散数学ch公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
第21页
通路与回路长度
定理14.5 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj）存在通路， 则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 通路. 推论 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存在通路，则 从vi 到vj 存在长度小于或等于n1初级通路（路径）. 定理14.6 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到本身回路，则一 定存在vi 到本身长度小于或等于 n 回路. 推论 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到本身简朴回路，则一 定存在长度小于或等于n 初级回路.
n
n
n
d(vi ) 2m, 且
d (vi ) d (vi ) m
i 1
i 1
i 1
本定理证实类似于定理14.1
9
第9页
握手定理推论
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点个数是偶数.
证 设G=<V,E>为任意图，令
V1={v | vV d(v)为奇数} V2={v | vV d(v)为偶数} 则V1V2=V, V1V2=，由握手定理可知
第五部分 图论
本部分主要内容 图基本概念 欧拉图、哈密顿图 树 平面图 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色
1
第1页
第十四章 图基本概念
主要内容 图 通路与回路 图连通性 图矩阵表示 图运算 预备知识 多重集合——元素能够重复出现集合 无序集——AB={(x,y) | xAyB}
v的闭邻域 N (v) N (v) {v}
v 关联集 I (v) {e | e E(G) e与v关联} ② vV(D) (D为有向图)
v的后继元集 D (v) {u | u V ( D) v, u E( D) u v}
v的先驱元集 D (v) {u | u V ( D) u, v E( D) u v}
通路与回路长度
定理14.5 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj）存在通路， 则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 通路. 推论 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存在通路，则 从vi 到vj 存在长度小于或等于n1初级通路（路径）. 定理14.6 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到本身回路，则一 定存在vi 到本身长度小于或等于 n 回路. 推论 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到本身简朴回路，则一 定存在长度小于或等于n 初级回路.
n
n
n
d(vi ) 2m, 且
d (vi ) d (vi ) m
i 1
i 1
i 1
本定理证实类似于定理14.1
9
第9页
握手定理推论
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点个数是偶数.
证 设G=<V,E>为任意图，令
V1={v | vV d(v)为奇数} V2={v | vV d(v)为偶数} 则V1V2=V, V1V2=，由握手定理可知
第五部分 图论
本部分主要内容 图基本概念 欧拉图、哈密顿图 树 平面图 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色
1
第1页
第十四章 图基本概念
主要内容 图 通路与回路 图连通性 图矩阵表示 图运算 预备知识 多重集合——元素能够重复出现集合 无序集——AB={(x,y) | xAyB}
v的闭邻域 N (v) N (v) {v}
v 关联集 I (v) {e | e E(G) e与v关联} ② vV(D) (D为有向图)
v的后继元集 D (v) {u | u V ( D) v, u E( D) u v}
v的先驱元集 D (v) {u | u V ( D) u, v E( D) u v}