高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案人教版必修4
高中数学人教版必修4 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 课件1
2.平面向量数量积的性质和运算律
[提出问题] 已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角． 问题1：若a·b＝0，则a与b有什么关系？ 提示：∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b. 问题2：a·a等于什么？ 提示：a·a＝|a|2cos 0°＝|a|2. 问题3：在什么条件下可求cos θ？ 提示：已知 a·b 及|a||b|时，可得 cos θ＝|aa|·|bb|.
新知导入
1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件 定义 记法
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝ a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积： 规定： 零向量与任一向量的数量积均为0. 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量b在a的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量a在b的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
人教版 必修4
第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
知识点
1.平面向量的数量积
[提出问题] 一个物体在力F的作用下产生位移s，如图． 问题1：如何计算这个力所做的功？ 提示：W＝|s||F|cos θ. 问题2：力F在位移方向上的分力是多少？ 提示：|F|cos θ. 问题3：力做功的大小与哪些量有关？ 提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
新知导入
1．向量数量积的性质
设 a 与 b 都是非零向量， θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔ a·b＝0 . (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝ |a||b| ， 当 a 与 b 反向时，a·b＝ －|a||b| . (3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a＝ a2.
高中数学必修四2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
r a
r b
1
r [(a
r b)2
uur (a
r b)2
]
4
有时也将上式写成: 4a b (a b)2 (a b)2 .
答案: 1 33
8
4.两个半径分别为 r1, r2 的圆 M , N ,公共弦 AB 3 ,则 AM AB AN AB ____.
答案:9.
5.在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P, AP 3 , 且 AP AC = _ __.
答案:18.
知识拓展
极化恒等式:设 a, b 是两个平面向量，则根据向量的运算可得:
ar
r b
|
ar
r || b
| cos
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
rr
a 与b的夹角 的范围
rr a b的正负
0,
2
2
正0
2
,
负
数量积符号由cos的符号所决定.
问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？
r b cos120o
2 3 ( 1) 3
2
（2）ar 2
r2 b
r a
2
r2 b
49
5
3
rr 2a b
rr a 3b
r2 r r r2 2a 5a b 3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3b 8 15 27 34
求a=2m+n,b=2n-3m的夹角？
高中数学 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义学案 新人教a版必修4
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义：2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3．“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：5．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅b =b e =2︒ a ⊥b ⇔a ⋅ b = 设a 、为两个非零向量，e 是a 与同向的单位向量.e ⋅a =a ⋅e =3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = 当a 与b 反向时，a ⋅b = 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点：。
平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：那么力F所做的功：W=（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱·︱︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱cosα（2）定义说明：①记法“a·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“⨯”代替。
高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教
A1
叫做向量 b 在 a
方向上的投影.
B
B
B
b
O
a
B1 A
当为锐角时
投影为正值;
b
B1 O a A 当为钝角时
投影为负值;
b
O(B1) a A
当为直角时
投影为0;
投影与数量积的结果都是数量.
什么时候为正，
什么时候为负？
a a b 例1、计算a • b 以及 在 b 上的投影。（ 为 和 的夹角）
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
问题：物理中力对物体所做的功是 什么？
F
θ S
F W S | F || S | cos
2.4 平面向量的数量积
第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
（1）理解平面向量数量积和投影的概念 及数量积的几何意义；
数量积性质与运 算律
1. (a b)c 与 a(b c)相等吗？
2. 若 a b 0, 则 a 0 或 b 0，对吗？ 或 a b.
3.若a c b c, c 0, 则 a b ，对吗？
（注意不能等号两边约去 c ）
(a b) c 0.
