a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.
➢ 对称轴:平行于y 轴(或重合)的直线记作2b
x a
=-
.特别地,y 轴记作直线0=x . ➢ 顶点坐标坐标:),(a
b a
c a b 4422
--
➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口
方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
✧ 抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,与函数图像的关系 ➢ 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠. ⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大
小. ➢ 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,
当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴;
当0b <时,02b
a
-
>,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即
当0b >时,02b
a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;
当0b =时,02b
a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;
当0b <时,02b
a
-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.
总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置. 总结:
➢ 常数项c
⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法
➢ 公式法:a
b
ac a b x a c bx ax y 44222
2-+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+
=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422
--,对称轴是直线a
b
x 2-
=. ➢ 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式,得到顶点为
(h ,k ),对称轴是直线h x =.
➢ 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直
平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式
➢ 一般式:c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. ➢ 顶点式:()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
➢ 交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点
➢
y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).
➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2
).
➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,
是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的
一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.
➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,
则横坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根.
➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,
由方程组 2
y kx n
y ax bx c
=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交
点.
➢ 抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为
()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故
a
c
x x a b x x =
⋅-=+2121,()
()
a a ac
b a
c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
➢ 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =---;
➢ 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =++;
➢ 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2
y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =-+-;
➢ 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-;
()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =--+.
➢ 关于点()m n ,
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
➢ 总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a
永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适
的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
✧ 二次函数图象的平移
➢ 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,
; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,
处,具体平移方法如下: