解析几何专题复习.

解析几何单元易错题练习

一．考试内容：

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用.

【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程

椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122

2

2=+b x a y （a ＞b ＞0）.

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2

x 项的分母大于2

y 项的分母，

则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质

椭圆的几何性质：设椭圆方程为122

2

2=+b y a x （a ＞b ＞0）.

⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.

线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比

a c

e =

叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接

近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

a c

e =

（e ＜1＝时，这个

动点的轨迹是椭圆.

⑵ 准线：根据椭圆的对称性，1222

2=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2

±=.对于椭圆1222

2=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即

c a y 2

±=. 3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆

上任一点，则两条焦半径长分别为

ex

a MF +=1，

ex

a MF -=2.

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2

a =2

b +2

c 、a c

e =

两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个

独立条件.

4.椭圆的参数方程

椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）. 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：

θαtan tan a b

=

；

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程122

22=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的

参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩

. 5.椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的外部22

00221x y a b ⇔+>.

6. 椭圆的切线方程

椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b +=.

（2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y

a b +=.

（3）椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=

双曲线及其标准方程

双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹. 若

1

MF ＜

2

MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若

1

MF ＞

2

MF 时，轨迹为双曲线的另一

支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要

注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2

x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2

y 项的系数是正数，

则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

双曲线的简单几何性质

双曲线1222

2=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大. 双曲线1222

2=-b y a x 的渐近线方程为x a b

y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是

x n m

y ±

=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2

222，其中k 是一个不为

零的常数.

双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）

的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线122

2

2=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2

-=和c a x 2=.双曲线222

21(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2

2|()|

a PF e x c =-.

双曲线的内外部