自主探究：
类似？
例2. (1)(a b)2
a 5
a b
0°
5 4
投影
2
30°
23
90° 120° 180°
0 -2 -4
b 4 数量积 20 10 3 0
-10 -20
0° 60° 90° 150° 180°
a 3 投影
6
3
0
数量积 18 9
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿新人教版必修4
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（说课稿）一、课题介绍选自普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社A版)《必修4》第二章第四节的第一课时——平面向量数量积的物理背景及其含义．对于这节课，我将以“教什么、怎么教、为什么这样教”为思路，从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程分析及板书设计分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学过程，敬请各位老师指正．二、教材分析(一) 本节在教材中的地位和作用平面向量数量积的物理背景及其含义,包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律.它是继向量的加法，减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用.由于它在数学、物理等学科中的广泛应用,因此，我把本节内容分为两个课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律.本节课为第一课时.(二) 目标分析教学中以知识技能的培养为主线,渗透情感态度与价值观,并把这两者充分体现在教学过程中.教学的主体是学生,因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发,结合教学内容的要求及本节的地位与作用,本节课应实现如下教学目标:1、知识目标:理解平面向量数量积、投影的定义；掌握平面向量数量积的性质；了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.2、能力目标:通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神.3、情感目标:通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.(三) 教学的重点与难点本节课注重培养学生的创新精神和探究能力,因而确定重点、难点为:重点:平面向量数量积的定义、几何意义及其性质.难点:平面向量数量积性质的探究.三、教法分析本节课主要通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以导学讲评教学方法为主，结合了探究式教学法、讲练结合法、谈话法等展开教学．在活动中，教师着眼于“导”，尽力激发学生的求知欲望，引导他们解决问题，并掌握解决问题的规律和方法；学生着眼于“探”，通过活动发现规律，解决问题，发展探索能力和创造能力．四、学法分析根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，因此，我主要引导学生自己从问题中质疑、尝试、归纳，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的兴趣.五、教学过程教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.如果再把教学过程中“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释及探究来组织和推动教学.因此，我的教学过程如下：(一) 创设情境，引入新课(二) 合作探究1、结合物理中功的定义，思考θcos S F S F W =⋅=是怎样得出来的，从而引出数量积的定义:已知两个非零向量b a 与，把数量θcos b a 叫做b a 与的数量积(或内积)，记作b a ⋅，即有θcos b a b a =⋅，然后分析定义强调应该注意的问题，得到一个特殊的规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即00=⋅a (a 为任意向量)．再结合位移方向上的力做功引出投影的定义: ()θθcos cos b a 叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.让学生独立思考投影及数量积的符号；引导学生说出数量积的结构得出几何意义：数量积与的长度等于a a b a ⋅b 在a 方向上的投影θcos b 的乘积.2、结合数量积的正负，提出两个向量夹角的三个特殊值来研究，当︒︒︒=901800、、θ时，(1) 0=⋅⇔⊥b a b a ; (2) b a b a b a =⋅同向时，与当;b a b a b a -=⋅反向时，与当,特别地,a a a a a a ⋅==⋅或2. (3) b a b a ≤⋅.(三) 例题讲解知识注重应用.因而，当这部分知识讲解完后，我将通过一个例题来强化学生对知识的理解.例 已知4,5==b a ，b a 与的夹角θ=120度，求b a ⋅．目的：巩固所学知识，解决情景中问题.例题注重分析，并将结果回到情景中，培养学生理论联系实际的思想.(四) 课堂练习为了培养学生独立解决问题的能力，在例题讲解后，我设计了一个练习题,通过抽个别同学上黑板演算，其余同学在草稿本上完成练习的方式来掌握学生的学习情况，从而对讲解内容作适当的补充提醒.(五) 课时小结让学生回顾本节课主要内容并小结.使学生明确本节课的重点与难点，培养学生归纳总结的能力.(1)平面向量数量积、 投影的定义以及数量积的几何意义.(2)平面向量数量积的几个重要结论.目的：通过课堂小结，使学生对本节的内容有一个完整、系统的认识，在培养概括能力的同时，也对本节课的教学效果进行反馈．(六) 作业布置目的：使学生继续加深对数量积概念的理解及应用，为后续学习打好基础.五、板书设计板书设计的好坏直接影响这节课的效果，因此它起着举足轻重的作用.为了使整个板面重点突出，层次分明，我将黑板分为四版，第一版是通过复习物理知识引入新课,第二版是新课的讲解，第三版是数量积性质的探究，第四版是例题和练习题，这样的排版使学生一目了然.总之,这节课是本着教师只是学生学习的引导者,知识是由学生自主构建的原则设计的. 以上就是我对本节课的理解和设计,敬请各位老师批评指正.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
《平面向量数量积的物理背景及其含义(1)》教学设计
《平面向量数量积的物理背景及其含义（1）》教学设计一.教学内容分析：本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.二.学生学习情况分析：学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.三.设计思想：遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四.教学目标：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
五.教学重点和难点:重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。
六.教学过程设计：活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。
这些运算的结果是向量。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。
人教版高中数学必修4学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章 平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系． 2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．基础梳理一、向量的数量积的概念1．已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ()0≤θ≤π叫做a 与b 的夹角．练习：(1)当θ＝0时，a 与b 同向；(2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2时，a 与b 垂直，记a ⊥b ．2．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||a ||b cos_θ叫做a 与b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝||a ||b cos_θ，其中θ是a 与b 的夹角，||a cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：||a cos θ 叫做向量a 在b 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为||a ；当θ＝π时投影为－||a .4．零向量与任意向量的数量积为0． 思考应用1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运算的结果是一个向量．影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.1．设a 与b 均为非空向量：(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝||a ||b ，当a 与b 反向时，a ·b ＝－||a ||b ，特别地a ·a ＝||a 2或||a(3)cos θ＝a ·b|a ||b |．(4)||a ·b ≤||a ||b ． 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||b cos_θ的乘积．3．向量的数量积满足下列运算律： 已知向量a ，b ，c 与实数λ， (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)()λa ·b ＝λ(a ·b ) ＝ a ·(λb ) (结合律)． (3)()a ＋b ·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 思考应用2．判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a ·b |＝|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0. 对于②：应有0·a ＝0.对于④：由数量积定义有|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a ·b |＝|a ||b |.对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0.对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零．对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a .若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.自测自评1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5，8)，则(a＋b)·b等于(C)A．－34 B．34C．55 D．－55解析：a＋b＝(－3，5)，∴(a＋b)·b＝(－3，5)·(－5，8)＝15＋40＝55.故选C.2．已知a·b＝12，且||a＝3，||b＝5，则b在a方向上的投影为4．3．设i，j是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2i－j)·(－3i＋2j)等于(A)A．－92 B.92C．－8 D．8解析：(2i－j)·(－3i＋2j)＝－6i2＋7i·j－2j2＝－6|i|2＋7|i||j|cos 60°－2|j|2＝－6＋72－2＝－92.故选A.4．已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC→·CA →＝－20．基础提升1．下列命题正确的是(B ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．a ·b ＝b ·aC ．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )解析：a ·b ＝0⇔a ⊥b ，a 与b 不一定是零向量，故A 错；对于C ，a 与b 的夹角可以为π，故C 错；a ·b ∈R ，b ·c ∈R ，a 与c 不一定共线，故D 错，故选B.2．若||a ＝4，||b ＝3，a 与b 的夹角为120°，则a ·b 为(B ) A ．6 B ．－6 C ．－6 2 D ．6 2 3．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则(D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a ＝b 或(a －b )⊥c解析：由a ·c ＝b ·c ，得(a －b )·c ＝0.∵c ≠0， ∴a －b ＝0或(a －b )⊥c .故选D.4．在△ABC 中，若⎝⎛⎭⎫CA →＋CB →·⎝⎛⎭⎫CA →－CB →＝0，则△ABC 为(C ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于(D ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 解析：因为∠C ＝90°，所以AC→·CB →＝0， 所以AB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →＋CB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →2＋AC →·CB →＝16，故选D.巩固提高6．若向量a ，b 满足：|a |＝1， (a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝(B ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，|a |＝1， ∴⎩⎨⎧（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0，∴⎩⎨⎧a ·b ＝－a 2＝－1①，2a ·b ＋b 2＝0②；∴把①代入②得－2＋b 2＝0；∴b 2＝2∴|b |2＝ 2.故选B.7．已知|a |＝|b |＝5，a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25＋2×252＋25＝75，(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝25－2×252＋25＝25.∴|a ＋b |＝53，|a －b |＝5.8．已知a ，b 的夹角为120°，且||a ＝1，||b ＝2，当向量a ＋λb 与λa ＋b 夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为120°， ∴a ·b ＝||a ||b cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－1.∵向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角，∴⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b <0.又⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b ＝λa 2＋⎝⎛⎭⎫λ2＋1a ·b ＋λb 2， ∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0. 解得λ<5－212或λ>5＋212.∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，5－212∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋212，＋∞. 9．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．解析：如下图所示，a ·b ＝||a ||b cos ⎝⎛⎭⎫π－C ＝－||a ||b cos C ，b ·c ＝||b ||c cos ⎝⎛⎭⎫π－A ＝－||b ||c cos A ， c ·a ＝||c ||a cos ⎝⎛⎭⎫π－B ＝－||c ||a cos B . ∵a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，∴－||a ||b cos C ＝－||b ||c cos A ，||a cos C ＝||c cos A ，作BD ⊥AC 于D ，则|CD→|＝a cos C ，|AD →|＝|c |cos A ， ∴|CD→|＝|AD →|. ∴D 为AC 的中点，∴|AB →|＝|BC →|. 同理可证|AB→|＝|AC →|. ∴△ABC 为正三角形．10．如下图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB→·DA →.解析：(1)因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°. 所以AD→·BC →＝|AD |→·|BC |→cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB→|·|CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos 120°＝4×3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－6.1．两向量的数量积是一个数，而不是向量． 2．向量的数量积不满足结合律． 3．计算长度||a ＝a ·a ，||a ±b ＝()a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2；求向量夹角cos θ＝a ·b||a ||b ；证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b ，数量积这三公式可解决长度、角度、垂直等问题．。
平面向量数量积的物理背景及其含义教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 引导学生了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义。
3. 培养学生运用数量积解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量数量积的物理意义，数量积的计算公式。
2. 教学难点：数量积在坐标系中的表示，数量积的性质。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中提炼出向量数量积的概念。
2. 利用多媒体课件，直观展示向量数量积的物理背景。
3. 运用实例分析，让学生体会向量数量积在实际问题中的应用。
四、教学内容1. 向量的概念及表示方法：向量的大小、方向，向量的几何表示。
2. 向量数量积的物理背景：力的合成与分解，功的计算。
3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
4. 数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
5. 数量积在坐标系中的表示：利用坐标计算向量的数量积。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的物理问题，引导学生思考向量数量积的必要性。
2. 讲解向量的概念及表示方法：结合图形，解释向量的大小、方向及几何表示。
3. 阐述向量数量积的物理背景：以力的合成与分解为例，说明向量数量积的含义。
4. 推导向量数量积的计算公式：引导学生从物理意义出发，推导出公式。
5. 讲解数量积的性质：通过实例，演示交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
6. 数量积在坐标系中的表示：利用坐标计算向量的数量积，让学生理解坐标与向量数量积的关系。
7. 课堂练习：布置一些有关向量数量积的题目，让学生独立完成。
8. 总结与拓展：回顾本节课所学内容，引导学生思考向量数量积在实际问题中的应用。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对向量概念、数量积物理背景的理解程度。
2. 课堂练习：检查学生运用数量积解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评估学生对数量积计算公式、性质的掌握情况。
高一数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义导学案新课程新课标必修四
§2.4.1平面向量的数量积的 物理背景及含义学习目标1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.学习过程一、课前准备（预习教材P103—P105）复习：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W= ，其中θ是F 与s 的夹角.二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量a b r r 与，我们把______________叫a b r r 与的数量积。
（或________）记作_________即a b ⋅r r ＝___________________其中θ是a b r r 与的夹角。
__________叫做向量a b r r 在方向上的______。
我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。
问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？2、平面向量数量积的性质：设a b r r 与均为非零向量： ①a b ⊥⇔r r ___________ ②当a b r r 与同向时，a b ⋅r r ＝________ 当a b r r 与反向时，a b ⋅r r ＝_______ _，a 特别地，a ⋅r a r =______或a =r ___________。
③a b ⋅r r ≤___________ _④cos =θ_______ ____⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c r r r ，，与实数λ。
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2.4.1向量数量积的物理背景与含义
（一） 教学目标
1． 知识与技能：
(1) 通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义和物理意义.
(2) 体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3) 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
(4) 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.
2． 过程与方法：
(1) 通过物理中的“功”等实例，引出向量数量积的概念.
(2) 运用几何直观引导学生理解定义的实质.
(3) 进一步结合具体例题，加强对数量积性质的运用.
3． 情感、态度与价值观：
有物理背景出发引出数量积的概念，进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质，培养
学生的自主探索能力.
（二） 教学重点、难点
教学重点是向量的数量积的定义及性质.
教学难点是对向量数量积定义及性质的理解和应用.
（三） 教学方法
有物理背景出发，介绍数量积的概念，教学中采用提出问题，引导学生通过观察、类比的方式，
探索数量积的性质，进而结合例题运用性质加强理解.
（四） 教学过程
教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图
复 习 提 问 （1）向量的概念. （2）向量的加减法和数乘运算. 提问引入： 我们已经学过平面向量的加减法和数乘运算，那么自然会想到两个向量能否进行乘法运算呢？ 学生回答
复习旧知
识
引出新知
识
概 1．向量数量乘积的物理背教师提问 以物理问题为
背景，使学生从
念 形 成 景 问题：如果一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功w等于多少？ 学生回答 教师给出向量的数量积的概念. 中受到启发，为
引入向量的数
量积的概念做
准备.
2．两个向量的夹角 已知两个非零向量a、b，OA=a，OB= b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角, 记作〈a ，b〉 并规定0≤〈a ，b〉≤ 强调：
（1）求两向量的夹角，应
保证两个向量有公共起
点，若没有，须平移.
（2）范围0≤〈a ，b〉≤
.
（3）〈a ，b〉=〈b ，a〉
（4）〈a ，b〉=0时, a、
b
同向
〈a ，b〉=时，a、b反
向
〈a ，b〉=2时， a ⊥
b
.
（5）规定：零向量与任意
向量垂直.
借助几何直观加
深学生对两向量
夹角的理解，为学
习向量数量积的
定义打好基础。
3．向量在轴上的正射影
（1）概念：
已知向量a和轴l，作
OA
=a，过点O，A分别作
轴l的垂线，垂足分别为
O1，A1，则向量11OA叫做
向量a在轴l上的正射影.
教师给出正射影的概念
学生在了解
向量
在轴上的正射
影及正射影的
数量
的基础上,
自主探索发现其
性质,提高自主学
习的能力。同时进
一步加深对向量
在轴上的正射影
的理解。
（2）正射影的数量：
正射影在轴l上的坐标，称
作a在轴l上的数量或在轴
l
方向上的数量.
记作： al
向量a的方向与轴l的正方
向所成的角为θ，
则有coslaa
a在轴l上的数量或在轴l
方向上的数量是一个数量，
不是向量.
当为锐角时为正值；
当为钝角时为负值；
当为直角时为0；
当 = 0时为 |a|；
当 = 180时为 |a|.
在正射影的概念的基础上给
出正射影的数量的概念。
在学生了解两个概念的基础
上，进一步探索发现夹角和正
射影数量的关系.
借助多媒体形象地展现正射
影的数量，它可正、可负、可
为零:
4． 向量的数量积（内
积） 定义：cos,abab叫做向量a和b的数量积（或内积） 记作：a·b 即 a·b = cos,abab 了解概念
概 念 深 化 概念讲解： 1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积. 师生共同探索：
问题1：两个向量的数量积
的几何含义是什么？
给出概念
提出问题
随着问题的解决
进一步加深学生
对新概念的理解
与掌握.
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。 3．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1) ea = ae =|a|cos 2) ab ab = 0 3) aa = |a|2或aaa|| 4) cos =||||baba ； |ab| ≤ |a||b|
问题2：两个向量的数量积
与数乘向量有什么区别？
问题3：两个向量的数量积
的性质
应 用 举 例 例：已知a=5，b=4，〈a,b〉 解： ab = cos,abab =5×4×cos120° = -10.
教师板书
规范写法
通过练习，进一步
巩固所学知识
2.3.1 向量数量积的运算律
教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图
复习 引入 复习向量数量积的相关知识 教师提问 学生回答 为研究向量数
量积的运算律
作准备
概
念
形
成
问题1： 数量乘法满足的运算律，对于向量的数量积运算是否也同样满足呢? 交换律：＝b a成立吗？ 教师提问 学生思考并讨论 在教师的引导
下，让学生自
主探索
问题2： 对于乘法分配律，向量的数量积运算是否还满足？ （a＋b）c＝a c＋b c 另外，还有数乘以向量的乘积有：λ(a b)=(λa) b=a(λb) 教师提示：直观上，不太容易看出它是否成立，可引导学生从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立.
应
用
举
例
例1 求证： 1) 2bb2aaba22 2) 22bab)(ab)(a 3) )baba(21ba222 例2：求证菱形的两条对角线互相垂直. 对菱形ABCD，记AB=a，AD=b，则AC=a+b. BD=b－a其中a=b. ∵AC·BD=（a+b）·（b要求学生运用向量的数量积的运算律证明. 菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形ABCD，记AB=a，AD=b，则AC=a+b. BD=b－a其中a=b. 练习的目的是
加深对向量的
数量积的运算
律的运用和理
解.
－a）=b2－a2=b2－
a2=0. ∴AC⊥BD即对角钱互相垂直. ∵AC·BD=（a+b）·（b－a）=b2－a2=b
2
－
a
2
，到此，可看出边长
相等的作用了.
归 纳 小 结 收获： 1．向量的数量积满足：交换律a· b=b·a； 2．对加法的分配律：（a+b）· c=a·c+b·c； 3．实数与两向量数量积的乘积： λ（a·b）=（λa）·b=a（λb）， 学生总结 巩固所学知识